N-S方程推导.pdf

写在前面的话 本人非学流体出身，初时只略有涉猎，后因学习需要，勘此流体 第一方程Navier-Stokes 方程。此于本专业或聪明毓秀之人，自 不在话下，于我则艰涩难懂。往往“显而易见”之处，我需思索多时， 断断续续间，自接触至今，已近一年。其间人事变动，岁月倥偬，总 算可窥其门径。此方程既是流体力学支柱，亦是门径之学。欲登堂入 室，此之一节，逾越不得。当我不得要领之时，曾立誓，若得通，定 当付之网络，知于似我等愚鲁而又欲知之者。 此文欢迎转载，讨论，指教，多多益善。 Email：zsqsolking 目录 引言 . 2 一、N-S 方程的最初形式 . 3 1、作用在单元体上的力. 3 1.1 质量力. 3 1.2 表面力. 4 2、单元体的加速度和重量. 5 二、应力形式化简. 6 1、切应力与应变的关系. 6 2、法向应力与应变的关系. 6 三、不可压缩流体的 N-S 方程. 8 四、加速度项 du dt r 的处理 . 10 【附录】关于哈密顿算子（Del Operator）. 11 引言引言引言引言 【理论依据理论依据理论依据理论依据】 理论依据非常简单，牛顿第二定律。 F=ma（1） 有了受力，有了加速度，本方程基本形式就算完成。余下的，就 是对力、加速度等的处理、化简了。 【本文思路本文思路本文思路本文思路】 本文首先根据牛顿第二定律，找到所研究的单元体受到的力。即 质量力和表面力。（一） 根据应力和应变的关系，将应力进行转化，因为实际应用时应力 是很难获取的。 这就得到了 可压缩流体 N-S 方程最一般的形式。（二） 结合连续性方程（即质量守恒方程），得到了不可压缩流体 N-S 方程的形式。（三） 对其加速度项进行化简， 转化为一般的形式。 因为加速度有两个， 当地加速度和位移加速度，只是用一个 du dt 表示会给特殊性试下的化 简带来问题。这样就得到了我们最常见的不可压缩流体的 N-S 方程 （41）式。（四） 一一一一、N N N N- - - -S S S S 方程的最初形式方程的最初形式方程的最初形式方程的最初形式 1、作用在单元体上的力 x y z yz y dy 2 yz+ yx y dy 2 yx+ xy x dx 2 xy+ xz x dx 2 xz+ zy z dz 2 zy+zx z dz 2 zx+ yy y dy 2 yy+ xx x dx 2 xx+ zz z dz 2 zz+ 图 1 作用在单元体上的力 作用力有两类，即质量力和表面力。 1 1 1 1.1 .1 .1 .1 质量力质量力质量力质量力 质量力是作用在每一个流体质点上，大小与流体的质量成正比。 工程流体力学中，会遇到两种质量力：重力和惯性力。惯性力是一个 很特殊的称谓，原来中学教程中认为惯性力并不是力，但是实际上， 在出现加速度的时候，惯性力的作用同普通力是完全一样的，只是惯 性力会随着加速度的消失而消失。如果认为惯性力是一种力，那么牛 顿第二定律（1）也可以认为是力的平衡。式的右端就是惯性力，左 端就是其他的常规力。其实观察一下重力，G=mg，同惯性力的 ma 本 质上是一致的，g 本身就是重力加速度。但在这个推导中，暂且不将 惯性力视作常规力，而是按照一般的牛顿第二定律来推导。虽然这样 做本质上没有一点变化。 假设单位质量流体上的质量力在各个坐标轴的分量分别为， X， Y， Z。图 1 流体单元体的质量为：dxdydz。则作用在流体单元体上的质 量力在坐标轴的分量分别为：Xdxdydz、Y dxdydz、Z dxdydz。 1.1.1.1.2 2 2 2 表面力表面力表面力表面力 作用在隔离流体（也就是所取的研究流体单元）的表面，和作用 的面积成正比的力。分为垂直于作用面的压力和沿作用面方向的切 力。表面力可以使作用于流体界面的压力、切力，也可以是一部分流 体质点作用于相邻另一部分流体质点的压力、切力。单位作用面的压 应力、 切应力即为图 1 中的、（第一个下标表示作用面的法线方向， 第二个下标表示力的方向）。 以 x 方向为例，流体单元受到的力： x x x 22 22 22 xxxx xxxxx yxyx yxyx zxzx zxzx dxdx Gdydz xx dydy dxdz yy dzdz dxdy zz =+ + + 作用在 方向的压力 作用在 方向的切力 作用在 方向的切力 （2） 即： yx xxzx x Gdxdydz xyz =+ （3） y，z 方向同理可获得。 xyyyzy y Gdxdydz xyz =+ （4） yz xzzz z Gdxdydz xyz =+ （5） 2、单元体的加速度和重量 加速度和质量的乘积（1）式右侧）在三个方向上的分量分别为： x x du madxdydz dt =（6） y y du madxdydz dt =（7） z z du madxdydz dt =（8） 将（3）（6）式带入（1）式，x 方向有： yx xxzxx du dxdydzXdxdydzdxdydz xyzdt += （9） 即： yx xxxzx du X dtxyz =+ （10） 同样： yxyyyzy du Y dtxyz =+ （11） yz xzzzz du Z dtxyz =+ （12） 二二二二、应力形式应力形式应力形式应力形式化简化简化简化简 1、切应力与应变的关系 y x xyyx u u yx =+ （13） xz xzzx uu zx =+ （14） y z yzzy u u zy =+ （15） 2、法向应力与应变的关系 2 2 3 x xx u pu x = + r ?（16） 2 2 3 y yy u pu y = + r ?（17） 2 2 3 z zz u pu z = + r ?（18） 将（13）、（16）带入（10）， () () 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 xxx x x u pu xxx up u xxxx up u xxx =+ = + = + r ? r ? r ? （19） 2 2 2 yxy x y x y x u u yyyx u u yyyx u u yx y =+ =+ =+ （20） 22 2 zxxz xz xz uu zzzx uu zzzx uu zx z =+ =+ =+ （21） 即： () () 2 2222 222 2 22222 2222 2 2 2 3 2 3 yx xxxzx y xxxz y xxxxz du X dtxyz u uuuup uX xxxyx yzx z u uuuuup uX xxyzxx yx zx p x =+ = + = + = + r ? r ? () ()() () 2 2 2 3 2 3 1 3 y xz x x x u uu uuX xxyzx p uuuX xxx p uuX xx + = + + = + + r ? rr ? r ? （22） 同理： () 2 1 3 x x dup uuX dtxx = + + r ?（23） () 2 1 3 y y du p uuY dtyy = + + r ?（24） () 2 1 3 z z dup uuZ dtzz = + + r ?（25） 矢量形式： () 2 1 3 du puuF dt = + + + v vvuv ?（26） 三三三三、不可压缩流体的不可压缩流体的不可压缩流体的不可压缩流体的 N N N N- - - -S S S S 方程方程方程方程 连续性方程的基本推导原理就是，单元体内流出、流入质量差等 于该时间段内单元体内质量的变化。原理是很简单的。没有流入流出 质量就不会变化，流入流出有了差值，说明单元体的质量变化了。 仍以 x 方向为例。 左侧质量流速（一般的流速是体积流速，m/s,为了推导质量的变 化需要引入质量流速， 质量流速的定义就是单位时间内通过单位横截 面的流体质量）为 x u，质量流速是位置的函数，因此在右侧面流出 的质量流速为 () x x u udx x + 。时间段 dt 内流出、流入单元体的质量 差为： () () xx xx uu udx dydzdtudydzdtdxdydzdt xx += （27） 同理，该时间段 dt 内 y 方向，z 方向的流出流入质量差为： () y u dxdydzdt y （28） () z u dxdydzdt z （29） 因此，时间段 dt 内单元体六个面流出、流入的质量差为： ()()()()()() yy xzxz uu uuuu dxdydzdtdxdydzdtdxdydzdtdxdydzdt xyzxyz +=+ （30） 改时间段 dt 内单元体质量的变化体现在密度随时间的变化上，开始 时间密度为，dt 时间末密度为dt t 。质量的变化为： dxdydzdt dxdydzdxdydzdt tt += （31） 根据质量守恒，（30）式等于（31）式，即 ()()() y xz u uu dxdydzdtdxdydzdt xyzt += （32） 化简， ()()() 0 y xz u uu xyzt += （33） ()0u t += r ?（34） 如果不可压缩流体，密度=constant，0 t = ，密度项可以提取出来，散 度为： 0u= r ?（34） 将（34）式带入（26）式，不可压缩流体的 Navier-Stokes 方程为： 2 du puF dt = + + v vuv （35） 四四四四、加速度项加速度项加速度项加速度项 du dt r 的处理的处理的处理的处理 流动中，不仅不同位置的点具有不同的速度，就是在同一点，不同时 刻速度也可能不同。速度既是位置的函数也是时间的函数。因此，加 速度有两部分组成：迁移加速度和当地加速度。 以 x 方向为例，加速度的表达式为： (), , , x xxxx x dux y z tuuuudxdydz a dttx dty dtz dt =+ （36） 式中，单位时间内，x（或 y，或 z）方向的增量既是 x 方向的加速度， 即： , xyz dxdydz uuu dtdtdt =（37） 带入（36）式，y 方向，z 方向同理，得到不同方向的加速度为： xxxx xxyz yyyy yxyz zzzz zxyz uuuu auuu txyz uuuu auuu txyz uuuu auuu txyz =+ =+ =+ （38） 矢量形式为： () duu auu dtt =+ rr rrr ?（39，可见附录） 将（39）式带入（26）式，可得最常见的 Navier-Stokes 方程形式： () 2 u uupuF t += + + r rrvuv ?（40） 或可写为： () 2 1u puFuu t +=+ r rrvuv ?（41） 【附录附录附录附录】关于哈密顿算子关于哈密顿算子关于哈密顿算子关于哈密顿算子（Del OperatorDel OperatorDel OperatorDel Operator） ijk xyz =+ （42） 梯度 ppp gradppijkpijk xyzxyz = =+=+ （43） 散度 () y