2015届高考数学一轮复习 椭圆、双曲线、抛物线专题训练.doc

椭圆、双曲线、抛物线一、基础知识要记牢圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)；(2)双曲线：|pf1|pf2|2a(2a1)，由过f2且垂直于x轴的直线被c截得的弦长|ab|3，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a417a240，所以a24或a2(舍去)故椭圆c的方程为1.(2)如图所示，由抛物线定义知|mf|mh|，所以|mf|mn|mh|mn|.由于mhnfoa，则，则|mh|mn|1，即|mf|mn|1.答案(1)c(2)c求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线、抛物线的焦点所在的坐标轴的位置，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.三、预测押题不能少1(1)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0)若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|()a2 b2c4 d2解析：选b依题意，设抛物线方程是y22px(p0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点m的坐标是(2，2)，|om| 2.(2)已知点m(3,0)，n(3,0)，b(1,0)，动圆c与直线mn切于点b，过m，n与圆c相切的两直线相交于点p，则p点的轨迹方程为()ax21(x1) bx21(x0)cx21(x0) dx21(x1)解析：选a设过点p的两切线分别与圆切于s，t，则|pm|pn|(|ps|sm|)(|pt|tn|)|sm|tn|bm|bn|22a，所以曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a1，c3，所以b28，故p点的轨迹方程为x21(x1).圆锥曲线的几何性质一、基础知识要记牢(1)椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系在椭圆中：a2b2c2，离心率为e；在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.(2)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.二、经典例题领悟好例2(1)等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y216x的准线交于a，b两点，|ab|4，则c的实轴长为()a.b2c4 d8(2)(2013浙江高考)如图，f1，f2是椭圆c1：y21与双曲线c2的公共焦点，a，b分别是c1，c2在第二、四象限的公共点若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是()a. b.c. d.解析(1)设c：1.抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4得a(4，)，b(4，)，|ab|24，a2，2a4.即c的实轴长为4.(2)由椭圆的定义可知|af1|af2|4，|f1f2|2.因为四边形af1bf2为矩形，所以|af1|2|af2|2|f1f2|212，所以2|af1|af2|(|af1|af2|)2(|af1|2|af2|2)16124，所以(|af2|af1|)2|af1|2|af2|22|af1|af2|1248，所以|af2|af1|2，因此对于双曲线有a，c，所以c2的离心率e.答案(1)c(2)d(1)椭圆的方程、双曲线的方程、渐近线的方程以及抛物线的方程、准线都是高考的热点.在解题时，要充分利用条件，构造方程，运用待定系数法求解.(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系，然后把b用a、c代换，求的值；在双曲线中由于e212，故双曲线的渐近线与离心率密切相关.三、预测押题不能少2(1)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线被圆c：x2y26x0所截得的弦长等于2，则该双曲线的离心率等于()a. b.c. d.解析：选b将圆c的方程配方，得(x3)2y29，则圆心c的坐标为(3,0)，半径r3.双曲线的渐近线方程为yx，不妨取yx，即bxay0，因为渐近线被圆截得的弦长等于2，所以圆心c到该渐近线的距离d 2.又由点到直线的距离公式，可得d2，整理得9b24(a2b2)，所以5b24a2，所以b2a2c2a2，即a2c2.所以e2，即e.(2)如图，椭圆的中心在坐标原点o，顶点分别是a1，a2，b1，b2，焦点分别为f1，f2，延长b1f2与a2b2交于p点，若b1pa2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()a. b.c. d.解析：选d设椭圆的方程为1(ab0)b1pa2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，得b20，即e2e10，e或e.又0e1，e0)，则a(2，2)，将其坐标代入x22py，得p1.故x22y.当水面下降1 m，得d(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y，得x6，则x0.所以水面宽|cd|2 m.答案：2直线与圆锥曲线一、经典例题领悟好例3(2013天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为f，离心率为，过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设a，b分别为椭圆的左、右顶点，过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c，d两点若8，求k的值解(1)设f(c,0)，由，知ac.过点f且与x轴垂直的直线的方程为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点c(x1，y1)，d(x2，y2)，由f(1,0)得直线cd的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数的关系可得x1x2，x1x2.因为a(，0)，b(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.在涉及直线与圆锥曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和圆锥曲线相交问题的最基本方法.二、预测押题不能少3已知椭圆m：1(ab0)的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为64.(1)求椭圆m的方程；(2)设直线l与椭圆m交于a，b两点，且以ab为直径的圆过椭圆的右顶点c，求abc面积的最大值解：(1)由题意可知2a2c64，又椭圆的离心率为，即，所以a3，c2.于是b1，椭圆m的方程为y21.(2)不妨设bc的方程为yn(x3)(n0)，则ac的方程为y(x3)由得x26n2x9n210，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，因为3x2，所以x2，同理可得x1，所以|bc|，|ac|，sabc|bc|ac|，设tn2，则sabc，当且仅当t时等号成立，所以abc面积的最大值为.圆锥曲线与解三角形的交汇圆锥曲线与方程是解析几何的核心组成部分，是高考重点考查的内容，且所占分值较大，高考中有时与平面向量、解三角形、不等式等知识交汇命题，考查学生解决综合问题的能力一、经典例题领悟好例设f1，f2是双曲线c：1(a0，b0)的两个焦点，p是c上一点若|pf1|pf2|6a，且pf1f2的最小内角为30，则c的离心率为_|pf1|pf2|6a求出|pf1|和|pf2|关于a、c的方程求出的值设点p在双曲线右支上，f1为左焦点，f2为右焦点，则|pf1|pf2|2a.又|pf1|pf2|6a，|pf1|4a，|pf2|2a.在双曲线中ca，在pf1f2中|pf2|所对的角最小且为30.在pf1f2中，由余弦定理得|pf2|2|pf1|2|f1f2|22|pf1|f1f2|cos 30，即4a216a24c28ac，即3a2c22ac0.(ac)20，ca，即.e.答案(1)本题求离心率的方法，利用余弦定理建立关于参数a，c的方程，通过解方程求出离心率的值.求出e的值要注意验证是否符合条件.(2)在与圆锥曲线有关问题中应用方程思想的常见题目类型：求a，b，c，e的值经常利用方程的思想，解方程即可求得；求圆锥曲线方程常常转化为求相关系数的值.二、预测押题不能少设f1，f2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点p，使线段pf1的中垂线过点f2，则此椭圆离心率的取值范围是_解析：设p，f1p的中点q的坐标为.若y0，则kf1p，kqf2，由kf1pkqf21，得y20，若b22c20，则2c2b20，即3c2a20，即e2，故e1.若y0，即b22c20时，kqf2不存在，f2为f1p的中点，且c2c，得e.综上，得e0，n0)，则解得mn2.2(2013北京高考)双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是()am b. m1cm1 d. m2解析：选c依题意，e，e22，得1m2，所以m1.3(2013天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于a, b两点，o为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, aob的面积为， 则p()a1 b.c2 d3解析：选c因为双曲线的离心率e2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为yxx，与抛物线的准线x相交于a，b，所以aob的面积为p，又p0，所以p2.4(2013新课标全国卷)设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5.若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为()ay24x或y28x by22x或y28x cy24x或y216x dy22x或y216x解析：选c由已知得抛物线的焦点f，设点a(0,2)，抛物线上点m(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，m.由|mf|5得， 5，又p0，解得p2或p8.5(2013荆州质量检查)若椭圆1(ab0)的离心率e，右焦点为f(c,0)，方程ax22bxc0的两个实数根分别是x1和x2，则点p(x1，x2)到原点的距离为()a. b.c2 d.解析：选a因为e，所以a2c.由a2b2c2，得，x1x2，x1x2，点p(x1，x2)到原点(0,0)的距离d.6(2013海淀模拟)抛物线y24x的焦点为f，点p(x，y)为该抛物线上的动点，又点a(1,0)，则 的最小值是()a. b.c. d.解析：选b依题意知x0，焦点f(1,0)，则|pf|x1，|pa|.当x0时，1；当x0时，10，b0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线方程为_解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线中a1，由双曲线的渐近线方程为yxx，可得b，故所求的双曲线方程为x21.答案：x218(2013北京顺义一模)在平面直角坐标系xoy中，设抛物线y24x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足如果直线af的倾斜角为120，那么|pf|_.解析：抛物线的焦点坐标为f(1,0)，准线方程为x1.因为直线af的倾斜角为120，所以afo60，又tan 60，所以ya2.因为pal，所以ypya2，代入y24x，得xa3，所以|pf|pa|3(1)4.答案：49在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为.过f1的直线l交c于a，b两点，且abf2的周长为16，那么c的方程为_解析：设椭圆方程为1(ab0)，因为ab过f1且a，b在椭圆上，如图，则abf2的周长为|ab|af2|bf2|af1|af2|bf1|bf2|4a16，解得a4.又离心率e，故c2.所以b2a2c28，所以椭圆c的方程为1.答案：110设椭圆c：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求c的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被c所截线段的中点坐标解：(1)将(0,4)代入c的方程得1，解得b4.又e，得，即1，则a5.所以c的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与c的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入c的方程，得1，即x23x80，所以x1x23.设ab的中点坐标为(，)，则，(x1x26)，即中点坐标为.11(2013合肥市质量检测)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，抛物线c与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线c的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点a，b，若线段ab的中点为p，且|op|pb|，求fab的面积解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，822p8，2p8，抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设l2：xym，a(x1，y1)，b(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为m.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m， x1x2m2.由题意可知oaob，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，l2：xy8，m(8,0)故sfabsfmbsfma|fm|y1y2|324.12(2013郑州质量预测)已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，点a在椭圆c上，0,3|5，|2，过点f2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于p，q两点(1)求椭圆c的方程；(2)线段of2(o为坐标原点)上是否存在点m(m,0)，使得？若存在，求出实