矩阵分析 习题.pdf

1 14 试证试证1-14 trtr()()1 2 kkm nn m ABBAACBCk = 试证试证： trtr()() ,1,2,ABBAACBCk=? 证证证证： mn nm tr 11 () ikki ik ABa b = = = =tr 11 () jllj jl b aBA = = = ( () )trtr ()() k ABABABA B= =? ()()=trtr()()kB ABABABA= =? 设设证明证明阶矩阵阶矩阵0n2 2设设，证明证明 ：阶矩阵阶矩阵0n 2-2 1a a ? a a ? 1 a A = = ? ? a B = = ? ? 与与 a a 相似相似。相似相似。 121 ( )( )( )1, n DDD =?=?( )()n n Da = = n阶矩阵阶矩阵2-3 1a 1a a A = ? ? 与与 a B = ? ?1 a ?1 a ? a a 不相似不相似。0 不相似不相似。 121 :( )( )( )1,ADDD=?=?( )()nDa= = 0 121 :( )( )( )1, n ADDD ( )() n Da ( )()n n Da 121 :( )( )( )1, n BDDD =? 求方阵求方阵 2 7(4) 求方阵求方阵 308 316A = 2-7(4) 316 205 A= 的的Jordan 标准形及其相似变换矩阵标准形及其相似变换矩阵。P 解解： 首先用初等变换法求其： 首先用初等变换法求其Jordan 标准形：标准形： 308100 316010IA =+=+ ? 2 316010 205001() IA =+=+ + + ? 故故的初等因子为的初等因子为A故故的初等因子为的初等因子为 2 1,(1)+ A 从而的从而的Jordan 标准形为标准形为A () 100 011J = 011 001 J = 再求相似变换矩阵：再求相似变换矩阵： 设所求矩阵为设所求矩阵为则则按列分块记为按列分块记为P 1 P APJ P设所求矩阵为设所求矩阵为，则则，按列分块记为按列分块记为P 1 P APJ=P 123 ,PXXX= 123 ,PXXX 于是有于是有于是有于是有 123123 ,APA XXXAXAXAX= = 100 011PJXXX 123 011 001 ,PJXXX = = 1223 ,XXXX = = 从而可得从而可得 1122323 ,AXXAXXAXXX= = = = = 整整理理以后可得以后可得三三个线性方程组个线性方程组整以后可得个线性方程组整以后可得个线性方程组 1 ()0IA X+= 2 32 ()0 () IA X IA XX += += 32 ()IA XX+ 前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的 个基础解系个基础解系 12 0,1,0,2,0,1 TT = 一一个基础解系个基础解系： 12 0,1,0,2,0,1 可以取，但是不能简单地取这可以取，但是不能简单地取这 11 X= 22, X= 是因为如果选取不当，会使得第三个非齐次 线性方程组无解。由于 是因为如果选取不当，会使得第三个非齐次 线性方程组无解。由于 22 2 X 12 , 的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以 应该取应该取 21122 Xkk = =+ + 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广 矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩为矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1， 从而应该使得增广矩阵 ， 从而应该使得增广矩阵 2 ,IAX+ 的秩也为的秩也为即即的秩也为的秩也为1。即即 2 4082k 2 21 306 204 ,IAXk k += += 2 204k 容易看出只需令容易看出只需令就会使得上述矩阵的就会使得上述矩阵的32kk= 容易看出只需令容易看出只需令就会使得上述矩阵的就会使得上述矩阵的 秩为秩为1， 12 3,2kk= 于是 T 212 324,3,2 T X= 再由第个方程解出个特解再由第个方程解出个特解再由第再由第三三个方程解出个方程解出一一个特解个特解 为为 100 T X = 3 1,0,0X = 那么所求相似变换矩阵为那么所求相似变换矩阵为那么所求相似变换矩阵为那么所求相似变换矩阵为 041 123 ,130 020 PXXX = 020 3-13 设设 A是是Hermite矩阵矩阵且且则存在则存在 2 AA= = 3-13 设设 A 是是Hermite 矩阵矩阵，且且则存在则存在 酉矩阵酉矩阵 U 使得使得 ,AA= = 0I0 00 rH I UAU = = A 是是Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵矩阵，所以存在酉矩阵 U 使得使得 diag 12 (,) H n UAU = =? 2 AA 2 1 2i 2 ,AA= = 2 ,1,2,. ii in= = =? 设设 秩秩(A)= r特征根有特征根有r个个1(n r)个个0设设 秩秩(A)= r特征根有特征根有r个个1，(n-r) 个个0. 调整调整U 的列向量的列向量(特征向量特征向量)的顺序，使得前的顺序，使得前r个对个对 应特征值应特征值1应特征值应特征值1. 3 15 设是一个正定的设是一个正定的H-阵阵, 是一个反是一个反H-阵阵, 证明与的特征值实部为零证明与的特征值实部为零. AB AB BA 3-15 AB证明证明设设为矩阵为矩阵的任意个特征值的任意个特征值 那么那么 0IAB= A Q AB证明证明:设设为矩阵为矩阵的任意的任意一一个特征值个特征值, 那么那么 有有. 由于是一个正定由于是一个正定H-阵阵, 所以所以 存在可逆矩阵存在可逆矩阵使得使得 Q H AQ Q= = 存在可逆矩阵存在可逆矩阵使得使得 将其代入上面的特征多项式有将其代入上面的特征多项式有将其代入上面的特征多项式有将其代入上面的特征多项式有 H 11 0 ()() H HHHHH IABIQ QB QQQ QBQQ = 11 1 ()() () HHHHH HHH QQQ QBQQ QIQBQQ = 1 () HHH H QIQBQQ IQBQ = =IQBQ = 这说明这说明也是矩阵也是矩阵的特征值的特征值 另方面注另方面注 H 这说明这说明也是矩阵也是矩阵的特征值的特征值. 另另一一方面注方面注 意矩阵为意矩阵为H-反阵反阵, 从而实部为零从而实部为零. 同样同样 可以证明另问可以证明另问 H QBQ H QBQ 可以证明另可以证明另一一问问. 3 23设设A是是Hermite矩阵矩阵证明证明：总存在总存在t 03-23设设A 是是Hermite矩阵矩阵，证明证明：总存在总存在t 0, 使得使得A+tI是正定矩阵，是正定矩阵，A-tI是负定矩阵。是负定矩阵。 ()( )AtIAt+()( ) ()( ) ii ii AtIAt AtIAt + += =+ + = 12 max, n t?取则?取则 A+tI是正定矩阵，是正定矩阵，A-tI是负定矩阵是负定矩阵. 3-27 设设证明证明 m n AC HH AAA A都是都是 3-27 设设证明证明： 半正定矩阵 ： 半正定矩阵, 且的非零特征值相同且的非零特征值相同. ,AC ,AAA A , HH AAA A 都是都是 , ( () ) 0, H HHHHm xxA xA xCAAx= =( () )0,xxA xA xCAAx ( () )0, H HHn yyAyAyCA Ay= 半正定半正定 HHH i H i xxA AAAA xA x =(0, H A x 0,0,0, H ii AA xxx = =否则或矛盾)=否则或矛盾) , H ii AAx 是的非零特征值是对应于的特征向量是的非零特征值是对应于的特征向量 pp 设设代代数数重重数数为为则则几几何何重重数数也也为为 , HH ii A AA x 则也是的特征值是对应于的特征则也是的特征值是对应于的特征 向向量量. . , 1, 0 i iipi xx ?设线性无关 是 对应于的特征向量?设线性无关 是 对应于的特征向量 ,. iii pp 设设代代数数重重数数为为则则几几何何重重数数也也为为 向向量量. . i p 则则. 1, , i HH iip A xA x?也线性无关?也线性无关 1122 (0 ii HHH iipip k A xk A xk A x+=?+=? 11 0 ii HH ipip k AA xk AA x= =+?+? ( () ) 11 ii iipip k xk x =+?=+? 12 0) i p kkk=?=? . H ii A Ap 的特征值的重数不小于的特征值的重数不小于 ),() HH r AAr A A= =又又 ii HH AAA A与非零特征值与非零特征值 的个数相同.的个数相同. HH AAA A与非零特征值的完全相同.与非零特征值的完全相同. 3-30 设设那么那么A可以唯一地写成可以唯一地写成 n n AC 3-30 设设那么那么A可以唯一地写成可以唯一地写成 A=S+iT ,其中其中S, T是是Hermite 矩阵，且矩阵，且A可以可以 ,AC , 唯一地写成唯一地写成A=B+C，其中，其中B是是Hermite 矩阵，矩阵， 是反是反矩阵矩阵C 是反是反Hermite 矩阵矩阵. HH ASiTSSTT设设其其中中则则, HH ASiTSSTT=+=+=设设其其中中， 则则 ASiT= =+ + HHH ASiTSiT = = = , 22 HH AAAA STi + + = = =, 22 , HH ABCBBCC= =+= += 设其中， 则设其中， 则 HHH ABC ABCBC = =+ + = =+=+= HH AAAA BC + + , 22 BC= = = ABCBC=+=+=+=+( (唯唯一一性性）设设 1122, ABCBC=+=+=+=+( (唯唯性性）设设 ( () ) H CCBBBB= = = ( () ) H CCCC ( () ) 211212 CCBBBB= ( () ) 2112 CCCC= 1212 ,.CCBB=从从而而 1212 ,从从而而 A设设为为两两个个正正定定矩矩阵阵例例证证明明:,A B设设为为两两个个正正定定矩矩阵阵例例，证证明明： d t( )d t( )d t()ABAB+det( )det( )det()ABAB+ 由由Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形定理知，矩阵偶在复相合下的标准形定理知， 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P， 使得使得存在可逆矩阵存在可逆矩阵P， 使得使得 1 1 1 , 1 HH P APP BP = = ? 1 n 0,1,2,. i in =?=?, , i 1 1 + + 1 1 (), H PAB P + + += += ? 1 n + + det()det() HH P APP BP+ +det()det()P APP BP+ + ( () ) 2 det( )det( )det( )(1) n PAB =+=+ =+=+ ( () ) 1 det( )det( )det( )(1) i i PAB = = =+=+ =+=+ ()() 2 1 det()det( ) det()(1) n H i i PAB PPAB = = +=+= +=+= + det( )det( )det()ABAB+ + 例例举例说明举例说明可对角化的矩阵不一定可酉对角化可对角化的矩阵不一定可酉对角化例例：举例说明举例说明：可对角化的矩阵不一定可酉对角化可对角化的矩阵不一定可酉对角化. 设设X, Y是两个线性无关但是不正交的向量，比如是两个线性无关但是不正交的向量，比如 取取P=X Y= 10 , 21 10 01 D = = ， Y= 则则 1 APDP 10 10 10 则则 1 APDP = 21 01 21 1010 41 = = 可对角化，但不能酉对角化可对角化，但不能酉对角化 例例 用矩阵分析的方法证明用矩阵分析的方法证明：如果正整数如果正整数a b均可均可例例 用矩阵分析的方法证明用矩阵分析的方法证明：如果正整数如果正整数a, b均可均可 以表示成四个整数的平方和，那么以表示成四个整数的平方和，那么ab也可以表示也可以表示 成四个整数的平方和成四个整数的平方和成四个整数的平方和成四个整数的平方和. 2222 1234 ,ammmm= =+ 2222 1234 bnnnn=+=+ 12341234 记记 1234 mmmm 1234 2143 mmmm A mmmm = = 3412 4321 mmmm mmmm 1234 nnnn = = 则则, T AAaI= = . T b = = ( () ) TT abaaI = = =( () ) T TT AAAA= 记记 1234 ,Apppp = = 则则 1234 1234 pppp， ， ， ， ，均为整数均为整数, 且且 2222 1234 .abpppp= =+ 1234 .abpppp 例例求矩阵求矩阵A的满秩分解的满秩分解例例：求矩阵求矩阵A的满秩分解的满秩分解 1415614156 20046 A = = 124419 121116 A 1002310023 01012 行行变变换换 00115 00000 ? ? ? 行行变变换换 取取 取取 141 200 B 10023 , 124 121 B = = 01012 00115 C = = 121 则则A=BC, 是是A 的满秩分解的满秩分解. 注注：满秩分解不唯一。：满秩分解不唯一。 一般方法一般方法: 设秩设秩(A)= r , m n A ? ? A 初等行变换 行简化阶梯形 初等行变换 行简化阶梯形J 设主元在列，则选取设主元在列，则选取 12 , r iii? A中的第列组成矩阵中的第列组成矩阵 12 , r iii?, m r B ? ? r n C ? ?去掉去掉J中的零行，剩下的组成中的零行，剩下的组成 A=BC 例例：设矩阵的满秩分解为：设矩阵的满秩分解为A=BC, 证明：证明： 00AXCX00AXCX= = 充分性充分性：CX=0 BCX=0, 即即AX=0; 必要性：必要性：AX=0BCX=0, 为满秩分解为满秩分解所以所以的列向量线性无关的列向量线性无关A=BC 为满秩分解为满秩分解， 所以所以B的列向量线性无关的列向量线性无关， 方程组方程组BY=0 只有零解只有零解. 方程组方程组0只有零解只有零解. 所以所以CX=0. 4 - 2已知已知4 - 2已知已知 111 111 A = = 111 求求A的奇异值分解的奇异值分解. 33 H AA 60 33 H AA= = 所以所以的奇异值为的奇异值为 12 6,0.= = = 属于属于的标准的标准所以所以A的奇异值为的奇异值为 1 6. = = 12 ,属于属于的标准的标准 正交向量正交向量 12 11 11,11 22 TT = 正交向量正交向量 记记 1211 ,UU = = 计算计算 11 13 11 1 11 112 11 163 11 H VA U = = 11 12 3 3 计算与计算与正正交的向量交的向量，需解方程需解方程 1 V计算与计算与交的向量交的向量需解方程需解方程 1 123 0 xxx+ +=+= 解得解得 110101 TT 解得解得 12 110,101 = = = = Schmidt标准正交化得标准正交化得Schmidt 标准正交化得标准正交化得 11112 0 TT = 12 0, 22666 = 于于是是 111 326 111 322 是是 12 326 111 , 326 VVV = = 0 322 11 326 12 0 32 11 0 0 36 0 32 111 11333 1160022 1160022 0 1122 000 11222 A = = 11222 666 4 -3( 2)已知已知 4 -3( 2)已知已知 011 101B = = 110 求求B的谱分解的谱分解. ., H BBB= =所以是正规矩阵所以是正规矩阵 2 -(1) (2)IB =+=+ 123 2,1. = = = T 1 2 = = 对应的特征向量对应的特征向量1 111 , 333 T = = 23 1 = = = 23 101,110 TT = 将将交化和单位化得交化和单位化得将将正正交化和单位化得交化和单位化得 23 , 11121 TT 23 11121 0, 22666 = 1 111 H G 3333 1111111 111 G = = = 3333333 111 1 = = 111 1 333 3 1 22233 HH G = =+=+= 2 111 00 222 222 1 1 6 211 333 2121 6666 + + 121 333 = = 1 6 333 112 333 6 333 于是于是 12 2.AGG= = 于是于是 12 2.AGG 5 -55 -5 设是正实数，设是正实数， 12 , n aaa? 12 (,), Tn n xxxR = = ? 12n12n 1 2 2 n a x 证明证明是向量范数是向量范数 1 ii i a x = = = = 证明证明：是向量范数是向量范数. 1 2 2 n a xy +=+=+ 1 2 2 n a xa y =+=+ 注意注意 1 iii i a xy = = +=+=+ 1 iiii i a xa y = = =+=+ 1 21 2 22 nn 22 11 nn iiii ii a xa y = + + = =+ + 例例证明证明是是上上 22 1 2 23(| )xxxx+ 2 C 例例：证明证明是是上上 的范数的范数. 122 23(| )xxxx + +C 1 122 23 23(,) x xxxAx = = 122 2 23 01 (,)xxxAx x xAx=满秩方阵满秩方阵 2 xAx=满秩方阵满秩方阵 0Ax = =只有零解只有零解非负性，齐次性，三角非负性，齐次性，三角 不等式容易验不等式容易验证。证。 00,xx 时时 不等式容易验不等式容易验 5 -6设设A是正定是正定Hermite矩阵矩阵，证明证明：若若5 -6设设A是正定是正定Hermite 矩阵矩阵，证明证明：若若 , n C ( () ) 1 2 H A = = 则则是是的向的向量量范数范数.,( () )则则是是的向范数的向范数 （椭圆范数）（椭圆范数） A正定，所以存在正定，所以存在可逆矩阵可逆矩阵Q使使得得 H AQ Q= = Q使使 ( () )( () ) 1 21 2 HHH AQ QQ= =( () )( () ) 2 AQ QQ 例例：对于任意的对于任意的 m n AC 例例：对于任意的对于任意的,AC max, max ij m Am na= =是矩阵范数是矩阵范数. , , ij m i j n ( () ) , 1 max,max ikkj i j k ABm la b = = = = n ( () ) n l BC , 1 max,max n ikkj i j k m lab = = , max,maxmax ikkj i kk j m lnab A B , max,maxmax,max ikkj i kk j m nal nb A B= = 例例：对于任意的对于任意的 m n AC 例例：对于任意的对于任意的,AC max ij Amna= =是矩阵范数是矩阵范数. , ij i j n ( () ) , 1 max ikkj i j k ABmla b = = = = n ( () ) n l BC , 1 max n ikkj i j k mlab = = , maxmax ikkj i kk j ml nab A B , maxmax ikkj i kk j mnanlb= = A B= = 例例： 设设是是上的矩阵范数上的矩阵范数证明证明： n n C 例例： 设设是是上的矩阵范数上的矩阵范数，证明证明： (1)1;I C (2) 设设A为为n阶可逆矩阵， 是阶可逆矩阵， 是A的任意特征值的任意特征值, 则则 (1)1;I 1 1 AA 1( ).II = = ( () ) ,0 xIxIxx= = Axx = =xAxAx =A 11 A xx = = 11 A 1 1 A 2 AAA 2 21 AAA 证明证明： ( () ) 2 () HHH AA AA AA A=( () ) 2 1 max ()AA AA AA A= H AAAA= 11 1 AAAA = 例例设设是是上的矩阵范数上的矩阵范数证明证明对对例例： 设设是是上的矩阵范数上的矩阵范数，证明证明：对对 任意的任意的都有都有 n n C n n AC 1 ( )lim k k AA = = 任意的任意的都有都有 n n AC ( )lim. k k AA = = ( )max( ) ,1,2, j AAjn=? 1 ( )() kkk AAA=( ) k k AA ( () ) 1 令令( () ) 1 ( ),0AAA =+=+令令( )1,A 使使得得0.A存在存在0,1,NAkN使使得得 ( () )( ) k k AA+ 1 ( ) k k AA+,kN( () )( )AA+( )AA+,k N 例例设设且都是且都是Hi矩阵矩阵证明证明 n n A BC 例例：设设且都是且都是Hermite 矩阵矩阵，证明证明：, n n A BC ()( )( )ABAB+()( )( )ABAB+ Hermite 矩阵是正规矩阵，酉相似于对角形矩阵是正规矩阵，酉相似于对角形. 其 奇异值等于特征值的模 其 奇异值等于特征值的模. 所以所以 ( )max,1,2,. i Ain =? 1( ) A = = 2 A= = 222 ABAB+ + ()( )( )ABAB + 例例已知已知A是个是个5阶方阵阶方阵其特征多项式为其特征多项式为例例：已知已知A是是一一个个5 阶方阵阶方阵，其特征多项式为其特征多项式为 2 11 ( () ) 211 1 34 IA = = 且判断矩阵序列是否收敛且判断矩阵序列是否收敛. k A()3,r IA= 1 3 A相相 1 3 1 4 1 4 似于似于1 41 1 4 或或 1 4 1 1 1 1 或或 1 1 例例设设 0aa 例例：设设 0 0 aa Aaa = = 0aa k 问问a取何值时，有取何值时，有 lim0. k k A = = lim0. k k A = =( )1.A 2 () (2 )IAaa =+=+( )2Aa = = 当时，当时， 1 2 a lim0. k k A = = 6 -3 设设A是可逆矩阵是可逆矩阵p q均为均为( ) q p f 6 -3 设设A是可逆矩阵是可逆矩阵，p, q均为均为( ), p f xx= = 正整数，证明：正整数，证明：f(A) 有定义，且有定义，且( ). pq f AA= = A可逆可逆A的特征值的特征值均不为零均不为零 i (), i f A可逆可逆A的特征值的特征值均不为零均不为零 i (), i f () i f (1) ,(),1,2, i d i fis = =?都有定义都有定义. i f f(A)有定义有定义. ( )( ),( ) p q G xf xH xx=设 显然设显然G(x) 与与 H(x)在在A的谱上的值相同的谱上的值相同从而从而G(A)=H(A)即即H(x) 在在A的谱上的值相同的谱上的值相同， ( ). pq f AA= = 从而从而G(A)=H(A), 即即 6 -11 设设A为为n阶矩阵阶矩阵证明证明: 6 -11 设设A为为n阶矩阵阶矩阵，证明证明: 22 (1), iIiIAA eIee + + =( ), (2)sin20,cos2;III = = = (3). AA ee ( |.| 是算子范数）是算子范数） ( () ) 2 2 (1) k iI iI e = = ()()2 k i I = = 2i eII = = = 0 (1) ! k e k = = 0 ! k I k = = eII ( () )( () )22iI AAiI 22iIAiIA eee + +AA Iee( () )( () )22iI AAiI= =eee= =Iee= = = 同同理理 22iIi eeII = = =同同eeII 22 1 iIiI ee 1 (2)sin2()0, 22 ee III ii = = 22 1 cos2(); 22 iIiI ee IIII + + = =+=+= 22 (3) k A A k A k A A 0 (3) ! A k e k = = = = 0 ! k k = = 0 ! k k = = = = .e 方法方法 2i 2i e 方法方法二二： 2 2 iI i = = ? 2 2 iI i eI = = ? 2i 2i e 例例：已知已知110例例：已知已知110 010 2 A = = 2 002 求求sinA求求sinA 的最小多项式的最小多项式 2 ( )()A A的最小多项式的最小多项式 ( )() 2 Axx = = 设设 2 ( )( )2p xaa xa xp xaa x + 设设 01212 ( ),( )2p xaa xa xp xaa x= =+= =+ + ( )sin ,f xx= = 2 012 ( )sin( )fpaaa= =+( )sin ,f xx 012 ( )sin( )fpaaa+ 2 sinfpaaa =+=+ 012 sin, 22222 fpaaa=+=+ 12 cos, 222 fpaa =+ =+ 0122 44 0,aaa = = = 000 2 012 sin010 001 Aa Ia Aa A =+= =+= 001 例例：设：设A为为n阶矩阵， 证明：如果阶矩阵， 证明：如果A的所有特征的所有特征 tA 根实部均小于零，那么根实部均小于零，那么 lim0. tA t e + = = 设设A 的特征值的特征值 2 ,1. jjj aibi = =+= += 0. j a 1, 2, .jn= =? diag di 11 12 1 (,) ()()() r APJPPJJJP PJJJP = =?=? diag 1 1122 (),(),() rr PJJJP= =? 1 i 1 ()(1 2) i i Jir = ? ? ? ?()(1,2, ) 1 ii Jir = ? ii i dd 1111 ii dk dkk ikiki k cc + ? ? 11 ( ) k ki ii k J c = = ? ? ki k i dd c ? ii i dd J 1 2 1 J J At e e PP 1At J ePP = = ? r J e 1d 1 (1)! k kkk d ttt k t etee d ? ()1 kk k k J t t ePPe te = ? ? k kt te e ? ( () ) limlim kk k aibtt tt ee + + + + = = 0 k a () () 0, 0 nn s n sn B AAB = 0B