数理统计答案(汪荣鑫)(2).pdf

第一章第一章 抽样和抽样分布抽样和抽样分布 3 3. .子样平均数和子样方差的简化计算如下：子样平均数和子样方差的简化计算如下： 设子样值设子样值x1,x2,xn的平均数的平均数 为和方差为为和方差为 作变换作变换 ，得到，得到y1,y2,yn,它的平均它的平均 数为数为 和方差为和方差为 。试证：。试证： 。 x 2 x s y 2 y s 222 , xy xacy sc s i i xa y c 解：由变换解：由变换 ，即，即 i i xa y c i i xa y c ii xacy 2 222222 (), 11 ()()() ii ii iiiy iii xacynxnacnyx acy c xxacyacyyyc s nnn x 而s 12. 在五块条件基本相同的田地上种植某种在五块条件基本相同的田地上种植某种 农作物农作物，亩产量分别为亩产量分别为92，94，103，105， 106（单位：斤单位：斤），求子样平均数和子样方求子样平均数和子样方 差差。 解：作变换解：作变换 11 100,100,00 5 100 iii i yxayy n xay 2 22222222 11 ( 8)( 6)356 034 5 xyi i ssyy n 1212. .设设X1,X2,Xn是参数为的泊松分布的母体是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求的一个子样，是子样平均数，试求E 和和D 。 解：解： XX 111 ( ),() ii ii xpExExExn nnn 22 111 () ii iii DxDxDxDx nnnn 1313. .设设X1,X2,Xn是区间（是区间（-1，1）上均匀分）上均匀分 布的母体的一个子样，试求子样平均数的布的母体的一个子样，试求子样平均数的 均值和方差。均值和方差。 解：解： 2 1 121 ( 1,1),0, 2123 xUExDx 11 ()0 111 () 3 ii ii i i ExExExEx nn DxDxDx nnn 1414. .设设X1,X2,Xn是分布为的正态母体的一是分布为的正态母体的一 个个 子样，求子样，求 的概率分布。的概率分布。 解：解： 2 2 1 1 () n i i YX 2 1 ( ,),(0,1),., i in x XNNYY 则y且之间相互独立 222 2 1 ()() i ii iii x Yxy 由 分布定义 ，Y服从自由度为n的 分布。 2 2 ( )Yn 2 15.设母体设母体X具有正态分布具有正态分布N(0,1)，从此母体从此母体 中取一容量为中取一容量为6的子样的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。 又设又设 。试决定常数试决定常数C,使使 得随机变量得随机变量CY服从服从 分布分布。 解：解： 22 123456 ()()YXXXXXX 2 1123 (0,1),(0,3),XNZXXXN 2 2 11 1 (0,1),(1) 33 ZZ N 2456 ZXXX亦服从N(0,3)且与Z1相互独立， 2 2 22 (0,1),(1) 33 ZZ N 且与 相互独立。由 分布可加性， 2 2 22 222 12 12 111 ()(2), 33333 ZZ ZZYc 1 17.7.已知已知 ，求证，求证 证明：令证明：令 ( )Xt n 2 (1, )XFn 2 ( ),(0,1) / U Xt nUN n 其中 2222 ( ),nUU 2 且 与独立亦与独立 2 22 2 ,(1, ) / U XFXFn n 由 分布定义 8设母体 ,从中抽取容量n的样本 求（1）n=36时， 解： 2 (40,5 )XN (3843)Px 2 5 (40,) 64 xN 3840404340 3843 5/65/65/6 x PxP 2.43.6(3.6)( 2.4)(2.4)0.9918PU （2）n=64时，求 401P x 2 5 (40,) 64 xN 解： 4018 401 5/85/85 8 2 ( ) 10.8904 5 x P xPp U 第二章第二章 参数估计参数估计 1.1.设母体设母体X具有负指数分布，它的分布密度具有负指数分布，它的分布密度 为为 f(x)= ,0 0,0 x ex x 其中其中 。试用矩法求的估计量。试用矩法求的估计量。 解：解： f(x)= （ ） 0 ( )xe ,0 0,0 x ex x 0 0 1 ( ) x Exxf x dxx edx 用样本 估计Ex，则有 x 11 ,x x 2.设母体设母体X具有几何分布具有几何分布,它的分布列为它的分布列为 PX=k=(1-p)k-1p,k=1,2, 先用矩法求先用矩法求p的估计量的估计量,再求再求p的最大似然估的最大似然估 计计. 解解 :( 1)矩法估计矩法估计 1 2 1 11 (1) (1) kk kk EXkppppp pp 1 p x 2 111 (1) )() 1 (1) i i xx x xxx (2)极大似然估计极大似然估计 1 1 (1)(1) i ii nxn xn i Lpppp ln() ln(1)ln i i Lxnpnp ln1 0, 1 i i nx dLn p dpppx 3.设母体设母体X具有在区间具有在区间a,b上的均匀分布上的均匀分布,其其 分布密度为分布密度为 f(x)= 1 , 0, axb ba 其他 其中其中a,b是未知参数是未知参数,试用矩法求试用矩法求a与与b的估计的估计 量量. 解解: 用用 和和 分别估计分别估计EX和和DX 得得 2 1 , ,() 212 ab XU a b EXDXba X 2 S 2 2 2 () 12 ab X ba S 3 3 aXS bXS 4.设母体设母体X的分布密度为的分布密度为 f(x)= 其中其中 (1) 求求 的最大似然估计量的最大似然估计量; ( (2 2) )用矩法求用矩法求 的估计量的估计量. 解解: 1,0 1 0, xx 其他 0 ( )xf x 1,0 1 0, xx 其他 0( ) 1最大似然估计最大似然估计 11 11 nn n ii ii Lxx lnln(1)ln i i Lnx ln ln0, ln i i i i dLnn x dx 2矩法估计 用 估计EX 1 1 0 ( ) 1 EXx f x dxxxdx X 1 X X 5.设母体X的密度为 试求 的最大似然估计;并问所得估计量是 否的无偏估计. 解： 1 ( ), 2 x f xex 11 11 ( )() 22 i i x x nn n i ii Lf xee lnln2ln i i x Lnn 2 ln 0 i i x dLn d 得 1 i i x n 0 ( ) 11 2 22 i x x E xE Xx f x dx xedxxedx 11 () ii ii EExE x nn 是 的无偏估计. 6.设母体X具有分布密度 f(x)= 其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大 似然估计量. 解:似然函数 1 ,0 (1)! 0, k kx xex k 其他 11 11 1 ()() (1)!(1)! i ii knn x xknnkk ii ii Lxexe kk 1 1 lnln(1)!lnln() n k ii ii Lnknkxx ln 0, i i dLnkkk x dxx 或 7.设母体X具有均匀分布密度 , 从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差 的最大似然估计量的值. 解: ， 的最大似然估计 1 ( ),0f xx (0,)XU max2.2 i x ,1.1 22 EX 2 222 1 ,0.4033 1212 DX 8.设母体X的分布密度为 f(x)= () , 0,0 x ex x 试求 的最大似然估计。 解： ( )Xf x () , 0,0 x ex x 似然函数 () 11 ( ) i nn x i ii Lf xe ln ln(),0 i i dL Lxn d 无解 为了使L达到最大， ，尽可能小， 尽可能大，而 0 i i xn (1) 1 ,min ii i n xxx 12设母体X服从正态分布 是 从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三 个估计量 （1） 12 ( ,1),(,)NX X 112 21 33 XX （2） 212 13 44 XX （3） 312 11 22 XX 都是 的无偏估计，并求出每个估计量的 方差。问哪一个方差最小？ 解： 11212 212121 () 333333 EExxExEx 同理： 都是 的无偏估计。 23 和 222222 123 215135111 ( )( ),( )( ),( )( ) 339448222 DDD 3 方差最小为有效 对形如 1 ,1 , n iii ii x xxEx 且时以 为最有效 2 Dx n 13.设X1,X2,Xn是具有泊松分布 母体 的一个子样。试验证：子样方差 是 的无偏估计；并且对任一值 也是 的无偏估计，此处 为子样的平均 数 ( )P *2 S *2 0,1,(1)XS X 解： *2 ( ),XPEXDXEXES *2*2 (1)(1)(1)EXSEXES 14 .设X1,X2,Xn为母体 的一个子 样。试选择适当常数C,使 为 的无偏估计。 解： 2 ( ,)N 1 2 1 1 () n ii i CXX 2 22 11 22 1 ()()() ()2()()() iiii ii iiii iii xxxx xxxx 1 ()()0 ii E xx 11 222 111 11 ()()2()()() nn iiiiii iiii ExxExE xxEx 222 (1)0(1)2(1)nnn 2 1 2 () 1 , 2(1)2(1) ii i xx Ec nn 18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平 均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子 管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%). 解:n=100, 小时,s=40小时 用 估计 ,构造函数 1000 x x (0,1) / x uN sn 近似 给定置信概率 ,有 1 2 1P uu 即 22 ()1 ss P xuxu nn 2 2 40 1000 1.96992.2 10 40 1000 1.961007.8 10 s u n s u n 置信下限 x 置信上限 x 整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信 区间为(992.2,1007.8)小时. 19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长 度(单位:cm)为 2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2. 12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布 为正态的，试求母体平均数 的置信概率 为90%的置信区间 ：（1）若已知 （2）若 未知。 解：n=16, (1)若已知 ，构造函数 0.01();cm * 2.125,0.017xs 0.01()cm (0,1) / x uN n 给定置信概率90%，有 2 1P uu 即 00 22 ()1P xuxu nn 0 2 ()(2.1250.0041)xu n 置信区间为为 （2）若 未知 构造函数 * (1) / x Tt n Sn 给定置信概率90%，查得 ，有 0.05(15) 1.7531t 2 (1)1p Ttn 母体平均数 的置信概率为90%的置信 区间为 ，即（2.1250.0075） * 0.05 (15) s xt n 21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相 同但未知。如果在60次独立试验中，事件A 出现15次，试求概率p的置信区间（给定置 信概率为0.95）。 解：n=60,m=15,x“0-1”分布， ,(1) mmm xs nnn 构造函数 (0,1) / xp uN sn 近似 给定置信概率95%，有 2 1P uu 即 22 11 (1)(1)1 mmmmmm pupu nn nnnn nn 故p的置信概率为95%的置信区间为 （0.250.11） 22.对于方差 为已知的正态母体，问需抽 取容量n为多大的子样，才使母体平均数 的置信概率为 的置信区间的长度不大 于L? 解： 2 1 22 ( ,),XN 已知 构造函数 (0,1) / x uN n 给定置信概率 ，有 ，使 1 2 u 2 1P uu 即 22 ()1P xuxu nn 置信区间长度 2 2uL n 222 2 4/nuL 23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样， 算得子样标准差 的数值。设（1）n=10, =5.1 (2) n=46, =14。试求母体标准差 的置信概率为0.99的置信区间。 解： （1）n=10, * s * s * s 22 ( ,), ,XN 未知 *2 5.1s 用 估计 ,构造函数 给定置信概率 =99%,查表得 *2 s 2 *2 22 2 (1) (1) ns n 1 22 0.0050.995 (9)23.589,(9)1.735 使 222 0.9950.005 (9)(9)0.99p 母体 的置信概率为0.99的置信区间是 * 22 1 22 33 (,) (9) ss 即(3.150,11.62) (2)n=46, 时,所求的置信区间是 * 14s *2*2 22 0.0050.995 (1)(1) (,) (45)(45) nsns 即(10.979,19.047) 25.设母体X服从正态分布 , 和 是子样X1,X2,Xn的平均数和方差; 又设 ,且与X1,X2,Xn独立,试求统 计量 的抽样分布. 解: 2 ( ,)N X 2 n S 2 1 ( ,) n XN 1 1 1 n n XXn Sn 1 2 22 1 ()0 1 ()(1) n n E XX D XX nn ,又 1,n XX 服从正态分布,故 , 1 (0,1) 1 1 n XX N n 2 2 2 (1) n nS n 又 2 n S与 1,n XX 独立 根据t分布定义 11 2 2 2 11 (1) 11 (1) nn nn n XXXXUnn Tt n nSSnn nS n n 26.设X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分别是从分布 为 两个母体中抽取的独 立随机子样, 分别表示X和Y的子样平 均数, 和 分别表示X和Y的子样方差.对 任意两个固定实数 和 ,试求随机变量 22 12 (,)(,)NN 和 XY和 * x S * y S 12 22 22 ()() 2 xy XY Y mSnS mnmn 的概率分布. 解: 是正态变量线性组合,仍服从 正态分布. XY 12 22 2 12 22 () ()() ()() (0,1) EXY DXY mn XY UN mn 又 2 2 22 22 (1),(1) y x nS mS mn 且相互独立 由 分布可加性 , 2 22 2 2 (2) xy mSnS mn 且与 X Y 独立 根据t分布定义 12 2222 22 2 ()() (2) (2)2 xyxy XYU Tt mn mSnSmSnS mnmnmn 27.从正态母体中抽取一个n45的大子样,利 用第一章2.2中 分布的性质3,证明方差 2 2 的置信区间(给定置信概率为 )是 1 *2*2 22 (,) 22 11 11 SS uu nn 证明:对正态母体 的置信概率为 的 置信区间是 2 1 *2*2 22 1 22 (1)(1) (,) (1)(1) nSnS nn 当n45时, 2 ( )2nnnu 2 22 (1)(1)2(1)nnnu 2 11 222 (1)(1)2(1)(1)2(1)nnnunnu (1) 代入(1)式,即 *2*2 22 (,) 22 11 11 SS uu nn 证毕. 29.随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线 中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)并计算得: *2 *2 0.1425,30.000025 0.1392,40.000021 A A B B xs xs 设测试数据分别具有分布 2 1 (,)N 和 2 2 (,)N .试求 的置信概率为95%的 12 置信区间. 解: 22 12 (,),(,) AB XNXN , 4,5 AB nn *2 *2 0.1425,30.000025 0.1392,40.000021 A A B B xs xs 121 * (2) (2) 11 AB AB XX Tt nn S nn 构造函数 给定置信概率95%,查得 ,使 0.025(7) 2.3646t 0.025 (7)95%P Tt 所求置信下限为: * 0.025 11 (7)0.00330.004060.00076 45 AB xxts 置信上限为:0.0033+0.00406=0.00736 (-0.00076,0.00736)为 的置信概率为 95%的置信区间. 12 31.两台机床加工同一种零件,分别抽取6个和 9个零件,测得其长度计算得 *2*2 12 0.245,0.357ss 假定各台机床零件长度服从正态分布.试求 两个母体方差之比 的置信区间(给定置信 概率为95%). 2 1 2 2 解: *2*2 1122 6,0.245;9,0.357nsns 构造函数 22 12 21 *2*2 12 / (1,1) / FF nn SS 给定置信概率 ,有 195% *22*2 111 2121 *22*2 1 22222 (1,1)(1,1)1 SS P FnnFnn SS 查表 0.025 0.025 11 (8,5)6.76, (5,8)4.82 F F 所求置信区间的置信下限为 10.245 0.142 4.820.357 置信上限为 0.245 6.764.64 0.357 34.从一批某种型号电子管中抽出容量为10 的子样,计算得标准差 (小时).设整批 电子管服从正态分布.试给出这批管子寿命 标准差 的单侧置信上限(置信概率为95%). * 45s 解:n=10, (小时) * 45s 构造函数 *2 22 2 (1) (1) nS n 给定置信概率95%,查 2 0.95(9) 3.325 ,使 22 1 (1) 1Pn 即 *2 2 2 0.95 (1) 0.95 (9) ns P 故所求 的置信概率为95%的置信上限为 2 9 453 45 74.05 3.3251.823 1.从已知标准差 的正态母体中,抽取容量 为n=16的子样,由它算得子样平均数 . 试在显著水平0.05下,检验假设H0: 2 . 5 56.27x 26 解:1.建立原假设H0: 2.在H0成立前提下,构造统计量 26 ) 1 , 0( / 0 N n x u 3.给定显著水平 ,有 ,使 05. 096. 1 2 u 2 uuP 即 05. 096. 1 / 0 0 n x P 4.由样本n=16, 56.27x代入 96. 12 . 1 4/2 . 5 2656.27 2 uu接受H0 2.从正态母体 中取100个样品,计算得 ) 1 ,(N 32. 5x (1)试检验H0: (2)计算上述检验在 时犯第二类错误的概 率. 5是否成立 ?)01. 0( 8 . 4 解 : (1)1.建立原假设H0: 2.在H0成立前提下,构造统计量 5 ) 1 , 0( / 0 N n x u 3.给定显著水平 ,有 ,使 01. 0575. 2 2 u 2 uuP 即 01. 0575. 2 / 0 0 n x P 代入 575. 22 . 3 10/1 532. 5 u 拒绝H0 (2)真实 时, 8 . 4 719. 0 )575. 0( )575. 0()575. 4( )575. 2 10/1 8 . 45 ()575. 2 10/1 8 . 45 ( ) / () / ( 2 1 2 10 2 10 2 )( 0 0 2 0 2 1 u n u n xde n H n x 接受域 3.某批砂矿的5个样品中的镍含量经测定为 x(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布。问在下 能 否接受假设：这批矿砂的(平均)镍含量为3.25。 解：设 ， 未知，计算 .252， =0.013。 （1）建立假设 ： （2）在假设成立的前提下，构造统计量 01. 0 ),( 2 Nx 2 x * s 0 H 25. 3 xu ) 1( / )( * 0 ntt ns x （3）给定 ,查得 =4.6041 （4）由样本计算， = =0.34 =5 p 4 1 4 3 4 1 2 4 3 4 1 3 4 3 4 1 256 81 建立假设 ：母体X的分布律为上述分布律 在 成立的前提下，构造统计量 给定显著水平 ，查得 0 H )4( 2 5 1 2 2 i i ii np npm）（ 0 H )4( 2 256 81 256 81 36 256 27 256 27 28 64 9 200 64 9 20032 16 3 200 16 3 20048 50 5056 )4( 22 2 2 2 2 2 ）（ 由样本计算， 使 p 0 2 488. 9405. 760. 026. 253. 094. 272. 0 H接受 ）（ 方差分析习题方差分析习题 1.为了对一元方差分析表作简化计算， 对测定值 作变换 ，其中b、 c是常数，且 。试用 表示组内离 差和组间离差，并用他们表示F的值。 ij x 0b ij y ijij yb xc 解： 由第一章习题3可知 组内离差 组间离差 ijij yb xc 22 2 1 xy ss b 2 2 22 11 AiiA iij Qni xxni yQ bb y 22 22 11 11 rni EijiijiE ijij QxxyyQ bb /1/1 / / AA E E QrQr FF Qnr Qnr 2.有四个厂生产1.5伏的3号电池。现从每个工厂产品中各取一子样，测量其寿命得 到数值如下： 生产厂 干电池寿命（小时） A 24.7 ，24.3，21.6，19.3，20.3 B 30.8，19.0，18.8，29.7 C 17.9，30.4，34.9，34.1，15.9 D 23.1，33.0，23.0，26.4，18.1， 25.1 问四个厂干电池寿命有无显著差异 （ ）？ 5% 解：1.建立假设 ： 四个水平下母体 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 0 H 1234 2 , ii xN 0 H /1 1, / A E Qr FF rnr Qnr 1,Frnr 1,p FFrnr 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F 组间 r-1=3 20.23 0.5366 组内 n-r=16 37.7 总和 663.9 2 4 1 60.7 Ai i Qni xx 2 4 11 603.2 ni Eiji ij Qxx 3,163.24F F1,接受 ，四个厂的干电池寿命 无显著差异 0 H 3.抽查某地区三所小学五年级男学生的身高，得如下数据： 小学 身高数据（厘米） 第一小学 128.1，134.1，133.1，138.9， 140.8，127.4 第二小学 150.3，147.9，136.8，126.0， 150.7，155.8 第三小学 140.6，143.1，144.5，143.7， 148.5，146.4 试问该地区三所小学五年级男学生的平 均身高是否有显著差异（ ）？ 5% 解： ，I=1,2,3 1.建立假设 ： 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 2 , ii xN 0 H 123 0 H /1 1, / A E Qr FF rnr Qnr 1,Frnr 1,p FFrnr 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F 组间 r-1=2 233.08 4.375 组内 n-r=15 53.28 总和 2 1 466.16 r Ai i Qni xx 2 799.3 Eiji ij Qxx 0.05 2,153.68F ， 所以拒绝 ， 认为三所小学五年级男生平均身高有显著差异 0.05 2,15FF 0 H 4.在一元方差分析中， ，而 ，试求 的无偏估计量及 其方差。 1,2, ;1,2, ijiij xjn ir 1 0 r ii i n i 解： 在第i水平下 , 估计量为 而总的平均 的估计量为 的估计量为 是无偏的 1,2, ;1,2, ijiij xjn ir i i x x ii i i xx i ii EExEx i 2 11 2 2 2 1 2 22222222 1 222 11 1 1 1 22 ii rr i ijjijj jj r i ij j j r j j i ii DD xx n D xn xDxDn x nnn n Dxnji nnn n n nnnnnnnnn 1.通过原点的一元回归的线形模型为 其中各 相互独立，并且都服从正态分 布 。试由n组观察值 ， 用最小二乘法估计 ，并用矩法估计 ,1,2, iii Yxin i 2 0,N ,1,2, ii x yin 2 回归分析习题回归分析习题 解 ： ； 的矩法估计 ,1,2, iii Yxin 2 0, i N 2 1 min n ii i Qyx 2 22