【最新版】2014年考研数学一模拟试题及答案.pdf

2013201320132013年考研数学一模拟试题年考研数学一模拟试题年考研数学一模拟试题年考研数学一模拟试题 模拟一模拟一模拟一模拟一 一、选择题：一、选择题：一、选择题：一、选择题：1 1 1 18 8 8 8 小题，每小题小题，每小题小题，每小题小题，每小题 4 4 4 4 分，共分，共分，共分，共 32323232 分，下列每小分，下列每小分，下列每小分，下列每小 题给出的四个选项中题给出的四个选项中题给出的四个选项中题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的只有一项符合题目要求的只有一项符合题目要求的只有一项符合题目要求的，请将所选请将所选请将所选请将所选 项前的字母填项前的字母填项前的字母填项前的字母填在答题纸在答题纸在答题纸在答题纸指定位置上指定位置上指定位置上指定位置上. . . . （1）设函数 2 0 ( )ln(3) x f xt dt=+ 则( )fx的零点个数（） （a）0（b）1（c）2（d）3 （2）设有两个数列 , nn ab，若lim0 n n a =，则（） （a）当 1 n n b = 收敛时， 1 nn n a b = 收敛. （b）当 1 n n b = 发散时， 1 nn n a b = 发散. （c）当 1 n n b = 收敛时， 22 1 nn n a b = 收敛. （d）当 1 n n b = 发散时， 22 1 nn n a b = 发散. （3）已知函数( )yf x=对一切非零x满足 0 2 ( )3 ( ) xx xfxx fxee += 00 ()0(0),fxx= = / 则（） （a） 0 ()f x是( )f x的极大值 （b） 0 ()f x是( )f x的极小值 （c） 00 (,()xf x是曲线( )yf x=的拐点 （d） 0 ()f x是( )f x的极值， 但 00 (,()xf x也不是曲线( )yf x=的 拐点 （4）设在区间a,b上 1 ( )0,( )0,( )0( ), b a f xfxfxsf x dx=，令 23 1 ( )(), ( )( )(), 2 sf b ba sf af bba=+则（） （a） 123 sss（b） 213 sss （c） 312 sss（d） 231 sss （5）设矩阵 111 1 11 11 1 a = ， 1 0 0 0 2 0 0 0 0 b = ，则a于b（） （a）合同，且相似（b）合同，但不相似 （c）不合同，但相似（d）既不合同，也不相似 （6）设,a b均为 2 阶矩阵， * ,a b分别为,a b的伴随矩阵，若 2,3ab=，则分块矩阵 oa bo 的伴随矩阵为（） （a） * * 3 2 ob ao （b） * * 2 3 ob ao （c） * * 3 2 oa bo （d） * * 2 3 oa bo （7）设, ,a b c是三个相互独立随机事件，且0( ) 1p c， 令 1 1 n i i y x n = = ，则（） （a） 2 1 cov(, )y x n =（b） 2 1 cov(, )y x = （c） 2 1 2 () n dy x n + +=（d） 2 1 1 () n dy x n + = 二、填空题：二、填空题：二、填空题：二、填空题：9 9 9 9 14141414 小题，每小题小题，每小题小题，每小题小题，每小题 4 4 4 4 分，共分，共分，共分，共 24242424分，请将答案分，请将答案分，请将答案分，请将答案 写写写写在答题纸在答题纸在答题纸在答题纸指定位置上指定位置上指定位置上指定位置上. . . . （9）设函数 2 0 3 sin ,0 ( ) ,0 x t dt x f x x ax = = 在0 x=处连续，则a= （10） 3 33 0 cosxxdx = . （11）设函数( )yy x=由方程xyxyxsin)ln( 32 +=+确定，则 0 |x dy dx = = （12）曲线xxxy2 23 +=与x轴所围成的图形的面积a 为. （13） ）若 4 维列向量, 满足3 t =，其中 t 为的转置， 则矩阵 t 的非零特征值为 （14）设 12 , m xxx为来自二项分布总体 (),b n p的简单随机样 本，x和 2 s分别为样本均值和样本方差。若 2 xks+为 2 np的无 偏估计量，则k=。 三三三三、解答题解答题解答题解答题：1515151523232323 小题小题小题小题，共共共共 94949494 分分分分. . . .请将解答写在答题纸指请将解答写在答题纸指请将解答写在答题纸指请将解答写在答题纸指 定位置上定位置上定位置上定位置上. . . .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . . . （15） （本题满分 10 分）求极限lim x xxxx + + （16）（本题满分 10 分）求微分方程 = =+ 1)0( , 2 )0( )( 2 2 yy yyy 的解 （17） （本题满分 12 分）设函数( )f x在闭区间0,1上连续， 在 开区间(0,1)内大于零，并满足 2 3 ( )( )() 2 a xf xf xxa=+为常数，又曲线)(xfy=与0,1=yx所围 的图形 s 的面积值为 2，求函数( ),yf x=并问a为何值 时，图形sx绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. （18） （本题满分 10 分）就k的不同取值情况，确定方程 kxx=sin 2 在开区间(0,) 2 内根的个数，并证明你的结论. （19） （本题满分 10 分）求幂级数 () 1 2 1 1 21 n n n x n = 的收敛域及和函 数. （20） （本题满分 10 分）已知向量组 123 0 1,2 ,1 110 ab = 向 量组与向量组 1 1 2, 3 = 2 3 0 , 1 = 3 9 6 7 = 具有相同的秩，且 3 可 由 123 , 线性表示求a,b的值. （21 ） （本题满分10 分）设二次型 () 222 123123122313 ,222f x xxxaxxx xx xax x=+的正负惯指数都是1，试 计算a的值并用正交变换将二次型化为标准型 （22（本题满分 10 分） ）已知随机变量,x y的联合概率密度 为 4,01,01 ( , ) 0, xyxy x y = 其它 ，求,x y的联合分布函数( , )f x y （ 23 ） （ 本 题 满 分 12 分 ） 设 总 体x的 概 率 密 度 为 2() 2, ( ) 0, x ex f x x = 若 若 其中0是未知参数.从总体x中抽取简 单随机样本 12 , n xxx，记 12 min(,.,) n xxx=， （1）求总体x的分布函数( )f x ； （2）求统计量 的分布函数( ) f x ； （3）如果用 作为的估计量，讨论它是否具有无偏性. 模拟二模拟二模拟二模拟二 一、选择题：一、选择题：一、选择题：一、选择题：1 1 1 18 8 8 8 小题，每小题小题，每小题小题，每小题小题，每小题 4 4 4 4 分，共分，共分，共分，共 32323232 分，下列每小分，下列每小分，下列每小分，下列每小 题给出的四个选项中题给出的四个选项中题给出的四个选项中题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的只有一项符合题目要求的只有一项符合题目要求的只有一项符合题目要求的，请将所选请将所选请将所选请将所选 项前的字母填在项前的字母填在项前的字母填在项前的字母填在答题纸答题纸答题纸答题纸 指定位置上指定位置上指定位置上指定位置上. . . . （1） 设 2 1 cos ,0 ( ) ( ),0 x x f xx x g xx = ，其中( )g x是有界函数， 则( )f x在 0=x处（） （a）极限不存在 （b）极限存在，但不连续 （c）连续，但不可导 （d）可导 （2） “对任意给定的(0,1)，总存在正整数n，当nn时， 恒有| 2 n x”是数列 n x收敛于的 （） （a） 充分条件但非必要条件； （b） 必要条件但非充分条件； （c）充分必要条件； （d） 既非充分条件也非必要条件； （3）设( )f x在(,) +内可导，且对任意 12 xx、，当 12 xx，则（） （a）对任意,( )0.x fx （b）对任意,( )0.x fx （c）函数()fx单调增加 （d）函数()fx单调减少 （4）设( ), ( )f xg x在区间,a b上连续，且( )( )f xg xm（m不为 常数） ， 由曲线( ),( ),yf xyg xxa=及bx=所围成平面图形 绕直线my=旋转而成的旋转体积为（） （a）2( )( ) ( )( ) b a mg xf xg xf x dx+ （b）2( )( ) ( )( ) b a mg xf xg xf x dx （c）( )( ) ( )( ) b a mg xf xg xf x dx+ （d）( )( ) ( )( ) b a mg xf xg xf x dx （5）设a为nm矩阵,b为m n矩阵,e为n阶单位矩阵, 若abe=, 则（） （a）( ), ( )r an r bn= （b）( ), ( )r an r bm= （c）( ), ( )r am r bn= （d）( ), ( )r am r bm= （6）设向量组： 12 , s 可由向量组： 12 , t 线性表 示，则（） （a）当st时，向量组必线性相关 （c）当st时，向量组必线性相关 （7）设随机变量x的分布函数 2 0,0, 1 ( ),01, 3 1,1. x x f xx ex =，则（） （a）0.dxy （b）0.ydy （c）0.ydy （d）0.dyy （2）设( , )f x y为连续函数，则 1 0 ( cos , sin )df rrrdr 4 0 等于（） （a） 2 2 1 2 0 ( , ) x x dxf x y dy （b） 2 2 1 2 00 ( , ) x dxf x y dy （c） 2 2 1 2 0 ( , ) y y dyf x y dx （d） 2 2 1 2 00 ( , ) y dyf x y dx （3）设有三元方程 22 ln1 xy xzxye+=，根据隐函数存在定理， 存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（） （a）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数( , )zz x y= （b）可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z=和( , )zz x y= （c）可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )yy x z=和( , )zz x y= （d） 可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z=和( , )yy x z= （4）设函数( )f x在(,) +内单调有界， n x为数列，下列命 题正确的是（） （a）若 n x收敛，则() n f x收敛. （b）若 n x单调，则() n f x收敛. （c）若 () n f x收敛，则 n x收敛. （d）若() n f x单调，则 n x收敛. （5） 设 123 , 是 3 维向量空间 3 r的一组基， 则由基 123 ,2,3到 基 122331 , +的过渡矩阵为（） （a） 101 11 0 22 11 0 33 （b） 101 1 00 2 1 10 3 （c） 101 220 033 （d） 120 023 103 （6）设 21, 是矩阵a的两个不同的特征值,是a的分别属 于 21, 的特征向量, 则（） （a）对任意0 , 0 21 kk, 21 kk+都是a的特征向量. （b） 存在常数0 , 0 21 kk, 21 kk+是a的特征向量. （c） 当0 , 0 21 kk时, 21 kk+不可能是a的特征向量. （d） 存在惟一的一组常数0 , 0 21 kk, 使 21 kk+是a的特 征向量. （7）两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其 中一罐 （取名 “甲罐” ） 内的红球数与黑球数之比为2:1， 另一罐 （取名 “乙罐” ） 内的黑球数与红球数之比为2:1， 今任取一罐并从中取出50只球， 查得其中有30只红球和 20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐” 的概率的（） (a)154(b)254倍(c)798倍(d)1024 （8）已知( ),x y服从二维正态分布， 2 ,exeydxdy=，x 与y的相关系数0=，则x与y（） （a）独立且有相同的分布 （b）独立且有不相同的分布 （c）不独立且有相同的分布 （d）不独立且有不相同的分布 二、填空题：二、填空题：二、填空题：二、填空题：9 9 9 9 14141414 小题，每小题小题，每小题小题，每小题小题，每小题 4 4 4 4 分，共分，共分，共分，共 24242424分，请将答案分，请将答案分，请将答案分，请将答案 写在写在写在写在答题纸答题纸答题纸答题纸 指定位置上指定位置上指定位置上指定位置上. . . . （9） 3 1 2 1 1 x e dx x _ （10）设 () 2 0 ln 1 t t xe yu du = =+ ，求 2 2 0t d y dx = = （11）若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby+=的通解为 () 12 x ycc x e=+，则非齐次方程yaybyx+=满足条件 ( )( )00,00yy=的解为y= （12）已知曲线l的方程为1yx=，1,1x ,起点是()1.0， 终点是( )1,0，则曲线积分 22 l y dxx dy+= （13） 设,a b都是n阶可逆矩阵， 且2,3ab=，则= 1 0 0 2 b at （14）随机地向半圆axaxy(20 2 xf； （2）在()ba,内存在，使 ( ) ( ) f dxxf ab b a 2 22 = ； （3）在()ba,内存在与（2）中相异的点，使 ( )()( ) = b a dxxf a abf 2 22 （18） （本题满分 10）设s为椭球面1 22 2 22 =+z yx 的上半部分， 点()szyxp,，为s在点p处的切平面，()zyx,为原点 到的距离，求 (), , s z ds x y z （19） （本题满分 11 分） 设幂级数在负无穷到正无穷内收敛， 其 和 函 数( )y x幂 级 数 为 n n a x ， 且 和 函 数 240, (0)0,(0)1yxyyyy= （1） 证明： 2 2 1 n n a a n + = + ，1,2.3,.n= （2） 求( )y x的表达式 （20） （本题满分11分）设 3 3 () ij aa =是实矩阵，满足： （1）()()( ,1,2,3) ijij aai j=，其中 ij a为元素 ij a的代数余子式； （2） 33 1a= ； （3）1a=，求非齐次线性方程组 0 0 1 ax = 的解 （21） （本题满分 10）设有n元实二次型， ()()()()() 2222 12112223111 ,.,. nnnnnn f x xxxa xxa xxaxxa x =+， 其中(1,2,., ) i a in=为实数。试问：当 12 ,., n a aa满足何种条件 时，二次型 () 12 ,., n f x xx为正定二次型 （22） （本题满分 11 分）设随机变量x和y的联合分布是正 方形() ,:13,13gx yxy=的均匀分布。 试求随机变量 uxy=的概率密度( )p u （23 ） （本 题满分 10 分 ）设 总体x的 概率密 度为 ： 3 6 0(), ( ; ) 0, x xx f x = 其他 ， 其 中是 未 知 参 数 ， 12 ,., n xxx是来自总体x的简单随机样本， （1）求的矩估计量 ； （2）求 ( )d . 模拟四模拟四模拟四模拟四 一、选择题：一、选择题：一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小 题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选 项前的字母填在答题纸答题纸答题纸答题纸 指定位置上. （1）函数 1 1 ()tan ( ) () x x eex f x x ee + = 在区间 , 上的第一类间断点是 x=（） （a） 0（b） 1（c） 2 （d） 2 （ 2 ） 设 函 数( ), ( )f xg x任 意 阶 可 导 ， 且 满 足 ( )( ) ( )( )1,(0)1,(0)0 x fxfx g xf x xeff+=,则（） （a）(0)1f=为( )f x的极小值 （b）(0)1f=为( )f x的极大值 （c） 点(0,1)( )yf x=的拐点 （d）由( )g x才能( )f x的极值或拐点 （3） 设( ,)f x y与( ,)x y均为可微函数， 且 1 ( ,)0 y x y. 已知 00 (,)xy 是( ,)f x y在约束条件( ,)0 x y=下的一个极值点，下列选 项正确的是（） （a）若 00 (,)0 x fxy=，则 00 (,)0 y fxy=. （b）若 00 (,)0 x fxy=，则 00 (,)0 y fxy. （c）若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy=. （d）若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy. （4） 23 2 11 2 lim nn n ij ij nn = + 等于（） （ x表示不超过x的最大整数） （a） 11 00 2dxxy dy+ .（b） 11 00 6dxxy dy+ . （c） 11 00122 3 dxxy dy+ .（d） 11 00 623 dxxy dy+ （5）若 12312 , 都是四维列向量，且四阶行列式 12311223 ,mn =则四阶行列式 32112 ,() +=（） （a）mn+（b）()mn+（c）nm（d）mn （6）对于n元方程组，下列命题正确的是（） （a）如果0=ax只有零解，则axb=有唯一解 （b）如果0=ax有非零解，则axb=有无穷解 （c）如果axb=有两个不同解，则0=ax有无穷多解 （d）axb=有唯一解的充要条件是( )r an= （ 7 ） 设 随 机 变 量x和y相 互 独 立 ， 且 ()0,1xn， (),01yb n pp。则xy+的分布函数（） （a）是连续函数 （b）恰有1n+个间断点 （c） 恰有1个间断点 （d）有无穷多个间断点 （8）设()0,1xn， 2 23yxx=+，则x与y（） （a）独立且互不相关 （b）互不相关但不独立 （c） 相关 （d）无法判断 二、填空题：二、填空题：二、填空题：二、填空题：9 9 9 9 14141414 小题，每小题小题，每小题小题，每小题小题，每小题 4 4 4 4 分，共分，共分，共分，共 24242424分，请将答案分，请将答案分，请将答案分，请将答案 写在写在写在写在答题纸答题纸答题纸答题纸 指定位置上指定位置上指定位置上指定位置上. . . . （9）极限 2 tantan2 lim sinln(1) x x x = （10）微分方程 2 (1)yx y x = 的通解为 （11） 已知两直线的方程是 1 12 : 101 xyz l = ， 2 111 : 111 xyz l + =， 则过 1 l且平行于 2 l的平面方程为 （12）曲面yxzcoscos=，0=z， 2 =+yx， 2 =yx所围立体的 体积为 （13）二次型 2 1231 12233 ( ,)()f x xxa xa xa x=+的矩阵是 （14）甲、乙二人轮流投篮，游戏规则为甲先开始，且甲每 轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜。 设甲、乙每次投篮的命中率分别是p与0.5，则 p=时，甲乙胜负概率相同 三三三三、解答题解答题解答题解答题：1515151523232323 小题小题小题小题，共共共共 94949494 分分分分. . . .请将解答写在答题纸指请将解答写在答题纸指请将解答写在答题纸指请将解答写在答题纸指 定位置上定位置上定位置上定位置上. . . .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . . . （15） （本题满分 10 分）设 1 01x，() 1 2 nnn xxx + =，证明 n n x lim 存在，并求其值 （16） （本题满分 10 分）设()vuf,具有二阶连续偏导数，且满 足1 2 2 2 2 = + v f u f ， ()() = 22 2 1 ,yxxyfyxg，求 2 2 2 2 y g x g + （17） （本题满分 10 分）设( )f x在,a b上连续，在(),a b内可导 ()0ab， 恒有( )1f x，问常数p最小应取什么值？ （19） （本题满分 10 分）将 2 ( )2 arctanln(1) 1f xxxx=+展成x的 幂极数 （ 20） （本 题 满分 10 分 ）设() ijm n aa =， 12 (,)t n yy yy=， 12 ( ,)t n bb bb=， 12 ( ,)t n xx xx=，证明：方程组ayb=有解的充分 必要条件是方程组 0 1 t t a x b = 无解（其中0是1n矩阵） （21） （本题满分12分）设三阶实对称矩阵a的特征值分别为 0,1,1， 12 11 ,1 0 a a = 是a的 两 个 不 同 的 特 征 向量 ， 且 122 ()a += （1）求参数a的值； （2）求方程 2 ax=的通解； （3）求矩阵a （22） （本题满分 11 分）假设一设备开机后无故障工作时间 x 服从指数分布，平均无故障工作的时间 ex 为 5 小时。设备 定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间 y 的 分布函数 f(y) （23） （本题满分 11 分）设总体x的概率密度为 1 ,0 2 1 ( ),1 2(1) 0, x f xx （6）设,a b为n阶方阵，且( )( )r ar b=，则（） （a）()0r ab=（b）()2 ( )r abr a+= （c）()2 ( )r abr a=（d）()( )( )r abr ar b+ （7）下列函数能作为分布函数的是（） （a） 0,1 1 ( ),12 3 1,2 x f xx x （b） 0,0 ( ) ln(1) ,0 1 x f x x x x = + + （c） 0,1 2 ( ),12 5 1,2 x x f xx x + = （d） 0,0 ( )sin ,0 1, x f xxx x = （8）设随机变量( ,)xb n p，对任意01p时，).( 2 )(tgtf （20） （本题满分 10 分）假设 = = = 1 1 1 1 , 0 1 0 , 11 1310 2112 b ca a. 如 果是方程组bax=的一个解, 试求bax=的通解. （21） （本题满分 10 分）设矩阵 = 322 232 223 a， = 100 101 010 p， papb *1 =求2be+的特征值与特征向量，其中 * a为a的 伴随矩阵，e 为 3 阶单位矩阵. （22） （本题满分 10 分）设随机变量 x 与 y 独立,其中 x 的 概率分布为 7 . 03 . 0 21 x,而 y 的概率分布为)(yf,试求随机变 量yxu+=的概率密度)(ug （ 23 ） （ 本 题 满 分 12 分 ） 设 总 体x的 概 率 密 度 为 2() 2, ( ) 0, x ex f x x = 若 若 ，其中0是未知参数.从总体x中抽取简 单随机样本 12 , n xxx，记 12 min(,.,) n xxx=， （1）求总体x的分布函数( )f x ； （2）求统计量 的分布函数 ( ) f x ； （3）如果用 作为的估计量，讨论它是否具有无偏性. 数数数数学学学学一一一一模拟模拟模拟模拟 1 1 1 1 答案答案答案答案 一、选择题一、选择题一、选择题一、选择题 （1 1 1 1）b b b b （2 2 2 2）c c c c（3 3 3 3）d d d d（4 4 4 4）b b b b（5 5 5 5）d d d d（6 6 6 6）b b b b（7 7 7 7） b b b b （8 8 8 8）a a a a 二、填空题二、填空题二、填空题二、填空题 （9 9 9 9） 1 3 a=（10101010） 2 9(4)（11111111）1.（12121212） 37 12 （13131313） ） ） ） 3 3 3 3（14141414）1 三三三三、解答题解答题解答题解答题：1515151523232323 小题小题小题小题，共共共共 94949494 分分分分. . . .请将解答写在答题纸指请将解答写在答题纸指请将解答写在答题纸指请将解答写在答题纸指 定位置上定位置上定位置上定位置上. . . .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . . . （15151515）求极限）求极限）求极限）求极限lim x xxxx + + 【解【解【解【解】 ：lim x xxxx + + lim() 1 1 limlim 2 11 x xx xxxx xxxx x xx x xxxxxx x + + + = + + + = + + 根式有理化 （16161616）求微分方程）求微分方程）求微分方程）求微分方程 = =+ 1)0(, 2)0( )( 2 2 yy yyy 的解的解的解的解 【解【解【解【解】 ：令：令：令：令 dy dp pypy= ，则得到得到得到得到yp dy dp p=+ 2 2 令令令令up= 2 , , , , 得到得到得到得到yu dy du =+为关于为关于为关于为关于 y y y y 的一阶线 性方程的一阶线 性方程的一阶线 性方程的一阶线 性方程 . . . . 且且且且 1)0()0( 0| 22 = = yp x u 解得解得解得解得 y ceyu +=1 所以所以所以所以 2)0( 121)0( 0| 1 +=+= = =cecey x u y , , , ,0=c. . . . 于是于是于是于是1=yu, , , ,1=yp dx y dy = 1 , , , , 1 12cxy+=, , , , 22 1 1 cx y+= 2)0(=y, , , ,得到得到得到得到1 2 1 = c , , , ,得解得解得解得解1 2 1+= x y （17171717）设函数设函数设函数设函数( )f x在在在在闭区间闭区间闭区间闭区间0,1上连续，在开区间上连续，在开区间上连续，在开区间上连续，在开区间( ( ( (0 0 0 0, , , ,1)1)1)1)内大内大内大内大 于于于于零，零，零，零，并满足并满足并满足并满足 2 3 ( )( )() 2 a xf xf xxa=+为常数，又曲线又曲线又曲线又曲线)(xfy=与与与与0, 1=yx所围的图所围的图所围的图所围的图形形形形 s s s s 的的的的面积值为面积值为面积值为面积值为 2 2 2 2，求函数，求函数，求函数，求函数( ),yf x=并并并并问问问问a为何值时，图形为何值时，图形为何值时，图形为何值时，图形 sx绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小一周所得的旋转体的体积最小一周所得的旋转体的体积最小一周所得的旋转体的体积最小. . . . 【解】由【解】由【解】由【解】由题设知，当题设知，当题设知，当题设知，当0,x=/时 2 ( )( )3 2 xfxf xa x = 即即即即 ( )3 , 2 df xa dxx = 根据此并由根据此并由根据此并由根据此并由( )0f xx=在点处的处的处的处的连续性，得连续性，得连续性，得连续性，得 2 3 ( ),0,1 2 ax f xcx x=+ 又由又由又由又由已知条件得已知条件得已知条件得已知条件得 1 2321 0 0 31 2()()| 222 c axcx dxaxx=+=+ ca 2 1 2 1 += 即即即即.4ac= 因此因此因此因此.)4( 2 3 )( 2 xaaxxf+= 旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体积为为为为 2 11 22 00 3 ( )( )(4) 2 v afx dxaxa xdx =+ ) 3 16 3 1 30 1 ( 2 +=aa 11 ( )()0 153 v aa=+= 得得得得5.a= 又因又因又因又因 1 ( )0 15 va= 故故故故5a= 时，时，时，时，旋转体体积旋转体体积旋转体体积旋转体体积最小最小最小最小. . . . （18181818）就就就就k的不的不的不的不同取值情况，确定方程同取值情况，确定方程同取值情况，确定方程同取值情况，确定方程kxx=sin 2 在开区在开区在开区在开区间间间间 (0,) 2 内根的个数，并证明你的结论内根的个数，并证明你的结论内根的个数，并证明你的结论内根的个数，并证明你的结论. . . . 【解】设【解】设【解】设【解】设( )sin , 2 f xxx = 则则则则( )f x在在在在 2 , 0 上上上上连续连续连续连续. . . .由由由由( )1cos0, 2 fxx = = 得得得得( )f x在在在在) 2 , 0 ( 内的内的内的内的 0 2 cosxarc =唯一的驻点 由于当由于当由于当由于当 0 (0,),( )0,xxfx 所以所以所以所以( )f x在在在在 , 0 0 x上单调减少，在上单调减少，在上单调减少，在上单调减少，在 2 , 0 x上单调增加，上单调增加，上单调增加，上单调增加， 因此因此因此因此 0 x是是是是( )f x在在在在(0,) 2 内的唯一内的唯一内的唯一内的唯一的最小值点，的最小值点，的最小值点，的最小值点， 最小值为最小值为最小值为最小值为 000 ()sin. 2 yf xxx = 又因，又因，又因，又因， 故在故在故在故在(0,)( ) 2 f x 内的取值范围为的取值范围为的取值范围为的取值范围为). 0 , 0 y 00 (,0),0kykyk故当即或时，原方程在时，原方程在时，原方程在时，原方程在) 2 , 0 ( 内没有根；内没有根；内没有根；内没有根； 当当当当 0 ky=时，时，时，时，原原原原方程在方程在方程在方程在) 2 , 0( 内有唯内有唯内有唯内有唯一根一根一根一根 0 x； 当当当当) 0 , ( 0 yk时，原方程在时，原方程在时，原方程在时，原方程在 00 (0,)(,) 2 xx 和内各恰有内各恰有内各恰有内各恰有一根，一根，一根，一根， 即原方程在即原方程在即原方程在即原方程在) 2 , 0 ( 内恰有两个不同的根内恰有两个不同的根内恰有两个不同的根内恰有两个不同的根。 （19191919）求幂级数求幂级数求幂级数求幂级数 () 1 2 1 1 21 n n n x n = 的收敛域及和函数的收敛域及和函数的收敛域及和函数的收敛域及和函数. . . . 解：解：解：解：因为因为因为因为 () () 22 2 1 2 21 limlim 21 n n n nn n xnu x uxn + + = + ，所以当，所以当，所以当，所以当 2 1x , , , , 即即即即 11x 时，原幂级数绝对收敛时，原幂级数绝对收敛时，原幂级数绝对收敛时，原幂级数绝对收敛. . . . 当当当当1x= 时，级数为时，级数为时，级数为时，级数为 1 1 ( 1) 21 n n n = ，由莱布尼兹判别法显然，由莱布尼兹判别法显然，由莱布尼兹判别法显然，由莱布尼兹判别法显然 收敛，故原幂级数的收敛域为收敛，故原幂级数的收敛域为收敛，故原幂级数的收敛域为收敛，故原幂级数的收敛域为 1,1. . . . 又又又又 11 221 11 ( 1)( 1) 2121 nn nn nn xxx nn = = 令令令令 () 1 21 1 ( 1) ( ),1,1 21 n n n f xxx n = = 则则则则 ( ) ()211 2 1 1 ( 1) 1 nn n fxx x = = + 由于由于由于由于( )00f=，所以，所以，所以，所以( )( )( ) 0 0arctan x f xft dtfx=+= . . . . 从而幂级数的收敛域为从而幂级数的收敛域为从而幂级数的收敛域为从而幂级数的收敛域为 1,1，和函数为，和函数为，和函数为，和函数为arctan , 1,1xx x . . . . （20202020）已已已已知向量组知向量组知向量组知向量组 123 0 1,2 ,1 110 ab = 向量组向量组向量组向量组与与与与向量组向量组向量组向量组 1 1 2, 3 = 2 3 0 , 1 = 3 9 6 7 = 具有具有具有具有相同的秩，相同的秩，相同的秩，相同的秩，且且且且 3 可由可由可由可由 123 , 线性表示线性表示线性表示线性表示求求求求 a,ba,ba,ba,b的值的值的值的值. . . . 【解】【解】【解】【解】 方法一：方法一：方法一：方法一： 因为因为因为因为 12 和线性无关，线性无关，线性无关，线性无关，,23 213 +=所以所以所以所以向量组向量组向量组向量组 123 , 线性线性线性线性相相相相 关，且秩为关，且秩为关，且秩为关，且秩为 21, , 2 为它的一个极大线性无关为它的一个极大线性无关为它的一个极大线性无关为它的一个极大线性无关组组组组. . . . 由于向量组由于向量组由于向量组由于向量组 123 , 与与与与 321 ,具有相同的秩，故具有相同的秩，故具有相同的秩，故具有相同的秩，故 123 , 线性相线性相线性相线性相 关关关关. . . . 从而行列式从而行列式从而行列式从而行列式 , 0 011 121 0 |,| 321 = = ba 由 此由 此由 此由 此 解 得解 得解 得解 得3 .ab=又又又又 3 可 由可 由可 由可 由 321 ,线 性 表 示 ，从 而 可 由线 性 表 示 ，从 而 可 由线 性 表 示 ，从 而 可 由线 性 表 示 ，从 而 可 由 12 , 线性表示， 于是于是于是于是 123 , 线性相关线性相关线性相关线性相关. . . . 因此因此因此因此有有有有 , 0 013 102 31 |,| 321 = = b 化简得化简得化简得化简得2100,b= 于是于是于是于是.5.15=ba 方法二：方法二：方法二：方法二： 因因因因 3 可由可由可由可由 123 , 线性表示，故线性方程组线性表示，故线性方程组线性表示，故线性方程组线性表示，故线性方程组 1 2 3 139 2061 3170 xb x x = 有解，对增广矩阵施有解，对增广矩阵施有解，对增广矩阵施有解，对增广矩阵施行初等行变换行初等行变换行初等行变换行初等行变换： 139 139139 21 2061061212012 6 3170010203 21 000 6 b bb b b b b 由由由由非齐次线性方程有解的条件知非齐次线性方程有解的条件知非齐次线性方程有解的条件知非齐次线性方程有解的条件知 , 0 6 12 10 3 = bb 解得解得解得解得5b= 又因为又因为又因为又因为 12 , 线性线性线性线性无关，无关，无关，无关， 213 23+= 所以向量组所以向量组所以向量组所以向量组 123 , 的秩为的秩为的秩为的秩为 2 2 2 2，而题设，而题设，而题设，而题设 321 ,与与与与 321 ,同秩，同秩，同秩，同秩， 从而有从而有从而有从而有 , 0 011 121 50 |,| 32