函数概念的起源与发展.doc

函数概念的发展摘要：重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用，有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用关键词：函数 函数概念 十六世纪中叶，欧洲科学革命使科学和技术有了长足进步，自然科学领域中有关运动的研究对数学研究方法产生了重大影响，数学从常量观念为中心发展到以变量观念为中心，相应的，函数概念被引入数学研究领域。一、函数概念的来源与发展 ： 在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域在实践过程中，人们对函数的概念的认识不断的深化最早提出函数（function）概念的是17世纪德国数学家莱布尼茨1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不能作为判别函数的标准1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数他认为：“函数是随意画出的一条曲线”当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随之而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数”，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”，这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系可以求出每一个x的对应值1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便因此，这个定义曾被长期的使用着19世纪末，自从德国数学家康托创立了集合论，人们把函数的概念提升到了更抽象的层次，这个抽象的定义，提炼出了函数概念的精髓，使它去除了各种形式的束缚，从而有了更广泛的应用中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译代数学（1895年）一书时，把“funcion”译成“函数”，中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量，则该式子叫做的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。二、函数概念的发展可分为以下几种形式：1、早期函数概念几何观念下的函数早在14世纪，法国数学家奥莱斯姆(Oresme,1323-1382)就使用图形表示依时间t而变的x，并把“t”与“x”分别称为“经度”与“纬度”。这一思想很快被开普勒和伽俐略应用于天体研究中。17世纪伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在两门新科学一书中，几乎处处包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系. 1673年前后笛卡尔(Descartes,法,1596-1650)在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,只是说明了代数曲线与超越曲线的区别，直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的.2、十八世纪函数概念代数观念下的函数1718年约翰贝努利(Bernoulli Johann,瑞,1667-1748) 才在莱布尼兹函数概念的基础上,对其进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量.贝努利把变量和常量按任何方式构成的量叫“的函数”,表示为 ，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子.18世纪中叶欧拉(L.Euler,瑞,1707-1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号 .欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式.他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义.3、十九世纪函数概念对应关系下的函数1822年傅里叶(Fourier,法,1768-1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次.1823年柯西(Cauchy,法,1789-1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出,虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法,但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷. 1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805-1859)认为怎样去建立与之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念，指出:“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数.” 狄利克雷的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确，以完全清晰的方式被所有数学家无条件地接受.至此,我们可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义. 等到康托尔(Cantor,德,1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后, 维布伦(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）.4、现代函数概念集合论下的函数1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在集合论纲要中用“序偶”来定义函数.其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”.库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a,b)为集合a,b,这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了.1930年新的现代函数定义为,若对集合的任意元素,总有集合确定的元素与之对应,则称在集合上定义一个函数,记为=().元素称为自变元,元素称为因变元. 总之，函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac-函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac-函数等概念统一了起来.因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展. 参考文献1中华人民