二杆机械臂的动力学建模与仿真.pdf

第4 卷第2 期 20 08 年4 月 沈阳工程学院学报( 自然科学版) j o u r n a lo fs h e n y a n gi n s t i t u t eo fe n g i n e e r i n g ( n a t u r a ls c i e n c e ) v 0 1 4n o 2 a p t 2 0 0 8 二杆机械臂的动力学建模与仿真 刘刚 ( 鸡西大学电气与信息工程系，黑龙江鸡西1 5 8 1 0 0 ) 摘要：二杆机械臂是一个典型的、简单的、具有2 一d o f 的机构，且具有较为复杂的动力学特性通过对二杆机械臂进 行深入研究，推导出较为完整的向量方程和动力学方程，建立了一个能够全面反映二杆刚性机械臂动力学特性的模型。 为进一步研究二杆机械臂的控制系统提供了完善的平台，同时应用m a t l a bs i m u l i n k 工具箱完成了对其动力学模型的仿 真工作 关键词：联立约束矩阵；雅可比矩阵；运动学和动力学；m a t l a b ；动力学仿真 中图分类号：t p 2 4 1文献标识码：a文章编号：1 6 7 3 1 6 0 3 ( 2 0 0 8 ) 0 2 0 1 7 8 0 4 二杆机械臂是一个典型的、简单的、具有2 一d o f 的机构，且具有较为复杂的动力学特性一般情况下， 对机械臂的分析和建模主要有牛顿一欧拉法、拉格朗 日法、逆动力学法、有限元法和奇异摄动法等 1 刚性2 一d o f 机械臂的分析 二杆机械臂有2 个输入，分别由位于关节处的2 个电机输出的力矩驱动图1 为二杆机械臂模型的示 意图 图1 ：杆机械臂模型 1 1 向量方程的推导 基于图1 关于z 轴和y 轴的定义，可推导得到关 于机械臂末端( 有效载荷) 位置的方程( 1 ) 和( 2 ) x p l = r l o o s 0 1 + r 2 c o s ( 8 1 + 0 2 ) ( 1 ) 收稿日期：2 0 0 7 一0 6 1 3 作者简介：刘剐( 1 9 8 0 一) ，男，黑龙江鸡西人，硕士，讲师 y 剐= r l s i n 0 1 + r 2 s i n ( 0 1 + 0 2 ) ( 2 ) 其中，z 硝是机械臂末端( 有效载荷) 的z 轴方向分量； y 硝是机械臂末端( 有效载荷) 的y 轴方向分量 对方程( 1 ) 和方程( 2 ) 继续求导，得到关于机械臂 末端( 有效载荷) 的速度方程( 3 ) 、( 4 ) 主州= 一r l 叫1 s i n 0 1 一r 2 ( a j l + t 0 2 ) s i n ( 0 1 + 0 2 ) ( 3 ) 多盎f = 一r l o u l c o s 0 1 + r 2 ( t 0 1 十0 ) 2 ) c o s ( 0 l + 0 2 ) ( 4 ) 其中，埘1 = 自1 ；c c ，2 = 孛2 方程( 3 ) 和( 4 ) 进一步可转化成j a c o b i a n ( 雅可比) 矩阵方程( 5 ) 的形式 引= - r l 。s + 1 - r 2 7 s2 一黜5 r l cr 2 cr 2 c ， l 多州j 【 l +1 21 2j 【c c j 2j 、7 关于机械臂末端( 有效载荷) 加速度方程( 6 ) 和 ( 7 ) 可以通过进一步对方程( 3 ) 和( 4 ) 求导获得 z 州+ ( r 1 s 1 + r 2 s 1 2 ) 口1 + r 2 s 1 2 a 2 = 一 ( ，1 c 1 + r 2 c 1 2 ) 叫；+ r 2 c 1 2 遁+ 2 r 2 w 1 屹c 1 2 ( 6 ) a + ( r l $ 1 + r 2 s 1 2 ) a l + r 2 s 1 2 a 22 一 ( r l s l + r 2 s 1 2 ) 甜 + r 2 s 1 2 遁+ 2 r 2 叫1 叫2 s 1 2 ( 7 ) 其中，口1 = 汐l ；口2 = 汐2 以上方程构成了二杆机械臂动力学模型的基础， 这些方程描述了机械臂末端( 有效载荷) 的加速度与 关节处电机的角加速度和角速度的关系进一步推导 化简得到描述机械臂质心位置的加速度和关节处的变 量之间关系的方程 a c l z + r c l s l a l = 一r d c l w i ( 8 ) a 。1 y r c l c l a l = 一r c l s l i ( 9 ) 万方数据万方数据 第2 期刘 刚：二杆机械臂的动力学建模与仿真 1 7 9 a f 2 z + ( r 1 s l + r c 2 s 1 2 ) 0 1 1 + r c 2 s 1 2 a 22 ( r l c l + r 2 c 1 2 ) 斫+ r 2 c 1 2 遥+ 2 r 2 t 0 1 c | j 2 c 1 2 ( 1 0 ) a f 2 y + ( r l c l + r 2 c 1 2 ) a l + r 2 c 1 2 a 22 ( ，1 s 1 + r 2 s 1 2 ) c o + r 2 s 1 2 遥+ 2 r 2 t 0 1 眈s 1 2 ( 1 1 ) 在实际应用中，安装在机械臂关节上的传感器测 量的是相对角度，因此在这里定义的角度是相对于前 一级机械臂的转角，而不是与全局坐标轴z 轴之间的 转角 1 2 动力学方程的推导 为了获得动力学方程，应分别对机械臂进行受力 和力矩分析图2 、图3 和图4 分别为机械臂的2 个杆 和机械臂末端负荷的受力和力矩分析 图2 二杆机械臂第一个杆的受力分析 图3 二杆机械臂第二个杆的受力分析 e z ， 厶g 图4 二杆机械臂末端( 有效负荷) 的受力分析 由图2 可以推导出机械臂第一个杆的运动方程 ( 1 2 ) 、( 1 3 ) 和( 1 4 ) f o l 。+ f 2 1 。= m 1 a 。1 。( 1 2 ) f o l y + f 2 1 y m l g = m 1 a f l 。y ( 1 3 ) r l 一之一陆l s l + f 2 1 y t 1 c l m l g r d c i = ! l a l ( 1 4 ) 同理，由图3 和图4 可分别推导出第二个杆和机 械臂末端( 有效负荷) 的运动方程( 1 5 ) ( 1 9 ) f 3 2 z + f 2 1 。= m 2 a 。2 ， ( 1 5 ) f 3 2 ，一f 2 1 y m 2 9 = m 2 a f 2 。y ( 1 6 ) r 2 一f 2 1 z r c 2 s 1 2 + f 2 1 y r c 2 c 1 2 一f 3 2 z ( r 2 一r c 2 ) $ 1 2 + f 3 2 ，( r 2 一r c 2 ) c 1 2 = 1 2 a 2 ( 1 7 ) m 舻州= 一f 3 2 。 ( 1 8 ) m 渺b = 一f 3 2 ，一m 沼 ( 、1 9 ) 其中，z 硝表示机械臂末端( 有效载荷) 的z 轴方向分 量；妇表示机械臂末端( 有效载荷) 的y 轴方向分量； l 、甜2 分别表示关节处的角速度；口1 、口2 分别表示关节 处的角加速度；a 出、a 以。分别表示机械臂第一个杆质 心处z 方向和y 方向的加速度；a 出、a c 2 v 分别表示机 械臂第二个杆质心处z 方向和y 方向的加速度；a 如、 a 州，分别表示机械臂末端( 有效载荷) 质心处z 方向和 y 方向的加速度 1 3 二杆机械臂的联立约束矩阵 把电机的输出力矩作为系统的输入，联立6 个运 动学方程( 6 ) ( 1 1 ) 和8 个动力学方程( 1 2 ) ( 1 9 ) ，推 导出含有1 4 个变量的二杆机械臂的联立约束矩阵方 程( 2 0 ) 2 二杆机械臂的动力学m a t l a b 仿真及 结果分析 根据推导出的二杆机械臂联立约束矩阵，在m a t l a bs i m u l i n k 环境下对其进行仿真 2 1 参数设置 表1 为仿真的参数设置情况 表1 二杆机械臂参数表 其中，z 1 、z 2 分别为机械臂2 个杆的长度；m 1 、m e 分别为2 个杆的质量；k j 2 分别为2 个杆的转动惯 量；n l 、n 2 分别为2 个关节处电机的转速比 2 2 仿真及结果分析 仿真结果见图5 万方数据万