周世勋《量子力学教程》考研考点讲义.pdf

目 录 教材分析及考试说明（ ）? 第一章 绪论（ ）? 第二章 波函数和薛定谔方程（ ）? 第三章 量子力学中的力学量（ ）? 第四章 态和力学量表象（ ）? 第五章 微扰理论（ ）? 第六章 自旋与全同粒子（ ）? 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 教材分析及考试说明 周世勋 量子力学教程 考研辅导课程 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 周世勋 量子力学教程 名校真题解析及典型题精讲精练 周世勋 量子力学教程 冲刺串讲及模拟四套卷精讲 本课程使用教材 量子力学教程 第二版 高等教育出版社 周世勋原著， 陈灏修订 本课程参考教材 周世勋原著， 陈灏修订 量子力学教程 ， 北京， 高等教育出版社， 。 曾谨言著 量子力学 （ 第三版 ， 北京， 科学出版社， 。 张永德著 量子力学 北京， 科学出版社， 。 本课程总体要求 量子力学入学考试是为招收与物理相关专业类硕士生而实施的选拔性考试， 其指导思想一般为 有利于选拔具有扎实的量子力学基础理论知识的高素质人才。其目的是科学、 公平、 有效地测试学生 掌握大学本科阶段量子力学的基本知识、 基本理论， 以及运用量子力学方法分析和解决涉及微观领域 问题的能力， 以保证被录取者具有研究物理问题的基本的理论素质， 以利于各高等院校和科研院所在 专业上择优选拔。要求考生能够系统地掌握量子力学的基本思想和方法； 学习和掌握处理微观粒子 运动的理论方法； 以及具备运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 考查目标 考研对量子力学要求包括： 量子理论的基本概念和基本原理， 并以波动力学为主要表现形式， 具 体有波函数和薛定谔方程、 力学量、 微扰理论和自旋等。 要求考生： （ ） 掌握和准确认识微观粒子的波粒二象性。 （ ） 掌握用波函数来描述微观粒子状态以及波函数的意义。 （ ） 学会运用波函数满足的薛定谔方程解决一些简单的量子力学问题， 并由此提高对微观世界的 认识。 （ ） 运用微扰理论的方法解决一些比较简单的问题， 并能由此举一反三分析和解决原子物理当中 一些比较实际的问题。 （ ） 了解和掌握微观粒子的内秉性质， 如电子的自旋。结合这一内秉性质理解原子光谱的精细结 构， 形成微观物质结构的正确图象。 考试形式和试卷结构 试卷满分及考试时间 本试卷满分为 分， 考试时间为 分钟 答题方式 答题方式为闭卷， 笔试。 试卷内容结构 微观粒子的波粒二象性 约 波函数和薛定谔方程 约 量子力学中的力学量 约 态和力学量的表象 约 微扰理论 约 自旋与全同粒子 约 试卷题型结构 简答题 （ 或填空题、 或选择题） 分左右 （ 一般 小题， 每小题 分） 证明题 分左右 （ 一般 小题， 平均每小题 分） 计算题 不低于 分 （ 一般 小题， 平均每小题 分） 考查内容 一、 微观粒子的波粒二象性 光的粒子性实验， 电子的波动性实验， 德布罗意的波粒二象性， 海森堡的不确定原理 二、 波函数和薛定谔方程 微观粒子态的波函数表示， 波函数的统计解释， 态的叠加原理， 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 薛定谔方程， 概率流和概率流守恒定律， 定态薛定谔方程。 三、 量子力学中的力学量 力学量的算符表示， 动量算符和角动量算符， 电子在库仑场中的运动， 氢原子， 厄米算符本征函数的正交性， 算符与力学量的关系， 算符的对易关系， 力学量平均值随时间的变化和守恒定律。 四、 态和力学量的表象 态的表示， 算符的矩阵表示， 量子力学公式的矩阵表示， 幺正变换， 狄拉克符号。 五、 微扰理论 非简并微扰， 简并微扰， 斯塔克效应， 含时微扰理论， 光的发生和吸收。 六、 自旋与全同粒子 电子自旋， 自旋算符和波函数， 角动量的耦合， 光的精细结构， 全同粒子的特性， 全同粒子体系的波函数和泡利原理， 氦原子和氢分子。 七、 散射 碰撞过程和碰撞截面， 分波法， 玻恩近似。 这部分内容， 一般而言， 出题概率较小， 最多占到 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路课程安排 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 量子力学中的力学量 第四章 态和力学量表象 第五章 微扰理论 第六章 自旋与全同粒子 考试题型 第一类： 简答题、 证明题、 填空题、 选择题 （ 一） 武汉大学 年 （ 共四题， 每题 分， 共 分） 简述夫兰克 赫兹实验现象及所得结论。 简述史特恩 盖拉赫实验现象及所得结论。 简述普朗克能量量子化假说提出的实验背景。 简述波函数的物理意义， 以及波函数的性质。 （ 二） 华中师范大学 回答下列问题（ 分） （ ） 如何理解微观粒子的波粒二象性？ （ ） 波函数 （ ， ）是用来描述微观体系什么的？它应满足什么样的自然条件？ （ ， ）的物 理含义是什么？ （ ） 物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ （ ） 设体系在 描述的状态下， 测量 所得到的结果是个确切值 ， 在 描述的状态下， 测量 所得到的结果是个确切值 ， 则在 状态（， 为常数） 下， 测量 所得到的结果是什 么？ （ 三） 深圳大学 回答下列问题（ 每小题 分， 共 分） 利用电子干涉实验， 可以证明微观粒子具有波动性还是粒子性？微观粒子的波动性是大量微 观粒子的的统计特性还是单个微观粒子的固有特性， 在实验中是怎样验证的？ 一维谐振子在 时处在归一化波函数为 （ ， ）槡 （ ）槡 （ ）（ ） 所描写的态中， 式中 （ ）是谐振子的能量本征函数， 求（ ） 的数值（ ）时系统的波 函数。 一个自旋为 的粒子处于 的本征态 ( ) 上， 证明： （ ） 。 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 、 一个量子系统在 时刻的波函数 ， () 和在任意时刻的波函数 ， () 可以通过一个幺正 变换 ( ) 相连系， 即 ， () ( ) ， () 。利用薛定谔方程证明： 满足如下方程： ( ) ( ) ， 其中 是系统的哈密顿。 对于全同粒子体系， 由于交换任意两个粒子， 体系的状态 ， 因此全同粒子体系的状 态只能用 波函数和 波函数来描述。 对于一个量子力学系统， 取两个不同的表象， 则： （ ） 两个不同的表象通过什么算符相联系？ （ ） 在不同的表象中， 不变的量有： （ ） 力学量的表示； （ ） 体系的状态； （ ） 力学量的本征值； （ ） 两个波函数的内积； （ ） 力学量的平均值。 证明： 泡里算符满足 。 电子在均匀电场 ， ， () 中运动， 哈密顿量为 ， 分析动量的三个分量 ， ， 哪些是守恒量。 第二类： 计算题 杭州师范大学 年 （ 分） 设粒子在一维无限深势阱 （ ） ? ， 中运动， 求： （ ） 求解粒子能量本征值及对应的状态波函数。（ 分） （ ） 粒子在一维空间的几率分布函数。（ 分） （ ）在第 个能量激发态上， 证明 ， 。（ 分） （ 分） 设氢原子处于状态 （ ， ， ） （ ） （ ， ） （ ） （ ， ） （ ） （ ， ） 式中 ， ， 为已知常数， 且 求： （ ） 求科能测到氢原子能量值及其测量到的几率。（ 分） （ ） 轨道角动量平方 的可能值， 可能值出现的几率以及 的平均值。（ 分） （ ） 分量 的可能值， 可能值出现的几率以及 平均值。 第三类： 拓展发挥题。 ） 证明 定理： 设体系的哈密顿量 中含有某参量 ， ， 是 的归一化的束缚态本征函 数和本征值（ 为一组量子数） ， 则： 。（ 式中 表示在 下的平均值。 ） 利用 定理证明， 对类氢原子定态有： 命题规律总结 考试的重点内容： 第一章德布罗意假设及其公式、 波粒二象性 第二章波函数的统计解释； 态叠加原理； 薛定谔方程的建立过程； 粒子流密度的概念及粒子数守 恒定律； 定态的概念， 定态薛定谔方程的解法； 一维无限深势阱的求解过程； 线性谐振子（ 考核概率 ） ； 波函数的标准条件 第三章表示力学量的算符； 动量算符与角动量算符（ 重点） （ 考核概率 ） ； 电子在库仑场中的 运动（ 掌握理解） （ 考核概率 ） 掌握理解： 厄密算符的性质； 厄密算符本征函数的正交性； 算符与力 学量的关系； 算符的对易关系， 两力学量同时有确定值的条件， 测不准关系； 第四章态的表象， 坐标表象与动量表象之间的关系， 希尔伯特空间； 算符的矩阵表示（ 重点： 考核 概率： ） 第四章量子力学公式的矩阵表示， 久期方程（ 重点： 考核概率： ） ； 幺正变换的本质（ 重点： 考核 概率： ） ； 线性谐振子与占有数表象。（ 重点： 考核概率： ） 第五章非简并定态微扰理论； 简并情况下的微扰理论（ 重点： 考核概率： ） 第六章电子自旋（ 考核概率 ） ； 电子的自旋算符和自旋函数（ 重点： 考核概率 ） 计算题常用的公式： ） 一维无限深势阱、 线性谐振子、 中心力场及氢原子、 自由粒子问题的本征态和本征函数； ） 递推公式 ） 常见的对易关系式 ） 微扰论的能量的一级修正、 二级修正公式； 波函数的一级修正公式 备考与应试策略 作为一门专业课， 量子力学的考试内容与所报学校的学科发展有密切的关系， 譬如， 散射问题是 大多数专业不予涉及的， 但是， 核物理专业却作为重点之一。因此最好把所报学校历年来的考试真题 进行分析， 依据考试大纲的内容， 找出重点内容。 总之， 量子力学以波函数及其满足的自然条件、 薛定谔方程和力学量算符为核心， 对量子力学所 涉及的各知识点进行融会贯通。 熟悉量子力学的基本理论知识， 多看看教材和历年试题， 适当地参加辅导班。教材上的教学内 容并不是全部都作为考试内容的， 但其中的一些重要的内容会在各校的考研题上几年都以不同的形 式出现， 对这一部分内容要将其挖掘出来， 将上述的复习内容以自己的方式整理出来， 形成精练的笔记。试题也可能出现一些超范围的 内容， 因此要阅读与报考专业相关的一些专业书。 选择一本合适的习题集， 结合历年来的考试题， 有针对性地进行练习。 在考前， 对课程的重点和基本概念、 基本原理、 常用的公式进行复习， 加深记忆。 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 第一章 绪论 本章考研要求 经典物理学的困难（ 之一： 黑体辐射问题和 量子论） 理解黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难和 量子论。掌握 量子论（ 重点） 。 ）黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难（ 维恩公式、 瑞利 金斯公式） 。 ） 的电磁辐射能量量子化的思想， 并推导 的黑体辐射公式， 理解并掌握 的能量 量子化的假设。 经典物理学的困难（ 之二： 光电效应与爱因斯坦的光量子论； 之三： 光量子论在 效应的解释） 掌握光电效应概念（ 脱出功 的概念、 光电流等） ； 爱因斯坦的光量子论解释光电效应； 效应概念； 光量子论在 效应的解释（ 重点） ； 理解： 在微观单个碰撞事件中能量动量 守恒定律仍然成立。 ） 光电效应概念（ 脱出功 的概念、 光电流等） ， 光电效应实验中所得到的 个结论认识。 ） 爱因斯坦的利用 的能量量子论思想引入到电磁波上引入了光量子论思想， 利用此思想如 何解释了光电效应现象。（ 重点） ） 光量子论在 效应的解释（ 重点， 难点） ； 在微观单个碰撞事件中能量动量守 恒定律仍然成立。（ 理解） 经典物理学的困难（ 之四： 原子的线状光谱及其规律； 原子的稳定性） 掌握 公式， 原则的内容， 模型的不足与玻尔角动量量子化条件， 索末菲广义 量子化条件， 氢原子能级的推导（ 重点， 难点） ； 理解： 固体与分子的比热问题上经典物理所遇到的困难。 微粒的波粒二象性 掌握： 的微观粒子波粒性公式， 微观粒子 波。 ） 的微观粒子波粒性公式， 微观粒子 波（ 重点， 难点） ） 理解： 为什么微观粒子 波写成复数域的指数形式。 考点一： 黑体辐射问题和 量子论 黑体与黑体辐射规律 什么是黑体？ 若一物体对什么光都吸收而无反射， 就称这种物体为“ 绝对黑体” ， 简称“ 黑体” 。事实上， 不存在 “ 绝对黑体” ， 不过有些物体可以近似地作为“ 黑体” 来处理， 例如 一束光一旦从狭缝射入空腔后， 就很难再通过狭缝反射出来， 这个空腔上的狭缝就可以看作 黑体。 黑体辐射规律： 实验曲线为 基尔霍夫（ ） 证明： 黑体与热辐射达到平衡时， 辐射能量密度随频率变化曲线的形状 和位置只与黑体的热力学温度 有关， 而与空腔的形状及组成的物质无关。这样利用黑体就可撇开 材料的具体性质普遍地研究。 经典理论的困难 维恩（ ） 假设气体分子辐射的频率只与其速度有关， 给出了与麦克斯韦速度分布率形式很相 似的公式为 ， 与实验结果相比， 短波长部分与实验符合较好， 长波长部分与实验相差较大。 瑞利金斯（ ） 从能量按自由度均分定律出发给出的公式为 ， 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 这个公式只有在波长相当长的部分与实验曲线相符合。随着波长减小， 辐射度无限增大， 隐含总 发射能量发散。这显然是不正确的， 辐射理论出现这种荒唐的局面被称之为“ 紫外灾难”。可见， 经 典物理对黑体辐射是无法解释的。 的能量子假设 正确的黑体辐射公式是普朗克给出的 ， 与黑体辐射实验曲线很好地吻合。 ， 当 时， 公式趋于 公式 当 ?时， 公式趋于 公式 黑体辐射能量分布曲线 普朗克是如何得到这个正确的公式呢？ 普朗克假设： 可将黑体物质看作是由各种频率的简谐振子 组成的， 频率为的谐振子能量值只取 的整数倍， 在黑体与辐射场处于热平衡条件下， 交换能量（ 吸收 和发射电磁辐射） 是一份一份吸收和发射能量， 每一份的能量为 ， 其中 为电磁辐射的频率。一份 能量 称为一个能量子， 称为 常数。 的物理意义是： 能量量子化的量度， 即分立性的量度。 凡是与 有关的物理现象就可视作量子现象。 考点二：光电效应， 光量子 光子， 光的波粒二象性 何为光电效应？ 当光照射到金属电极上， 就有电子从金属中逸出， 这一现象称为光电效应（ ） 。 从实验中总结出的光电效应规律是： （ ） 对于一定材料构成的阴极， 只有光的频率大于一定值时， 才有电子发射出来； （ ） 光电子的能量只与光的频率有关， 与光强无关； （ ） 对于一定材料的电极， 当 照射光频率大于一定值时， 几乎没有弛豫时间， 立即就有光电子发射出来。这些实验事实是经典理论 无法解释的， 因为根据光的电磁理论， 光能量只决定于光强度， 而与光频率无关。 第一个认识到， 电磁辐射不仅发射和吸收是以量子形式进行的， 而且是以量子形式传播 的， 辐射场本身就是由一个一个光量子 称为光子（ ） 组成的。每个光子的 能量 动量 其中， 是量子力学中常用的常数 ， 是光波圆频率， 是波矢量。 当光照射到金属阴极上时， 能量为 的光子被电子吸收， 电子把这份能量一部分用来克服金属 表面对它的吸引力做功， 另一部分就转化为光电子携带的动能。能量转化的数学关系为 其中， 是电子的质量， 是逸出光电子的速度，是电子脱出金属表面所需要做的功， 称为脱 出功 ， 是照射金属阴极的光频率。 如果电子所吸收的光子能量小于， 则电子不能脱出金属表面， 因而没有光电子产生。光的频率决 定光子的能量， 光的强度只决定光子的数目， 光子多， 产生的光电子也多。在金属阴极材料确定下（ 即 材料的 一定时 ） ， 其产生光电子的极限频率为 。 这样， 经典理论所不能解释的光电效应就得到了说明。 进一步， 爱因斯坦证明， 光子不仅具有确定的能量， 而且具有动量， 由相对论公式 槡 知由于光子的速度因而光子的质量只能取为 ， 并由动量 能量关系 （ ） 得到光子能量 和动量 之间的关系是 所以光子的能量和动量是 上式把光的两重性质 波动性和粒子性联系了起来， 等式左端是描写粒子的能量和动量， 右端 是描写波动性的波长和频率。 其中 表示沿光子运动方向的单位矢量， 表示角频率， 是波长， 称为 波矢， 焦耳秒。 效应是光具有粒子性的又一次实验证明 实验发现， 高频 射线被自由电子或轻元素中的电子（ 弱束缚电子） 散射后， 波长要发生变化， 并 随散射角增大波长增大。按照经典电动力学， 电磁波被电子散射的过程是电子在入射场作用下， 作受 迫振动而重新辐射电磁波的过程， 散射波长不会发生变化。但是如果把电子散射电磁波的过程看成 是光子与电子的碰撞过程， 就可导出和实验符合的 散射波长改变的公式。 ， 分别是光子碰撞前后的波长， 是电子的静止质量， 是散射角。普朗克常数 在其中的 出现， 说明康普顿效应也是量子现象。 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 现在新的实验事实， 迫使我们不得不承认光除去具有波动性以外， 还具有粒子性， 光具有波粒二 象性。 相对论公式 槡 对于光子 （ 动能） 能量守恒： 槡 动量守恒： 水平 槡 垂直 槡 考点三：原子结构的玻尔理论 光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问题的解决。 年 把这种 概念运用到原子结构问题上， 提出了他的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替， 但是它在 历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用， 而且该理论的某些核心思想至今仍然是正确的， 在 量子力学中保留了下来 （ ） 波尔假定 （ ） 氢原子线光谱的解释 （ ） 量子化条件的推广 （ ） 波尔量子论的局限性 氢原子的线状光谱是如何产生的？ 核外电子如何运动？ 怎样排布？ 性质如何？ 微观世界遵守怎样运动规律？ 与宏观运动规律有何不同？ ） 原子光谱： 在电弧中发光（ 可见光） 原子光谱为什么是线状（ 不连续） 光谱？为什么氢原子的线状光谱遵循巴尔末经验公式 ？ () ， ， ， ， ， ， （ ） 经典理论的困难 原子稳定性的问题， 根据经典电动力学， 电子环绕原子核的运动是加速运动， 因而不断以辐射 的方式发射出能量， 电子运动轨道的曲率半径也就不断减小， 电子最后终将落到原子核中去； 加速 电子所产生的辐射能量是连续的减少， 其辐射频率是也应该是连续分布的， 这显然与原子光谱是分立 的线状谱线不符； 按照经典理论， 如果一个体系发射出频率为的波， 则它也可能发射出各种频率是 的整数倍的谐波， 这也不符合光谱实验结果， 实验表明谱线的频率分布所遵从的是里茨的并合原则。 （ 如果光谱中有频率为 和 的两条谱线， 则常常还有频率为 或 的谱线） 。 波尔假定 ） 原子具有能量不连续的定态的概念。 ） 量子跃迁的概念 原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量 ， ， ，的状态。而处于基态（ 能 量最低态） 的原子， 则不放出光子而稳定的存在着。 原子处于定态时不辐射， 但是因某种原因， 电子可以从一个能级 跃迁到另一个较低（ 高） 的能 级 ， 同时将发射（ 吸收） 一个光子。光子的频率为 频率条件 为了具体确定这些能量数值， 提出了量子化条件： 电子的角动量 只能取 的整数倍， 即 其中 ， ， 其中 ， ， 根据这两个概念， 可以圆满地解释氢原子的线光谱。 假设氢原子中的电子绕核作圆周运动 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 （ ） （ ） 角动量 （ ） 第一 轨道半径 电子的能量 （ ） （ ） ， ， ， 根据 量子跃迁的概念 与氢原子线光谱的经验公式比较得 常数 与实验完全一致 量子化条件的推广 由理论力学知， 若将角动量 选为广义动量， 则 为广义坐标。考虑积分并利用 提出的量 子化条件， 有 索末菲将 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况， 其中 是广义动量， 是相应的广义坐标。 这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱， 而且对于只有一个电子（ ， ， 等） 的一些原 子光谱也能很好的解释 波尔量子论的局限性 波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门， 取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问 题也逐渐为人们所认识： 不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱； 不能给出光谱的谱线强度（ 相对强度） ； 只能处理周期运动， 不能处理非束缚态问题， 如散射问题； 从理论上讲， 能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质， 其物理本质还不 清楚。 考点四： 物质波、 关系、 微粒的波粒二象性 在经典物理中， 像电子这样的实物粒子是作为点粒子描述的。 年 在光具有波动性 和粒子性启发下， 首先提出波粒二象性不应当仅是光具有的性质， 像电子以及其它实物粒子不仅具有 粒子性， 可能也具有波动性的假设。他提出任何物体都伴随着波， 而且不可能把物体运动和波传播分 割开来， 并假设实物粒子的波动性与粒子性数量关系与光子相同 是伴随波的圆频率， 是波矢量， 这组关系称为 关系， 这种波就称为物质波 （ ） 。 物质波、 关系的实验验证 的假说很快就得到了实验证实。 年 和 用加速电子束入射到金 属镍单晶上， 观察到了和 射线入射情况相同的衍射现象， 这就证实了电子束和 射线束（ 一种频 率不同于光的电磁波） 具有相同的波动性质。同期 做了电子被多晶体散射的实验， 也得到 了类似于 射线经多晶体衍射所产生的衍射图样。以后其他人又成功地进行了电子的单缝、 双 缝、 多缝衍射实验， 都证实了电子的波动性。 还观察到了中子束的干涉和衍射现象， 等 人还完成了氩分子和氦原子在氟化锂晶体上衍射的定量实验等。总之实验证明， 一切微观粒子都 具有波动性。 微观粒子波粒二象性理解 在经典物理中， 波概念意味着可弥散于全空间， 在空间和时间中作周期性的变化， 可以在空间传 播和运动。特别是波可以叠加， 并发生干涉和衍射。粒子概念则和这样的事实联系着， 可定域在空间 一点（ 实际上是一个小区域中） ， 一个粒子在空间一点的出现总是排斥其它粒子在这一点出现， 粒子在 保持原特性条件下意味着不可分割。波动性和粒子性在经典物理中是互相排斥的， 对立的、 不相 容的。 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 如何理解在量子论中他们可统一地描述微观粒子呢？ 首先， 微观粒子不是宏观粒子， 比如电子是分布在范围 内， 质量约为 的客 体。它的空间限度以及质量是如此之小， 它具有不同于宏观粒子的特性， 我们无法直接感知它， 惟一 认识它的途径是用宏观仪器观测它们。测量它们就意味着对它们发生某种作用， 这就会对它产生某 种干扰， 它在某种条件下表现出的性质像宏观粒子， 在另外一些条件下又表现出类似经典波的性质。 对它的这种奇怪的性质， 从宏观世界中我们无法获得恰当的概念和语言描述它， 只好用经典上看上去 矛盾的语言， 类比地说它既像粒子又像波。 另外， 我们说微观粒子具有波粒二象性， 这里的粒子性并不完全是经典意义上的粒子， 只是保留 了经典粒子最重要的集中而不可分割的颗粒特性， 而摒弃了如运动轨道等概念。说它具有波动性， 也 只是保留了经典波最重要的可叠加、 干涉、 衍射等特性， 而摒弃了经典波代表真实物质场波动的含义。 波 因为自由粒子的能量 和动量 都是常量， 所以由 关系可知， 与自由粒 子联系的波的 频率 和波矢 （ 或波长 ） 都不变， 即是一个单色平面波。由力学可知， 频率为 ， 波长为 ， 沿单位矢 量 方向传播的平面波可表为： 其中 ， 。 （ ） （ ） 关系： 这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波， 或称为描写自由粒子的平面波， 这种写成复数形式 的波称为 波 驻波条件 纠正 量子论的人为缺陷 为了克服 理论带有人为性质的缺陷， 把原子定态与驻波联系起来， 即把粒子能量 量子化问题和有限空间中驻波的波长（ 或频率） 的分立性联系起来。 例如： 氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波示意图 要求圆周长是波长的整数倍 ， ， ， 上式代入 关系 于是角动量： ， ， ， 电子或者实物粒子的波动性为什么长期未被发现？ 德布罗意波长计算： 通过比较， 就可以回答该问题。 实物质量 速度 波长 加速电子 ? ? 原子 ? ? 枪弹 ? ? ? 复习思路 第一章绪论引入了许多新的物理概念， 支撑这些新概念和新理论的实验有 光的粒子性实验： 黑体辐射， 光电效应， 康普顿散射； 物质粒子波动性的实验： 戴维孙 革末所作的电子衍射实验， 电子束在穿过细晶粉末或薄金属片的衍射， 电子的单缝、 双 缝及多缝衍射实验以及原子、 分子、 中子等微观粒子的衍射实验。 波尔量子论的实验：原子的线状光谱、 弗兰克 赫兹实验等。 注意： 以上这些新理论及其验证性的实验， 虽然在国内各著名高校历届量子力学考研试题中所占 分值只有 左右， 但出题频率却高达 以上， 希望引起各位学子的警惕。 名校试题回顾 例 年武汉大学， 分题 写出光波粒二象性的爱因斯坦关系式和实物粒子波粒二象性的德布罗意关系式， 再求自由电子 当其能量 时的德布罗意波长。 例 年武汉大学， 分题 简述普朗克能量量子化假说提出的实验背景。 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 例 年华中师范大学， 分题 如何理解微观粒子的波粒二象性？ 例 年深圳大学， 分题 利用电可以证明微观粒子具有波动性还是粒子性？微观粒子的波动性是大量微观粒子的统计特 性还是单个微观粒子的固有特性， 在实验中是怎样验证的？ 例 年北京科技大学， 分题 德布罗意的物质波假设用 把粒子的波长和动量联系起来？ 请列举两个支持光具有波动性的实验： 。 请列举两个支持光具有粒子性的实验： 。 例 年南开大学， 分题 求电子被 伏特电压加速后的德布罗意波长， 并讨论若此电子通过宽度为 微米的狭 缝时， 是否会发生明显衍射。（ 电子的静质量约为 千克， 电量为 库仑， 普朗克常数 焦秒） 例 年， 厦门大学， 分题 解释微观粒子的波粒二象性， 并写出德布罗意关系式。 例 年， 厦门大学， 分题 简要说明一下科学家对量子力学的主要贡献： 普朗克（ ） ， 爱因斯坦（ ） ， 波尔 （ ） ， 德布罗意（ ） ， 薛定谔（ ） ， 海森堡（ ） 。 例 年复试题， 分 历史上， 下列哪些实验验证了电子具有波动性（ ） 戴维孙 革末实验 施特恩 盖拉赫实验 光电效应实验 黑体辐射实验 散射实验 弗兰克 赫兹实验 例 年， 南京航空航天大学， 分 描述一个验证微观体系中能量量子化的实验。 例 年， 常州大学， 分 黑体辐射、 光电效应和康普顿散射这三个实验说明了什么问题？ 例 年复试题， 分 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是（ ） 物理体系的作用量是否与 相比拟 物理体系是否由微观粒子组成 物理体系是否作低速运动 物理体系是否处于极低温度 第二章 波函数和薛定谔方程 本章考研要求 本章是量子力学的重点内容之一， 有以下几个考点 波函数的统计解释； 态叠加原理； 薛定谔方程的建立过程； 粒子流密度的概念与粒子数守恒定律的推导； 波函数的标准条件； 定态的概念， 束缚态的概念， 定态薛定谔方程的解法； 一维无限深势阱的求解过程； 线性谐振子的求解过程； 势垒贯穿的求解。 考点一波函数的统计解释 （ 一） 波函数 （ 二） 波函数的解释 （ 三） 波函数的性质 描写自由粒子的平面波 波 （ ） 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动， 他的动量和能量不再是常量（ 或不同时为常量） 粒子的状态就不能用平面波描写， 而必须用较复杂的波描写， 一般记为： （ ， ） 描写粒子状态的波函数， 它通常是一个复函数。 个问题？ （ ） ?是怎样描述粒子的状态呢？ （ ）?如何体现波粒二象性的？ （ ）?的物理意义？ （ 一） 两种错误的看法 波由粒子组成 如水波， 声波， 由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的， 它不能解释 长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔， 但只要时间足够长， 底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动 周世勋 量子力学教程 考点精讲及复习思路 性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象， 单个电子就具有波动性。事实上， 正是由于单个 电子具有波动性， 才能理解氢原子（ 只含一个电子！ ） 中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量 子现象。 结论： 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面， 而抹杀了粒子的波动性的一面， 具有片面性。 粒子由波组成 电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。 因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（ 长） 平面波的迭加。 平面波描写自由粒子， 其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波 组成， 那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的， 与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子， 总是处于一个小区域内。例如在一个原子内， 其广延不会超过原子大 小 。 电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？ “电子既不是粒子也不是波 ” ， 既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可以说， “电子既 是粒子也是波， 它是粒子和波动二重性矛盾的统一。 ” 这个波不再是经典概念的波， 粒子也不是经典概念中的粒子。 经典概念中粒子意味着 ） 有一定质量、 电荷等“ 颗粒性” 的属性； ） 有确定的运动轨道， 每一时刻有一定位置和速度。 经典概念中波意味着 ） 实在的物理量的空间分布作周期性的变化； ） 干涉、 衍射现象， 即相干叠加性。 衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果， 或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的， 在此基础上， 提出了波函数意义的统计 解释。 假设衍射波波幅用 （ ）描述， 与光学相似 衍射花纹的强度则用（ ）描述， 但意义与经典波不同 （ ） 的意义是代表电子出现在 点附近几率的大小， 确切的说，（ ） 表示在 点处， 体积元 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（ 振幅绝对值的平方） 和在这 点找到粒子的几率成比例， 据此， 描写粒子的波可以认为是几率波， 反映微观客体运动的一