电磁学课程报告.doc

电磁场中的动量守恒问题李铁（光信一班 1101120107） 摘要：通过电流元的相互作用问题，引出电磁场的动量的概念，并根据动量守恒定律定量给出了电磁场动量的数学表达式。通过分析康普顿效应论证电磁场的动量确实存在。将动量守恒定律推广到包含场的广义系统中，进一步诠释了守恒定律比牛顿运动定律更基本的物理含义。关键词：电磁学 动量 守恒 变化率 张量 1 引言在课本105页的例题3中，我们发现两个垂直电流元的相互作用不符合牛顿第三定律。随后课本中做出了解释，其中的关键是动量守恒定律和角动量守恒定律是更基本的规律，电流元之间的电磁相互作用不满足牛顿第三定律，说明它们的动量之和不守恒。但是，它们不是封闭系统，电磁场本身也是一种物质，因此，电磁场也将具有一定的动量。电流元与电磁场一起构成封闭系统，其动量是守恒的，本文后面将论述这一点。2 恒定电磁场的动量 电磁场对其中的物体产生作用力，场也是一种物质，场对物体有一个作用力，我们从经典力学的角度分析，根据牛顿第三定律物体必然对场产生一个反作用力。由于场不具有质量，所以不可能产生加速度。那么，这个反作用力的效果什么呢？ 我们先分析以下事实：光散射到静止的电子与之作用，会使得电子获得一定的动量，这就是著名的康普顿效应。光实际上是电磁场在空间中传播产生的电磁波，根据动量守恒定律，电磁场也应具有一定的动量，这就是物体对场反作用力的一个效果。 下面推导电磁场动量的数学表达式，根据麦克斯韦的电磁理论，变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场。为了简单起见，我们先分析单独的带电粒子，并且选取特殊的参照系，让我们所观察到的电场和磁场都是恒定的。设带电粒子的电荷量为q，质量为m，初始速度为v0，T时刻处的速度为v。 恒定电场：设场强为E，电场初始动量为P1，t时刻时动量为P2。对带点粒子应用动量定理，mv0+qEt=mv。考虑到粒子与电场构成的系统动量守恒，则有P2-P1= qEt。于是我们看到，qEt这个量表征了电场动量的变化，可以认为这就是恒定电场动量的表达式。 恒定磁场：根据课本185页到186页的分析，带电粒子的正则动量P= mv+qA 是守恒的，显然我们可以推测出，恒定磁场的动量表达式就是qA 。3 时变电磁场的动量 我们知道，根据麦克斯韦的电磁理论，电场和磁场不是孤立的，变化的磁场和电场可以相互激发。那么当电场和磁场变化时，它们的动量又怎样表示呢？另外，上面只讨论了单个带电粒子的情况，对于整个带电体而言，又是什么情况呢？下面讨论一般情况下的电磁场动量： 在电磁场中，带电体所受的洛伦兹力。力密度为，其中代表带电体的电荷体密度。电荷系统受力作用后，它的动量发生变化。同样根据动量守恒定律，电磁场的动量也应该相应地改变。上式左边等于电荷系统的动量密度变化率，因而右边应该可以表示含有电磁场动量密度变化率和表示场内动量转移的一些量。 由麦克斯韦方程组可知， ，我们可以把力密度写成，再利用麦克斯韦方程组中的方程，将上式变为：（*），我们发现，（*）式中只有最后一项含时间t，根据动量定理和动量守恒定律，考虑进电磁场的总系统关于时间的动量变化率为0，则可认为电磁场的动量为g=0EB，同时中括号中的内容应为0。这是很好理解的，但是，中括号中的内容是否为0呢？下面利用张量知识进行一下简单的推导： 大体的思路是先把方括号的部分化为一个张量的散度，然后由于考虑到电磁场可以向空间中辐射，对其在整个空间里积分。利用公式，可得 其中L是引入的单位张量。同理有，于是力密度公式方括号部分可以化为一个张量J的散度： 于是我们得到，对于整个区域积分得，利用场论中的斯托克斯公式，上式右端变为，若积分区域为全空间，则面积分趋近于0（因为研究的带电体总是有限大的），有，即整个空间中电磁场和带电体总的动量变化率为0。 从上面的推导可以看出，是带电体和电磁场总动量的变化率，是区域边界的面积分，因此可把看做有V外经S面流向V内的动量流，把张量J称为电磁场的动量流密度张量，这是上述数学变换的物理意义。4 讨论 现在我们从动量的角度来讨论下电流元的相互作用问题： 首先我们应该承认这样一个结论，即牛顿第三定律实际上是封闭系统机械动量守恒的等价描述。因为牛顿在其时代不知道场的存在，所以他的力学理论中没有涉及到场，只考虑到实体之间的相互作用，所以提出的第三定律并不完善。事实上，场这种物质作为力的媒介，又不具有质量这种属性，研究相互作用时牛顿定律对其并不好用，而又不能将其忽略。所以，我们研究电流元相互作用的时候，不应该把牛顿第三定律作为一个前提，而应该把动量守恒定律作为基本规律。根据3中的数学变换，对于空间中的带电体，动量守恒定律总是成立的，这显然也包括两个电流元相互作用的情况。我们只是想利用动量守恒定律，讨论一下牛顿第三定律何时成立。 在课本189页，作者从动量的磁矢势角度分析了电流元相互作用何时服从牛顿第三定律，在这里我想从3中的角度简单的说明一下。总的动量守恒，如果牛顿第三定律成立，那么机械动量守恒，则电磁场的动量必须守恒。如果将电流元看做是带电粒子的运动，若E与B方向很好确定，根据电磁场动量g=0EB，由于带电粒子时刻运动，为了保证g恒定，可令E与B总是共线的，即g恒为0，也可以得到书中的那两种特殊情形。这个过程分析很简单，但由于位置关系比较多，讨论起来较繁，此处就不再赘述了。 参考文献：【1】 赵凯华，陈熙谋.新概念物理教程：电磁学M 北京：高等教育出版社，2006.105，185-186，189. 【2】 郭硕鸿.电动力学M 北京：高等教育出版社，1995.217【3】 杰克逊（美）.经典电动力学（中文版）M 北京：高等教育出版社，2004.262-263【4】 赵民初.矢量与场