2009年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

2009年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1（4分）（2009上海）若复数z满足z（1+i）=1i（I是虚数单位），则其共轭复数=i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则（a+bi）（1+i）=1i，即ab+（a+b）i=1i，由，解得a=0，b=1，所以z=i，=i，故答案为i【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数2（4分）（2009上海）已知集合A=x|x1，B=x|xa，且AB=R，则实数a的取值范围是a1【考点】集合关系中的参数取值问题菁优网版权所有【专题】集合【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集【解答】解：A=x|x1，B=x|xa，且AB=R，如图，故当a1时，命题成立故答案为：a1【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型3（4分）（2009上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是x且x4【考点】三阶矩阵菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据3阶行列式D的元素aij的余子式Mij附以符号（1）i+j后，叫做元素aij的代数余子式，所以4的余子式加上（1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围【解答】解：依题意得，（1）20，即9x240，解得x，且x4，故答案为：x且x4【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题4（4分）（2009上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是【考点】程序框图菁优网版权所有【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值即求分段函数的函数值【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模5（4分）（2009上海）如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可【解答】解：先画出图形将AD平移到BC，则D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tanD1BC=，D1BC=arctan，故答案为arctan【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题6（4分）（2009上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是【考点】三角函数的最值菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值【解答】解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1故答案为1【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数7（4分）（2009上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E（结果用最简分数表示）【考点】离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】计算题【分析】用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当=0时，表示没有选到女生；当=1时，表示选到一个女生；当=2时，表示选到2个女生，求出期望【解答】解：用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，可取0，1，2，当=0时，表示没有选到女生；当=1时，表示选到一个女生；当=2时，表示选到2个女生，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，E=0=故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点8（4分）（2009上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是【考点】球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】计算题【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果【解答】解：因为S1=4R12，所以，同理：，即R1=，R2=，R3=，由R1+2R2=3R3，得故答案为：【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题9（4分）（2009上海）已知F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若PF1F2的面积为9，则b=3【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，由此能得到b的值【解答】解：F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1|PF2|=4a2，36=4（a2c2）=4b2，b=3故答案为3【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识10（4分）（2009上海）在极坐标系中，由三条直线=0，cos+sin=1围成图形的面积等于【考点】简单曲线的极坐标方程；定积分菁优网版权所有【专题】计算题【分析】三条直线化为直角坐标方程，求出三角形的边长，然后求出图形的面积【解答】解：三条直线=0，cos+sin=1的直角坐标方程分别为：y=0，y=x，x+y=1，所以它们的交点坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（，），OB=，由三条直线=0，cos+sin=1围成图形的面积S=故答案为：【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，三角形的面积的求法，考查计算能力11（4分）（2009上海）当时，不等式sinxkx恒成立则实数k的取值范围是k2【考点】函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】要使不等式sinxkx恒成立，设m=sinx，n=kx，利用图象得到k的范围即可【解答】解：设m=sinx，n=kx，x0，根据题意画图得：mn恒成立即要m的图象要在n图象的上面，当x=时即x=时相等，所以此时k=2，所以k2故答案为k2【点评】考查学生利用数形结合的数学思想解决问题的能力，理解函数恒成立时取条件的能力12（4分）（2009上海）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列an满足an（），且公差d0，若f（a1）+f（a2）+f（a27）=0，则当k=14时，f（ak）=0【考点】函数奇偶性的性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列an满足an（），且公差d0，若f（a1）+f（a2）+f（a27）=0，我们易得a1，a2，a27前后相应项关于原点对称，则f（a14）=0，易得k值【解答】解：因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点而等差数列an有27项，an（）若f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14故答案为：14【点评】代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质13（4分）（2009上海）某地街道呈现东西、南北向的网格状，相邻街距都为1两街道相交的点称为格点若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（2，2），（3，1），（3，4），（2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点请确定一个格点（除零售点外）（3，3）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短【考点】两点间距离公式的应用菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得在（3，3）处z取得最小值【解答】解：设发行站的位置为（x，y），6个零售点到发行站的距离为Z，则z=|x+2|+|y2|+|x3|+|y1|+|x3|+|y4|+|x+1|+|y3|+|x4|+|y5|+|x6|+|y6|=|x+2|+|x3|+|x3|+|x+1|+|x4|+|x6|+|y2|+|y1|+|y4|+|y3|+|y5|+|y6|x=3，3y4时，取最小值，在（3，3）处z取得最小值故答案为（3，3）【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力14（4分）（2009上海）将函数（x0，6）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（0），得到曲线C若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为arctan【考点】旋转变换菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】先画出函数（x0，6）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可【解答】解：先画出函数（x0，6）的图象这是一个圆弧，圆心为M（3，2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MAB时，曲线C都不是一个函数的图象MAB=arctan故答案为：arctan【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15（4分）（2009上海）“2a2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【分析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根=a2402a2，由此入手能够作出正确选择【解答】解：实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，=a240，解得2a2，“2a2”是“2a2”的必要不充分条件，故选A【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的应用，解题时要认真审题，仔细解答16（4分）（2009上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（EF）的值等于（）A0BCD【考点】相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P（EF）=P（E）P（F），将P（E）=P（F）=代入即可得到答案【解答】解：P（EF）=P（E）P（F）=故选B【点评】相互独立事件的概率计算公式：P（EF）=P（E）P（F），P（EF）=P（E）+P（F）17（4分）（2009上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A甲地：总体均值为3，中位数为4B乙地：总体均值为1，总体方差大于0C丙地：中位数为2，众数为3D丁地：总体均值为2，总体方差为3【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，平均数描述集中趋势，方差描述波动大小【解答】解：假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，x10并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2=（165）2+（x25）2+（x35）2+（x105）212，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人故选：B【点评】根据题意可知本题主要考查用数字特征估计总体，属于基础题18（4分）（2009上海）过圆C：（x1）2+（y1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+SIV=S|+S|则直线AB有（）A0条B1条C2条D3条【考点】直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；数形结合【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足S|+SIV=S|+S|，得到SIVSII=SSI，第II，IV部分的面积是定值，所以三角形FCB减去三角形ACE的面积为定值即SSI为定值，所以得到满足此条件的直线有且仅有一条，得到正确答案【解答】解：由已知，得：SIVSII=SSI，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECFS扇形ECF=1和S扇形ECF=，所以，SIVSII为定值，即SSI为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条故选B【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，会求三角形、正方形及扇形的面积，是一道综合题三、解答题（共5小题，满分78分）19（14分）（2009上海）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC=AB=2，ABBC，求二面角B1A1CC1的大小【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题菁优网版权所有【专题】计算题；向量法【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为，显然为锐角，设2个法向量的夹角，利用2个向量的数量积可求cos，则由cos=|cos|求出二面角的大小【解答】解：如图，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，BMAC，BMCC1BM平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）=（2，2，2），=（2，0，0），令z=1，解得x=0，y=1n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角cos=|cos|=，解得：=二面角B1A1CC1的大小为【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为，2个平面法向量的夹角，则和 相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反20（16分）（2009上海）有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度其中x表示某学科知识的学习次数（xN*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关（1）证明：当x7时，掌握程度的增长量f（x+1）f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121，（121，127，（127，133当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科【考点】分段函数的应用菁优网版权所有【专题】应用题；探究型；数学模型法【分析】（1）x7时，作差求出增长量f（x+1）f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科【解答】证明：（1）当x7时，而当x7时，函数y=（x3）（x4）单调递增，且（x3）（x4）0故函数f（x+1）f（x）单调递减当x7时，掌握程度的增长量f（x+1）f（x）总是下降（2）由题意可知整理得解得（13分）由此可知，该学科是乙学科.（14分）【点评】本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型21（16分）（2009上海）已知双曲线，设直线l过点，（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m的距离（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k时，可推断出，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为【解答】解：（1）双曲线C的渐近线，即直线l的方程直线l与m的距离（2）设过原点且平行于l的直线b：kxy=0，则直线l与b的距离d=，当时，又双曲线C的渐近线为，双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生综合分析问题和解决问题的能力22（16分）（2009上海）已知函数y=f（x）的反函数定义：若对给定的实数a（a0），函数y=f（x+a）与y=f1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”（1）判断函数g（x）=x2+1（x0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x0）对任何a0，满足“a积性质”求y=f（x）的表达式【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义【分析】（1）先求出 g1（x） 的解析式，换元可得g1（x+1）的解析式，将此解析式与g（x+1）的作对比，看是否满足互为反函数（2）先求出f1（x） 的解析式，再求出 f1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f1（x+2）的解析式，用两种方法得到的 f1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式（3）设点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f1（ax）图象上，可得 ay0=f（x0）=af（ax0），即，即 满足条件【解答】解（1）函数g（x）=x2+1（x0）的反函数是，而g（x+1）=（x+1）2+1（x1），其反函数为，故函数g（x）=x2+1（x0）不满足“1和性质”（2）设函数f（x）=kx+b（xR）满足“2和性质”，k0，而 f（x+2）=k（x+2）+b（xR），得反函数 ，由“2和性质”定义可知 ，对（xR）恒成立k=1，bR，即所求一次函数f（x）=x+b（bR）（3）设a0，x00，且点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f1（ax）图象上，故，可得 ay0=f（x0）=af（ax0），令 ax0=x，则，即综上所述，此时，其反函数是，而，故y=f（ax）与y=f1（ax）互为反函数【点评】本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题23（16分）（2009上海）已知an是公差为d