建模.doc

问题陈述:蓝鲸和长须鲸是两个生活在同一海域的相似的种群。因此认为它们之间存在竞争。蓝鲸的内禀增长率每年估计为5%，长须鲸为每年8%。估计环境承载力，蓝鲸为150,000条，长须鲸为400,000条。鲸鱼之间竞争的强度是未知的。在过去的100年剧烈的捕捞已经使鲸鱼数量减少，蓝鲸大约5,000，长须鲸大约70,000。问蓝鲸是否会灭绝。1. 建立两种鲸鱼竞争模型。2. 假设两种鲸鱼相互的竞争力是一样的，对不同的竞争力a =6*10(-6) 5*10(-7) 10(-7) 10(-8) 通过数值模拟观察解的渐近性质，推断蓝鲸是否会灭绝。问题(1)分析:这个问题是一个很典型的生物种群竞争模型。蓝鲸单独存在时，受到食物和生活空间的限制，遵循种群变化的logistic规律，即种群平均增长率为 r=r1 (1-n1/k1) （1）其中r1是蓝鲸的内禀增长率，n1（t）是蓝鲸在t时刻的种群数量，k1是蓝鲸的环境载量。假设长须鲸对蓝鲸的竞争所导致的蓝鲸平均增长率的降低欲长须鲸的数量成正比。所以可以设在有长须鲸竞争的情况下蓝鲸的平均正常率r=b1-a11n1-a12n2（2）系数a12表示长须鲸对蓝鲸的竞争力。当长须鲸的数量n2=0时，情况相当于蓝鲸单独存在，与（1）式作对比可以计算出 b1=r1, a11=r1/k1, 所以可以建立平衡微分方程 dn1/dt=n1 (b1-a11n1-a12n2)（3）其中b1=r1, a11=r1/k1, 对偶到长须鲸的情况，就得到dn2/dt=n2 (b2-a21n1-a22n2)（4）其中b2=r2（长须鲸内禀增长率）, a22=r2/k2,（k2为长须鲸环境载量）（3）式和（4）式联立起来就得到了蓝鲸和长须鲸的竞争共生模型。假设：当蓝鲸和长须鲸单独存在时，各自均遵从种群变化的logistic规律；两种鲸鱼对对方增长率的影响程度正比于自身种群的数量。变量：蓝鲸在t时刻的种群数量n1(t)，长须鲸在t时刻的种群数量n2(t)；蓝鲸的内禀增长率r1,长须鲸的内禀增长率r2;蓝鲸的环境载量k1，长须鲸的环境载量k2；蓝鲸对长须鲸的竞争力a21,长须鲸对蓝鲸的竞争力a12。建立模型：1.根据问题分析，将（3）式（4）式联立就得到了蓝鲸和长须鲸共存的模型 dn1/dt=n1 (b1-a11n1-a12n2)dn2/dt=n2 (b2-a21n1-a22n2)其中b1=r1, a11=r1/k1, b2=r2， a22=r2/k2,2.代入已知条件r1=5%, k1=150,000 n1(0)=5,000r2=8%, k2=400,000 n2(0)=70,000就得到了题目中两种鲸鱼的共存模型如下：dn1/dt=n1* (0.05-0.05/150000*n1-a12*n2)dn2/dt=n2* (0.08-a21*n1-0.08/400000*n2) n1(0)=5,000 n2(0)=70,000问题(2)分析:两种鲸鱼的竞争力是一样的,也就是说a12=a21=a.于是模型就简化为dn1/dt=n1* (0.05-0.05/150000*n1-a*n2)dn2/dt=n2* (0.08-a*n1-0.08/400000*n2) n1(0)=5,000 n2(0)=70,000想预测蓝鲸有没有灭绝的危险，可以用matlab对以后500年两种鲸鱼的数量进行计算并画出图像，如果蓝鲸的数量接近于0，那么蓝鲸就有灭绝的危险了。问题（2）解答：1.解微分方程组dn1/dt=n1* (0.05-0.05/150000*n1-a*n2)dn2/dt=n2* (0.08-a*n1-0.08/400000*n2) n1(0)=5,000 n2(0)=70,000（此解数据太多，略去，不影响下步作图看结果）2.画出往后500年在a的四个不同的值下蓝鲸和长须鲸的数量与时间关系图从左上角到右下角分别依次对应a=6*10(-6) 5*10(-7) 10(-7) 10(-8)。红线代表长须鲸，蓝线代表蓝鲸。问题（2）结果：当两种鲸鱼彼此的竞争力都是6*10(-6) 或者 5*10(-7) 时，蓝鲸都有灭绝的危险。当两种鲸鱼对彼此的竞争力都是10(-7) 或者 10(-8)时，蓝鲸在一般情况下不会灭绝。附录（问题（2）matlab程序代码）k1=150000;k2=400000;b1=0.05;b2=0.08;a11=b1/k1;a22=b2/k2;a=6*10(-6) 5*10(-7) 10(-7) 10(-8) ;%所有初始条件for i=1:4aa=a(i);fun=(t,y)y(1)*(b1-a11*y(1)-aa*y(2);y(2)*(b2-a22*y(2)-aa*y(1);%平衡状态微分方程组tt,yy=ode45(fun,0,500,5000,70000);%解微分方程组subplot(2,2,i