光学(赵凯华)习题解答.pdf

otherk 光学光学赵凯华 （钟锡华） 赵凯华 （钟锡华） 习题解答 第一章 p235 （1-4） 证一： 对平行平板上下表面分别两次运用折射定律，并考虑到平板上下是同一介质，便可 证明最后出射光线与当初入射光线的方向一致。 根据几何关系可得侧向位移量为 ) cos sincos (sin 2 21 1 )sincoscos(sin cos )sin( 211 2 21 i ii it iii i t iiabx = = 12 2 i 折射定律 sini =nsini 在i2i11 的条件下, 取小角近似 sini1i1,cosi1cosi21 于是有 n n x 1 ti1 证二： ) 1 ()sin( 11 n n tlx()sin( cos 1 1 t t = p237（1-6） 证一：由于光线垂直入射，故光线在第一个界面不发生折射，仅在第二个界面有折射。 如图， 根据折射定律 nsini2=sini2 以及几何关系 i2=, 故 nsin=sini2 当很小时, 有sin,sini2i2 则上式可写成n=i2所以偏向角为 ) 1( 2 2 =nnii 这个近似公式, 在干涉、衍射、偏振中经常要用到, 我们应当记住。 otherk 证二： + = )sin( n sin （当0时） 得出：) 1( n p2311（1-10） 解 ： 设 棱 镜 的 折 射 率 为 n ， 水 的 折 射 率 为 n， 先 求 得 n= 60. 1 50 2 3550 sin = + ? ? 2 sin 再由 n=n 2 sin 2 sin +m 得 ? 25sin 33. 1 60. 1 sin= + 2 sin 2 = n n m 1 32305080. 0sin 2 ? = + m 最后求出此棱镜放在水中的最小偏向角为 411?= m p2314（1-13） 解 ：根据折射定律，得到 n0sin 2 2 111 sin1sin=nn 21 1 cos= n 因为光线在玻璃芯和外套的界面上发生全反射的条件为 sin 1 2 2 n n 所以，欲使光线在纤维内发生全反射， 1 必需满足 otherk n0sin 2 1 2 1 )(1 n n n 1 故数值孔径为 n0sin 22 1 nn = sinsinidefng= ng defedf= ? 90 nn g 21 光导纤维的数值孔径反映集光本领，是导光传象的重要性能参数之一。 p2316（1-15） 证： 毛玻璃的作用是增加散射，以使液层上表面处处为散射源。如图（b）所示，在ab面入 射角较小的光线，在ac面出射时折射角较大。以折射角下限i 出射的光线 1,其共轭光线 1 在ab面的入射角为 90 0。出射方向观察用的是一架接收平行光用的望远镜，它能接收从ac面 出射的一系列不同方向的平行光束， 同一方向的平行光在望远镜中会聚于一点。 由于ac面出 射光线的折射角有一下限i ，因此在视场中出现有明显分界线的半明半暗区。 对图（b）中的 e 点写出折射定律为 对图（b）中的 d 点写出折射定律为 ? 90sinsinnedf = 又因为 defnedf g =cossin= 故由以上三式得 2 2 2 sin 1sin1 gg i ndefn= g n = 22 sin ing g g =n n 20 1 =aa p718（2-22） 解： 设 2 fa100 a 111 =+ 100 21 =aa 得出： faa100 21 = 24f 1 =a ,40 ,60 2 =a 2 3 2 1 = a a 1 =v， 3 2 2 =v p7110（2-24） 解： otherk 对l来说是虚物成实像， 2 =s = s 15 2 =s 20 1 =s fs =+ s 111 ，cm60=f p7111（2-25） 解 这是两次成象问题，设对l1的物距、象距分别为s1、s / 1,对l2 的物距、象距分别为s2、s2， 并注意到s2=-(s / 1-d)，d是l2在l1 0 . 5 1 0 .10 11 1 =+ s 右方的距离。把数据代入高斯公式得 0 . 10 1 )0 . 5( 11 1 2 = + ss 1 s cms0 .10 2 = ,0 .10 cm= 解得 . 并有 s2=-5.0cm 0 . 1 0 .10 0 .10 1 1 1 = s s v 所以经此光学系统象成在l2之右 10.0cm处，横向放大率分别为 0 . 2 0 . 5 0 .10 2 2 2 = = s s v x 总放大率为v=v1v2=-2 用作图法验证（如图所示） 。 p974（2-41） 解 放大镜（或目镜）的工作距离是要使得物体处在第一焦点附近稍靠里一些的小范围内， 这样才能形成一个明视距离s0以远的放大 虚象供正常人眼观察。所谓“焦深”就是指的上述小范围的纵向间隔，此值也正是与明视 距离相对应的物距。令象距，由牛顿公式得 fs f x f x + = 0 2 2 )( 0 fsx+= 须知视角放大率m=s0/f，替换上式中的焦距f 得 ) 1( 0 + = mm s x otherk 焦深 ) 1( 0 + = mm x s x cmx17. 4= x x = x 由此算出 m=2x, cm08. 2= m=3x, cm83. 0 m=5x, cm23. 0= m=10 x, 由此可见，高倍放大镜或目镜的焦距很短，焦深也随之缩短，要求实验调节更要精细。 p975（2-42） 解一： 物镜的横向放大率为 40 4 160 0 0 0 = f x v - 800 20 e mmm4 20 = 显微镜的总放大率为m=v0me=-40 解二: 参考书本 page 92 已知：目镜的视角放大率,物镜的焦距 0 =f160mm= ， e m 0 e f mvm = 0 根据 800=m 得到： p976（2-43） 解: （1）物镜成像时：做近似处理 fss 111 = + m 像距 m195= s ，得出 mm7=fm26. 7ms （2）物镜的横向放大率 7 .26 0 = = s s v 1335 （3）显微镜的总放大率 mm5 mm250 0 = e f s vm7 .26 0 = （4）目镜的焦深 mm1 . 0 mm)5( 2 2 = e e f x 5mm-250mm 0 e fs otherk 由，得物镜的焦深 2 oo fx = o x 0.0001mmmm1 . 0 )188( )7( 222 = = = e o o o o o o x x f x x f x 222 p1041（2-46） 解 如图所示，由几何关系易得孔径光阑即为物镜l0的边框。所以入射光瞳即为物镜本身。 出射光瞳为物镜对目镜在象方的共轭。由高斯公式得 0 . 2 1 22 11 =+ e s cmse2 . 2 = 解得 1 . 0 22 2 . 2 = e e e s s v 即出射光瞳的位置在目镜后 2.2cm处。由横向放大率公式 mmcmvdd e 0 . 55 . 01 . 00 . 5 0 = 所以出射光瞳的直径为 p1055 （2-50） 解： (1) 确定孔径光阑、入射光瞳和出射光瞳。 先将dd 对 l1 成象到系统物空间去。这时 s=4a, 求得 s=sf1/(s f1) =(4a2a)/(4a 2a)=4a v = - (s /s)= - (4a/4a)= - 1 r3 = r 3 | v |= r3 式中r3为dd的象dd的半径,（如图） 。再将l2 对 l1 成象到系统的物空间去。这时 s = d = 6a, 求得 s =sf 1/(s f1)=(6a2a)/(6a 2a)=3a v = - (s /s) = - (3a/6a)= - (1/2) r2= r2 | v | =(1/2)r2= (3/2)r3 式中r2为l2 的象l2 （如图） 的半径。 现在比较dd，l2,l1对轴上物点q的张角u1,u2,u3的大小: tgu1= r 3/(10a 4a)=(1/6)( r3/a) tgu2= r 2/(10a 3a)=(3/14)(r3/a) tgu3= r1/10a=(3/10)(r3/a) 可见u1 u2u3.因为光阑d d 为孔径光阑，它在物空间的象d /d/即为入射光瞳，位置在l 1之左 4a处，大小与d d 一样。 把dd对l2成象到系统的象空间去，即得出射光瞳dd（如图） 。这时s= d-l =2a, 求得 s = sf 2/(s f2)=(2aa)/(2a a)=2a v= - (s /s)= - (2a/2a)= - 1 otherk r 3 = r3|v|=r3 式中r3 为的半径。出射光瞳在之右 2a处，大小与一样。 （）确定视场光阑和入射窗。 比较和对入瞳中心的张角1,2(如图)的大小： tg=r1/4a=(3/4)(r3/a) tg=r 2/(4a 3a)=(3/2)(r3/a) 2 ,所以的边框既为视场光阑，并为入射窗。 1 第三章 p147-3 解: 00 )(+=+=zkykxkrkp zyx + )(exp)( 0 +=zkykxkiap zyx u 在zx 平面 )cossin(exp)( 0 +=kzkxiapu rk? ? p147-4 解 (1) (x) = kx = (2/)x (2) () = - 0 = 0 (3) (r) =krcos=(2/)rcos p148-5 解一： (1) (r) = kr 0=(2/)r o (2) (x) = xk? ? 0=(2/)cos- 0 (3) ()=- =(2/)ysin- yk? ? 0 p148-6 解 如图，设源点为（x0,y0,z0）,场点为（x,y,z）,则源点与场点的距离为 r=(x x0) 2 + ( o) 2 + (z + z 0) 21/2 因为点是会聚中心，所以沿靠近点源方向考察，扰动位相逐点落后，按符号约定应写成 ( p ) = ( q ) - kr 再考虑到振幅系数，这列球面波的复振幅为 u ? (p)=(a1/r)exp- i(kr + o) otherk o 其中为点源的实际初位相。 解二: 沿r方向波的位相分布 00 2 )( +=+=rrkr 沿x方向波的位相分布 0 cos 2 ( ) + x y =x 沿方向波的位相分布 0 sin 2 )( +=yy a k ? o k ? b p159-1 解 如图 ( b ),处于前焦面上的三个点源，发射的球面波经透镜变换后， 成为三列平面波射于后焦面（图中只画出了自发出的一列） 。设三列波的波长均为，波矢 分别为k ,ko ,kb ,其分量分别表示为 :(-ksin1,0,kcos1) : (0,0,k) k ? : (ksin2,0,kcos2) 式中 , 2 =k= boa kkk .sin,sin 1 ba = u 22 2 22 bfaf+ 它们在后焦面上的复振幅分布函数分别为 a(x ,y)=a 1exp-i(kx sin 1+1) u 0(x ,y)=a 0exp(-i0) u r(x ,y)=a 2expi (kx sin 2- 2) 式中，o ,2 ,分别是三列平面波在x /y/面上原点/的实际初位相， ，o, a2分别是三 列平面波的振幅。 这些量将反映三个点源的发光强度和位相关系， 其具体数值在本题中并不 重要。 p169-4 otherk 解一： 由双光束干涉反衬度与振幅比的关系式 = 2 (a1 / a2) / 1 + (a1 / a2) 2 得 当 1 时， 1 当 1/3 时， 0.6 当 3 时， 0.6 当 1/6 时, =0.32 当a1 / a2 = 1/10时, =0.2 解二: 参考书本page167 反衬度 2 21 )/(1aa+ 21 )/(2aa 所以,相应的反衬度1 3/5 3/5 12/37 20/101 p180-2（3-2） 解： 由条纹间距可以推算本实验中光源的光波长为 x d d = = 6250 a 0 在历史上,杨氏首先提出了“干涉” 的概念,引入了“波长”一量,用波的叠加原理解释了薄膜 的颜色,并设计了现在人所公知的著名的双缝干涉实验,来验证自己的理论.杨氏实验本身也 就成为历史上最早测定光波长的一种实际方法. p180-3 解一: 这种情况下,干涉条纹走向与 x 轴正交,既平行 y 轴.条纹间距公式为 x=/(sin1+sin2)=/(2sin) 1 2角如图所示. (1)(1) 当=5 0 时,x 1=3.6m (2) (2) 当=30 0 时,x 2=0.63m (3) (3) 上述两种情况下干涉条纹的空间频率分别为f1x=1/x1=276/mm f2x=1/ x2=1580/mm 均小于记录介质的空间分辨率，所以该介质干板能记录上述两种条纹。 解二: 参考书本page 177 (1) m6 . 3 5sin2 6328 5sin2 0 0 0 1 = a x (2) m63. 0 6328 0 2 = a x 30sin230sin2 00 otherk (3) 11 1 1 mm2000mm276 1 = = x x f 11 2 2 mm2000mm1580 1 = = x x f )cossin(exp 所以介质能够记录下来这两种条纹 p181-6 解: 101111 +=zkxkiau )exp( 20222 +=zikau )cos sin(exp 30 +zu 0 302010 3333 +=kxkia 1:2:1: 321 在原点处 , 0=z=, aaa 2 321 =kkk )sincos(22 321 uuuu=+=kxaa+所以 ) 2 sin (cos16 1)sincos(4 4222* akxauu=+= kx i = 强度分布与无关,干涉条纹为垂直于yx轴的一系列直线 ua)sincos(222)sincos()sincos(kxakxaaakx+=+=+ ) sin (cos16 42 2 2 kx aui= 干涉条纹的特征 sinsink x= 2 , 2 sin1k x fx= u p181-7 解 本题是平面波和球面波的干涉问题。实验上可以采用如图（b）所示的装置，把一点源 置于旋转抛物面反射镜的焦点上， 则经反射后照射在屏幕上的是一列正入射的平面波， 由点 源直接照射在屏幕上的是一列发散的球面波，且发散中心在轴上。 据题意可写出 xy 平面上平面波和傍轴球面波的复振幅分布函数分别为 1(x,y)=a1 otherk 2 u (x,y)=a2expik(x +y )/2a+ 22 20 式中20=常数，为两列波在原点o处的位相差。因此总的复振幅分布为 u (x,y)=a1+a2expi(k(x 2+y2)/2a)+ 20)=a1+a2expi 干涉强度分布为 i（x,y）=u (x,y)u (x,y) =a1 2+a 2 2+2a 1a2cos(x,y) 式中(x,y)=k (x2+y2)/2a+ 20它是xy 面上任一场点两列波的位相差。(x,y)=常数点的轨 迹。因此任一干涉条纹的轨迹方程为 x2+y2=r2=常数 这是中心在坐标原点的圆的标准方程。 由此可见干涉条纹形状是以原点为中心的一系列同心 圆环。原点的强度究竟是亮还是暗，取决于20的值。 第n级亮环条件为 k(x2+y2)/2a+20=2n 如20为2的整数倍，既相当于原点为亮点的情形，这时可略去20不写，得 rn2=x2+y2=(2a/k)n2=n2a(n=0,1,2,) 则由中心向外第 n 个亮环的半径为 2 n r =(n2a)1/2=1 rn n 式中r1为中心向外第一个亮环的半径。上式即为亮环的半径公式，它与菲涅耳波带片半波带 的半径公式=(n) 1/2p 1形式一致。菲涅耳波带片是黑白型的。 p2821（3-5） 解 （1）实际上各种分波前干涉装置都可以杨氏双孔实验为原型，它们是严格的或近似的双 象系统，其干涉条纹的间距均可以套用公式 d d = 式中 d 为双象的距离， d 为双象中垂线方向至屏幕的距离。 在菲涅耳双面镜装置 （如图） 中， d=2b d=b+c cb b2 + x=1.13mm 2） 因幕上两光束的最大交叠区的宽度为 l2c 所以幕上最多能看到的条纹数为 nl/x22 （3） 由于实际装置中，bc，所以当光源沿纵向 ms 连线方向移远一倍时，则 otherk d=b+c d =2b+cd d=2b d =22b=2d 于是 xx 1/2 x 即条纹间距密集了一倍。而交叠区的宽度 l 没有变化，故可见条纹数的最大值增大一倍， 即 n 2n44 （4） 若点光源横向移动s，则虚象点s1 /,s 2 /随之在半径为b的圆弧上移动s 1 ,s 2 ,且 s1 /=s 2 /=s 从而保持s1 ,s 2 的间距d不变，因此条纹间距x保持不变。但是，双象中垂线与屏幕的交点 位置（零级）随之移动以m为中心转了一个角度 s/b 反映在屏幕上零级位移为 c b x=c=s 换句话说， 此时幕上的条纹总体发生一个平移。 这一点为下一个问题扩展光源对干涉场 反衬度的影响作了概念上的准备。 （5） 设扩展光源为 b，即其边缘两点间隔 s=b,若这两套条纹错开的距离（即零级平移量） x 正好与 x 相等，则幕上反衬度降为 0。据此 c b x=b cb b2 + x= 令 x=x 得光源的极限宽度 b120.05mm 从以上讨论中可以看到，菲涅耳双面镜的夹角 越小，则条纹的间距越大，允许扩展缝 光源的宽度越宽，这两点对实际观察是有利的。但是，此时光束的交叠区变小，产生的干涉 条纹的数目很少。 p2823（3-7） 解一： 洛埃镜为双象干涉装置，双象间隔 d=2按条纹间距公式 x=dd=(a+b+c)/2 b/21.8mm 交叠区域的线度 21x x= 12 oxox l=(c+b)tg2-btg1 = 而且 tg2=a/a, tg1=a/a+c 考虑到 ba，c，得 otherk l=abc/a(a+c)54mm 幕上产生的条纹数目为 n=lx30（条） 解二: 参考书本 page 271 在洛埃镜中, d3.07mcm5m3cm2=5 . 0 mm+=a , mm81. 1 2 = a x d 根据三角形关系,得到看到条纹的范围 mm82.54 )( = + + = ldd addla l 所以可以观察到的条纹 30 82.54 = 81. 1x l n )( 条 p2835（3-9） 解: (1) 根据等光程原理,得出干涉条纹将向上移动 nl= (2) 102 10589320)000276. 1(102 =n 000865. 1n = p2836（3-10） 解 设空气折射率为n,真空折射率为n0,则实验过程中两管光程差的变化等于t1管中光程的 变化 (l)=nl=n 所以 n=n0+n=1+n/l1.000289 p2837 （3-11） 解一: 根据光场空间相干性反比关系 b1 在光源宽度 b 给定的情况下，干涉孔径角（即双缝对光源所张的角间隔） 必须满足 1b 即双缝间隔 otherk d=rr1=r/b0.74mm 才能在幕上产生有一定反衬度的可观测的条纹。 解二: mm74. 0105893 102 5 . 2 10 3 = = b r d p2838 （3-12） 解: 4 .11 cm1 = b 5550 0 a m 当m1=r时, mm0555. 0= r d 22 mm0031. 0d=s b , 当m10=r时, mm555. 0= b r d 2 d 2 mm31. 0= ,s p3001（3-13） 解: 参考书本 page 289 8=k条 在图中,可以得到形成的干涉条纹为 0 0 235728 2 5893 2 a k n d= a p3002（3-14） 解 （1）如图，先由条纹间距公式算出空气层劈角 ，在由两块规矩距离 l 算出高度差 hl=l2x 29.47um 当然，要判断哪块高，就不是图上画的那麽显而易见了，仅靠静态条纹的性质也是无法作出 判断的。为此，轻压盖板 t 的中部，两侧条纹疏密变化正好相反。条纹变密的一端块规长， 条纹变疏的一端块规短。 (2)这说明g2上下两表面有不平行度， 致使其上表面并不严格平行g1的上表面， 造成两边空气 层劈角不等，劈角差（用以量度不平行度）为 =2-1=（1/x2-1/x1）/2 3.9310 -4rad1.35 p3013（3-15） 解一：按题意，说明样品上方空气层的厚度改变了 h=n /2 otherk 式中n为条纹移过的根数。空气层厚度的改变是由于标准石英环与样品的线膨胀系数不等引 起的。设石英和样品的线膨胀系数分别为1，2，则线膨胀系数之差 = 12 tl0 ll tl ll 1 0 2 = tl ll 0 12 = tl h 0 = tl02 hn =5.8910 -6/0c 以上分析并未确认空气层的厚度是变厚了还是变薄了，因而并未确认线膨胀系数谁大谁小， 这只能由条纹移动的趋向来确定。如果条纹移动方向朝交棱，说明空气层变厚，样品线膨胀 小于石英环。总之，样品的线膨胀系数有两个可能的取值，即 2=1+6.2410 -6/ 0c 或-5.5410-6/ 0c 解二: 改变的厚度:kh= 2 1062 10589310100)1035 . 0 (101 = c 06 /10243 . 6 = p3025（3-17） 解: m38. 0 1063. 010 )107 . 0()107 . 1 ( 6 232322 = = = + m rr r kmk p3026（3-18） 解: 考虑到目前存在半波损，出现亮场的表观光程差应满足（参见附图） 2nhcos i=(2k+1)/2, (k=0,1,2,) 令 k=0 得肥皂膜的最小厚度为 in 2 sin14 a 0 h0=/4ncos i=1042 p3292（3-23） 解一: （1）首先定性分析一下，等效空气膜的厚度是增加了还是减少了。在相同视场（角 范围）之内，条纹数目变小，条纹变稀，说明膜厚变薄，条纹向里吞了 10 环，因而位移绝 对值为 h=n /2=2.947m (2) (3) 中心级别的绝对数 k 取决于膜层厚度 h,而 k,h 以及视场角范围 开始时 都是未知的。为此，考虑镜面移动前有 otherk 2h=k (a) 2hcos=(k-12) (b) 镜面移动后有 2(h-h)=(k-10) (c) 2(h-h)cos=(k-15) (d) 由式（a）和式（b）,式（c）和式（d）相比,得 15 10 12 = kk kk 解出 k17 （2） （3） 显然，移动后中心亮环级别为 7，向外数第 5 个亮环的干涉级别为 2。 p 解 根据 h=n /2 得 =2h/n3.438m 此光波长在红外波段。 解: (1) 移动的距离m947 . 2 2 5893 10 2 0 = a n l (2) 镜子移动前: h =2k )12(cos2=hk 镜子移动后: )10()(=2klh )15(cos)(2=lhk 17=k 得到: k 251017=级 (3) p329-4 （3-25） 解: 双谱线产生的两套条纹不相干叠加结果，将使干涉场的反衬度随光程差的增加而呈现 周期性的变化，从最清晰到最模糊（或 从最模糊到最清晰）的光程差改变量 （l）以及条纹的吞（吐）数 n 满足 2 (l)=/2=n otherk 由此求得双线间隔为 =/2n=5893/24906.0a 0 波长分别为 1=-/2=5890.0a 0 2=+/2=5896.0a 0 p329-6 （3-27） 解: 这台仪器的测长精度为: m10164. 3 62381 2 0 = a n 2102 一次测长量程为 m2 )6280( 0 22 = a lm 102 2 0 3 a p3431（3-29） 解一: 法铂仪属于多光束长程干涉仪，有很高的色分辨本领，在光波长为的级可分辨 的最小波长间隔为， 它们满足以下关系（色分辨本领公式） r r k = 1 其中 k 值很高，中心 k 值决定于 2nh=k 按题意，合并以上两式得 2 1 2 r nn k = 21r h= 取n=1,r=0.95,=0.6m,=10 -7m,算出 h2.94cm 这是题目给出的分辨要求下，腔长下限值。 解二: 由 r r k = 1 knh =2 , 推出 1095m m)6 . 0( . 0 95. 01 2 1 7- 2 = h otherk 得: cm94. 2h p3432（3-30） 解 在法珀干涉仪中，极强（亮纹）所满足的角方位条件为 2nhcosk=k 中心亮斑的级别由下式决定 2nh=k0 所以第 10 个亮环的角半径k满足 cosk=(k0-10)/2nh=1-10/2nh 取 n=1,h=1.00cm,=0.5m,算得 cosk0.9998 k1 09 角直径为 2k=2 018 p3433（3-31） 解: (1) 5 5 0 107 . 1 106 522 = nh k r r nh k k = 1 sin2 rad k 6 102 . 2 (2) , 得到: 7 106 . 2 1 = r r k (3) 0 47 103 . 2106 . 2/a = (4) hz103 05. 02 103 2 9 8 = nh c v 5 1414 102 . 1 hz104-hz105 . 7 = = vv mm v n 9hz 103 条 hz109 . 1 1 7 = rc v 2rnh 0 4 2 a109 . 1 =v c otherk (5) 注意其中腔长的改变量相对值为 5 10 = h h hz10310103 2 ) 2 ()( 459 = h h nh c nh c v 0 2 7 103)()(av c = p3434（3-32） 解 （1） 先算纵模频率间隔 =c/2nh2.410 14h z 再算可见光频段内包含的纵模个数（即透射最强的谱线条数） n=3.510 14/2.410141.5（条） 鉴于目前谱线为数很少， 不妨算出谱线波长的具体数值。为此，令m=1000a 0，算出 km=2nh/m=3.1 令m=7600a 0，算出 km=2nh/m=1.6 因此在可见光范围内，只能在 1.6-3.1 之间取可能的整数值相应的最强谱线波长为 =2nh/26200a 0 /=2nh/34133a0 (2) (2) 上述两条谱线的宽度分别为 = r r k 1 40.3a 0 17.9a0ys1 批注批注 ys1: 第四章 p208-2（4-2） 解一： 由菲涅耳圆孔衍射半波带半径公式 br rb k + br rb + = 1 k = k 1 ， 得 2 br k + = k rb 上式说明在目前光源离圆孔距离r,观察点离圆孔距离b，光波长等量确定的条件下，圆孔露 出半波带数k和圆孔半径 k 之间呈二次抛物线关系。当圆孔半径 k 逐渐扩大时，所露出半 波带数显然增加。 otherk 开始 k =0.5mm时，计算露出半波带数目为 k=0.33 所以圆孔扩大过程中，当 k=1，3 时出现头两次中心亮斑，当 k=2,4 时出现头两次中心暗斑， 代入数据得 k = k 1 k =0.87mm (1) (1) 分别取 k=1，3 时最先两次出现中心亮斑的圆孔半径分别为 mm br rb 87. 0 1 = + = 3 =(3)1/21 =1.5mm (2) (2) 分别取 k=2，4 得最先两次出现中心暗斑的圆孔半径分别为 = 2 2 2 . 1 1= mm 4 = 4 1 =1.7mm 解二解二: 参考书本 page202 m,0 . 6=r,m5 . 1=b63. 0m= k br rb k + = 1 kk= 87 , 根据 得到: mm. 0 1 =mm5 . 1 3 = 最先两次出现的中心亮斑的半径为:, mm23. 1 2 mm74. 1=, 最先两次出现的中心暗斑的半径为： 4 p208-3（4-3） 解：根据 h k hk r fa )( 挡住一半，半波带的面积减小一半 k aa 2 1 = 得到 0 4 1 ii = p208-4（4-4） 解： 作振动矢量图 如图所示，由图可知此时场点振幅 otherk a(p0)=(2) 1/2a 0(p0) 强度 i(p0)=2i0(p0) 即 1.5 个半波带中心强度为自由传播时的倍。 p208-5（4-5） 解 设加衍射屏后轴上场点的振幅为a,光强为i，自由传播时轴上场点的振幅为a0，光 强为i0。分别作振动矢量图如附图（1）（6） ，由振动矢量图分别求得： (1)a=(2) 1/2a 0, i=2i0,即 i /i 0=2 (2) a=(2) 1/2a 0, i=2i0,即i/i0=2 (3) a=(1/2)a0, i=(1/4)i0, 即i/i0=1/4 (4)a=a0, i=i0，即i/io=1 (5)a=(2ao)2+a021/2=(5)1/2a0, i=5i0,即i/i0=5 (6) ao =（1/4）a o，io /=（1/16）i o，即 i /i o=1/16 p208-6 （4-6） 解一：如图，此时场点的振幅为 ao =a 1+a3+a5+a7+a9+1/2a1 5.5a1=11a0 强度 i / =121i o 即中心强度为自由传播时的 121 倍。 题 6 图 ia 2 = 解二： 将五个偶数半波带遮挡时 aaaa11 2 1 19 =+?aa 31 += 2 1 a = a 是自由传播时的振幅 其中 ia121 2 = i p208-8 （4-8） 解一： （1）根据菲涅耳波带片主焦距公式 otherk f=1 2/ 算出 f=23.6m (2)为使焦距缩小到f /=25cm,则应将上述波带片用照相法收缩。由 f/f / =1 2/ 1 /2 求得 ff/ 1/1 /= 10 即此波带片的直径需缩小到原来的十分之一。 解二：m6 .23 2 = f mm515. 0=f 71. 9 515. 0 5 1 = n 0 sinsin p224-1（4-11） 解：(1)参考书本 p212 aal= ) 2 0 sin(sin2 = a sin2rab =a 2 ba r ? = 所以得到 2 0 ) sin ( ii = 0, 0= l, 在几何像点处 (2) (3) =)sin(sin 0 a dsin = 0 0 0 0 cos d sinsin 0 a = cos otherk p225-4（4-14） 解一： 根据上题分析， 细丝夫琅和费衍射强度分布与其互补的单缝强度分布除象点以外是处 处相同的，故零级斑半角宽度取同一公式 /al/2f 在本题中应将 a 看作细丝直径，l 为零级斑的线宽度。由此算出 a2fl63m 解二： a ffl 22= m63 63. 05022 = = 10l f a p235-3（4-17） 解：(1) . 61 . 0 ym an = 55. 0=m 其中取人眼最敏感的波长 得到 mm1054 61. 0 . 61. 0 4 =. 2 32. 1 m55. 0 = ym n a 倍295 mm105 . 2 mm075. 0 4 = m e y y = m v (2) (3) e ff s 0 0 =m, mm113 0 0 = s ffv em p235-4（4-18） 解：按题意，要求能分辨的最小角间隔为 3 10200 1 mrad=0.510 -5 rad 该照相机的镜头即为孔径光阑，其最小分辨角公式为 m1.22d 据此，以 0.4m 代入，算得相机镜头孔径 d1.22/m=9.76cm p235-6（4-20） otherk 解： d m 22. 1= m03. 5 20 105 . 1 550022. 1 22. 1 0 8 = =a m d p163（4-23） 解：参考书本 4-6 页 p175（4-25） 证一：考虑三束衍射线之间的光程差图（b）所示，据此作矢量图（c）,a为单缝衍射的振 幅，a为三缝衍射的总振幅。 显然 ax=a(1+cos+cos3) ay=a(sin+sin3) 所以三缝衍射强度分布为 i=a 2 x+a 2 y =a 2 (1+cos+cos3) 2+(sin+sin3)2 =a 2 3+2(cos+cos2+cos3) =i0(sin) 23+2(cos2+cos4+cos6) 式中 asin,=dsin 证二：参考书本,根据矢量作图 sin 01 aaa= sin a = ， sin d = otherk )6cos4cos2(cos23 )6sin2sin()6cos2cos( 2 222 += += a aaaaa 合 a p176（4-26） 解： 把缝宽为 2a的单缝看成缝宽为a，且间距也为a的双缝。这样本题的不等宽双缝即化成 等宽不等距的三缝，缝宽均为a，缝距分别为 2.5a和a。用附图（b）所示的矢量图即可求得 合振幅 a,图中=2asin。a的x,y 分量分别为 ax=a(1+cos52+cos72) ay=a(sin52+sin72) 所以衍射强度分布为 i=a 2 x+a 2 y =a 2 (1+cos52+cos72) 2+(sin52+sin72)2 =a 2 3+2(cos+cos52+cos72) =i0(sin) 23+2(cos2+cos5+cos7) =i0(sin) 23+2(cos2+cos5+cos7) 式中i0为单缝的零级主极强，=asin. p17-7（4-27） 解 （1）遮住偶数缝，这时衍射屏成为一块缝宽为 a,缝距 d=6a 的 n 缝光栅，其夫琅和费 衍射强度分布为 i=i0 22 ) sin sin () sin ( n a a 式中i0为单缝零极主极强，= sina 6 sin = d ,= (2)遮住奇数缝时，与遮住偶数缝时相比，衍射屏内部各次波源到达场点的位相关系完 全相同，因此衍射强度分布 也完全相同。 （3）衍射屏是大量次波源的集合。全开放时，这种周期结构的衍射屏上的次波源，有 两种编组方式，相应地有两种处理衍射强度分布的 otherk 方法（一） ：把每两条缝宽为 a,间距 d=2a 的双缝看作一个衍射单元，整个衍射平由间距 d=6a 的 n 个这样的衍射单元组成。则单元衍射因子为 u（）= / cos sin22sinsin sin = 2cos sin 2 = 式中 =asin =d /sin=2asin=2 n 元干涉因子为 n()=sinnsin=sinn6sin6 式中 =dsin=6asin=6 所以强度分布函数为 i()=i0u 2()n2() =4i0(sincos2) 2(sin6nsin6)