火星探测器轨道设计方法研究.pdf

国内图书分类号： v529.1 学校代码： 10213 国际图书分类号：52 密级：公开 工学硕士学位论文工学硕士学位论文 火星探测器轨道设计方法研究 硕 士 研 究 生 ： 陶尔凯 导 师 ： 王日新副教授 申请学位 ： 工学硕士 学科 ： 一般力学与力学基础 所 在 单 位 ： 航天学院 答 辩 日 期 ： 2012 年 7 月 授 予 学 位 单 位 ： 哈尔滨工业大学 classified index：v529.1 udc.: 52 thesis for the master degree in engineering research of mars probe trajectories design method candidate： tao erkai supervisor： prof. wang rixin academic degree applied for： master of engineering specialty： general mechanics and fundamental mechanics affiliation： school of astronautics date of oral examination： july, 2012 university： ： harbin institute of technology 哈尔滨工业大学硕士学位论文 i 摘要摘要 进入二十一世纪以后，世界各国展开了一股深空探测的热潮，而火星探测更 成为深空探测的热点。对于火星探测问题，首先要知道探测器的轨道，这就需要 进行轨道设计工作。本文从火星探测任务出发，进行了深空探测轨道设计的研究， 主要内容如下： 首先，针对火星探测直接转移轨道设计的问题进行了研究。对于初始轨道设 计问题，可以运用圆锥曲线拼接法，将整个轨道设计问题，视为多段二体问题， 运用 lambert 问题的求解方法进行求解。 基于以上基本理论， 本文采用了 pork-chop 图法，求解直接转移轨道问题。而后，运用遗传算法对直接转移轨道进行了寻优 搜索，并分别对两种方法进行了验证，比较了两种方法各自的特点，指出了各自 适用的使用范围。此外，本文还结合深空机动进行了轨道设计工作。在初始轨道 设计的基础上，考虑四体问题，采用微分修正法，进行了精确动力学模型设计， 通过仿真进行了验证。 其次， 研究了借力飞行问题。 分别采用 pork-chop 图法和粒子群算法针对地球 金星火星借力飞行方案进行了轨道设计工作，并通过文献数据进行了对比验 证。在此基础上，采用粒子群算法进行了附加深空机动的轨道设计，并对粒子群 算法和遗传算法进行了对比研究，指明了相比遗传算法粒子群算法在轨道寻优方 面的优点。 最后，基于 pork-chop 图法、遗传算法和粒子群算法，利用 matlab 进行了 火星轨道设计软件开发工作。介绍了软件的模块设置和界面分布，并结合实际算 例，阐述了软件具有的功能。 关键字关键字：火星探测； 借力飞行； 智能算法；轨道设计软件 哈尔滨工业大学硕士学位论文 ii abstract since the 21 century, countries around the world launched a wave of deep space exploration boom. especially the exploration of mars has become the hot spots of deep space exploration. for the exploration of mars, we must first know the orbit of the detector, which requires the orbit design. in this paper, to aim at the mars mission, started the trajectory plan research, and the main content is as follows: in the first place, research on the exploration of mars direct transfer orbit design. for the preliminary orbit design issue, we can use patched conic method, regarding the entire orbit design issues as sections of two - body problem and using the lambert problem solving method to solve. based on the above basic theory, this paper used pork-chop diagram method to solve the direct transfer orbit. then, we used genetic algorithms to solve direct transfer orbit optimization search and compared respective characteristics of the two methods, pointing out respective applicable serviceable range. besides, this article also combined with the deep space maneuver to finish orbit design. on the basis of the initial track design, considering the four-body problem, using differential correction method conduct accurate dynamic model design，and verified through simulation. next, study on gravity-assist issue. adopting earth - venus mars gravity-assist program, we used pork-chop figure method and particle swarm optimization to finish orbit design, verifying these methods with literature data. on the basis of this, this paper used particle swarm optimization to finish deep space maneuver orbit design and compared particle swarm algorithm and genetic algorithms, pointing out the advantages of particle swarm optimization in the orbital optimization, compared to the genetic algorithm. finally, the pork-chop, genetic algorithm and particle swarm optimization using matlab for the mars orbit design software development work. introduce software module settings and interface distribution, and explain the functionality of the software, combining with practical examples. key words: mars exploration; gravity-assist; intelligence algorithm; orbit design software 哈尔滨工业大学硕士学位论文 i 目录目录 摘要 . i abstract . ii 第 1 章 绪论 . 1 1.1 课题背景和意义 . 1 1.2 国内外研究现状 . 2 1.2.1 国内外火星活动发展过程 . 2 1.2.2 国内外火星探测轨道设计技术研究现状 . 3 1.2.3 国内外轨道设计软件开发现状 . 6 1.3 本文主要研究内容 . 7 第 2 章 火星直接转移轨道设计 . 8 2.1 引言 . 8 2.2 深空探测基本理论 . 8 2.2.1 lambert 问题 . 8 2.2.2 圆锥曲线拼接法 . 11 2.2.3 时间历元 . 12 2.3 基于 pork-chop 图法的直接转移轨道设计 . 13 2.4 基于遗传算法的直接转移轨道设计 . 15 2.4.1 遗传算法轨道设计研究 . 15 2.4.2 算例与分析 . 18 2.5 带有深空机动的直接转移轨道设计 . 20 2.6 火星探测四体模型轨道设计 . 24 2.6.1 b 平面 . 24 2.6.2 微分修正法 . 25 2.6.3 算例与分析 . 26 2.7 本章小结 . 26 第 3 章 火星探测借力飞行轨道设计 . 27 3.1 引言 . 27 3.2 借力飞行基本原理 . 27 哈尔滨工业大学硕士学位论文 ii 3.3 基于 pork-chop 图的借力飞行转移轨道设计 . 28 3.4 基于粒子群算法的借力飞行转移轨道设计 . 31 3.4.1 粒子群算法轨道设计研究 . 31 3.4.2 算例与分析 . 34 3.4.3 参数选取分析 . 35 3.5 带有深空机动的借力飞行转移轨道设计 . 37 3.5.1 粒子群算法设计 . 37 3.5.2 粒子群算法与遗传算法比较 . 39 3.6 本章小结 . 41 第 4 章 火星探测轨道设计软件 . 42 4.1 引言 . 42 4.2 软件框架结构 . 42 4.3 软件功能与设定 . 43 4.4 算例演示 . 45 4.5 本章小结 . 48 结论 . 49 参考文献 . 51 攻读学位期间发表学术论文 . 55 哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 . 56 哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书 . 56 致谢 . 58 哈尔滨工业大学硕士学位论文 1 第第1章章 绪论绪论 1.1 课题背景和意义课题背景和意义 进入二十一世纪以后，全球各航天组织再次兴起了一股深空探测的风潮，美 国航天局（nasa） 、欧空局（esa）以及俄罗斯、日本等国均不同程度的发展或 提出探月计划。而同时，对各大行星及其卫星、小行星、彗星，nasa、esa 等 航天组织也分别展开了探测，并取得了不少进展。尤其是火星探测，自进入 21 世纪以来，美国航天局和欧空局共发射了 6 颗火星探测器，其中 3 颗着陆器，全 部发射成功。这些探测器带回了很多有用的资料，使人们对火星有了更加深入的 认识，也为今后火星探测进一步的发展提供了支持1。 在国内， 自 2000 年以后， 我国开始制定和实施月球探测计划任务嫦娥工 程，并于 2007 年 10 月 24 日与 2010 年 10 月 1 日分别成功发射嫦娥一号与嫦 娥二号探月卫星。与此同时，中国空间技术研究院、中国运载火箭技术研究院、 上海航天局等多家单位分别开展了火星探测的预研工作，并在 2011 年 11 月 8 日 与俄罗斯联合发射了我国首颗火星探测卫星萤火一号，虽然最终未取得成 功，但也展示出我国在未来对火星进一步探测的热情。 现阶段国外已发射的火星探测任务主要采取直接转移变轨的方法设计探测轨 道，这种方法实现原理简单，但发射所需能量高，成本较大。而在国内外火星探 测的研究方面，还采取过小推力变轨与借力飞行的方法进行轨道设计工作，此两 种方法与直接变轨相比虽然原理较为复杂，但所需能量较小，可以节省成本。尤 其是在遇到多目标探测轨道设计时，经常采用借力飞行与轨道机动结合的方式设 计轨道。目前来看，当今国际上发射的探测目标较为复杂的“深空一号” （deep space-1）和“罗塞塔”号（rosetta）分别采用小推力变轨和基于借力飞行原理的 混合变轨方式进行轨道设计，今后国际上进行比较复杂的探测任务时也会以这两 种方式为主。本课题将主要进行直接转移和借力飞行的方法设计火星轨道，并结 合深空机动进行研究。同时，根据直接转移与借力飞行原理研发行星际探测轨道 设计软件。 哈尔滨工业大学硕士学位论文 2 1.2 国内外研究现状国内外研究现状 1.2.1 国内外火星活动发展过程国内外火星活动发展过程 自 1958 年美苏两国分别开展探月计划后， 世界各国在深空探测方面的探索已 经有五十余年的历史了，期间美国、俄罗斯（前苏联） 、欧洲、日本、中国和印度 共发射了数百颗探测器，分别对月球、太阳系行星、巨行星的卫星、小行星和彗 星等星体进行探测2。 国际上，深空探测活动初期主要以月球探测器为主，直到二十世纪六十年代 以后以火星金星等太阳系行星的探测才开始开展，对于火星探测的历史可以大致 分为三个阶段。下图展示了不同阶段，火星探测活动次数。 0 5 10 15 20 第一阶段第二阶段第三阶段 单单 位位 ： 颗颗 总和 成功 失败 图 1-1 火星探测活动图 第一阶段：二十世纪六十年代初期，在这一阶段主要进行火星飞越探测，以 发送火星图片与探测火星大气参数为主。由于国际上探空探测尚处于研究初期， 探测任务的成功率并不高，仅有一例成功完成任务。1962 年，前苏联发射火星 一号（mars-1）探测器，被认为是国际火星探测的起点，但该探测器在飞往火星 的途中与地面失去联系，最终失败。此后，在前苏联的“火星-1962a”号 （mars-1962a）与美国的水手3 号（mariner-3）等火星探测器探测任务宣告失 败，直到 1965 年终于由美国的水手4 号（mariner-4）首次完成火星飞越，成为 首例成功探测火星的人造卫星。到了六十年代中后期，美国与前苏联对火星的探 测热情有所减弱，二十世纪六十年代后半阶段对太阳系行星的探测主要集中在金 星探测方向。 第二阶段：七十年代初期，美苏两国从新开始展开火星探测活动，火星探测 以轨道环绕与着陆探测为主，主要完成任务除了传回图像、探测大气以外还包括 哈尔滨工业大学硕士学位论文 3 探测磁场、地表温度等内容。此阶段包括水手6 号（mariner-6） 、火星2 号 （mars-2）与海盗1 号（viking-1）在内的多颗火星探测器顺利完成任务，尤其 是 1971 年发射的前苏联火星2 号探测器，成功登陆火星成为首颗火星着陆器。 另外，1972 年，美国“水手”9 号（mariner-9）到达火星，成为了火星第一颗人 造卫星。美国进入冷战后期后，随着美苏两国对于深空探测的投入减小，整个八 十年代，仅有前苏联发射过两颗火星卫星探测器，且全部失败。火星探测的主要 方向由发射探测器转为研究历次发射所得资料数据。 第三阶段：二十世纪九十年代至今，冷战结束后，由于在此前的研究中发现 火星与地球的环境特征比较相近，火星探测重新成为深空探测的热点，以美国为 首的多个国家地区分别开展火星探测活动，探测方式主要为着陆探测，在这一阶 段的主要目标在寻找火星水存在的证据和生命迹象。期间共发射过火星快车 （mars express） 、勇气号（sprite）和机遇号（opportunity）等多颗探测器，并成 功找到了火星水存在的证据。 2011 年 11 月 26 日， 美国好奇号火星车发射升空， 准备在 2012 年 8 月登陆火星，延续勇气号、机遇号等探测器的任务，探测火星过 去或现在是否存在适合生命生存的环境。 在国内，进入二十一世纪以后，我国开始开展深空探测活动。我国深空探测 的首个目标是距离地球最近的星体月球。2004 年，嫦娥探月工程正式展开， 并于 2007 年 10 月 24 日和 2010 年 10 月 1 日， 成功发射嫦娥一号与嫦娥二号 两颗月球探测器。它们分别完成了绘制月球三维地图，探测月球成分，探测月球 表面特征，探测地月环境特征等任务，获得了大量有用的月球信息，为实现“嫦 娥三号”软着陆打下了良好的基础。 在月球探测的同时，火星探测方面的工作也在开展着。2007 年，中俄签订火 星探测合作协议，拉开了我国火星探测活动的序幕。2011 年 11 月 8 日，由上海 卫星工程研究所研发中俄共同发射的萤火一号升空，但由于变轨失败，并没有 完成既定任务。 此次探测任务虽然失败了， 但依然表明国家对于火星探测的动力。 1.2.2 国内外火星探测轨道设计技术研究现状国内外火星探测轨道设计技术研究现状 对于火星探测轨道设计技术， 按照能量获取方法分类， 可大致分为三种方法： 直接转移、小推力变轨和借力飞行的方法3。 直接转移方法是指， 探测器在短时间内由大推力冲量的方法获得瞬时加速度， 改变探测器的速度，通过一次大推力加速过程直接完成探测器飞往目标天体的转 哈尔滨工业大学硕士学位论文 4 移。对于直接转移方法，可以分为初步设计和精确设计两个过程。 对于初步设计，是以圆锥曲线拼接法（patched conic method）为基本原理， 将探测轨道划分为几个分段过程，每个分段过程可以近似成二体问题处理，然后 通过接口，将每一段拼接在一起。breakwell 和 perko 证明了针对行星际轨道设 计问题，应用圆锥曲线拼接法可以得到合理结果4。对于二体问题，sergeyevsky 和 yin5提出了针对不同发射时间和到达时间， 绘制发射能量和到达能量以求得发 射机会的方法pork-chop 图法，来搜寻可能的发射机会，pork-chop 图法是搜 索发射机会的经典方法。能量等高线图一般以发射和到达时间为坐标轴绘制发射 或到达能量的等高线图，图上的每一点都可以由相对应的兰伯特（lambert）问题 求得。 由于初步设计，采用的是二体问题处理的方法，没有考虑其他星体的引力、 太阳风等因素，所以尽管圆锥曲线拼接法对于深空轨道初始设计与任务验证来说 可以提供足够的精度，在实际工程探测中，依然需要进行基于精确模型的计算以 求得符合精度要求的转移轨道。angelo miele 和 t. wang 曾经采用连续梯度修补 （sequential gradient restoration）非线性规划算法6,7研究火星探测任务的轨道特 性。此种方法采取最优控制原理求解，方法的非线性较强。此外，大部分精确动 力学模型算法采取的均为轨道搜索算法。包括不需要偏导数信息的变步长折回爬 山法、可变容差多面体算法和采用偏导数信息的牛顿微分校正算法、最速下降梯 度法等方法。 小推力方法采用的是高比冲推进，通过长时间的小推力加速，螺旋运动，到 达目标星体。由于小推力方法动力学模型长时间存在小推力项，采用的转移方案 和设计方法将会与常规的方案存在差异8。小推力转移的优化属于函数空间的最 优化控制问题，目前解决此问题主要存在两种方法。一是基于 pontryagin 极小值 原理的间接方法，该方法主要是通过变分方法求解必要条件，然后再通过数值方 法 求 解 边 值 问 题 。 目 前 提 出 的 间 接 方 法 包 括 梯 度 方 法 、 拟 线 性 化 （quasilinearization）方法和有限差分方法（finite difference method） 。现阶段应 用更多的是直接方法，主要是通过离散化处理，将连续问题变为有限参数优化问 题，通过迭代的方法寻求最优解。现阶段主要应用的直接法包括与间接法相结合 的 direct transcription9,10方法、直接打靶法11和遗传算法12等。 借力飞行是探测器在飞往目标星体的过程中，接近其他星体，并利用该星体 哈尔滨工业大学硕士学位论文 5 的引力改变自身轨道。通过借力飞行的方法，可以使探测器改变到理想的轨道， 尤其是在飞往距地球较远的星体时，需要较大的能量，通过引力辅助变轨可以获 得速度增量，以减少发射能量和飞行时探测器所消耗的能量。早在二十世纪五十 年代 battin 就已经开始研究往返星际航行中通过借力飞行的方法节省探测器能量 消耗13。j.k.miller 运用蒂塞朗准则（tisserands criterion）针对不存在动力近 拱点的借力飞行进行了分析14，找到了发射星体和借力星体、借力星体和目标星 体之间成对的可行轨道。此外，longuski1517提出了一种设计多天体交会借力飞 行轨道的方法，通过给定的初始发射时间段和目标星体，运用自动寻找 c3 的匹 配（即飞出借力星体和飞入借力星体之间的能量匹配）找出满足所需条件的发射 机会。 同时 williams 和 longuski 还证明了此种方法可以找到一些新的、 效率更高 的轨道设计方案。 在纯借力飞行之外，带有轨道机动的借力飞行轨道设计同样做了大量研究。 gobetz 研究了借力飞行时附加单个机动的轨道转移方法18， 通过研究得到： 在借 力飞行期间采取机动（包括单一冲量情况）可增加任务的应变性；单一冲量情况 下，在近拱点处附加机动可以优化转移点；在借力星体影响球内，双曲线转移可 被简化成二维问题处理。此外，wlaton，marchal 和 culpye 同样对借力飞行期间 的轨道转移进行了研究，讨论了包含多个冲量的情况19。在附加深空机动的研究 方面，r. e. diehl 和 m. r. myers 证明了包含深空机动的借力飞行方案可以减少 能量， 提高效率， 并结合实例进行了轨道方案设计20。 随后， moonish 和 longuski 又提出了一种包括深空机动的借力飞行发射窗口搜索方法21。这种方法能够找出 所有附加深空机动的转移方案和发射窗口，通过此方法设计的深空机动点可以使 两个星体之间飞行的能量最小。 在借力飞行轨道优化设计方面，carl g. sauer 提出了一种基于主矢量原理的 无机动借力飞行优化方法，针对多天体交会借力飞行问题，louisa .d-amari.和 dennis v. byrnes22等提出了带有约束的优化方法， 能量匹配和飞越高度的约束通 过罚函数体现，转化成无约束问题。j. schoemnaekers23提出了针对多天体交会的 线性优化方法， 并结合罗塞塔任务进行了计算。 基于最优控制理论 dario pastrone， lorenzocasalino 和 guido colasurdo24提出了搜索探测火星轨道发射窗口的优化 方法。 在国内方面，近几年各研究单位也纷纷开展火星探测的研究。清华大学、上 哈尔滨工业大学硕士学位论文 6 海航天控制技术研究所、上海航天技术研究院、装备指挥技术学院等单位开展了 基于b平面的精确动力学模型火星轨道设计2528， 提出了精确动力学模型设计方案 和轨道修正方法。哈尔滨工业大学、北京理工大学进行了小推力转移轨道方面的 研究29,30，分别提出了地球火星最省小推力优化方案和借力飞行小推力方案。 哈尔滨工业大学还对摄动作用对火星探测器的影响做了研究31，讨论了多种不同 摄动作用对于火星探测器轨道设计的不同影响。中国运载火箭技术研究院也展开 了火星探测轨道的研究工作32，进行了基于霍曼轨道转移的火星探测直接转移设 计。北京航天航空大学与国防科技大学进行了载人火星方案的研究33,34，提出了 返回式火星探测的轨道方案。南京大学对火星探测器轨道变化特征做出了研究35， 分析了不同摄动产生的影响。此外，装备指挥技术学院还对火星探测发射时机进 行了研究36，分析了逃逸速度渐近线和地球赤道面之间的夹角(dla)对发射窗口的 影响。 1.2.3 国内外轨道设计软件国内外轨道设计软件开发开发现状现状 由于借力飞行转移轨道设计复杂，要求约束多，而其又具有节省能量、可完 成多目标任务的特点，借力飞行被广泛的运用于实际深空探测活动中，深空探测 轨道设计方面的软件主要针对的是借力飞行的轨道设计。较早的轨道设计软件是 由美国加州理工学院的喷气推进实验室（jpl）开发的软件 stour(satellite tour design program)37。该软件主要用于解决多天体交会的轨道设计，帮助完成了包 括“伽利略号、 “旅行者”号探测器在内的多个多天体交会目标轨道方案的设计 工作。stour 主要基于圆锥匹配拼接原理，进行多星体交会设计。所得结果可 以为轨道设计工作提供初始参数，还需要通过精确模型进行进一步的优化。 但是，由于 stour 软件并不能将所有满足条件的初始轨道全部查找出来。 因此，为了找出全部的初始轨道，采取了自动寻找 c3 匹配的方法。根据该方法 将软件进行升级成新的轨道设计软件 stoura。 对于深空探测轨道设计，能量的大小是极其关键的。c. sauer38和 l. a. damario, d. v. bymes, l. l. sackett, r. h. stanford39通过全局优化的方法解决了 能量最优问题。根据上述理论，针对深空探测轨道设计的能量最优问题，设计了 优化分析软件 midas。 在国内，中国科学院空间科学与应用研究中心也在进行轨道设计的相关软件 的研究40。并利用 p-rp 图法，能量等高线原理和 c3 匹配原理研发了一款借力飞 哈尔滨工业大学硕士学位论文 7 行轨道自动设计软件。该软件实现了对借力飞行方案借力顺序自动选择的功能， 并可以绘制 pork-chop 图和进行多目标交会轨道的设计工作。同时该软件与卫星 仿真软件 stk 进行了接口连接，可以对轨道进行仿真。 1.3 本文主要研究内容本文主要研究内容 火星探测轨道设计的研究方法主要有：直接转移、小推力和借力飞行三种。 由于现阶段实际深空探测活动轨道设计主要采取直接转移与借力飞行的方法，本 课题将结合深空机动针对直接转移与借力飞行方法进行火星探测轨道设计的研 究。本文主要研究分以下三个方面： 第二章主要研究了火星直接转移轨道设计方案，分别运用 pork-chop 图法和 遗传算法进行了设计，并针对两种方法进行了比较工作。在此基础上，对带有深 空机动的轨道设计进行了研究，并基于遗传算法，进行了一次机动与两次机动的 设计工作。此外，在初步轨道设计的基础上，在日心轨道段考虑火星地球引力， 进行了基于四体模型的精确动力学模型轨道设计工作。 第三章主要对借力飞行火星探测轨道设计方案进行了研究，首先通过 pork-chop 图法进行了金星借力探测方案的设计。此后运用粒子群算法进行了金 星借力与带有深空机动的借力飞行方案的计算。并分别对粒子群算法、pork-chop 图法和粒子群算法、遗传算法进行了比较。 第四章进行了火星探测轨道设计软件的开发工作，介绍了该软件的框架结构 与基本功能，并运用演示算例对软件的功能进行了展示。 哈尔滨工业大学硕士学位论文 8 第第2章章 火星直接转移轨道设计火星直接转移轨道设计 2.1 引言引言 自火星探测活动展开以来，火星探测活动主要通过直接转移的方式进行轨道 设计。而现今国内外对火星轨道的研究也多以直接转移轨道设计方法为主。而对 于火星轨道设计又分为初步轨道设计和精确轨道设计两个方面。初步轨道设计主 要是基于圆锥拼配原理，忽略各种摄动力的作用，基于 lambert 问题进行二体问 题的轨道设计，通过初轨设计的轨道可以提供基本的轨道设计方案，并为进一步 精确轨道设计提供优化分析的依据。虽然通过初轨设计可以得到初始的轨道设计 方案，但由于其未考虑各种摄动的作用，误差较大，这是需要在初轨设计的基础 上考虑各种摄动作用，进行精确动力学模型下的轨道设计。 本章工作主要集中在火星探测直接转移轨道设计，首先进行初始轨道的设计 工作。然后基于初始轨道，进行带有深空机动和四体模型的轨道设计。 2.2 深空探测基本理论深空探测基本理论 2.2.1 lambert 问题问题 对于深空探测初步设计， 主要求解的是探测器与影响球天体之间的二体问题。 而 lambert 则是求解二体问题的基础理论，通过该理论大大简化了初步设计的难 度。如图 2-1 所示，对 lambert 问题进行了展示。 p1 p2 r1 r2 l o 图 2-1 lambert 问题示意图 通过 lambert 问题，可由两点位失1, 2r r与飞行时间t求飞过两点的速矢 1, 2v v： 1212 ( ,)(,)v vlambert r rt (2-1) 对于 lambert 问题的求解，我们采取 bate 及 bond 的方法进行求解41,42： 哈尔滨工业大学硕士学位论文 9 211 121 rf rgv vf rgv (2-2) 可以推得： 211 212 1 () 1 () vrf r g vgrr g (2-3) 其中, f g为拉格朗日系数，lambert 问题的求解可以转化为对拉格朗日系数 及其导数的求解。下面给出拉格朗日系数及其导数与真近点角及全局近点角的关 系： 2 2 1 2 2 12 1 2 1(1 cos) sin 1 cos11 (1 cos) sin 1(1 cos) r f h rr g h f hhrr r g h (2-4) 2 1 3 1 2 2 2 1( ) 1 ( ) ( ) 1 1( ) fc z r gts z fzs z rr gc z r (2-5) 其中， h 为比角动量的模；为真近点角变化值；为全局近点角； 2 z， 为轨道长半轴的倒数。未知量为, , h z。( ), ( )c z s z为斯达姆夫函数，在这里取 级数展开前两项： 11 ; ( ) 2246120 zz c zs z (2-6) 由（2.4）与（2.5）式可以得出, t的关系： 哈尔滨工业大学硕士学位论文 10 3 1 2 1 sin( ) rr ts z h (2-7) 通过（2-4）与（2-5）可求得 h： 1 2 2 (1 cos) ( ) rr h c z (2-8) 将（2-8）带入（2-7） ，简化后可得 3 ( )( )ts zac z (2-9) 其中 1 2 sin 1 cos rr a (2-10) 为了求出,z之间的关系，令（2-4）与（2-5）式的f相等，可得： 2 121 2 1 cos11 (1 cos)( ) 1 sin zs z hhrrrr (2-11) 经简化后，可以得到,z的关系： ( ) ( ) y z c z (2-12) 其中 12 ( ) 1 ( ) ( ) zs z y zrra c z (2-13) 将式（2-12）带入（2-9）可得 3 2 ( ) ( )( ) ( ) y z ts za y z c z (2-14) 在已知时间间隔的情况下，可以通过牛顿法求解 z。 下面给出拉格朗日系数及其导数与 z 的关系： 哈尔滨工业大学硕士学位论文 11 1 1 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 y z f r y z ga y z fzs z rrc z y z g r (2-15) 2.2.2 圆锥曲线拼接法圆锥曲线拼接法 进行初步设计，在动力学建模时，由于可以不考虑第二星体的引力作用，可 以将其视为二体问题处理。而由于深空探测问题，探测器需要脱离地球影响球， 进入其他星体（如太阳、月球）的影响球范围。此时需要将处于不同影响球的探 测器分别视为独立的二体问题，分别处理，然后将每一段二体问题通过交接处匹 配拼接在一起。由于对每段二体问题圆锥曲线进行拼接，该方法被称为圆锥曲线 拼接法。 以火星直接转移探测为例， 通过圆锥曲线拼接法， 可以将整个轨道分为三段： 地球逃逸段、日心轨道段和火星轨道段，每段可以认为是互相独立的，分别对每 段进行求解， 然后利用每段连接位置探测器具有相同的位失和时间进行匹配拼接， 设计初步轨道。 每段轨道可以由星体影响球进行划分，在某星体的影响球内，该星体的引力 起主要作用，可以视为探测器与该星体构成的二体问题分析。下图为影响球示意 图。 s p1 r1 r2 r3 p2 r 图 2-2 影响球示意图 如图 2-2 所示，p1，p2 分别为第一星体和第二星体，s 为探测器