专题03 最可能考的30题（第01期）2015年高考数学走出题海之黄金30题系列（江苏版） .doc

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题三最有可能考的30题1. 已知向量.（1）若,求的值；（2）记，在abc中，角a，b，c的对边分别是a,b,c，且满足，求函数f(a)的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1） 4分 7分 （2）（2a-c）cosb=bcosc 由正弦定理得(2sina-sinc)cosb=sinbcosc 8分 2sinacosb-sinccosb=sinbcosc 2sinacosb=sin(b+c) ， 11分 12分又, 13分故函数f(a)的取值范围是. 14分2. 已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且=-1，(1)求向量；(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosa,2cos2)，其中a、c为dabc的内角，且a、b、c依次成等差数列，试求|+|的最小值.【答案】(1) 或(2) 【解析】解：设（1分）与夹角为，有，则（3分）由解得或即或（7分）（）由垂直知（8分）由2bac 知b ，ac, 若, 则 （12分） 当时, 取得最小值即 （14分）3. 如图，为圆的直径，点、在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）求证：平面；（2）设的中点为，求证：平面；（3）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，求【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）4【解析】解：（1）证明： 平面平面,平面平面=，平面， 平面， , 又为圆的直径， 平面. 5分 （2）设的中点为，则，又，则，为平行四边形， ，又平面，平面，平面. 9分 (3)过点作于，平面平面，平面， 11分 平面， 14分4. 如图，在四棱锥p-abcd中，pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=900。(1) 求证：pcbc；(2) 求点a到平面pbc的距离。【答案】（1）详见解析（2）【解析】解：（1）证明：因为pd平面abcd，bc平面abcd，所以pdbc。由bcd=900，得cdbc，又pddc=d，pd、dc平面pcd，所以bc平面pcd。因为pc平面pcd，故pcbc。（2）（方法一）分别取ab、pc的中点e、f，连de、df，则：易证decb，de平面pbc，点d、e到平面pbc的距离相等。又点a到平面pbc的距离等于e到平面pbc的距离的2倍。由（1）知：bc平面pcd，所以平面pbc平面pcd于pc，因为pd=dc，pf=fc，所以dfpc，所以df平面pbc于f。易知df=，故点a到平面pbc的距离等于。（方法二）体积法：连结ac。设点a到平面pbc的距离为h。因为abdc，bcd=900，所以abc=900。从而ab=2，bc=1，得的面积。由pd平面abcd及pd=1，得三棱锥p-abc的体积。因为pd平面abcd，dc平面abcd，所以pddc。又pd=dc=1，所以。由pcbc，bc=1，得的面积。由，得，故点a到平面pbc的距离等于5. 如图，已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为。圆d：。（）若圆d过两点，求椭圆c的方程；（）若直线上不存在点q，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。（）在（）的条件下，若直线与轴的交点为，将直线绕顺时针旋转得直线，动点p在直线上，过p作圆d的两条切线，切点分别为m、n，求弦长mn的最小值。【答案】（）（）（）【解析】解：（）圆与轴交点坐标为，故， 2分所以，椭圆方程是： 5分（）设直线与轴的交点是，依题意，即,（）直线的方程是，6分圆d的圆心是，半径是，8分设mn与pd相交于，则是mn的中点，且pmmd，10分当且仅当最小时，有最小值，最小值即是点到直线的距离是，12分所以的最小值是6. 在平面直角坐标系中 ，已知以为圆心的圆与直线：，恒有公共点，且要求使圆的面积最小.（1）写出圆的方程；（2）圆与轴相交于a、b两点，圆内动点p使、成等比数列，求的范围；（3）已知定点q（，3），直线与圆交于m、n两点，试判断 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线的方程，若不存在，给出理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】解：（1）因为直线：过定点t（4，3） 由题意，要使圆的面积最小, 定点t（4，3）在圆上， 所以圆的方程为. 4分（2）a（-5，0），b（5，0），设，则（1），由成等比数列得，即，整理得：,即 （2）由（1）（2）得：， 9分（3） . 11分由题意，得直线与圆o的一个交点为m（4，3），又知定点q（，3），直线：，则当时有最大值32. 14分即有最大值为32，此时直线的方程为. 16分7. 已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）（1）求动点所在的曲线方程；（2）若存在点，使，试求的取值范围；（3）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值【答案】（1）详见解析（2）（3）最小值为，最大值为1.（3）当时，其曲线方程为椭圆 由条件知两点均在椭圆上，且设，的斜率为，则的方程为，的方程为 解方程组得， 同理可求得， 10分 面积= 12分令则令所以，即 14分当时，可求得,故，故的最小值为，最大值为1. 16分8. 某工厂有216名工人接受了生产1000台gh型高科技产品的总任务，已知每台gh型产品由4个g型装置和3个h型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个g型装置或3个h型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工g型装置的工人有x人，他们加工完g型装置所需时间为g（x），其余工人加工完h型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）.（1）写出g（x），h（x）的解析式；（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？【答案】（1）g（x）=，h（x）=（0x216，xn*）（2）详见解析（3）加工g型装置，h型装置的人数分别为86、130或87、129【解析】解：（1）由题知，需加工g型装置4000个，加工h型装置3000个，所用工人分别为x人，（216x）人.g（x）=，h（x）=，即g（x）=，h（x）=（0x216，xn*）. 4分（2）g（x）h（x）=. 0x216，216x0.当0x86时，4325x0，g（x）h（x）0，g（x）h（x）；当87x216时，4325x0，g（x）h（x）0，g（x）h（x）.f（x）= 8分（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值.当0x86时，f（x）递减，f（x）f（86）=. f（x）min=f（86），此时216x=130.当87x216时，f（x）递增，f（x）f（87）=.f（x）min=f（87），此时216x=129. f（x）min=f（86）=f（87）=.加工g型装置，h型装置的人数分别为86、130或87、12916分9. 已知关于的一元二次函数.（1）设集合p=1，2， 3和q=1，1，2，3，4，分别从集合p和q中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率；（2）设点（，）是区域内的随机点，求上是增函数的概率.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当0且 3分若=1则=1， 若=2则=1，1； 若=3则=1，1； 5分事件包含基本事件的个数是1+2+2=5所求事件的概率为. 7分（2）由（）知当且仅当且0时，函数上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分. 由 11分所求事件的概率为. 14分10. 设，等差数列中，记=，令，数列 的前n项和为.（）求的通项公式和；（）求证：；（）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】（）（）详见解析（）m=2,n=16,【解析】解：（）设数列的公差为，由,.解得，=3 sn=.() ()由(2)知， ， 成等比数列. 即当时，7，=1，不合题意；当时，=16，符合题意；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1mn,使得成等比数列.综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列.11. 下表给出的是由）个正数排成的n行n列数表，ij表示第i行第j列的一个数，表中第一列的数从上到下依次成等差数列，其公差为，表中各行，每一行的数从左到右依次都成等比数列，且所有公比相等，公比为q，已知（1）求，的值；（2）设表中对角线上的数，组成的数列为，记，求使不等式成立的最小正整数【答案】（1）（2）4【解析】解：（1）根据题意可列出如下方程组： 4分 解得 6分（2）， 10分，两式相减得， 14分于是原不等式化为，即，故使不等式成立的最小正整数为4 16分12. 已知数列中，其前项和满足其中（，）（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知，（，）， 即（，），且数列是以为首项，公差为1的等差数列 （2），要使恒成立，恒成立，恒成立， 恒成立 （）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1， （）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值， 即，又为非零整数，则综上所述，存在，使得对任意，都有13. 如图，在直角坐标系中，有一组底边长为的等腰直角三角形，底边依次放置在轴上（相邻顶点重合），点的坐标为，。（）若在同一条直线上，求证数列是等比数列；（）若是正整数，依次在函数的图象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于，求数列的通项公式。【答案】（）详见解析（）【解析】解：（）点的坐标依次为， 2分则，若共线；则，即，即， 4分，所以数列是等比数列。 6分（）依题意，两式作差，则有：， 8分又，故， 10分即数列是公差为的等差数列；此数列的前三项依次为，由，可得，故，或，或。 12分数列的通项公式是，或，或。 14分由知，时，不合题意；时，不合题意；时，； 所以，数列的通项公式是。 16分14. 已知函数 （i）求的极值； （ii）若的取值范围；（iii）已知【答案】（i）极大值为（ii）（iii）详见解析【解析】解：（）令得 当为增函数；当为减函数，可知有极大值为 （）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，设由（）知，（），由上可知在上单调递增， ， 同理 两式相加得15. 已知函数，且有极值（1）求实数的取值范围；(2）求函数的值域；（3）函数，证明：，使得成立【答案】（1） (2）当时，函数的值域为当时，函数的值域为（3）详见解析【解析】解：（1）由求导可得： 令 可得 2分又因为 +0单调递增极大值单调递减 所以，有极值 所以，实数的取值范围为 4分（2）由（）可知的极大值为- 又 ， 由，解得 又 6分当时，函数的值域为当时，函数的值域为 10分（3）证明：由求导可得 令，解得令，解得或 又 在上为单调递增函数 12分 ，在的值域为 14分 ， ，使得成立 16分16. 已知函数定义在r上.（）若可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设，求出的解析式； （）若对于恒成立，求m的取值范围；（）若方程无实根，求m的取值范围.【答案】（）（）（）【解析】解：（）假设，其中偶函数，为奇函数，则有，即，由解得，.定义在r上，都定义在r上.，.是偶函数，是奇函数，. 由，则，平方得，. （）关于单调递增，.对于恒成立，对于恒成立，令，则，故在上单调递减，为m的取值范围.（）由（1）得，若无实根，即无实根， 方程的判别式.1当方程的判别式，即时，方程无实根.2当方程的判别式，即时， 方程有两个实根，即 ，只要方程无实根，故其判别式，即得，且 ，恒成立，由解得， 同时成立得综上，m的取值范围为.17. 已知函数（）设，求的取值范围； （）关于的方程，存在这样的值，使得对每一个确定的，方程都有唯一解，求所有满足条件的。（）证明：当时，存在正数，使得不等式，成立的最小正数，并求此时的最小正数。【答案】（）（）（）详见解析【解析】解：（）函数定义域， 4分（），由（），单调递增，所以。设，则，即，也就是。所以，存在值使得对一个，方程都有唯一解。10分（），以下证明，对的数及数，不等式不成立。反之，由，亦即成立，因为，但，这是不可能的。这说明是满足条件的最小正数。这样不等式恒成立，即恒成立， ，最小正数=418已知函数ysinx(0)在区间0，上为增函数，且图象关于点(3，0)对称，则的取值集合为【答案】【解析】由题意知，即，其中，则的取值集合为19如图：梯形abcd中，ab/cd，ab6，addc2，若12，则【答案】0【解析】以，为基底，则，则2248cosbad1212，所以cosbad，则bad60o，则()()244020设 、为空间任意两个不重合的平面，则：必存在直线l与两平面 、均平行； 必存在直线l与两平面 、均垂直；必存在平面与两平面 、均平行； 必存在平面与两平面 、均垂直其中正确的是_（填写正确命题序号）【答案】【解析】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）21圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为2的扇形，则圆锥的体积是_【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知，且2rl2，解得l2，r，所以圆锥高h1，则体积vr2h22在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为 【答案】18【解析】试题分析：由题意得：，所以，其图像为一个正方形，四个顶点分别为, 而表示到原点距离的平方，所以的最大值为23在平面四边形中，已知，点分别在边上，且，若向量与的夹角为，则的值为 【答案】7【解析】试题分析：因为，所以，从而24在平面直角坐标系xoy中，已知曲线c1、c2、c3依次为y2log2x、ylog2x、yklog2x(k为常数，0k1)曲线c1上的点a在第一象限，过a分别作x轴、y轴的平行线交曲线c2分别于点b、d，过点b作y轴的平行线交曲线c3于点c若四边形abcd为矩形，则k的值是_ 【答案】【解析】设a (t，2 log2t)(t1)，则b(t2，2 log2t)，d(t，log2t)，c(t2，2k log2t)，则有log2t2k log2t，由于log2t0，故2k1，即k25已知实数a、b、c满足条件0ac2b1，且2a2b21c，则的取值范围是_【答案】，【解析】由2a2b21c得2ac2bc2，由0ac2b1得0(ac)2(bc)1，于是有12(ac)2(bc)2，即12设x2bc，y2ac，则有xy2，x2y2x2，x0，y0，yx在平面直角坐标系xoy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设yxt如图，当直线yxt与曲线yx2相切时，t最小此时令y2x1，解得x，于是y，