大一上学期微积分练习题.doc

上学期微积分习题一、单项选择题（将正确答案代号填在括号内）1 函数的定义域是（ ）（a）(b) (c) (d) 答案d2 下列函数中为奇函数的是 （ ） （a）；(b) ；(c) ；(d) . 答案d3. 下列函数中为偶函数的是 （ ） （a）；(b) ；(c) ； (d). 答案b4#设函数，且函数 的反函数，则（ ）（a）(b) (c) (d) 答案b5设函数，则（ ） (a) 0 ； (b) 1 ； (c) ； (d) 2. 答案a6.设是偶函数，是奇函数，则是（ ）.（a）奇函数 (b） 偶函数 (c)非奇非偶函数（d)不能确定 答案b7.若, 则 ( ). (a) ； (b)；(c)； (d). 答案(a).8.数列极限存在是该数列有界的 （ ） (a) 必要条件； (b) 充分条件 ； (c) 充要条件 ； (d) 无关条件. 答案b9. 当时,下列四个无穷小量中,哪个是比其它三个更高阶的无穷小量?(a) ; (b) ; (c) ; (d) . 答 (d).10.当时，与等价的无穷小量是（ ） (a) ; (b) ; (c) ; (d) . 答案c11.当时，若，则之值一定为( ).（a ） ; ( b ) 为任意常数;( c ) 为任意常数; ( d ) 为任意常数. 答案：（b）12.当时，若，则之值一定为( ).（a ） ; ( b ) 为任意常数;( c ) 为任意常数; ( d ) 为任意常数. 答案 （c）13设在上定义，在点连续，则是函数的 （ ）（a） 第一类间断点 ；（b）第二类间断点 ；（c）连续点 ；（d）间断点，但类型不能确定. 答案d14.设,则是的（ ）（a）跳跃间断点;（b）可去间断点;（c）连续点;（d）第二类间断点. 答案a15设则是的 （ ）型间断点.（a）跳跃型；（b）振荡型；（c）无穷型 ；（d）可去型. 答案a16函数在处 （ ） （a）无定义; (b) 可导; (c) 可微 ; (d) 连续. 答案d17.是的 ( )(a) 跳跃间断点 ; (b) 可去间断点; (c) 无穷间断点; (d) 连续点. 答案b18若在内,的一阶导数，二阶导数，则函数在此区间内（ ）（a）单调增，曲线下凸；（b）单调减，曲线下凸；(c)单调减，曲线上凸；(d) 单调增，曲线上凸. 答案(d)19.函数 ,在点处不成立的结论是( d )(a) 连续； (b) 可导 ； (c) 可微 ； (d) 连续 、不可导.20.若在内，在内，且，则在内有（ ）（a）且 ；（b）且； （c）且 ；（d）且. 答案c21若周期为4的函数在内可导且，则曲线在点处的切线斜率是 （ ）（a） ；（b）0 ；（c）；（d）. 答案(d)22.设在处可导, 则 ( b )(a) ； (b) 2； (c) ； (d) .23.函数 在点处是( ).(a) 不连续的； (b) 连续的,但不可导；(c) 不连续的,但可导；(d) 连续且可导的. 答案：(b)24. 是函数的( ).(a) 跳跃间断点； (b) 连续点；(c) 振荡间断点；(d) 可去间断点. 答案：d. 25.设,则 ( ).(a)；(b)； (c) ；(d) . 答案(b).26曲线的拐点的个数为 （ ）（a）0 ;（b） 1 ;（c） 2 ;（d） 3 . 答案c27.对曲线,下列结论正确的是（ ）.(a)有4个极值 ； (b)有3个拐点；(c)有2个极值 ； (d)有1个拐点. 答案(d)28.,点是的（ ）.(a) 间断点 ； (b) 极小值点；(c) 极大值点 ； (d) 拐点. 答案(b). 29.下列曲线中有拐点的是（ ）.(a) ； (b) ；(c) ； (d) . 答案(b).30.设函数,则下列结论中错误的是（ ）.(a)是奇函数且有界函数；(b)有两个极值点；(c)只有一个拐点；(d)只有一条水平渐近线. 答案 (c)31.函数的极值点个数为（ ）(a) ； (b) ； (c) ； (d) . 答案a32.设,下列命题中正确的是( ).(a)是极大值,是极小值 ； (b) 是极小值, 是极大值；(c) 是极大值, 也是极大值； (d) 是极小值, 也是极小值. 答案：（b）33.下列结论不正确的是 （ ）（a）; (b) ; (c) ; (d) . 答案：（c）34.设二阶可导,则( ).(a)；(b)；(c)；(d). 答(d).35. 若 , 则( ).(a) ；(b) ； (c)； (d). 答(d).二、填空题：1函数的定义域为 .（ ）2.函数定义域为 答案：.3.设,则 . 答:.4. 若 ，则. 答案5 . 答案 6 . 答案 1 7.若，则. 答案 08. 答案 19. . 答案 10= . 答案 1 11.设 , 则 . 答案 12当常数 , 时，函数 在定义域内连续. 答案13，则 . 答案 14设，则 . 答案 15若，则 . 答案 16设y对x的隐函数是由方程确定的，则 .答案17设，则 . 答案 18.设方程确定是的函数,则 . 答:19若函数，则有且仅有 个实根. 答案3个20函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .答案：在上增，在上减.21设某厂每月生产产品的总成本是产量的函数且（元），若每单位产品售价为40元，则总收益函数为 ，边际利润为 ，利润最高时的产量为 .答案：收益，边际利润 ，最高利润是的产量.22#某商品的需求函数为，则需求价格弹性函数为 ；在p=3时的弹性为 ，其经济意义是 .总收益弹性为 .答案：需求价格弹性函数,经济意义：p=3时价格上涨（或下降），需求下降（或上涨）%.23.设某产品的需求函数为 (件),当价格元时,边际需求为 ；其经济意义为 .答案：(件)经济意义：价格元时价格上涨（或下降）1单位，需求下降（或上涨）8个单位。24.设函数在的邻域内可导且,则 .答:25 . 答案原式=26 . 答案 原式=27 . 答案 原式=28设，则= . 答案 原式=29= . 答案 原式=30设则= . （答案）31.设的一个原函数为，则 . 答案原式=三、判断正误： 1. 函数在点有定义是存在的充分条件. （ ）2.若不存在，则曲线在处无切线. （ ）3. 凡是分段函数都不是初等函数.（ ）4.函数是单调函数，又是奇函数.（ ）5.如果，但不存在，则不存在.（ ）6. 如果与都存在，则必存在.（ ）7. 如果数列单调下降且有界，则数列收敛.（ ）8. 若在点处不连续，则不存在.（ ）四、求下列各式的极限1. ； 2 ； 3 ；4# ； 5. ； 6， 7.；8. ；9. ；10. ； 11. .12.13.（答:6）;14.（答:）;15. .16. （作变量代换）;17. ;18.设函数, 求 .【改】19. 已知是多项式，且，又，求.答案20.设具有一阶连续导函数，求.五、求下列函数的导数1，求 . 答案 2. ，求. 答案 3.，求 答案 4. ,求;答案 5.设, 其中可微, 求. 答案 6.,求. 答案7#.设且可导，求. 答案 8#. 已知，求. 答案 9.设在处连续，求. 答案10.已知，求. 答案11.已知，求. 答案 12. 求函数在点处的导数. 答案13.设,求. 答案 14.设, 求 . 答案：.15. 设, 求 . 答案：.六、计算下列积分1. ； 2. ； 3. ； 4.； 5. ；6.；7.； 8. （提示令代元）；9.； 10.（代元法）11.；12#.（凑元法）；13.；（提示：分部积分与凑元积分相结合）；14.；15.16. 已知函数的一个原函数为，求.提示：；.17. 已知是的一个原函数，求.18.已知的一个原函数是,求.19.设.其中20. .七、应用问题1.求垂直于直线且与曲线相切的直线方程. 答案：切线为2.把一根长度为a的铁丝截成两段，其中一段折成正方形框架，另一段弯成圆周；问当如何截取时，可使围成的正方形和圆的面积之和达到最小？提示：设正方形的边长为，圆的半径为，则，；，此时.3.边长为a（a米的正方形铁皮各角减去同样大小的小方块，做成无盖长方体盒子；问怎样剪法才使盒子的容积最大？提示：设截下的校正方形的边长为，则时合要求.4. 某店以每件10元的价格购进一批货，若该货物需求函数为，问将销售价定为多少时可获得最大利润？提示：利润 合要求.5. 某化工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本c（单位：元）是日产量x（单位：吨）的函数（1）求当日产量为100吨时的边际成本；（2）求当日产量为100吨时的平均单位成本.提示：.6生产某种商品x单位的费用为（元），得到的收益为（元），问：每批生产多少单位时才能使利润最大？提示：时合要求.7. 设 ,讨论在点的连续性和可导性.提示：由可导且，由可导与连续的关系知在点的连续.8.函数在点处是否连续?是否可导? 提示：在点可导且连续.9.设有函数,试分析在点处, 为何值时, 有极限; 为何值时,连续; 为何值时, 可导.提示：为任何值时, 都有极限；时，连续;验证知只有时.10.已知曲线l的参数方程为曲线l在处的切线方程.提示：.11.求曲线上点处的切线方程和法线方程.提示：切线 ；法线.12. 设,求.（）13.确定函数的单调区间.提示：单调增区间；单调减区间。14.确定函数的单调区间.单调增区间,单调减区间.15.设某种产品的需求函数为，总成本，试求销售利润最大时的产品价格 (q为需求量，p为产品价格).提示：时,.16求函数的极值. （, .）17#. 某商品的平均成本,价格函数为 (为商品数量),国家向企业每件商品征税为. (1)生产商品多少时,利润最大？(2)在企业取得最大利润的情况下, 为何值时才能使总税收最大？（提示：时, 企业可获得最大利润；每件商品征税为时,总税额最大.）18.设函数,当为何值时, 在点处连续.（答：）19.某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的,且上批售完后,立即再生产下一批(此时商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备费及库存费之和最小? （提示设分批生产,依题意,生产准备费及库存费之和为,，,）八、证明题1. 当时，.提示：设，在上利用拉格朗日中值定理证明.注意条件.2. 当时，.提示：设在利用函数的单调性可以证明.也可以根据式子自身特点：左边大于1，右边小于1，直接推导.3#. 当时，.（提示：利用单调性证明，需要多次求导数）4. 当时， .（提示：利用单调性证明，需要多次求导数）5.已知函数在上连续，在内可导且，求证：在内至少存在一点使得.提示：设在上利用罗尔定理证明.6. 求证：.利用夹逼原理证明.7. 求证：方程在内至少有一个实根.提示：设在上利用介质定理证明.8. 利用中值定理证明（1）当时， .提示：利用拉格朗日中值定理的推论证明设证恒成立.9.证明方程在之间至少存在一个实根.提示：设在上利用介质定理证明.注意介质定理的条件.10.证明：当时，.提示：首先注意时，证原式即证明，设，在利用函数的单调性可以证明.11#. 设函数在上连续,在内可导,且,试证必存在,使.提示：利用介值定理和中值定理证明，在上依次有最小值与最大值，再由罗尔中值定理得证.12.证明不等式: .提示：设在上利用拉格朗日定理证明.13.证明不等式:.提示：在上证明最小值是即可. 14. 证明：方程 在内至少有一个