建模地板砖铺设.doc

兰州工业学院第二届大学生数学建模竞赛参赛基本信息专用页承 诺 书我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 参赛学生基本信息题目号（A、B）B评阅编号（由组委会 统一填写）姓名（打印）班级电话本人签名张健风能11日期： 2013 年 6 月 25 日摘 要现如今全国各地房屋数不胜数，家家户户为了房间的美观，都会在地上铺上地板砖。看似简单的生活问题，其中蕴含了很多知识。房间里瓷砖怎么铺、铺多大的瓷砖都成了户主与铺设人员必考虑的问题。为了方便人们对铺设瓷砖的尺寸、数量和铺设成本做出合适的选择，我们提出了一个合理的优化模型。即把房屋假设为由一个个矩形房间组成的，在单独考虑一个房间里的铺设问题。最后，我们编程在Matlab里面运行，由Matlab计算我们得出不同方案的瓷砖铺设费与利用率，通过比较得到最合适的方案。关键字：地板砖；铺设；优化- 9 -一、问题的重述在工程中经常会遇到将一种固定形状的材料铺设到某种物体表面的问题。房屋地板砖的铺设就是其中的一种典型实例。在地板砖的铺设问题中，需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到美观效果。二、问题分析对于瓷砖的铺设，需要考虑的有很多方面，主要的有：铺设房间的形状与规格、瓷砖的形状与规格。这两个因素直接关系着购买瓷砖的费用、切割的费用、铺设的人工费。而日常我们所见的房屋都是较为规则的，里面的房间基本上都是矩形。而市场上所卖的的瓷砖也大都为规则的矩形。所以在考虑房间的瓷砖的铺设时，就是我们用矩形去填充的问题。不同规格的瓷砖、不同的铺设方式都会对总费用与瓷砖的利用率产生很大的影响。而我们要做的就是建立一个模型，计算出总费用与利用率，再根据实际情况去综合考虑。三、模型假设工程中遇到的规则图形多为矩形，特别是在房屋中铺设瓷砖时，房间形状基本为矩形。而在市场上我们所买到的瓷砖也基本都是矩形居多。所以，我们假设房屋是由多个大小不同的矩形所组成的，每个矩形里铺设的都是矩形的瓷砖（如图1）。 图1四、符号说明相关符号说明：房屋总面积：S总 ；第i个房间面积（分割的矩形面积）：Si （i=1、2、3）；第i个房间的横向边长：Xi （i=1、2、3）；第i个房间的纵向边长：Yi （i=1、2、3）；第i个房间所用瓷砖的总块数：Ni （i=1、2、3）；第i个房间所用瓷砖未切割的块数：ni （i=1、2、3）；第i个房间所用瓷砖被切割的块数：mi （i=1、2、3）；第i个房间切割瓷砖的总长度：li （i=1、2、3）；第i个房间横向铺设未切割的瓷砖数：ai （i=1、2、3）；第i个房间总想铺设未切割的瓷砖数：bi （i=1、2、3）；第i个房间所用瓷砖的总费用：W瓷砖i 第i个房间人工铺设总费用：W人i ；第i个房间单位面积下人工铺设费：T ；第i个房间切割瓷砖总费用：W切割i；单位长度切割所需费用：q ；第i种瓷砖的单价：hi （i=1、2、3）；第i种瓷砖的横向边长：Lix （i=1、2、3）；第i种瓷砖的纵向边长：Liy （i=1、2、3）；第i个房间铺设总费用W总 ；五、模型建立与求解我们把房屋分解为多个不同形状的矩形，考虑每个矩形内的铺设总费用最少。而总费用来源三方面：所用瓷砖的总费用、铺设的人工费、切割瓷砖的切割费。即W总i=W切割i+W人i +W瓷砖i 。假设一：我们假设每个房间用同一规格的瓷砖来铺设，如图2，我们先忽略墙的限制，我们用矩形瓷砖拼成一个面积大于等于矩形房间面积的，而且能够将矩形房间（如图2中中间的那个矩型）完全覆盖住的最小矩形（如图2中最外面的大矩形）。然后我们把多余的超出矩形房间的部分（图中蓝色部分）切割掉，切割剩余瓷砖不在重复利用。对于图中右上角的瓷砖需要两次切割，我们假设能有那么大小剩余瓷砖恰好填上。 图21、 计算所需瓷砖费用。我们所用瓷砖数为Ni则：Ni=ni + mi/(1-pi)ni =ai*bimi=ai+b或mi=ai或mi =bi或mi =0ai = Xi/Lixbi = Yi/Liy但是由于瓷砖的边长都是有一定的规格，矩形房间边长不一定就是瓷砖变长的整数倍，所以需要讨论。若ai*LixXi ,bi*LiyYi则：Ni = ai*bi + （ai + bi）/(1-pi) = Xi/Lix * Yi/Liy +（ Xi/Lix + Yi/Liy）/(1-pi)若ai*Lix=Xi ,bi*LiyYi则：Ni = ai*bi + ai /(1-pi) = Xi/Lix * Yi/Liy + Xi/Lix /(1-pi)若ai*Lix600; A2= Yi/800; L1=Yi;2、 如果Xi/800的余数=600; B1= Yi/600; L2=0;3、 如果Xi/800的余数400且300且400; D1 =Yi/400; L5=Yi;6、 如果Xi/800的余数=300; C1=Yi/600; L6=0;7、 如果Xi/800的余数600; A4= Xi/800; L8=Xi;9、 如果Yi/800的余数=600; B3= Xi/600; L9=0;10、 如果Yi/800的余数400且300且400; D2 =Xi/400; L12=Xi;13、 如果Yi/800的余数=300; C2=Xi/600; L13=0;14、 如果Yi/800的余数300; E2=Xi/300; L14=Xi;所用的A块数为: A=A1+A2+A3+A4+A5;所用的B块数为: B=B1+B2+B3+B4;所用的C块数为: C=C1+C2;所用的D块数为: D=D1+D2;所用的E块数为: E=E1+E2;（二）切割总长度L=L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8+L9+L10+L11+L12+L13+L14;(三) 铺设人工费用 W人=Xi*Yi*T （四）总费用为W=180*A+130*B+80*C+72*D+45*E+L*0.005+W人;（五）编写程序计算（见附录五）。以假设一中例子里的区域1为例子，计算如下:型号ABCDE费用块数6*4=2400011+16=275535六、模型的检验对于假设一，我们能很直接，很直观的计算出房间所需瓷砖量。而且在实际生活中我们只需测出房间的规格与了解市场上瓷砖的规格即可得出合适的方案，并且有程序帮助运算，计算也较为轻松。但是切割后多余部分没有的到利用，且在最省钱的情况下，材料的利用率最低，造成较大的浪费。而且房间由于有多个棱角，所以有时并不能完全化为矩形，我们只是近似这样认为。所以其准确度与可实用性还有待考究与实际验证。对于假设二，我们应用了假设一的结论与部分假设。所以假设一的优缺点在假设二中同样存在。只是假设二对材料的利用率较假设一要高一些，而且所需费用也较少一些。相对一来说，方案二更加实用。七、模型的推广该模型的局限性还是比较窄的，而实际生活中我们居住的房屋不一定都是规规矩矩的矩形。所以，对于不同的户型来说，我们可以通过多次拆分，在瓷砖规格允许的范围内，把不同的户型可以拆分为矩形。就算户型是与此模型相差最大的圆形，我们也可在圆形中拆分出矩形，然后把剩余的部分用切割后的余料去填补