高中数学论文：巧解外接球的问题.pdf

巧解外接球问题巧解外接球问题 摘要：外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，本文就长方体、正方体 及棱锥的外接球有关问题，给出了特殊解法。 关键词：巧解 外接球 问题 普通高中数学课程标准中对立体几何初步的学习提出了基本要求： “在 立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形； 再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；。 ”由此 可见，长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于学生理解立体 几何的有关问题起着非常重要的作用。 有关外接球的立体几何问题是近年各省高 考试题的难点之一，这与学生的空间想象能力以及化归能力有关，本文通过近年 来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。 一、直接法一、直接法 1、求正方体的外接球的有关问题、求正方体的外接球的有关问题 例 1 （2006 年广东高考题）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为 . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所 以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对 角线长，再计算半径.故表面积为27. 例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为 ，则该球的体积为 24. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的 体对角线， 因此， 由正方体表面积可求出棱长， 从而求出正方体的体对角线是2 3 所以球的半径为3 .故该球的体积为4 3. 2、求长方体的外接球的有关问题、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个 顶点上的三条棱长分别为1,，则此球的表面积为 2,3. 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好 1 为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14. 例4、 （2006年全国卷 i）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体 积为16，则这个球的表面积为（ ）. a. 16 b. 20 c. 24 d. 32 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的 底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3， 故选c. 二、构造法二、构造法 1、构造正方体、构造正方体 例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外接球的表面积是 . 解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三 角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧 棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均 相等，所以可构造正方体模型，如图1，则ac=bc=cd3，那么三棱锥的外 接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9.(如图1) a e d cb 图 2 a d cb 图 1 例 6 （2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一 2 球面上，则此球的表面积为（ ） a. 3 b. 4 c. 3 3 d. 6 解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半 径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段， 所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体满足 条件，即 abde ab=ad=ae=bd=de2be，由此可求得正方体的棱长为1，体对 角线为3， 从而外接球的直径也为3， 所以此球的表面积便可求得， 故选a. (如 图2) 例7（2006年山东高考题） 在等腰梯形ab中，ab， 为的中点，将与分布沿、ec向上折起，使重合于 点p，则三棱锥p-的外接球的体积为（ ）. cd ed =2dc=2 0 dab=60 ab、eabade ce bec d a. 4 3 27 b. 6 2 c. 6 8 d. 6 24 解析： （如图3） 因为a，所以 e=eb=dc=1 0 dab= cbe= dea=60 ae=eb=bc=dc=de=ce=1ad ，即三棱锥为正四面体，至此，这与例 6就完全相同了，故选c. p-dce a b e d c d c e p 图 3 例8 （2008年浙江高考题）已知球的面上四点a、b、c、d， ，ab o daabc平面bc，da=ab=bc= 3，则球o的体积等于 . 解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方 体模型很快便可找到球的直径，由于daabc平面，abbc，联想长方体中 3 的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为da则此长 方体为正方体，所以cd即为外接球的直径，利用直角三角形解出cd球 o的体积等于 =ab=bc= 3， 长故=3. 9 2 .（ c 如图4） d a cb o 图 4 2、构造长方体、构造长方体 例9（2008年安徽高考题）已知点a、b、c、d在同一个球面上， ，若bb 平面dbcdca6,ac=2 13,ad=8ab ，则b、c两点间的球 面距离是 . 解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是为球的直径，o为 球心，ob为半径，要求b、c两点间的球面距离，只要求出 ad =oc=4boc即可， 在rtabc中，求出=4bc，所以，故b、c两点间的球面距离是 0 c=60bo 4 3 .