高中生数学思维能力现状实证研究.pdf

分类号 u d c 事f 睁髟书零 密级 编号 硕士学位论文 盍主垒垫堂墨丝丝塑 现状实证研究 学位申请人姓名： 奎鳌墨 申请学位学生类别： 全旦舅塑 申请学位学科专业：课程与教学论 硕士学位论文 高中生数学思维能力现状实证研究 论文作者：朱擎天 指导教师：周东明教授 学科专业：课程与教学论 研究方向：数学课程与教学论 华中师范大学教育学院 2 0 1 3 年5 月 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s e m p i r i c a l r e s e a r c ho ns t a t u so f m a t h e m a t i c a l t h i n k i n ga b i l i t yo f t h e s t u d e n t si nh i g hs c h o o l at h e s ：i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t f o rt h em a d e g r e ei nc u r r i c u l u ma n d t e a c h i n gt h e o r y b y z h u q i n g t i a n p o s t g r a d u a t ep r o g r a m c o l l e g eo fe d u c a t i o n h u a z h o n gn o r m a lu n i v e r s i t y s 1 币e 而豳md c m 豳 a c a d 锄jc 弛p r o f e 啪r a p p r o v e d m 呼2 0 1 3 项士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明争使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本声明的法律结果由本人承担。 作者馘：镎、 聃：加侈年至月日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师莓大学学校有权保留并 向田家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编擎位论文( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文于保密，在年i 簪密后适用本授权书 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范圈，适用本授权书 作者签名：等髯云 日期：加侈年5 月j 日 毒师签名：l 毯 日期：b 年，月二日 本人已经认真阅读。c a l i s 高校擎位论文全文数据库发布章程刀，同j t 将本人的 学位论文提交 c k l i s 高校学位论文全文数据库刀中全文发布，并可按，章程刀中的 规定拿受相关权益园意论室矗銮后澄蜃i 旦坐生；旦= 生i 旦：三生笾主查： 作声签名：哥弩云 日期：孙i 尹5 月j 日 导师戳：l 狮 日期：细3 年，月1 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 注重学生数学思维能力的培养，是数学新课程的导向；培养具有良好思维能力 的高中生，是我们数学教学的追求。但是，什么是数学思维能力，数学活动中哪些 能力表现才是数学思维能力? 数学思维能力究竟有哪些维度? 高中生数学思维能 力的现实表现如何? 这一系列的问题，都值得我们去思考。为了探讨上述问题，本 研究在对数学思维、数学思维能力相关理论分析的基础上，自编的一套试题，在两 个学校对高中生进行了测试，借此了解高中生数学思维能力的现状，并提出笔者的 建议。 除了绪论外，本论文分为四个部分。 在绪论部分，笔者首先介绍了本研究中问题选定的缘由，问题研究的现实意义。 接着以时间为顺序，对国内外相关研究的历史进程进行了梳理与评价，并对各种研 究方法进行了总结。在绪论的最后部分，笔者提出了本文的研究内容和思路。 论文的第一章是全文的第一部分，是理论分析。这一章笔者介绍了一些国内学 者对数学思维、数学思维能力的认识，在他们定义比较的基础上笔者界定了什么是 数学思维能力，数学思维能力表现维度。 第二章是实证研究，是论文的第二部分。在这部分笔者首先介绍了本次调查测 试的目的、方法、思路及程序，并以前面第一部分的理论分析为指导，对测试问卷 试题进行了编制，设置，并开展调查研究。随后，笔者对实证研究的结果进行了呈 现与分析，最后给予了笔者测试的结论和建议。 第三章是研究评价，是论文的第三部分。在这一部分，笔者结合数学思维能力 的四个维度，对此前的实证研究进行了评价，对高中生的数学思维现状进行了概述。 第四章是研究建议，是论文的第四部分。在这一部分，笔者给出了本次实证研 究的启示和建议。 关键词：数学思维；数学思维能力；高中生；数学思维对象；问题情境 a b s t r a c t p a y i n g a t t e n t i o nt o c u l t i v a t i n gs t u d e n t s t h i n k i n ga b i l i t y i nm a t h e m a t i c si s m a t h e m a t i c sn e wc u r r i c u l u mo r i e n t a t i o n ；t r a i n i n g 、j i ，i lg o o dt h i n k i n ga b i l i t yo fh i g h s c h o o ls t u d e n t si so u rp u r s u i to fm a t h e m a t i c st e a c h i n g b u t , w h a ti st h ea b i l i t yo f m a t h e m a t i c st h i n k i n g ，m a t h e m a t i c sa c t i v i t i e si nw h a tc a p a c i t yi st h ea b i l i t yo f m a t h e m a t i c a lt h i n k i n g ? w h a ta l et h ed i m e n s i o n so ft h i n k i n ga b i l i t yi nm a t h e m a t i c s ? h o wr e a l i s t i cr e p r e s e n t a t i o n so fm a t h e m a t i c a lt h i n k i n ga b i l i t yo ft h es t u d e n t si nh i l g h s c h o o l ? t h i sas e r i e so fp r o b l e m s ，a r ew o r t h yo fo u rc o n s i d e r a t i o n i no r d e rt oi n v e s t i g a t e t h ea b o v ep r o b l e m s ，b a s e do nt h e t h e o r e t i c a la n a l y s i so fm a t h e m a t i c a lt h i n k i n g ， m a t h e m a t i c a lt h i n k i n ga b i l i t y , s e l f - d e v e l o p e das e to fq u e s t i o n s ，s t u d e n t si ns e n i o rh i l g h s c h o o li nt w os c h o o l sw e r et e s t e d ，t ou n d e r s t a n dt h ec u r r e n ts t a t u so fm a t h e m a t i c a l t h i n k i n ga b i l i t yo f s e n i o rh i 【g hs c h o o ls t u d e n t s ，a n dp u tf o r w a r dt h ea u t h o r ss u g g e s t i o n i na d d i t i o nt ot h ei n t r o d u c t i o n ，t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rp a r t s i n t h ei n t r o d u c t i o np a r t ，t h ea u t h o rf i r s t l yi n t r o d u c e st h er e a s o no fc h o o s i n g p r o b l e m si nt h i sr e s e a r c h ，p r a c t i c a lr e s e a r c h t h e n ，i no r d e ro ft i m e w e r es u m m a r i z e da n d e v a l u a t e dt h eh i s t o r i c a lp r o c e s so fr e l e v a n tr e s e a r c ha th o m ea n da b r o a d ，a n dt h er e s e a r c h m e t h o d sw e r es u m m a r i z e d i nt h el a s tp a r to ft h ei n t r o d u c t i o n ，t h ea u t h o rp u t sf o r w a r d t h ec o n t e n ta n di d e a so ft h i sp a p e r t h ef i r s tc h a p t e ri st h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i s ，t h e o r e t i c a la n a l y s i s i nt h i sc h a p t e r , t h ea u t h o ri n t r o d u c e ss o m ed o m e s t i cs c h o l a r su n d e r s t a n d i n go fm a t h e m a t i c a lt h i n k i n g ， m a t h e m a t i c a lt h i n k i n ga b i l i t y , i nt h e i rd e f i n i t i o n so nt h eb a s i so fc o m p a r i s o nt h ea u t h o r d e f i n e sw h a ti st h ea b i l i t yo fm a t h e m a t i c a lt h i n k i n g ，m a t h e m a t i c a lt h i n k i n ga b i l i t y d i m e n s i o n t h es e c o n dc h a p t e ri se m p i r i c a lr e s e a r c h , i st h es e c o n dp a r to ft h ep a p e r i nt h i sp a r t ， t h ea u t h o rf i r s t l yi n t r o d u c e st h es u r v e yt e s tp u r p o s e ，m e t h o d , w a ya n dp r o c e d u r e ，a n d w i t ht h ep r e v i o u sf i r s tp a r t so ft h et h e o r ya n a l y s i s ，t h eq u e s t i o n n a i r et e s tp l a n n i n g ，s e t t i n g ， a n dt oc a r r yo u ti n v e s t i g a t i o na n ds t u d y s u b s e q u e n t l y , t h er e s u l t so ft h ee m p i r i c a ls t u d y a r ep r e s e n t e da n da n a l y z e d ，f i n a l l yg i v e st h ec o n c l u s i o na n ds u g g e s t i o n t h et h i r dc h a p t e ri st h es t u d yo fe v a l u a t i o n ，i st h et h i r dp a r to f t h ep a p e r i nt h i sp a r t , t h ea u t h o rc o m b i n e st h ef o u rd i m e n s i o n so ft h i n k i n ga b i l i t yi nm a t h e m a t i c s ，t h i s e m p i r i c a ls t u d yo fe v a l u a t i o nw a sm a d e ，t h es t a t u so f m a t h e m a t i c a lt h i n k i n gi ns e n i o r h i g hs c h o o ls t u d e n t sa r eo u t l i n e d t h ef o u r t hc h a p t e ri st h er e s e a r c hs u g g e s t s ，i st h ef o u r t hp a r to ft h ep a p e r i nt h i s p a r t , t h ea u t h o rg i v e st h ee n l i g h t e n m e n ta n ds u g g e s t i o n si nt h i se m p i r i c a lr e s e a r c h k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c a lt h i n k i n g ；m a t h e m a t i c a lt h i n k i n g ；h i g hs c h o o ls t u d e n t s ； m a t h e m a t i c st h i n k i n g ；p r o b l e ms i t u a t i o n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 目录 摘要i a b s t r a c t i i 绪论1 一、问题的提出1 二、国内外研究的综述2 ( 一) 历史的方法3 ( 二) 理论的方法4 ( 三) 实践的方法5 ( 四) 实验的方法5 三、本文研究的内容和思路6 第一章数学思维能力概述7 一、数学思维能力的界定7 二、数学思维能力结构及其表现9 第二章高中生数学思维能力现状实证研究。1 2 一、实证研究的目的及方法1 2 ( 一) 研究目的1 2 ( 二) 研究方法1 2 二、测试对象及实施1 3 三、试题设置的总体思路及测试问卷的编制1 3 ( 一) 试题设置的总体思路1 3 ( - - ) 测试问卷的编制1 3 四、测试结果与初步分析1 4 ( 一) 高中生在一般数学知识中数学思维能力表现1 4 ( 二) 高中生在一般问题情境中数学思维能力表现1 6 ( 三) 高中生在特殊问题情境中思维能力表现1 7 ( 四) 在特定数学知识上高中生数学思维能力综合表现1 8 第三章高中生数学思维能力现状评价。2 0 一、高中生判断选择思维能力特点2 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 一) 具有较强的元认知，清楚自己思维能力的优势和不足2 0 ( 二) 在平时学习中有意识选择合理的材料加工方式2 1 ( 三) 有意识的运用归因策略，将陌生问题转化为自己熟悉情境2 2 二、高中生抽象概括思维能力特点2 3 ( 一) 能对知识进行原理性抽象，深入领会知识的逻辑形式2 3 ( 二) 对原理的抽象还不够精确，在复杂情境下会出现偏差2 4 三、高中生逻辑推理思维能力特点2 5 ( 一) 高中生必真推理能力表现良好2 5 ( 二) 高中生合情推理能力有了很大进步，但仍有待提高2 6 四、高中生探索思维能力特点一：2 7 ( 一) 高中生对情景性问题探索思维能力2 7 ( 二) 探索开放性情境的思维能力2 8 第四章研究建议3 0 一、注重数学技巧的探索和通法的教学3 0 二、注重学生理解，让熟知变成真知3 1 三、正确认识练习，让学生在练习中形成认知结构3 1 四、教学时应注重学生数学基本活动经验3 2 参考文献3 4 附录数学测试卷3 7 近三年发表的论文、取得的科研成果4 3 j 改谢z i z l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一、问题的提出 绪论 数学中许多知识是抽象基础之上的再抽象，已经形式化与符号化，远离了它最 初形态。以矩阵为例，矩阵起源于解方程组，其发展经历了一个曲折而漫长的过程。 人们最开始用算筹代替方程组两边实物变量，然后再用字母符号代替实物变量，最 后连字母符号都省去了，只留下实物变量前的数学常量，即数字。这就是我们今天 看到的矩阵图形。这一次次的抽象，即使是那些受过高等教育的人，如果没有高等 数学背景，也很难想像这些纵横排列的二维数据，居然袭承于我们幼儿园所做的图 形等式! 这正如高斯曾指出的，“数学家就像建造数学大厦的泥水匠一样，等到抹 好四壁之后，就拆走了脚手架，展现给人们的却只是雄伟壮观的建筑物了。”但在 实际生活中，普通大众更关注怎样去构建属于自己的脚手架，解决现实中的问题。 他们迫切需要数学大师们建造大厦的数学思维，而不是大师们建造的数学大 厦。因此，学会数学地思维，对于每一个人来说，非常重要。数学思维能力直接影 响学生加工数学材料的效率与进程，影响学生数学学习和数学知识的运用，制约着 学生其它能力的发展。 近1 0 年来国际数学教育界对数学的教育功能有了很大改变，认为数学教育还 具有科学教育和文化教育功能。同时，数学也由绝对主义向可误主义的演变( e r n e s t ， 1 9 9 0 ) ，形成了静态数学观向动态数学观位移( 郑毓信，1 9 9 3 ) 。郑毓信认为数学不应 被视为一种静态的知识结果，而应看作由理论、问题、语言及方法组成的动态多元 复合体。因此，数学教育的目标就不应唯一地强调数学知识的掌握，而更应重视学 生通过解决数学问题以及应用数学知识去解决现实问题的“数学思维”。日本数学 家米山国藏也说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑 中的数学精神、数学思想、研究方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人 终身受益。” 数学是思维的体操。我们在培养学生基础知识与技能的同时，更应该 培养学生的数学思维能力。赫钦斯曾经说过，“教育不能复制学生毕业后所需的经 验，它应当使学生致力于培养思维的准确性，作为达到实际的智慧，即理智行为的 戴再平著数学方法与解题研究 m 北京：高等教育出版社，1 9 9 6 年第1 9 2 页 宋晓平走向整合与发展的数学课程目标 j 数学通报2 0 0 5 年第2 期 孔企平著数学课堂教学行为研究及案例 m 南昌：江西教育出版社，2 0 0 9 第2 2 1 页 1 硕士学位论文 m a s t e r + st h e s i s 一种手段。同样，虽然教师不可能教授给学生生活中所需的所有数学知识，但教 师应该重视挖掘知识内在的意蕴与学生个体世界的关联，教给学生以后在生活中数 学地思考问题的思想和方法。 著名数学教育家g 玻利亚认为，“中学生毕业后，研究数学和从事数学教育 的人仅占1 ，使用数学的人占2 9 ，而不用数学的人占7 0 ，让9 9 的人陪1 的人去圆数学家梦，是数学教育的一大失误。” 玻利亚的名言，指出了数学教学的方向，新课程标准也正朝着这个方向努力。 “构建共同基础，提供发展平台 ，为不同层次的学生“提供多样课程 ，“注重提 高学生的数学思维能力”，让不同学生在数学上得到不同发展，以提高未来公民所 必要的数学素养，满足个人发展和社会发展需要。发展学生数学思维能力，“有助 于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断 ，在“形成理性思维中 发挥独特的作用”。其实，提高学生数学思维能力，不仅仅开发学生的智力，也利 于培养学生将数学知识运用于实际的技能技巧，为学生更好理解现代技术和现代生 产中的数学科学打下基础。 但由于我国数学教育的传统，长期以来教师都视数学为绝对的知识，注重对学 生知识的传授，片面将数学思维能力等同于解题能力，教学时采用题海战术，认为 培养数学思维能力就是研究解题方法。这种数学思维能力观，缺少思维过程意识和 对学生的价值关怀，导致知识内在构成分割，影响到学生数学思维能力的学习和提 l 商。 那么，在以高考为导向的高中数学教学中，学生的思维能力现状怎样? 学生抽 象概括、实践探索能力又怎么样呢? 带着这些问题，笔者围绕高中生数学活动中的 思维能力现状进行实证研究。希望借助这次实证研究，对高中数学教师的教学有所 帮助，以便他们对思维能力更有针对性教学，提高教学效率。 二、国内外研究的综述 思维一词，国内最早起于什么时候，其词源学也很难查清。据笔者所知，国内 2 0 世纪2 0 年代就出现思维一词了。1 9 2 0 年，马君武翻译德国学者赫克尔 ( e h a e c k e l ) 的赫克尔一元哲学( 又名世界疑谜) 在中华书局出版，书中 转引华东师范大学教育系、杭州大学教育系编现代西方资产阶级教育思想流派论著选 m 北京：人民 教育出版社，1 9 8 0 年第2 0 1 页 叶立军著数学方法论 m 杭州：浙江大学出版社，2 0 0 8 年第4 页 中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准( 实验) s 北京：人民教育出版社，2 0 0 3 年 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二篇在论灵魂时谈到了思维的形成历史。1 9 2 1 年，廖世承译的美国学者哥尔文 ( s s c o l v i n ) 教育心理学大意在中华书局出版，讲述动作与学习、感情、感 觉、思维等之间的关系时，也提及了思维一词。这两本书，是笔者所能查到的国内 最早出现思维一词的文献。 虽然思维在国内正式提及的年代不可考查，但早在孔孟时代，我国的先贤就非 常注重对学生的思维教育了。在论语述而中，孔子强调“不愤不启，不悱不发”。 宋代朱熹对此进行了解释：“愤者，心求通而未得之意；悱者，口欲言而未能之貌； 启，谓开其意；发，谓达其辞。”这个过程，揭示出学生在学习过程中遇到疑难问 题时顺序出现的两种思维矛盾状态，及教师应该采取的处理方法。在数学教学中， 许多数学大家也非常有意识的对学生进行思维能力的培养，并留下了光辉的教学典 范。例如，1 9 世纪8 0 年代，线性微分方程专家富克斯在给希尔伯特上课时，习惯 于现想现推，将自己的思维过程一览无余的展示给学生。学生们由此评价说，“得 到了一个机会，瞧一瞧最高超的数学思维的实际过程。”在国内数学教育中，也不 乏这样的学者。1 9 3 1 年，函数论专家陈建功在浙江大学上课时，在学生读完数学大 家的论文之后往往会再追问一句：“他是怎么样想出这个结论来的? ” 虽然数学教育有既传授知识又培养思维能力的传统，但在解放后很长一段时间 内，国内对数学思维的研究非常缓慢，国内学者对思维的认识也够深入。上世纪8 0 年代，钱学森对思维提出了一些新的看法。他认为，人的思维是有规律的，是可以 用科学的方法研究的。1 9 8 0 年，钱学森在哲学研究第4 期发表自然辩证法、 思维科学和人的潜力，引起学者们对思维研究的重视。在这篇文章中，钱学森指 出发展思维科学的两大“效果”：即实现研究人工智能的目的，造出更聪明的计算 机；二是懂得如何更充分地发挥人脑的能力。1 9 8 1 年1 月，钱学森在自然杂志 上发表的系统科学、思维科学与人体科学一文，对现代思维科学的体系结构作 了较全面的论述，迎来了国内思维研究的春天。1 9 8 6 年7 月钱学森主编关于思维 科学在上海人民出版社出版，让国内思维的研究达到新的高潮。在这种大背景下， 有关数学思维的研究也方兴未艾。从研究方法上讲，这些研究大概有以下四种形式。 ( 一) 历史的方法 数学家发现定理的经历，数学史中的经典习题，都凝聚着数学家的智慧。例如， ( 宋) 朱熹撰论语集注 m 济南：齐鲁书社，1 9 9 2 年第6 3 页 张乃达著数学思维教育学 m 南京：江苏教育出版社，1 9 9 0 年第3 3 页 张乃达著数学思维教育学 m 南京：江苏教育出版社，1 9 9 0 年第3 3 页 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 在推导球体积公式时，祖咂的截面法、阿基米德的力学方法和旋转体逼近法、开普 勒的棱锥求和法等，这些对数学问题智慧的思考过程，本身就是人类历史上最优秀 的成果，其重要性决不亚于数学定理本身。让学生知晓这些数学史识，知晓知识产 生的来龙去脉，体会数学知识从无到有的过程，从数学家发现定理的过程中吸取智 慧，本身就是数学思维的塑造与培养。在这些书籍中，主要有李文林编的数学史 概论( 高等教育出版社2 0 0 0 年版) ，梁宗巨著世界数学通史( 辽宁出版社1 9 9 6 年版) ，美国学者李维( m a r i ol i v i o ) 著的数学沉思录：古今数学思想的发展与演变 ( 黄征译，人民邮电出版社2 0 1 0 年版) ，等等。 ( 二) 理论的方法 这类书主要从哲学、心理学、思维科学等学科中吸取有用的理论观点，并从不 同角度对数学思维作理论上的分析研究，归纳总结结论。其中，代表性书籍当数张 乃达著的数学思维教育学( 江苏教育出版社1 9 9 0 年版) ，这本书堪称数学思维 教育论著的典范，它对数学思维的相关理论作了非常详尽而系统的论述。该书分上 下两编，上编主要讲数学思维结构，介绍了数学思维结构，方法，形式，过程，材 料、结果；下编主要阐述数学思维教学，包括相应的教学原则，方法，教学过程中 的宏观分析和微观分析等等。另外，任樟辉著的数学思维理论( 广西教育出版 社2 0 0 1 年版) 也对数学思维相关理论作了比较全面的介绍，包括数学思维的涵义、 功能与研究方法，以及数学思维形式，方式，策略等。蒋志萍、汪文贤著的数学 思维方法( 浙江大学出版社2 0 1 1 年版) 是近两年出版的新作，该书主要从思维方 法的角度对数学思维进行了介绍。在书中，概述了一些主要的数学思维方法，包括 数学猜想、合情推理、证明、公理化、建模、归纳和类比等。 在历史与理论的研究方法中，有一部数学教育界不容忽视著作，中学数学思 维方法丛书。这是郑州市大象出版社1 9 9 9 年出版的一套丛书，丛书主编是王梓坤 院士和张乃达特级教师。该丛书共1 3 册，具体包括走向数学发现、原则与策 略、猜想与合情推理、直觉探索方法、逻辑探索方法、整体方法、逻辑 与演绎、综合与构造、转化与化归、抽象与模式、反思与监控、计算机 与思维、观念与文化。丛书内容丰富，语言通俗易懂，在介绍数学思维时，易 于被一线教师接受，对他们影响深远。 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 三) 实践的方法 这类研究主要建立在教学实践上，从一线教师优秀的教学经验中提炼、总结数 学思维的相关理论。这类研究占了数学思维研究的绝大部分，出版社也出版了许多 专门的书籍。例如徐斌、欧阳宇著的知识、思维、课堂数学教学的历史与现状 ( 黑龙江教育出版社2 0 0 6 版) ，该书前两章对中学课堂中数学知识教学和中学生数 学思维的培养作了现状分析，第三章分别呈现了数学实验课、代数课、解析几何课、 立体几何课、多媒体辅助设计课型下数学思维教学的案例，最后一章介绍了美国的 教育，并对我国的数学教育的未来进行了展望。陈振宣著的培养数学思维能力的 探索( 上海教育出版社2 0 0 8 年版) ，该书引言部分介绍了数学地思维的特征，并 提出了自己对数学思维能力结构的猜想，认为数学思维能力主要是下面这个式子构 成。 圈x 圈x 园圃 正文则从这三个维度分别介绍它们与数学思维的关系，并呈现了丰富的数学案 例。同时，在期刊杂志上，也能够找到许多这种类型的论文，例如巩福德的数列 递推公式教学中的数学思维品质的培养( 安徽电子信息职业技术学院学报2 0 1 0 年 第5 期) 。 ( 四) 实验的方法 在这种方法中，主要通过教学实验、个案分析、跟踪调查等方法，检验并发展 已有相关思维理论。孟凯韬在数学思维引论( 科学出版社1 9 9 1 年版) 中介绍了 一种用数学函数定量测量学生思维品质的方法。在书中，他首先定义了思维链和思 维函数，然后介绍了思维链的长度阶、新颖度、跨度、拐度和思维函数的新颖度、 罕见度、凝聚度、繁难度等概念，接着给出了对应的数学公式以及思维品质相应的 计算方法。1 9 9 4 年邵光华分别在数学通报上发表数学思维能力结构研究的姊妹 篇文章，分别是数学思维能力结构的定性分析( 第1 0 期) 和数学学思维能力 结构的定量分析( 1 1 期) 。在前一篇文章中他详细介绍了数学思维能力的构成，认 为数学思维能力包括五方面十二种因素成分。在后一篇文章中他对数学思维能力的 构成进行了实证研究，作了定量分析，进一步揭示和验证数学思维能力的结构特征。 另外，针对数学思维的某一个方面进行调查研究的硕士论文，数量也不在少数，例 硕士学位论文 m a s t e r + st h e s i s 如华中师范大学2 0 1 0 年硕士论文，赵雪的小学生数学思维品质的调查研究等。 相比国内，国外很早就将思维纳入了心理学、哲学等研究范畴。从黑格尔哲学 中思维与存在的关系，到皮亚杰儿童思维发展水平四阶段论，这些都留下了思维研 究的影子。目前，西方数学思维研究的热点是高层次数学思维。高层次数学思维源 自本杰明布鲁姆( b l o o m 1 9 5 6 ) 及罗伯特力涅( g a g n e 1 9 8 5 ) 等人的学习理论。即只 有超越所谓的“初等数学思维”，具体涉及到概念的形式定义和理论的演绎开展之 中，深入到真正的数学活动之中，才能揭示数学学习活动的特殊性。其主要代表作 为d a v i dt a l l 著的高层次数学思维( a d v a n c e dm a t h e m a t i c a lt h i n k i n g ，k l u w e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s ；19 91 ) 本文研究的内容和思路 总体说来，虽然国内数学思维研究的学术著作众多，但也有许多不尽如人意的 地方。例如，在国内数学思维研究中，对儿童的思维研究较多，对青少年思维研究 较少；有关思维品质研究的较多，对思维能力的研究较少。在思维能力的研究方面， 定性研究得多，定量研究得少；对思维能力的实践研究较多，理论研究较少。在理 论研究上，研究架构雷同的多，原创性的少。正是基于以上几个方面的考虑，笔者 拟采取理论分析与实证研究相结合的方法，先对高中生思维能力构成作理论上的探 讨，确定高中生数学思维能力构成维度，接着按照这个维度设计数学测试卷，通过 高中生测试卷的完成情况来了解高中生数学思维能力现状，为高中数学教师的数学 思维能力教学提供参考。 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章数学思维能力概述 数学思维能力的界定 什么是数学思维能力? 目前国内文献对它的界定比较少，很难找一个比较权威 的定义。因此，要了解什么是思维能力，我们不妨先从什么是数学能力以及什么是 数学思维这两个问题入手。 我们先来了解一下什么是能力。中国大百科全书心理学指出：作为掌握 和运用知识技能的条件并决定活动效率的一种个性心理特征，一个人具有某种能 力，就意味着具有掌握和运用某方面知识技能的可能。尽管这个定义得到了大部 分学者的认可，但依然有学者对能力的个性心理特征说产生了质疑。例如一个篮球 运动员控制球的能力，至少就不能完全解释为心理特征。因此，有人视能力为包括 个性心理特征在内的一种本领，认为“能力通常指完成某种活动的本领，包括完成 某种活动的具体方式以及顺利成功完成某种活动所必需的个性心理特征。 圆与对能 力概念解读相似，对数学能力的解读学者们也有类似的差别。喻平教授认为“数学 能力是指在数学学习活动中，直接影响活动效率，使得活动顺利完成的个性稳定的 心理特征。 而毛鸿翔则认为，数学能力就是一种特殊能力，它是与数学活动相适 应，保证数学活动顺利完成的心理条件。从定义中，我们可以对数学能力作如下 的解读。 数学能力直接调节数学活动内容和活动方式，这与个性心理特征中的气质、性 格不同；顺利完成某种活动需要的因素很多，既有外部的物质条件等客观因素，也 有个体知识等主观因素，能力只是其中一个方面。能力总是存在于具体活动中，在 活动中体现，并在活动中发展。 接着我们来了解一下什么是数学思维。同数学能力一样，国内学者对数学思维 的理解也存有分歧。思维是逻辑学、神经生理学、语言等多学科研究对象。因此， 在不同学科视角下对数学思维的理解也不相同。笔者在此仅列出三个有代表性的观 中国大百科全书总编辑委员会中国大百科全书心理学 m 北京：中国大百科全书出版社，1 9 8 7 年 第2 0 8 页 张景斌主编中学数学教学教程 m 北京：科学出版社，2 0 0 0 年第1 6 8 页 喻平，连四清，武锡环主编中国数学教育心理研究3 0 年 m 北京：科学出版社，2 0 1 1 年第2 3 7 页 毛鸿翔等编著数学学习心理学 m 桂林市：广西师范大学出版社，1 9 9 2 年。第2 0 1 页 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 点。 叶立军从主体( 人脑) 、客体、思维过程三个要素对数学思维进行了定义，认 为“数学思维从属于一般思维，它是人脑对数学对象理性的认识过程，是对数学学 科的本质属性与数学对象间关系的反映。”从定义上我们可以看出，叶立军认为数 学思维从属于一般思维，强调数学思维的一般属性，同时他也关注到数学对象自身 的特殊性，认为数学思维是数学学科的本质属性与数学对象问关系的反映，但他没 有阐明数学学科的本质属性与数学对象各自具体代表什么。总体而言，叶立军对数 学思维定义实质是心理学定义的数学化。 王仲春教授在叶立军的定义上进行了明确和细化，他认为广义的数学思维可理 解为“数学思维是指人类关于数学对象的理性认识过程，包括应用数学具体解决各 种实际问题的思考过程”，王仲春教授突出了数学思维和数学知识在解决实际问题 中重要性，强调数学思维的学科特性，认为数学思维属于理性认识。同时，用“解 决各种实际问题 来代替“数学学科的本质属性”，让数学思维的定义更加清晰。 特级教师张乃达也很强调数学问题在数学思维中的作用，他认为“所谓数学思 维，就是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的 空间形式和数量关系本质的一般性认识的思维过程”， 张乃达老师的这种定义，在 王仲春教授的定义上作了进一步的细化，指出了数学思维的作用对象，即“空间形 式和数量关系 。 从以上三个学者对数学思维的界定中，我们不难得出这样的一个结论，即数学 思维从属于一般思维，是“主体”对“客体”的一种数学化的认识过程。 那么，究竟什么是数学思维能力呢? 笔者认为，数学思维能力与数学思维一样， 都是个体对现实世界的空间形式和数量关系的本质认识，但同时它在某些方面与数 学能力有着一致性，即数学思维能力一定要通过数学活动表现出来，是以数学问题 为载体，通过发现问题、解决问题，展示个体特有的数学技能。因此，笔者将数学 思维能力这样进行界定，认为它是个体在数学活动中表现出来的一种能力，既包含 个体在一般情境中运用分析、综合、比较、判断等一般思维能力，也包括个体在数 学思想的指导下运用具体的数学学科知识解决特殊情境下空间形式和数量关系的 特殊思维能力。 叶立军主编数学课程与教学论 蝴杭州：浙江大学出版社，2 0 1 1 年第2 1 1 页 王仲春，李元中等数学思维与数学方法论 m 北京：高等教育出版社，1 9 8 9 年第5 6 页 张乃达著数学思维教育学 m 南京：江苏教育出版社，1 9 9 0 年第4 页 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 数学思维能力结构及其表现 目前国内对数学思维能力作理论研究的学者非常少，对数学思维能力有哪些基 本成分，其构成结构是什么，在公开发表的文献中也难觅踪迹。不仅如此，随着时 间的推移，学者们对数学思维能力的理解也在逐渐改变，对数学思维能力的认识也 在深化。 2 0 世纪8 0 年代，我国数学教育界深受前苏联数学教育家克鲁切夫斯基的影响， 将传统数学教学大纲中的数学能力概括为三大部分，即数学运算能力、空间想象能 力和逻辑思维能力，并且将逻辑思维能力列为数学思维能力的核心成分，“甚至认 为数学能力的核心是逻辑思维能力”。随着时代的进步，人们越来越发现将数学思 维能力主要概括为逻辑思维能力是有偏颇的，人们对数学思维能力又进行了重新认 识。笔者在此仅列举国内在数学思维能力理论研究上最具代表性的两位学者，并介 绍一下他们的观点。 在数学思维能力的研究上，邵光华是比较有代表性的一位。他在数学通报 上发表的两篇文章，对数学思维能力结构既作了定性的阐述，又作了定量的分析， 为后来研究者提供了一个很好的研究范式。他从数学思维和数学活动这两个方面出 发，分析了数学思维的特点和学生数学活动影响活动效率因素，在此基础上概括了 数学思维能力的构成要素，具体介绍如下。 从数学思维方面来看，邵光华认为数学思维具有以下五个方面的特性。即高度 的概括性、高度的抽象性、独特的形式化符号体系、数学问题为对象、逻辑推理占 主导。从数学活动来看，以下这五个方面因素与思维活动效率直接相关。即数学概 括、数学抽象、数学语言、化归意识、数学推理。结合这两方面，邵光华认为数学 思维能力由数学概括、数学抽象、数学推理、数学化归、思维简缩( 数学语言) 这 五个因素构成。在每一种因素之下，又包含着若干方面的能力。具体而言，邵光华 认为有三种形式的概括能力、三种形式的抽象能力、两种形式的推理能力、化归的 三种具体能力项。 综合起来，邵光华认为数学思维能力在上述五因素下，具体包括下列十二种能 力 ：发现属性能力；数学变式能力；发现相似能力；数学推理能力；数学转换能 力；直觉思维能力；形成数学概念的概括能力；形成数学通则通法的概括能力；适 张奠宙“与时俱进”谈数学能力 j 数学教学2 0 0 2 年第2