（光学专业优秀论文）光纤中调制不稳定性的进一步研究.pdf

四川大学博士学位论文 光纤中调制不稳定性的进一步研究 光学专业 研究生钟先琼指导教师陈建国教授 摘要 调制不稳定性是一种非常普遍而重要的物理现象，在流体力学、等离子体 物理、凝聚态物理、光学等许多领域都可以观察到。光学中的调制不稳定性起 源于色散( 或衍射) 和非线性效应的相互作用。它包括时域的、空域的和时空耦 含的调制不稳定性。时域中的调制不稳定性一般指发生在光纤中的情况，它在 频域上表现为谱线旁瓣的产生，在时域上使连续或准连续光分裂成一系列短脉 冲串。可用于产生高重复率的超短脉冲串、制成调制不稳定激光器以及产生时 间光孤子，但同时它也是影响光纤通信系统性能的一个重要因素。空域中的调 制不稳定则与空间光孤子的产生和高功率激光器件中激光的成丝以及随之而来 的介质破坏密切相关。因此，调制不稳定性一直受到人们的广泛关注。本文对 光纤中单光束的自相位调制不稳定性和同偏振不同波长的双光束的交叉相位调 制不稳定作了深入研究。 人们采用传统的线性稳定性分析，将光扰动的复振幅口写成f u 。c o s ( 缸一口 t ) + i v o s i n ( 妇一口t ) 或 u o e x p i ( k z 一口t ) 】+ i v o e x p o ( k z 一口t ) 】) 的形式后，对光纤中 的自相位调制不稳定性进行了研究，得到了不稳定性条件和增益谱。传统的处 理虽然可以极大地简化数学过程，而且当波数k 是个纯虚数的时候也可在一 定程度上正确地预言调制不稳定的扰动频率范围和增益谱，但从其数学处理不 难看出，传统的处理实际上认定扰动波数k 是一个与传输距离无关的常数，因 而寻求的也实际上是一个与传输距离无关的扰动增益。换句话说，传统的处理 实际上给本来自洽而且理论上应有普适解的扰动演化方程施加了额外的限制， 四川大学博士学位论文 即人为地使扰动位相随传输距离的导数变为零，因而掩盖了与扰动位相相关的 扰动演化信息，从而在事实上把研究放在了对渐进行为的分析上因而没有获 得扰动演化初期的图像。简而言之，前人的线性稳定性分析法旨在描述光扰动 的初始演化情况，但由于数学处理上的缺陷，则恰恰丢失了扰动的初始演化信 息，因而导出的结论在物理上是不完备的。深入探讨调制不稳定性这种重要的 物理现象，获取一个全面、自洽的物理图像无论是在理论上还是在以此为基础 的实际应用上都是十分必要的。 本文将光纤中的光扰动表示为更具普适性的振幅加位相角的形式后，从光 纤中的非线性薛定谔方程出发，在小信号近似下，导出了光扰动振幅和位相的 演化微分方程；解出了光扰动振幅、位相和增益系数的解析表达式；分析讨论 了具有不同初始条件的光扰动下的扰动振幅、位相和增益系数随距离的演化规 律；分析讨论了光扰动位相和增益系数的渐近行为。结果表明：扰动演化对扰 动的初始值有强烈的依赖关系。在传统处理认为有调制不稳定性的扰动频率小 于截止频率的负色散区，位相距离平面上存在着几个区域，处于这些区域 的位相最终将趋向各自的渐近值：随扰动初始位相的不同，扰动位相在趋于渐 近值前随距离可能单调增加，也可能单调下降。也视扰动初始位相的不同，扰 动幅度随距离可能单调增加，也可能先衰减后增加。对于扰动的增益系数，无 论是在正色散区还是负色散区，扰动增益均不是文献里报道的常数，而是距离 的函数。而且只要扰动初位相适当，任何频率的扰动都有可能达到一个共同的 最大值增益。在被认为无调制不稳定的正色散区和扰动频率大于截止频率的负 色散区，扰动增益随距离是振荡的。在被认为有调制不稳定的扰动频率小于截 止频率的负色散区，频率相同而初位相不同的扰动增益将经历不同形式的演化 后趋于同一正值( 渐近值) ；前人导出的不稳定增益表达式只是本文所得表达式 在传输距离足够大时的渐近值；也祝扰动初位相的不同，扰动增益在趋于渐近 值前随距离的变化规律也不同。 根据前人的研究结果，当光扰动的角频率为零或截止频率( 或临界频率) 时， 光扰动的增益系数为零此时，人们自然会认为这两种特殊角频率的扰动幅度 不会越来越太，因而也不该有不稳定的问题。但正如前面所述，传统的处理由 于忽略了与位相相关的信息，因而使问题的讨论从一开始就呈现出渐近的特性， 【i 知识水坝pologoogle为您整理 四川大学博士学位论文 丢失了这两种特殊扰动的初始演化信息，难以对这两种特殊扰动的稳定性问题 作出判断。本文将扰动表为普适性的振幅加位相角的形式后，导出了这两种特 殊扰动的位相、幅度以及增益系数的解析表达式并分析讨论了它们随距离的演 化行为；分析讨论了扰动位相和增益系数的渐近行为。结果表明，这两种扰动 的位相、幅度和增益系数随距离的演化也均与扰动初值密切相关。具有零频率 ( 或截止频率) 的扰动的位相随距离单调递增( 或递减) 地趋于渐近值n ，m 2 ( 或 眦) 视扰动初始的不同，扰动幅度可能单调增长，也可能先衰减后增长，但在 无穷远处依然是发散的。两种扰动的增益系数渐近值均为零，但在趋于零之前， 也视扰动初位相的不同，扰动增益随距离的变化也不同。由此可见，这两种扰 动也可能导致不稳定。 从数学上讲，还可用实部加虚部的复数形式来表示光扰动，本文也在小信 号近似下，导出了光扰动实部和虚部的演化微分方程；解出了光扰动实部和虚 部的解析表达式；分析讨论了不同光扰动初始情况下，光扰动实部和虚部随距 离的演化规律以及它们之间的耦合关系；并对不同光扰动表述的各自优点和缺 陷作了比较分析。结果表明：光扰动的实、虚部随距离的演化也与扰动初始密 切相关；虽然光扰动的实、虚部形式和振幅加位相角的形式在数学上是等效的， 但从物理上讲，后者则更能够清晰、直观遗描述光扰动的演化：前人的扰动表 述形式虽然能够非常简洁轻松地在一定程度上正确预言调制不稳定性的频率范 围和渐近增益系数，但无法给出光扰动的与初始情况相关的初始演化信息。因 此，在小信号近似下，要清晰、直观而又普适地描述光纤中的调制不稳定性， 振幅加位相角的光扰动表述形式是更合适的选择。 本文还从单模光纤中的耦合非线性薛定谔方程出发，对同偏振、不同波长 的两光波因交叉相位调制所致的调制不稳定性产生的条件及增益谱作了进一步 的分析讨论。结果表明，文献中关于交叉相位调制不稳定性产生的必要条件和 增益谱公式只对两光波同在正色散区或同在负色散区时才是唯一的；当一光波 处于正常群速度色散医，另一光波处于反常群速度色散区时，与两光波参数有 关的扰动增益谱应有三种可能的形式；在一定条件下，在某一微扰频率范围内， 甚至还会同时出现两种形式的增益谱。 本文还从五阶感应电极化强度出发，导出了有损耗单模光纤中同偏振、不 i l l 知识水坝pologoogle为您整理 四川大学博士学位论文 同波长的两光波交叉相位调制情况下的五阶非线性折射率、交叠积分、五阶非 线性系数；进而导出了同时考虑三阶和五阶非线性情况下两光波的慢变振幅满 足的耦合非线性薛定谔方程组；然后进一步得出了线性化后微扰满足的方程组； 详细分析了在三阶( 正的) 和五阶非线性共存情况下，五阶非线性系数的大小 和正负、色散缓变参量、二阶群速度色散系数的芷负、两扰动的频率大小关系 以及损耗对交叉相位调制不稳定性条件和增益谱的综合影响。结果表明：无论 是在光纤的正色散区还是负色散区，正负五阶非线性的存在分别对交叉相位调 制不稳定起加强和抑制作用。色散的纵向变化参量以及两扰动的频率大小关系 不同，五阶非线性对交叉相位调制不稳定性的加强或抑制程度也不同。在光纤 的负色散区，随参数的不同，增益谱图还可能出现无截止频率的情况。损耗的 存在会减弱调制不稳定性。 关键词：调制不稳定性；不稳定增益谱；扰动位相：扰动振幅：扰动演化； 非线性薛定谔方程：特殊频率的光扰动；自相位调制；交叉相位 调制；五阶非线性；色散缓变光纤 本论文得到国家自然科学基金委一中国工程物理研究院联合资助项目 ( n o 1 0 1 - 6 0 1 9 ) 的资助。 四川大学博士学位论文 f u r t h e rs t u d i e so nm o d u l a t i o ni n s t a b ili t y i no p t i c a lf i b e r s m a j o r ：o p t i c s s t u d e n t ：z h o n gx i a n q i o n g s u p e r v i s o r ：p r o f c h e nj i a n g u o a b s t r a c t m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yi sa nu n i v e r s a la n dv e r yi m p o r t a n tp h y s i c a l p h e n o m e n o n ，w h i c hc a nb eo b s e r v e di nm a n yf i e l d s ，s u c ha sf l u i dd y n a m i c s ， p l a s m a s ，c o n d e n s e s t a t ep h y si c s ，o p t i c s ，e t c 。m o d u l a t i o ni n s t a b i li t yi n o p t i c sr e s u l t sf r o mt h ei n t e r p l a yb e t w e e nt h ed i s p e r s i o n ( o rd i f f r a c t i o n ) a n dn o n l i n e a re f f e c t s i ti n c l u d e st e m p o r a l ，s p a t i a l ，a n ds p a t i o t e m p o r a l m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t i e s t h em o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yo c c u r r i n gi na n o p t i c a lf i b e ri su s u a l l yc a l l e dt e m p o r a ld o m a i nm o d u l a r i o ni n s t a b i l i t y i tm a n i f e s t si t s e l fa st h eo c c u r r e n c eo ft h es p e c t r a ls i d eb a n d sa n d b r e a k u po fc wo rq u a s i c wl i g h tr a d i a t i o ni n t oat r a i no fu l t r a s h o r t p u l s e si ns p e c t r a la n dt e m p o r a ld o m a i n ，r e s p e c t i v e l y t h i st e m p o r a l d o m a i nm o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yc a nb eu t i l i z e dt og e n e r a t eu l t r a s h o r t o p t i c a lp u l s ec h a i n sw i t hh i g hr e p e t i t i o nr a t e s ，c o n s t r u c tm o d u l a t i o n i n s t a b i l i t yl a s e r sa n dc r e a t et e m p o r a ld o m a i no p t i c a ls o l i t o n s h o w e v e r ， t h et e m p o r a ld o m a i nm o d u l a r i o ni n s t a b i l i t yi sa l s oa ni m p o r t a n tl i m i t i n g f a c t o rf o ro p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o n s t h es p a t i a ld o m a i nm o d u l a t i o n i n s t a b ili t yi s c l o s e l yr e l a t e dt ot h eg e n e r a t i o no fs p a t i a lo p t i c a l s o l i t o n sa n dt h ef i l a m e n td a m a g e si nt h el a s e rm e d i ao fh i g hp o w e rl a s e r s f o rt h e s er e a s o n s ，m o d u l a r i o ni n s t a b i l i t yh a sa t t r a c t e de x t e n s i v ea n d v 四川大学博士学位论文 c o n t i n u o u si n t e r e s t s i nt h i sp a p e r ，t h es e l f p h a s em o d u l a t i o ni n d u t e d m o d u l a r i o ni n s t a b i l i t ya n dt h ec r o s s p h a s em o d u l a t i o no ft w oo p t i c a l b e a m so fd i f f e r e n tw a v e l e n g t h sw i t ht h es g n l ep o l a r i z a t i o ni n d u c e d m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t ya r ed e e p l yi n v e s t i g a t e d a d o p t i n gt h em e t h o do ft h et r a d i t i o n a l1 i n e a r s t e a d ya n a l y s i s ， e x p r e s s i n g t h ec o m p l e xa m p l i t u d eo f o p t i c a lp e r t u r b a t i o n a s c o s ( k z q t ) + i v o s i n ( k z q t ) o r u 0 e x p i ( k z o t ) + i v 。e x p i ( k z q t ) ， t h es e l f p h a s em o d u l a t i o ni n d u c e dm o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yi na no p t i c a l f i b e ri ss t u d i e da n dt h ec o n d i t i o na n dg a i ns p e c t r u mi sa l s oo b t a i n e d t h ep r e v i o u s p r o c e s s i n go fm o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yc a ns i m p l i f yt h e m a t h e m a t i c a lp r o c e s sc o n s i d e r a b l ya n dp r e d i c tc o r r e c t l yt h ef r e q u e n c y r e g i o n sa n dg a i ns p e c t r u mt os o m ee x t e n tw h e nt h ep e r t u r b a t i o nw a v e n u m b e rki sap u r ei m a g i n a r yn u m b e r h o w e v e r ，f r o mt h e i rm a t h e m a t i c a l d e d u c i n gp r o c e s s ，i ti se a s yt os e et h a t ，t h et r a d i t i o n a lp r o c e s s i n g a c t u a l l ys e e kac o n s t a n tw a v en u m b e rka n dac o n s t a n tp e r t u r b a t i o ng a i n c o e f f i c i e n t i no t h e rw o r d s ，t h et r a d i t i o n a l p r o c e s s i n ga c t u a l l y n u t l i f i e st h ef i r s to r d e rd e r i v a t i o no ft h ep e r t u r b a t i o np h a s ew i t h r e s p e c tt ot h ep r o p a g a t i o nd i s t a n c eza n d ，i nt u r n ，i m p l i e sa ne x t r a c o n s t r a i n th a sb e e ni m p o s e do nt h ee v o l u t i o ne q u a t i o no fp e r t u r b a t i o n w h i c hs h o u l db es e l fc o n s i s t e n ta n dh a v et h e o r e t i c a ll yu n i v e r s a l s o l u t i o n a c c o r d i n g l y ，t h ei m p a c t so fp h a s e so nt h ee v o u t i o n so ft h e p e r t u r b a t i o nf i e l d sa r el o s t a sar e s u l t ，s o m ep h a s er e l a t e di n f o r m a t i o n o ft h ee v o l u t i o n so ft h ep e r t u r b a t i o nf i e l d si sb l a c k e do u t u n d e rt h e s e c i r c u m s t a n c e s t r a d i t i o n a ls t u d i e sa c t u a l l yl e dt h ed i s c u s s i o n st ot h e a s y m p t o t i cb e h a v i o r sf r o mt h ev e r yb e g i n n i n ga n dt h e nf a i1e dt oo b t a i n t h e i n t e g r a t e dp h y s i c a lp i c t u r e s o ft h ei n i t i a le v o l u t i o n so f p e r t u r b a t i o n s i naw o r d ，t h ea i mo ft h ep r e d e c e s s o r s m e t h o do ft h e l i n e a r s t e a d ya n a l y s i si st od e s c r i b et h ei n i t i me v o h t i o n so ft h e o p t i c a lp e r t u r b a t i o n s ，b u tf o rt h e i rd e f e c t so fm a t h e m a t i c a lp r o c e s s i n g ， v i 四川大学博士学位论文 t h i si n i t i a li n f o r m a t i o ni sl o s tp r e c i s e l y t h e r e f o r e ，p r e d e c e s s o r s c o n c l u s i o n sc o n c l u d e df r o mt h em e t h o do ft h e1i n e a r s t e a d ya n a l y sisa r e n o tp h y s i c a l l yc o m p r e h e n s i r e f r o mt h ev i e wp o i n to ft h e o r yo rp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n ，i ti sn e c e s s a r yt os t u d ym o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yf u r t h e rs o a st oo b t a i nat h o r o u g ha n ds e l fc o n s i s t e n tp h y s i c a lp i c t u r e i nt h i sw o r k ，u s i n gam a g n i r u d ea n dp h a s ea n g l et od e s c r i b et h e o p t i c a lp e r t u r b a t i o n ，s t a r t i n gf r o mt h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n i na no p t i c a lf i b e r ，t h ee v o l u t i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o r t h e m a g n i t u d ea n dp h a s eo ft h eo p t i c a lp e r t u r b a t i o n sa r ed e d u c e da n ds o l v e d i nc a s eo fs m a l ls i g n a la p p r o x i a t i o n t h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n sf o r t h ep e r t u r b a t i o nm a g n i t u d e ，p h a s ea n dg a i ne o e f f i c l e n ta r eo b t a i n e d ， e v o l u t i o n so ft h ep e r t u r b a t i o nm a g n ir u d e ，p h a s e ，a n dg a i nc o e f f i e i e n t w i t ht h e p r o p a g a t i n gd i s t a n c e f o rd i f f e r e n ti n i t i a l o p t i c a l p e r t u r b a t i o n sa r ea n a l y z e da n dd i s c u s s e d t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r so f t h ep e r t u r b a t i o np h a s ea n dg a i nc o e f f i c i e n ta r ea l s oa n a l y z e da n d d i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o wt h a t ，t h ep e r t u r b a t i o ne v o l u t i o n sd e p e n do n t h ei n i t i a lv a l u e so fp e r t u r b a t i o n s i nt h ea b n o r m a ld i s p e r s i o nr e g i o n w h e nt h ep e r t u r b a t i o nf r e q u e n c yi ss m a l l e rt h a nt h ec u t o f ff r e q u e n c y ， w h e r em o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yi sp r e d i c t e db yt h ep r e d e c e s s o r s s t u d y t oo c c u r ，t h e r ee x i s ts e v e r a lr e g i o n si nt h ep h a s e d i s t a n c ep l a n e p e r t u r b a t i o nw i t hi n i t i a lp h a s e sf a l l i n gi n t ot h e s er e g i o n sw i l le v o l v e t od i f f e r e n ta s y m p t o t i cv a l u e se v e n t u a l l y d e p e n d i n go ni n i t i a lp h a s e s ， p h a s e sm a yd e c r e a s e o ri n c r e a s em o n o t o n o u s l yw i t ht h e p r o p a g a t i o n d i s t a n c eb e f o r e a p p r o a c h i n ga s y m p t o t i cv a l u e s s i m i l a r l y ， a l s o d e p e n d i n go nt h ei n i t i a lp h a s e so fp e r t u r b a t i o n s 。t h ep e r t u r b a t i o n m a g n i t u d e sm a yi n c r e a s em o n o t o n o u s l yo rd e c r e a s eb e f o r ei n c r e a s i n gw i t h t h ep r o p a g a t i o nd i s t a n c e a sf o rt h eg a i nc o e f f i c i e n t ，i ti sg e n e r a l l y af u n c t i o no ft h ep r o p a g a t i o nd i s t a n c ea n dn o ta ni n v a r i a n tp a r a m e t e r a sr e p o r t e di nt h ep r e v i o u sl i t e r a t u r e sn om a t t e rw h e t h e ri nt h en o r m a l v i i 四川大学博士学位论文 o fa b n o r m a ld i s p e r s i o nr e g i o n so ft h eo p t i c a lf i b e r m o r e o v e r ，d e p e n d i n g o nt h ei n i t i a lp e r t u r b a t i o np h a s e s ，a 1 1t h eu n s t a b l ep e r t u r b a t i o n sh a v e t h ec h a n c et oc l a i mac o n m o nm a x i m u mg a i no ff r e q u e n c yi n d e p e n d e n t i n t h en o r m a ld i s p e r s i o nr e g i o n ，a sw e l la si nt h ea b n o r m a lr e g i o nw h e nt h e p e r t u r b a t i o nf r e q u e n c yi sl a r g e rt h a nt h ec u t o f ff r e q u e n c y ，w h e r et h e m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yi sn o tt h o u g h tt oo c c u r ，t h ep e r t u r b a t i o ng a i n s o s c i l l a t ew i t ht h ep r o p a g a t i o nd i s t a n c e i nt h ea b n o r m a ld i s p e r s i o n r e g i o nw h e nt h ep e r t u r b a t i o nf r e q u e n c yi ss m a l l e rt h a nt h ec u t o f f f r e q u e n c y ，w h e r em o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yi st h o u g h tt oo c c u r ，t h eg a i n s o fp e r t u r b a t i o n sw i t hd i f f e r e n ti n i t i a lp h a s e sw h i l ew i t ht h es a m e f r e q u e n c yw i l le v o l v et ot h es a m ep o s i t i r ev a l u e ( a s y m p t o t i cv a l u e ) i n d i f f e r e n tw a y s t h eg a i n so ft h eu n s t a b l ep e r t u r b a t i o n sr e p o r t e di n p r e d e c e s s o r s r e s e a r c h e so n l yr e p r e s e n tt h ea s y m p t o t i cv a l u e so ft h i s w o r k a l s od e p e n d i n go nt h ei n i t i a lp h a s e s ，t h eg a i nc o e f f i c i e n t sw i i i e v o l v ei nd i f f e r e n tw a y sb e f o r er e a c h i n gt h e i ra s y m p t o t i cv a l u e s a c c o r d i n g t ot h et r a d i t i o n a la n a l y s i s ，t h e p e r t u r b a t i o n sw i t h f r e q u e n c i e se q u a lt oz e r oo rc u t o f ff r e q u e n c yh a v e az e r o g a i n c o e f f i c i e n t i nt h i sc a s e ，o n en a t u r a l l y c o n c l u d e st h a tt h em a g n i t u d e s o ft h et w os p e c i a lp e r t u r b a t i o n sa r ec o n v e r g e n ts h o u l dn o tb eo fu n s t a b l e t y p e s h o w e v e r ， a ss t a t e d a b o v e ，t h et r a d i t i o n a lp r o c e s s i n go f m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yh a sn e g l e c t e dt h ep h a s e r e l a t e di n f o r m a t i o n ，a n d t h e nl e dt h ed i s c u s s i o n st ot h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r sf r o mt h ev e r y b e g i n n i n g u n d e rt h e s ec i r c u m s t a n c e s ，t h ei n i t i a le v o l u t i o n so ft h et w o s p e c i a lp e r t u r b a t i o n sh a v e b e e nl o s t t h e r e f o r e ，i ti sd i f f i c u l tt oj u d g e w h e t h e rt h et w op e r t u r b a t i o n sa r es t a b l eo rn o t i nt h i sw o r k ，a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n so ft h em a g n i t u d e s ，p h a s e sa n dg a i nc o e f f i c i e n t so ft h et w o p e r t u r b a t i o n sw i t hz e r oo rc u t o f ff r e q u e n c ya r ed e d u c e d t h ee v o u t i o n s o ft h em a g n i t u d e s ，p h a s e sa n dg a i nc o e f f i c i e n t so ft h et w op e r t u r b a t i o n s w jt ht h ep r o p a g a t i o nd i s t a n c ea r ea n a l y z e d f u r t h e r m o r e ，t h ea s y m p t o t i c v 1 1 i 四川大学博士学位论文 b e h a v i o r so ft h ep e r t u r b a t i o np h a s e sa n dg a i nc o e f f i c i e n t sa r ea n a l y z e d a n dd i s c u s s e d t h er e s u l t si n d i c a t et h a t ，t h ee v o l u t i o n so ft h ep h a s e s ， m a g n it u d e sa n dg a i nc o e f f i c i e n t so ft h et w os p e c i a lp e r t u r b a t i o n sa r e a l s oc l o s e l yr e l a t e dt ot h ei n i t i a lv a l u e so ft h ep e r t u r b a t i o n s t h e p h a s eo ft h ep e r t u r b a t i o nw i t hz e r o ( o rc u t o f f ) f r e q u e n c yi n c r e a s e s ( o r d e c r e a s e s ) w i t ht h ep r o p a g a t i o nd i s t a n c em o n o t o n o u s ya n dt e n d st oi t s a s y m p t o t i cv a l u en 开吲2 ( o r 肼) e v e n t u a l y a l s od e p e n d i n g o nt h ei n i t i a l p h a s e s o fp e r t u r b a t i o n s ，t h e p e r t u r b a t i o nm a g n i t u d e sm a y i n c r e a s e m o n o t o n o u s l yo rd e c r e a s eb e f o r ei n c r e a s ew i t ht h ep r o p a g a t i o nd i s t a n c e t h em a g n i t u d e so ft h et w op e r t u r b a t i o n sa r eb o t hd i v e r g e n tw h e nt h e d i s t a n c eg o e st oi n f i n i t y d e p e n d i n go nt h ei n i t i a lp h a s e so ft h et w o p e r t u r b a t i o n s ，t h eg a i nc o e f f i c i e n t se v o l v ei nd i f f e r e n tw a y sb e f o r e t e n d i n gt ot h e i rz e r oa s y m p t o t i cv a l u e s a c c o r d i n g l y ，t h et w os p e c i a l p e r t u r b a t i o n sc a na l s ol e a dt om o d u l a t i o ni n s t a b i l i t y m a t h e m a t i c a l l y ，t h ep e r t u r b a t i o n sc a na l s ob ee x p r e s s e di nt e r m so f r e a la n di m a g i n a r yp a r t s i nt h i sp a p e r ，t h ee v o l u t i o nd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sf o rt h er e a la n di m a g i n a r yp a r t so ft h eo p t i c a lp e r t u r b a t i o n s a r ed e d u c e da n ds o l v e di nc a s eo fs m a l ls i g n a la p p r o x i m a t i o n t h e a n a l y t i c a le x p r e s s i o n sf o rt h er e a la n di m a g i n a r yp a r t so ft h eo p t i c a l p e r t u r b a t i o n sa r eo b t a i n e d t h e i re v o l u t i o n sa n dc o u p l i n gr e l a t i o n sf o r d i f f e r e n ti n i t i a lv a l u e so fp e r t u r b a t i o n sa r ea n a l y z e da n dd i s c u s s e d c o m p a r i s o n sh a v e b e e nm a d ew i t hd i f f e r e n tm a t h e m a t i c a lf o r m su s e dt o r e p r e s e n tp e r t u r b a t i o nf i e l d si ns t u d y i n gt h em o d u l a t i o ni n s t a b i l i t y h a p p e n e di no p t i c a lf i b e r s t h er e s u l t si n d i c a t et h a t ，t h ee v o l u t i o n s o ft h er e a la n di m a g i n a r yp a r t so ft h ep e r t u r b a t i o n sa r ea l s oc l o s e l y r e l a t e dt ot h ei n i t i a lv a l u e so ft h ep e r t u r