cnj-bln_u排列组合基本题.doc

教学总结 第 4 页 共 4 页! _世界上有两种人，一种人，虚度年华；另一种人，过着有意义的生活。在第一种人的眼里，生活就是一场睡眠，如果在他看来，是睡在既温暖又柔和的床铺上，那他便 十分心满意足了；在第二种人眼里，可以说，生活就是建立功绩人就在完成这个功绩中享到自己的幸福。 别林斯基排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列.例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有6种，然后再将甲、乙二人全排列有2种，所以共有6212种排法.二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例2 7个同学并排站成一排，其中只有A、B是女同学，如果要求A、B不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是120.再把A、B插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图00000“”表示空位，“0”表示5个同学）有2种方法.则共有440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有种方法.则共480种排法.还可以优先排两端（位置优先）.四、同元问题“隔板法”例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： 一种插法对应于一种分法，则共有84种分法.五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）（A）210个 （B）300个 （C）464个 （D）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有个、个、个、个、个，合计300个，所以选B例6 用0，1，2，3，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有种，其中0居首位的有种，故符合条件的五位数共有11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8.把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：不含0的；含0的.不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有个；含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有种排法.综合和，由分类计数原理，符合条件的五位数共有11040个.六、间接法如果一个问题直接考虑，比较复杂，很难得出结论，可考虑采用“间接法”.例7（97年高考题）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ）（A）144种 （B）147种 （C）150种 （D）141种分析：从10个点中任取四点，总数为.其中四点共面的有三种情况：共面的6个点中任意4点，共有4种；任一棱上的3点与其对棱中点共面的共有6种；相邻两面三角形中位线的4个端点共面，共有3种.所以适合条件的取法有463141（种），因此选D.七、交叉问题韦恩图例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？ U【解】设A满足题设条件，且百位数字是3的自然数，B满足题设条件，且比20000大的自然数，则原题即求，画韦恩图如图，阴影部分即，从图中看出.又，由性质2，有即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知.即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知，所以78.即可组成78个符合已知条件的自然数.四.定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法。 例4.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？ 解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有： （个） 五.分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。 例5.9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？ 解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。 六.复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。 例6.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（） A.150种B.147种C.144种D.141种 解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：（种）。 七.多元问题用分类法 按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。 例7.已知直线中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。 解：设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。 （1）若c0，a，b各有3种取法，排除2个重复（，），故有：3327（条）。 （2）若，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：33436（条）。 从而符合要求的直线共有：73643（条） 八.排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。 例8.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？ 解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有