矩阵秩的研究与应用.docx

error! no text of specified style in document.矩阵秩的研究与应用1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多作者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。2 矩阵的理论研究2.1矩阵秩的定义：秩的定义形式上看比较简单，但是难于理解为什么这样定义，有什么缘由？事实上矩阵秩的概念是从线性方程组中来的：给出 个元一次方程组成的方程组，其中有些方程可以用别的方程来运算得出，因此这些方程去掉后，不影响方程的通解性。比如 方程可以由以下两个方程相减得出 因此由这三个方程组成的方程组与由下面两个方程组成的方程组是同解的，是多余的，可去掉。这样对于个元一次方程组成的方程组就可 想办法去掉那些可用其他方程表示的方程，剩下相互独立的方程。例如高斯消元法来去掉，而剩下的那些独立的方程的个数就是这个方程组的秩，矩阵的秩是从方程组的秩中来的，理解了这个就理解了秩的概念，这也是秩的几何意义。如果从向量的相关性的角度考虑，可以这样认为：是矩阵的行（列）向量组的极大线性无关组的这个数，即这个向量组的行（列）秩。传统的代数中有两种定义矩阵的秩的方法：定义一：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩。定义二：设.若有一个阶子式不为，且的所有阶子式（假设有阶子式）全为或不存在，则称为的秩，记作 ,若，则 。 定义一、定义二，这两个定义是等价的。它的等价性可由向量的线性相关性来证，课本中已有证明。 关于矩阵秩的刻画方式很多，下面给出的命题1就是关于矩阵秩的等价描述的一组结论命题1设为矩阵，则下面各结论等价：1);2)的行向量组的秩等于;3)的列向量组的秩等于；4)的行空间的维数等于；5)的列空间的维数等于；6)元其次线性方程组的解空间的维数等于。定义三：矩阵经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵的秩.矩阵的秩为,记为.特别,零矩阵的秩. 该定义不仅便于理解，用该定义计算矩阵的秩也十分方便.只要对矩阵进行初等变换成阶梯型就能直接看出其秩了.实际上定义三就是根据定理“初等变换不改变矩阵的秩”得来的。下面举例以加深理解和比较这三个定义：例1 求矩阵的秩 其中；解：法一（定义一）有4个3阶子式，.即它的所有3阶子式均为0.我们再随便写几个它的2阶子式，故的秩为2.法二（定义二）令，.则.显然中两两不成比例，故秩不可能是1，但可能是2，这还需要验证，令.则带入数据，即有，解得，即有，也就是能被线性表出。 故其秩为2. 法三（定义三） ，最终阶梯型矩阵不为0的行数是2，故其秩为2.2.2矩阵秩的性质：1、2、3、4、5、若的秩为，则存在可逆矩阵、使得.6、，当且仅当是零矩阵；7、，当且仅当；若，则；8、；由上述性质7，我们又可以得到命题2，从而有以下一些等价条件：1) 矩阵的行列式的秩等于；2)矩阵的行列式不为零；3)矩阵是可逆矩阵；4)齐次线性方程组只有零解；5)矩阵能表示成一些初等矩阵的乘积的形式；6)矩阵的所有特征值均不为零。有了这些等价条件，在解决一些具体问题的时候是十分方便的。2.3秩的求法：求矩阵秩的方法很多，拿来一个首先要认真仔细审题，尤其要挖掘题设所隐含的、不明显的条件，寻找这些题设与要解得结论的关系，从而确定解题思路。有时也要做一些技巧的变形，或构造一些辅助的条件，作为解决问题的桥梁，这是难点所在。也正是数学难学的原因所在，总之，要因题而异，所谓学无定法。比如对一个具体矩阵来说，秩的求法可利用上面提到的三个定义求得，既简便，又可行，如例1三种方法均可使用，难易程度不分彼此。而对于一些抽象矩阵则很难一下看出思路和方法，还需利用其他知识等综合考虑问题，这需要学生多多做题，积累经验，具体问题具体分析。我们来看下面一个例题。例2.3 设是阶方阵，试证：如果，则.分析：解这个题需要由题设联想到秩与齐次线性方程组关联，清楚与两者的关系，更深一步是需要明白矩阵乘积的意义.证明：因为，所以的列向量都是齐次线性方程组的解，所以小于或等于方程组的基础解系的个数，即，从而得.现在我们回过头来看例1，比较三个定义来求矩阵秩的方法优劣。1、从逻辑性方面看：用定义三的方法逻辑推理性不强，没有层次感，学生较难理解接受；相比之下，用定义二，定义一的方法，逻辑推理性较强，层次分明，步骤明确，学生比较容易理解接受。2、从计算量方面看：定义三的方法计算量较小。对于常见的4行5列矩阵，用定义三的方法通常只需35个步骤、10次左右的初等变换就可求出秩。如果能够灵活地将初等行变换、初等列变换交替使用，过程就更简单了；相比之下，用定义二的方法计算量非常大。对于上述常见的4行5列矩阵，存在4、3、2、1阶子式，其中4阶子式有个，3阶子式有个，2阶子式有个，1阶子式有个，这样一个个算，量是非常大的。对行列数更多的矩阵，要计算的就更多了，计算量也就更大了。定义一的运算量也相当大，解多元方程组也是一个棘手的过程。3、从计算难度方面看：对于行列数均的矩阵而言，两种方法难度相差不大。而对于行列数均的矩阵而言，用定义三的方法难度较小，用定义一、定义二的方法难度较大，且矩阵的行列数越大，前者和后两者方法难度的差距也随之增大。4、从正确率方面看：对于行列数的矩阵而言，三种方法也相差无几。而对于行列数均的矩阵而言，用定义三的方法步骤简练，中间过程较少，因而出错的可能性相对较小，正确率较高；而用定义一、定义二的方法步骤繁多，且有一定难度，因而出错的可能性相对较大，正确率也较低。综合以上几个方面，用定义三的方法虽然相对不易理解接受，但实际应用时步骤简练，计算量相对较小，正确率较高；而用定义一、定义二的方法虽然相对较易理解接受，但实际应用时步骤繁琐，计算量很大，正确率也较低。故而得出下面结论：在求矩阵的秩时，用定义三的方法要优于前面两种方法。3 矩阵的秩在线性代数中的应用3.1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用 我们先了解下向量组线性相关的定义以及线性无关的定义，还有就是向量组的极大线性无关组的概念，那么矩阵的秩和它们又有什么联系呢？ 定义四：如果向量组（*）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的. 定义五：一向量组不线性相关，即没有不全为零的数使就成为线性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由可以推出. 定义六：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关. 结合定义一，我们要判断向量组（*）是否线性相关，只需求出该向量组构成的矩阵的秩即可，其秩也就是其极大线性无关组的个数，从而判断出其是否线性相关。 定理3.1.1 设，令，其中是矩阵，为维列向量，且，则线性相关有非零解.线性无关只有零解. 定理3.1.2 向量组与向量组能够互相线性表出，则称这两个向量组等价。其等价的充分必要条件是其中和分别是向量组和所构成的矩阵.例3.1 设有向量组；.试问：当为何值时，向量组与等价？当为何值时，向量组与不等价？解 作初等航变换，有当时，有行列式，故线性方程组均有唯一解.所以可由向量组线性表示.行列式，故可由向量组线性表示.因此向量组与等价.当时，有由于，线性方程组无解，故向量不能由线性表示.因此向量组与不等价.向量组的秩与向量组的最大无关组密切相关，向量空间的基的本质就是向量空间的一个最大无关组，向量组的秩又恰好等于其构成的矩阵的秩，这使得矩阵的秩与向量空间的维数和向量空间的基相联系.因此，研究矩阵的秩、向量组的秩、向量空间的维数以及线性方程组解得理论和方法密不可分.3.2 矩阵的秩在求解线性方程组问题中的应用 线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题, 在解决和讨论线性方程组的解的问题时, 我们可以运用矩阵的秩的知识.而线性方程组要解决的问题可以归纳为以下三类问题：1. 方程组是否有解？2. 方程组有解时, 解的个数是多少？3. 如何求出解? 对于上述三个问题, 无一不与矩阵的秩有关。下面的定理4.2.1建立了线性方程组解的判定与矩阵秩之间的关系，从而将线性方程组解得判定问题转化为计算系数矩阵与增广矩阵秩，并判断系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等的问题，使线性方程组解的判定与求解难度大大降低.定理3.2.1 元线性方程组无解的充分必要条件是；有唯一解的充分必要条件是；有无限多解的充分必要条件是. 例3.2.1 设有线性方程组（*）问取何值时，次方程组有唯一解；无解；有无限多个解？并在有无限多解时求其通解. 解法一 对增广矩阵作初等行变换，把它变为行阶梯形矩阵，有当且时，方程组有唯一解；当时，方程组无解；当时，方程组有无限多个解.继续对增广矩阵作初等变换，将其化为最简形由此得同解的线性方程组为自由未知量，令.则方程组（*）的通解为 解法二 因系数矩阵为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式.而因此，当且时，方程组（*）有唯一解； 当时，对增广矩阵作初等行变换，将其化为则，故方程组（*）无解； 当时，对增广矩阵作初等行变换，将其化为则，故方程组（*）有无限多个解，其通解为 上例中介绍的两种解决问题的方案各有特点.解法一直接利用上面定理4.2.1的结论来判别，具有一般性；解法二针对方程个数与未知数个数相等这一特点，应用了克拉默法则，易于确定待定参数的值，使问题简单化.但是，当方程个数与未知数个数不等时，第二种方法不能使用.从以上我们看到，借助矩阵的秩可以求线性方程组和的解，但是，线性方程组和的解的结构尚不清晰.有了向量空间的基与维数的概念后，矩阵的秩又帮助人们从更高的层次来看待线性方程组的解.定理4.2.2就刻画了线性方程组解的结构.定义七： 齐次线性方程组（*）的一组解称为（*）的一个基础解系，如果1）（*）的任一个解都能表成的线性组合；2）线性无关.定理3.2.2 设矩阵的秩，则元齐次线性方程组的解集的秩.其通解为，其中是解集的极大无关组，即是方程组的基础解系.方程组的通解为，其中为任意实数，是方程组的基础解系，是的某个解.下面的例题就是对上述定理的一个应用，它总结了基础解系的求法，解的结构的求法，以及矩阵的秩在其中的作用.例3.2.2求解飞齐次线性方程组 （2）解法一 对增广矩阵作初等变换可见，故方程组（2）有无限多解，并有，取，则，即得方程组的一个解（称为特解）在对应的齐次方程组中，取及，则及，即得对应的齐次线性方程组的基础解系，于是方程组（2）通解为，解法二 对增广矩阵作初等行变换可见，故方程组（2）有无限多解，并有，取为自由未知量，并令，则方程组（2）的通解为，这里向量，为方程组（2）对应的齐次线性方程组的基础解系. 3.3 矩阵的秩在二次型问题中的应用二次型即二次齐次多项式，它有着十分广泛的应用，尤其是在解决二次曲线与二次曲面以及证明不等式方面有着显著地作用。高等代数课程中的核心内容是将二次型化为标准型，它在物理学、工程学、经济学等领域都有十分重要的作用，常用的方法有：配方法、初等变换法、正交变换法。那么它和矩阵的秩又有什么联系呢？ 定义八：数域上矩阵称为合同的，如果有数域上矩阵使。 两个重要结论：1) 两个复对称矩阵合同的充分必要条件是秩相等。2) 两个实对称矩阵合同的充分必要条件是正惯性指数与负惯性指数分别相等。 定义九：二次型的几种表述：(1);(2);(3) .其中且.称为二次型的矩阵，矩阵的秩有时也称为二次型的秩. 定义十：二次型经过非退化线性替换所变成的平方和称为的标准形. 任意二次型总可以经非退化线性变换化为标准形，而且还可以经过不同的非退化线性变换化为不同的标准形，由于经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵，由上述定义八的两个结论可知合同的矩阵有相同的秩，又标准型的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩等于它对角线上不为零的元素的个数，故这些标准形中所含平方项的个数是相同的，所含平方项的个数就等于二次型的秩.3.4 矩阵的秩在线性空间及线性变换中的应用为了讨论矩阵的秩在这个方面的应用，我们先引入几个概念。定义十一 如果在线性空间中有个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么就称为维的；如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就称为无线维的。定义十二 在维线性空间中，个线性无关的向量称为的一组基。设是中任一向量，于是线性相关，因此可以被基线性表出：其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，记为。从以上定义可以看出，线性空间的维数就是这个线性空间的一组基所含向量的个数，这就把一个相对抽象的维数的概念转化到讨论向量的个数，即讨论向量组的秩。如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些行向量组成的，而矩阵的行向量组的秩称为行秩，也就是矩阵的秩。设是线性空间中的一组向量，称为由生成的子空间，的维数等于向量组的秩。根据以上的分析，就可以把求线性空间的维数问题转化为比较直观的求矩阵的秩。例3.4.1 已知求的基和维数。 解：由此可以看出，且为的一组基。在线性空间中，齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间，解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于，其中为系数矩阵的秩。定义十三 设是数域上维线性空间，是的一组基，是中的线性变换，基向量的象可以被基线性表出：，其中，矩阵称为在基下的矩阵。由上面的定义可知，只要取定一组基之后，就能建立由数域上的线性变换到数域上的矩阵的对应。线性变换的和对应矩阵的和，线性变换的乘积对应矩阵的乘积，可逆的线性变换对应可逆的矩阵，且逆变换和逆矩阵对应。同样线性变换的秩对应矩阵的秩，这样就把一个抽象的问题转换为具体问题，从而使问题得到简化。4矩阵的秩在解几何中的应用判断空间点与点；直线与直线；直线与平面；平面与平面的位置关系，是代数知识在空间解析几何上的应用，体现了代数与几何的完美结合，我们用矩阵的秩对这几类关系作出详细的研究，这拓广了矩阵秩理论的应用，简化了平面与直线相关位置的判断方法。4.1我们先回顾下平面与直线的相关位置的知识吧！在空间直角坐标系中，平面与直线方程有（1） 平面的一般方程；（2） 平面的参数方程，（其中）为平面上的顶点，为平面的方位向量）.（3） 直线的一般方程；（4） 直线的参数方程，（其中为直线上的顶点，为直线的方向向量）.定理4.1.1 平面与直线相交、平行、直线在平面上的充要条件分别为：；.定理4.1.2 两平面与相交、平行、重合的充要条件分别为：；定理4.1.3 直线与相交、平行、重合、异面的充要条件分别为：；4.2由矩阵的秩判断平面与直线的相关位置定理4.2.1 设空间中四个点， 矩阵的秩，则有（1）时，四点异面；（2）时，四点共面；（3）时，四点共线；（4）时，四点重合.定理4.2.2 设空间两平面的方程为 （2）线性方程组（2）的系数矩阵和增广矩阵分别为.则：两平面相交的充要条件是；两平面平行的充要条件是；两平面重合的充要条件是.定理4.2.3 设空间平面与直线的参数方程分别为.系数构成的矩阵为 平面与直线相交的充要条件是； 平面与直线平行的充要条件是； 直线在平面上的充要条件是.定理4.2.4 设空间两直线的一般方程分别为.系数构成的矩阵为.则 两直线异面的充要条件是； 两直线相交的充要条件是； 两直线平行的充要条件是； 两直线重合的充要条件是.定理4.2.5 设空间三平面的方程分别为，系数构成的矩阵