2013高考数学复习资料数列求和(教师版).doc

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2013高考数学复习资料数列求和1. 求和：（）2 已知，求的前n项和.3. 求数列a,2a2,3a3,4a4,nan, (a为常数)的前n项和。4. 求证：5. 求数列，的前n项和s6. 数列an：，求s2002.7. 求数5，55，555，555 的前n项和sn8. 已知数列 是等差数列，且，求的值.9. 已知数列的通项公式为 求它的前n项的和.10. 在数列中， 证明数列是等差数列，并求出sn的表达式.11. 数列为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54. 求其首项a1及公比q.12. 已知数列 求.13. 设 为等差数列，sn 为数列的前n 项和，已知s7 = 7, s15 = 75. 记tn 为数列的前n 项和，求tn .14. 求数列的前项和15. 已知：.求.16. 求和.17. ，求。18. 设数列an的前n项和为sn，且方程x2anxan0有一根为sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式。19. 已知数列：，求的值。20. 求和:21. 求数列的前项和：22. 求数列的前项和。23. 求证：24. 求的值。25. 已知数列的通项公式，求它的前n项和.26. 已知数列的通项公式求它的前n项和.27. 求和：28. 已知数列29. 求和30. 解答下列问题：（i）设（1）求的反函数（2）若（3）若31. 设函数求和： 32. 已知数列的各项为正数，其前n项和，（i）求之间的关系式，并求的通项公式；（ii）求证33.已知数列的各项分别为的前n项和.34已知数列满足：的前n项和 .35设数列中， 中5的倍数的项依次记为 ，（i）求的值.（ii）用k表示，并说明理由.（iii）求和：36数列的前n项和为，且满足（i）求与的关系式，并求的通项公式；（ii）求和37将等差数列的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，第n组有项，记tn为第n组中各项的和，已知t3=-48，t4=0，（i）求数列的通项公式； （ii）求数列tn的通项公式；（iii）设数列 tn 的前n项和为sn，求s8的值.38. 设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：39. （1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列40. 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ （取）答案：1. 求和：（）解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设. （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 2. 解：由 由等比数列求和公式得 13. 解：若a=0, 则sn=0若a=1,则sn=1+2+3+n= 若a0且a1则sn=a+2a2+3a3+4a4+ nanasn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) sn=a+ a2+ a3+an- nan+1= sn= 当a=0时，此式也成立。sn=解析：数列是由数列与对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。4. 证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 5. 解：=） sn= = =6. 解：设s2002由可得 （找特殊性质项）s2002 （合并求和） 57. n解： 因为555=n所以 sn=5+55+555+555 = = =解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。另外：sn=可以拆成：sn=（1+2+3+n）+()8. 为等差数列，且1+17=5+13，. 由题设易知 =117.又为与的等差中项，.9. (裂项) 于是有 方程组两边相加，即得 10. 【证明】.化简，得 sn-1sn= 2 sn sn-1两边同除以. sn sn-1，得 数列是以为首项，2为公差的等差数列. 11. 此数列为递增等比数列. 故q 1. 依题设，有 ，得 代入，得 代入，得 代入，得 , 再代入，得a1 =2, 再代入，得 q = 3.12. 令 （裂项） 故有 =.13. 设等差数列的公差为d，则 ( i ) 解得代入（i）得 （ii）数列是首项为 2，公差为的等差数列，14. 解： sn= 15. 当为正奇数时，当为正偶数时，综上知，注意按的奇偶性讨论！16. 17. 解：因为 所以 18. 解：()当n1时，x2a1xa10有一根为s11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为s21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由题设(sn1)2an(sn1)an0，即sn22sn1ansn0当n2时，ansnsn1，代入上式得sn1sn2sn10由()知s1a1，s2a1a2由可得s3由此猜想sn，n1，2，3，下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即sk，当nk1时，由得sk1，即sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知sn对所有正整数n都成立于是当n2时，ansnsn1，又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3，19. 解： （找通项及特征） （设制分组） （裂项） （分组、裂项求和） 20. 解:原式=21. 解：设将其每一项拆开再重新组合得 当时， 当时，22. 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 23. 证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 24. 解：设. 将式右边反序得 （反序） 又 +得 （反序相加） 25. =26. 27. 注意：数列的第n项“n1”不是数列的通项公式，记这个数列为，其通项公式是28. 为等比数列，应运用错位求和方法：29. 而运用反序求和方法是比较好的想法， ，+得30. （1）（2）是公差为9的等差数列，（3）31. 当n为偶数时=当n为奇数时32. （i），而，得的等差数列，（ii）33.（1）（2）当 当时，1）当n为奇数时 2）当n为偶数时34当而，得35（i） （ii）（iii）36（i）（ii）37（i）设的公差为d，则，解、得 （ii）当时，在前n1组中共有项数为 第n组中的 （iii）38. 解析：因为，。39. （1）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，满足要求。40. 解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，甲方案获利：（万元），银行贷款本息：（万元），故甲方案纯利：（万元），乙方案获利：（万元）；银行本息和：（万元）故乙方案纯利：（万元）；综上可知，甲方案更好。 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