第二章 函数 专题四 利用导数解决不等式恒成立中的参数问题 教案.doc

专题四利用导数解决不等式恒成立中的参数问题王肇堃专题四利用导数解决不等式恒成立中的参数问题一、单参数放在不等式上型：【例题1】（07全国理）设函数若对所有都有，求的取值范围解：令，则，（1）若，当时，故在上为增函数，时，即（2）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是说明：上述方法是不等式放缩法也可以用罗比达法则求解，方法如下：解：显然，当时，取任何实数成立当时，不等式成立，等价于令，令，即在递增，于是，即在递增，满足条件的的取值范围是【针对练习1】（10课标理）设函数，当时，求的取值范围解：，由，当且仅当时等号成立故，从而当，即时，而，于是当时，由可得从而当时，故当时，而，于是当时，综合得的取值范围为说明：本题可采用下述方法：解：，令，于是当时，在递增，在递增，当时，由得，当时，在递减，而，即，在递减，而，不满足条件，的取值范围为【例题2】（07全国文）设函数在及时取得极值（1）求、的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围解：（1），函数在及取得极值，则有，即，解得，（2）由（1）可知，当时，；当时，；当时，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为对于任意的，有恒成立，解得或，因此的取值范围为最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值【针对练习2】（07重庆理）已知函数在处取得极值，其中、为常数（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围解：（1）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（2）由（1）知，令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使恒成立，只需即，从而，解得或的取值范围为【针对练习3】（10天津文）已知函数，其中若在区间上，恒成立，求的取值范围解：令，解得或针对区间，需分两种情况讨论：增极大值减若，则当变化时，的变化情况如下表：在区间上的最小值在区间的端点得到因此在区间上，恒成立，等价于，即，解得，又，若，则当变化时，的变化情况如下表：增极大值减极小值增在区间上的最小值在区间的端点或处得到因此在区间上，恒成立，等价于，即，解得或，又，综合，的取值范围为【例题3】（08湖南理）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值解：（1）函数的定义域是，设则，令，则当时，在上为增函数，当时，在上为减函数在处取得极大值，而，函数在上为减函数于是当时，当时，当时，在上为增函数当时，在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）不等式等价于不等式，由知，设，则由（1）知，即，于是在上为减函数故函数在上的最小值为a的最大值为小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：分离变量；构造函数（非变量一方）；对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；写出变量的取值范围【针对练习4】（10全国1理）已知，若，求的取值范围解：，题设等价于令，则当，；当时，是的最大值点，的取值范围是【针对练习5】若对所有的都有成立，求实数的取值范围解：由题意有：在上恒成立，令，于是只需要满足，此时既不好找的零点，也不好判断它的正负，令，于是在上是增函数，在上是增函数，的取值范围是说明：以上方法参数分离构造函数法【例题4】（13新课标理改编）已知函数，若时，求的取值范围解法一：（变量分离法）：若，即时，设函数，当时，在上递增；当时，递减，由得，即若，即时，若，即时，由（1）知，在上递增，由得综上所述，的取值范围为评析：分类的标准是以，为标准选取的，此题选取此解法简单明了，值得思考和借鉴解法二：原答案有改动（直接构造函数法）：设函数，则当时，在上递减，且，不恒成立当时，令得，若，即时，时，；时，在上递减，在上递增，故在取最小值，而，于是，解得，即，解得若，即时，则，在上，在上递增，又，成立，满足若，时，在上递增，又，在上不恒成立综上所述，的取值范围为评析：针对本题解析第二问解答总结如下：分类讨论的分类标准选取是关键，对含有字母的：一级分类按有解和无解分、两类；二级分类是对时考察，二者大小，分，分三类解法三：原答案（直接构造函数法）：设函数，则有题设可得，即令得，当，即时，当时，当时，即在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而，当时，即恒成立，即时，则，在上，在上递增，又，成立，满足若，时，在上递增，又，在上不恒成立综上所述，的取值范围为评析：本题解答的技巧和闪光点是时恒成立构造的函数恒成立，即从而，从而可比较，二者大小，分，分三类，解法简捷，大大减少了运算量，体现了很好的区分度【针对练习6】（13大纲文改编）已知函数，若时，求的取值范围解：由得，当，时，在是增函数，于是当时，综上，的取值范围是说明：本题是在给定的区间上，不等式恒成立问题，可以用变量分离法处理，具体过程如下：，由得令，则再令，在递增，于是，即在递减，于是，即，故的取值范围是二、单参数放在区间上型：【例题5】已知三次函数图象上点处的切线经过点，并且在处有极值（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围解：（1），于是过点处的切线为，又切线经过点，在处有极值，又，由解得：，（2），由得，当时，单调递增，；当时，单调递减，当时，在内不恒成立，当且仅当时，在内恒成立，的取值范围为【针对练习7】（07陕西文）已知在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又（1）求的解析式；（2）若在区间上恒有成立，求的取值范围解：（1），由已知，即解得，（2）令，即，或又在区间上恒成立，三、双参数中知道其中一个参数的范围型：【例题6】（07天津理）已知函数，其中，（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围解：（1）当时，显然这时在，上内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值在，内是增函数，在，内是减函数（2）法一：化归为最值由（2）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对成立从而得，满足条件的的取值范围是法二：变量分离，即令，在上递减，最小值为，从而得，满足条件的的取值范围是或用，即，进一步分离变量得，利用导数可以得到在时取得最小值，从而得，满足条件的的取值范围是法三：变更主元在上恒成立，即，在递增，即的最大值为以下同上法说明：本题是在对于任意的，在上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立【例题7】设函数，若对于任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围解：在上恒成立，即在上恒成立由条件得，又，即设，则令，当，；当，时，于是，在递减，的最小值为，因此满足条件的的取值范围是【针对练习8】设函数，其中，若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围解：由条件可知，从而恒成立当时，当时，因此函数在上的最大值是与两者中较大者为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立，因此满足条件的的取值范围是四、双参数中的范围均未知型：【例题8】（10湖南理）已知函数，对任意的，恒有（1）证明：当时，；（2）若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求的最小值解：（1）易知由题设，对任意的，即恒成立，从而于是，且，因此故当时，有，即当时，（2）由（1）知，当时，有令，则，而函数的值域是因此，当时，的取值集合为当时，由（1）知，此时或，从而恒成立综上所述，的最小值为【针对练习9】若图象上斜率为3的两切线间的距离为，设（1）若函数在处有极值，求的解析式；（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围解：，由有，即切点坐标为，切线方程为或，整理得或，解得，（1），在处有极值，即，解得，（2）函数在区间上为增函数，在区间上恒成立，又在区间上恒成立，即，在上恒成立，的取值范围是五、双参数中的线性规划型：【例题9】（12浙江理）已知，函数（1）证明：当时，函数的最大值为；（2）若对恒成立，求的取值范围解：（1）当时，在上恒成立，在上递增，此时的最大值为：；当时，此时在上递减，在上递增，在上的最大值为：综上所述：函数在上的最大值为，当时，当时，设，列表可得，当时，（2）由知：函数在上的最大值为，由知：，于是对恒成立的充要条件为：或，在坐标系中，不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段作一组平行线，得，的取值范围为【针对练习10】已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若的两个极值点，恒满足，求的取值范围解：（1）当时，令得，令得的单调递增区间是，单调递减区间是（2），由已知，是方程的两个根，即，是方程的两个根，记，则，即，上述关于，的不等式组表示的平面区域如图所示把变形为，此式表示斜率为，在轴上的截距为的一组平行线当直线经过点时，最大，当直线经过点时，最小解方程组，得，点的坐标为，此时，解方程组，得，点的坐标为，此时的取值范围是六、双参数中的绝对值存在型：【例题10】（06湖北理）设是函数的一个极值点（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围解：（1），由，得，即得，则令，得或，由于是极值点，即当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数（2）由（1）知，当时，在区间上的单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上的值域是，而，那么在区间上的值域是又在区间上是增函数，且它在区间上的值域是，由于，只须仅须且，解得故的取值范围是【针对练习11】（10辽宁理）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，如果对任意，求的取值范围解：（1）的定义域为，当时，故在单调递增；当时，故在单调递减；当时，令，解得则当时，；时，故在单调递增，在单调