基于MATLAB的随机过程仿真.doc

陈建华彭淑燕王伟李海燕摘要：为了改善随机过程课程教学中存在的数学概念抽象难懂，学生理解不透彻的情况，将基于MATLAB的随机过程仿真引入到教学中。根据常见 随机过程的概念和性质，生成其图形化样本函数描述，从而使学生对于这些 抽象的概念有具体而形象的认识，改进学习的效果和知识的应用能力。关键词：随机过程；MATLAB；蒙特卡洛；仿真法1。这里，每一个“随机数”序列，就可以生成随机过程的一个样本函数，重复多次就可以得到随机过程的 多个样本函数，从而可以对该随机过程进行较为精确的 描述。在计算机中，我们并不能产生真正的随机数。因 此，这里的“随机数”实际上是由计算机按一定算法产 生的伪随机数。2.2离散时间马尔科夫链定义： 设在任意时刻n，随机序列Xn可以处在状态1,2N，且它在m+k时刻所处的状态，只与它在m时 刻的状态有关，而与m时刻以前的状态无关。即若一、概述目前国内众多高校都已将“随机过程”作为电子信 息、统计、金融保险和生命科学等学科研究生的数学基 础课。它具有一定的数学理论性和较强的实践应用性的 特点，是学习其它专业课和以后从事应用研究工作的重 要基础。但是由于受到传统教学模式的影响，该课程无 论在教学内容还是教学方式上都比较重视课程内容中数 学基本概念的讲授和基本理论的推演。然而，大部分学 生认为基于不确定性数学理论的概率论中各种概念是较 为抽象难懂的，作为概率论的拓展，随机过程理论就更 是如此。因此，传统的教学模式无法使学生对该课程的 基本概念和理论有一个直观或具象的认识，从而使教学 效果的提升受到限制。为此，有必要对随机过程的一些 概念和理论进行仿真，使抽象的概念和理论有一个直观 的表达。基于这种目的，我们根据蒙特卡洛模拟理论，开展 了基于MATLAB的随机过程仿真教学。在本文中，我们 对随机过程教学中比较有代表性的三种随机过程离 散时间马尔科夫链、泊松过程、布朗运动的仿真进行介 绍，给出仿真系统的图形化输出结果，力图为学生提供 一个直观认识这些随机过程的手段。(1)，则称Xn为离散其中，Markov链。当概率，（）与m无关时，这个马尔可夫链称为齐次为k步转移马尔可夫链，称概率。当k=1时， 有称为一步转移概率，简记为pij。所可以构成一步转移概率矩阵，即：(2)二、随机过程与蒙特卡洛仿真2.1蒙特卡洛仿真蒙特卡洛仿真实际上是一种基于“随机数”的计 算方法，通过某种“随机数”来控制事件的产生，从而 通过计数某事件出现的频率来估计该事件发生的概率。 对随机过程而言，蒙特卡洛仿真是以反复产生的“随机且有根据上述定义。马尔可夫链是一个时间离散且状态离散的随机过程，它的状态是在时间一步步推进的过 程中，按照一步转移概率矩阵中的转移概率而发生改变 的。换句话说，只要按上述矩阵中的转移概率产生随机 数序列，并按该序列进行状态的转移就能得到相应的马2.3泊松过程定 义 ： 一 个 计 数 过 程，若它满足下列条件：ToolBox），还可以利用函数normrnd产生正态分布随机变量3。这样，上述三种随机过程都可以方便地进行仿 真。3.2离散时间马尔科夫链仿真对于一个离散时间马尔科夫链，给定其一步转移， 具 有 参 数（1）（2）；是独立增量过程；（3）在任一长度为t的区间中，事件发生的次数服， 其 中 S 是 马 尔 可 夫 链 所概 率 矩 阵 ：从参数的泊松分布，即对任意有有 状 态 的 集 合 （ 也 称 状 态 空 间 ） ， 设。则我们主要的任务是根据当前状态i，按P中第i行的(3)，则称为泊松过程。条 件 概 率 分 布产 生 服 从 该 分 布 的 随根 据 上 述 定 义 ， 令 随 机 变 量表 示 从 第机数Y 。在M AT L A B 中实现方法是通过函数r a n d 产生i（n-1）次事件发生到第n次事件发生的时间间隔，则( 0 ， 1 ) 间 均 匀 分 布 的 随 机 数 U 并 与 上 述 条 件 概 率 分 布可以证明2，T 服从相互独立但参数为 的相同指数分n的累积分布比较来获得Yi的取值。例如：当，布。这是支持泊松过程进行蒙特卡洛仿真的一个重要的结论。因为只要按照参数 产生指数分布的随机时间间 隔序列，并在计数系统随时间运行的过程中，按这个时 间间隔序列对系统状态进行加1计数，则这个计数系统 就对应了参数为 的泊松过程。2.4布朗运动则 Yi = 1 ； 当， 则 Yi = 2 等 等 。 一 般 有时，Yi= j。这样，在给定P及仿真步长N时，产生离散时间马 尔可夫链的算法如下：1）选择初始状态 X 0 = i0 ，令时刻n=1，当前状态定义：设（1）为随机过程，如果i=i 。0；2）生成U，利用条件分布p , p 计算Y, , pi1 i 2iIi（2）它是独立、平稳增量过程；（3）对任意s，t，增量并令 X 1 = Yi 。3）如果 n 0时刻的取值W(t)实际上是一个零均值方差为 的正态随机变量。只要给定方差参数 和时间间隔序列，则按照布朗运动的独立增量性，算法运行得到的X 与n之间的关系即为马尔可夫链n的一个样本函数。例如：给定P为0.2 0.3 0.5；0.5 0.10.4；0.6 0.2 0.2，N=100，仿真输出的样本函数为：我 们 按 照 方 差分 别 产生相互独立的零均值正态随机数作为增量，就可以仿真出内的布朗运动。三、随机过程仿真3.1MATLAB仿真环境本文采用美国MathWorks公司的MATLAB作为工具 来对上述随机过程进行蒙特卡洛仿真。MATLAB是面 向科学计算、可视化以及交互式程序设计的科技计算 环境。在MATLAB系统中，函数rand可以产生相互独 立的均匀分布随机变量，若加上统计工具箱（Statistics图1 离散时间马尔科夫链仿真结果3.3泊松过程仿真按照上一节所述泊松过程的性质，要仿真一个服从 参数为 的泊松过程，关键是要产生一个相互独立相同1分布且均值为 的指数分布随机数序列。在MATLAB中 ， 我 们 利 用 函 数 r a n d 产 生 ( 0 ， 1 ) 上 均 匀 分 布 的 随 机数U后，采用逆变换法来获得指数分布随机数E，即令2）如果n= N ，停止。如果E = 1 ln( U ) ，则E即为所求。因此，给定泊松过程参3）回到第2步继续。算法运行得到的状态W与时刻tn之间的关系即为布 朗运动的一个样本函数。例如：设方差参数 2 =2，时间点数为100，三次仿真输出的样本函数为（图3）：数 和仿真时长T后，泊松过程的仿真算法如下：1）令当前时刻t=0，泊松事件计数值N=0。12）生成U，令E = ln( U ) 。四、结论由于“随机过程”课程的基本概念较为抽象，学 生很难对不同的随机过程建立起直观而具体的认识。因 此，我们希望通过蒙特卡洛仿真，有效地帮助学生对随 机过程课程中涉及到的基本概念和理论建立起感性的认 识，从而改善教学效果。论文虽然只介绍了离散时间马 尔科夫链、泊松过程和布朗运动的原理及仿真算法，但 对与上述过程关系密切的复合泊松过程、非奇次泊松过 程、更新过程和连续时间马尔科夫链等随机过程的仿真 也有较好的指导意义。3）令t=t+E，如果tT，则停止。4）令N=N+1并且设tN=t。5）回到第2步继续。 算法运行得到的N与tN之间的关系即为泊松过程的一个样本函数。例如：给定 =2，T=10，三次仿真输出 的样本函数为：参考文献1 S. M. Ross. 应用随机过程概率模型导论M.北京:人民邮电出 版社,2007.2 刘次华.随机过程及其应用M.三版.北京:高等教育出版 社,2004.3苏金明,阮沈勇,王永利.MATLAB工程数学M.北京:电子工业 出版社,2005.(本论文受云南大学研究生精品课程建设项目“随机过程”、云南大学第二批中青年骨干教师培养计划（21103214）的资助)（作者单位：云南大学信息学院）图2 泊松过程模拟结果图3.4布朗运动仿真根据上节布朗运动的定义，布朗运动仿真的关建是 产生给定均值和方差的正态分布随机数。在MATLAB 中可以通过统计工具箱中的函数normrnd 来产生。由 于在时间间隔 t n t n 1 上，过程的增量为零均值，方差2 (t n t n 1 ) 的正态随机变量，我们只需要重复生成均值为0而方差为 2 的正态随机数，再乘时间间隔的算术平方根 t n t n 1 ，即可得到对应时间间隔上过程的增量。于是，在给定N个时间点 0 t1 t N 及方差参 数 2 时，布朗运动的仿真算法如下：1）设初始状态W=0，t0=0，n=1。图3 布朗运动仿真结果file:/D|/我的资料/Desktop/新建文本文档.txtAppliance Error (configuration_error)Your request