Canadian Senior and Intermediate Mathematics CEMC：加拿大高中数学科技.pdf

the centre for education in mathematics and computing le centre dducation en mathmatiques et en informatique www.cemc.uwaterloo.ca 2013 results 2013 rsultats canadian senior and intermediate mathematics contests concours canadiens de mathmatiques de niveau suprieur et intermdiaire c ?2013 university of waterloo competition organizationorganisation du concours centre for education in mathematics and computing faculty and staff / personnel du concours canadien de mathmatiques ed andersonsandy graham jeff andersonangie hildebrand terry baejudith koeller steve brownjoanne kursikowski ersal cahitbev marshman alison cornthwaitemike miniou heather culhamdean murray serge dalessiojen nissen frank demaioj.p. pretti jennifer doucetkim schnarr fiona dunbarcarolyn sedore mike edenian vanderburgh barry fergusontroy vasiga judy foxjoann vincent steve furinotim zhou john galbraith problems committees / comits des problmes canadian senior mathematics contest / concours canadien de niveau suprieur mike eden (chair / prsident), university of waterloo, waterloo, on kee ip, crescent school, toronto, on paul leistra, guido de bres christian h.s., hamilton, on daryl tingley, university of new brunswick, fredericton, nb joe west, university of waterloo, waterloo, on bruce white, windsor, on canadian intermediate mathematics contest / concours canadien de niveau intermdiaire john galbraith (chair / prsident), university of waterloo, waterloo, on ed barbeau, toronto, on alison cornthwaite, university of waterloo, waterloo, on brian mcbain, north lambton s.s., forest, on ginger moorey, abbey park h.s., oakville, on dean murray, university of waterloo, waterloo, on 2 forewordavant-propos the centre for education in mathematics and computing is pleased to announce the results of the 2013 canadian senior and intermediate mathematics contests. our congratulations go to all who participated in this years csmc and cimc. this years contests were re- sounding successes, with averages of 34.9 and 36.9, respectively. as always, we would like to thank the hard-working problems committees. many of the members of these com- mittees are active secondary school teachers who volunteer their time and contribute dozens of hours of expertise. without their intriguing and sometimes amusing problems, these contests would not be possible. we would also like to thank all participants, both teachers and students.we hope that the papers provided you with some interesting mathematics to think about and play with. thank you for your support! please con- tinue to encourage your colleagues and fellow students to become involved in our activities. le centre dducation en mathmatiques et en informatique dannoncer les rsultats du conours canadiens de mathmatiques de niveau suprieur et intermdiaire 2013. nos flicitations vont tous les participants du ccms et du ccmi de cette anne.les concours de cette anne retentissaient de succs, avec des moyennes de 34,9 et 36,9, respectivement. nous aimerions surtout remercier les comits de problmes pour leur dur travail.plusieurs membres de ces comits sont des enseignant(e)s dcole secondaire actifs qui off re leur temps et contribuent des douzaines dheures dexpertise. sans leurs problmes perspicaces et amusants, ces concours ne seraient pas possibles. nous aimerions remercier aussi tous les participants incluant les enseignants et les tudiants.nous esprons que les concours vous ont off ert des mathmatiques intressantes qui vous ont amuses et portes rfl chir. merci pour votre soutien continu! 3 comments on the contests canadian senior mathematics contest part a 1. very well done. there were few trends among incorrect solutions. average: 4.9 2. well done. most students organized their solution by looking fi rst at the possible combinations for ben or for riley and wendy. a common mistake was the incorrect conclusion that when ben gets the number 4, then sara always gets the number 1 (she could get 1 or 3). average: 4.5 3. fairly well done.common mistakes included incorrectly factoring 99! in the denominator or incorrectly cancelling the 99! in one term in the denominator. average: 3.6 4. well done by most students. some students found the length of ap but did not calculate the area of the triangle. many students rounded answers found using a calculator as opposed to working with exact values. average: 4.2 5. many students did some counting, but missed an important detail. for example, a number of students forgot to remove the cases where the four-digit number started with 0 (ie. the number 0123 is not a valid four-digit number). some students listed out all 66 possible integers, or attempted to and missed several cases. average: 2.3 6. students found this diffi cult to approach. many students tried several pairs (x,y), but did not generalize to a range of pairs. other students found a range of pairs but either did not count them at all or counted them incorrectly. average: 1.1 part b 1. well done by most students. many students presented clear, numerical or algebraic reasoning in their solu- tions. that being said, a good number of students needed to more clearly justify their statements. average: 7.8 2. part (a) was attempted by most students and was very well done.in part (b), most students saw the connection to part (a) and used this to factor the cubic equation.the most common mistake was not considering negative values for . most students who solved part (c) used a table. we also saw solutions where students sketched the cubic function and determined the values of that make the function negative from the sketch. average: 5.2 3. part (a) was generally well done. the vast majority of students who attempted the problem found the four sequences. in part (b), many students made an assumption about x1= a without considering the case of x1= b. carefully reasoning through how and why a contradiction is reached was quite often missed. in part (c), few students constructed a useful sequence and proved the desired results. some students had less precise statements about “stretching the sequence or “multiplying the sequence by r which needed to be formalized. part (d) saw very few students make progress. average: 1.3 4 comments on the contests canadian intermediate mathematics contest part a 1. very well done. some students did not know that abc and cbe are supplementary angles that add to 180. some students determined the value of bce instead of the value of x. average: 4.6 2. very well done. many students did not realize this question was asking for the lowest common multiple of the four given integers and that they need only look at multiples of both 6 and 8. average: 4.0 3. well done, except for some mechanical mistakes. some students had algebraic diffi culties with solving the equation after x = 3 and y = 7 were substituted. other students had a few problems with substitution, especially substituting 8 for the second a when substituting 8 for x and 3 for a. average: 4.3 4. fairly well done. students who understood that the shaded area was to be bisected using a line through the origin (as opposed to a horizontal line) generally had no diffi culties with this problem. average: 3.9 5. in this problem, many students were awarded part marks for an almost complete list of palindromes, or for counting too many possibilities. one frequent error was to begin with a palindrome and then multiply it by 6. this does not in general result in a palindrome and also misses some palindromes that are divisible by 6. average: 2.9 6. this was a hard problem with a short solution that required a lot of insight. part marks were awarded for incorrect triples if students demonstrated some ability to manipulate fractions. average: 0.3 part b 1. in part (a), many students unfortunately did not read to the end and thus found the refl ections on the diagram but did not fi nd the coordinates of these points. in part (b), students who knew what the question was asking did quite well. some made mistakes by looking at an incorrect diagram with angled line segments or by looking at the diagram from part (c) and using some partial circumferences. in part (c), many students were able to fi nd the correct volume. finding the correct surface area was harder and many students did not understand what the two pieces of the formula represented and struggled with adding or subtracting too many pieces of circles. average: 7.2 2. part (a) was attempted successfully by many students. part (b) was well done, although some students only gave a list of the cups that receive balls. part (c) was also well done. some students created lists and missed one of the numbers. in part (d), we saw a common error in solutions when students double-counted the fi rst ball and calculated that the last ball goes 338 8 = 2366 cups further along the circle from cup 1 instead of 337 7 = 2359 cups further along the circle from cup 1. average: 6.5 3. many students were able to do parts (a) and (b). the most common error here was to consider only diff erences of adjacent pairs of numbers rather than diff erences for all pairs of numbers. parts (c) and (d) were more diffi cult and required more care. average: 3.2 5 commentaires sur les concours concours canadien de niveau suprieur partie a 1. ce problme a t trs bien russi. il y avait peu de tendances parmi les solutions errones. moyenne: 4,9 2. ce problme a t bien russi. la plupart des lves ont prsent leur solution en considrant dabord les cartes possibles que benot pouvait recevoir ou encore celles que ren et vianna pourraient recevoir. bon nombre dlves ont conclu que si benot recevait la carte numro 4, alors sara devait recevoir la carte numro 1 (elle pouvait recevoir la carte numro 1 ou numro 3). moyenne: 4,5 3. ce problme a t plutt bien russi. bon nombre dlves ont mal factoris 99! au dnominateur ou annul 99! au numrateur et dans un seul terme au dnominateur. moyenne: 3,6 4. ce problme a t bien russi par la plupart des lves. certains lves ont dtermin la longueur de ap, mais nont pas dtermin laire du triangle. bon nombre dlves ont arrondi les valeurs approximatives obtenues laide de la calculatrice au lieu de travailler avec des valeurs exactes. moyenne: 4,2 5. beaucoup dlves ont compt, tout en omettant un dtail important.par exemple, certains nont pas soustrait de leur total les cas des nombres de quatre chiff res qui commenaient par le chiff re 0 (le nombre 0123 nest pas un nombre de quatre chiff res). certains lves ont rdig la liste des 66 nombres, alors que dautres on tent de le faire, tout en omettant plusieurs cas. moyenne: 2,3 6. les lves ont eu du mal cerner une approche possible. bon nombre dlves ont procd par ttonnements avec plusieurs couples (x,y), sans gnraliser des intervalles de couples. certains lves ont dtermin des intervalles de couples, sans compter les couples ou en comptant de faon errone. moyenne: 1,1 partie b 1. ce problme a t bien russi par la plupart des lves. bon nombre dlves ont prsent un raisonnement numrique ou algbrique clair, alors quun nombre dlves auraient d justifi er leurs noncs plus clairement. moyenne: 7,8 2. la plupart des lves ont entrepris de rsoudre la partie (a) et ont russi. dans la partie (b), la plupart des lves ont vu le lien avec la partie (a) et sen sont servi pour factoriser le polynme du troisime degr dans lquation. lerreur la plus commune a t lomission de valeurs ngatives de . la plupart des lves qui ont russi la partie (c) ont utilis un tableau. dautres ont ont trac la reprsentation graphique de la fonction correspondante du troisime degr et lont utilise pour dterminer les valeurs de qui donnent des valeurs ngatives de la fonction. moyenne: 5,2 3. de faon gnrale, la partie (a) a t bien russie. la grande majorit de ceux qui ont abord le problme ont russi dterminer les quatre suites. dans la partie (b), bon nombre dlves ont fait une supposition au sujet de x1= a sans considrer le cas o x1 = b. en gnral, ils ont prouv de la diffi cult raisonner convenablement afi n de dmontrer une contradiction. dans la partie (c), peu dlves ont construit une suite utile pour faire la dmonstration. certains lves ont utilis un vocabulaire imprcis comme tirer la suite ou multiplier la suite par r. peu dlves ont su aborder la partie (d). moyenne: 1,3 6 commentaires sur les concours concours canadien de niveau intermdiaire partie a 1. ce problme a t trs bien russi. certains lves ne savaient pas que les angles abc et cbe sont suppl- mentaires et que leurs mesures ont une somme de 180. certains lves ont dtermin la mesure de langle bce au lieu de la valeur de x. moyenne: 4,6 2. ce problme a t trs bien russi. beaucoup dlves nont pas compris que la question demandait de dterminer le plus petit commun multiple des quatre nombres et quil suffi sait donc dexaminer les multiples de 6 et de 8. moyenne: 4,0 3. ce problme a t bien russi, bien que les solutions comportaient souvent des erreurs de calcul. aprs avoir report x = 3 et y = 7 dans lquation donne, certains lves ont prouv de la diffi cult rsoudre lquation qui en rsulte. dautres ont prouv de la diffi cult reporter x = 3 et y = 7 dans lquation donne, par exemple en reportant a = 8 au lieu de a = 3 dans la dernire ligne. moyenne: 4,3 4. ce problme a t plutt bien russi. de faon gnrale, les lves qui ont compris quil fallait couper la partie ombre au moyen dune droite passant lorigine (et non pas dune droite horizontale) nont prouv aucune diffi cult rsoudre ce problme. moyenne: 3,9 5. un grand nombre dlves ont reu une partie des points pour une liste presque complte de palindrome ou une liste trop longue de palindromes. bon nombre dlves ont commenc par des palindromes et les ont multipli par 6. habituellement, cela ne donne pas des palindromes. de plus, les palindromes divisibles par 6 sont omis. moyenne: 2,9 6. on pouvait rsoudre ce problme diffi cile au moyen dune solution courte qui exigeait beaucoup de perspi- cacit. quelques points ont t attribus pour les triplets errons lorsque les lves faisaient preuve dune certaine habilet manipuler des fractions. moyenne: 0,3 partie b 1. dans la partie (a), beaucoup dlves ont trouv limage des points avec succs dans le plan cartsien, sans toutefois rpondre question qui demandait les coordonnes des points p, r et s. dans la partie (b), les lves qui ont compris la question ont bien russi. certains ont commis des erreurs en considrant des seg- ments obliques ou en utilisant la fi gure de la partie (c) et en calculant la longueur darcs de cercles. bon nombre dlves ont russi dterminer le volume dans la partie (c). le calcul de laire totale sest avr plus diffi cile. beaucoup dlves nont pas compris le sens des deux termes de la formule et se sont embrouills en additionnant ou en soustrayant trop de parties de disques. moyenne: 7,2 2. bon nombre dlve on russi la partie (a). la partie (b) a t bien russie, bien que certains lves ont simplement nomm les tasses qui recevaient une boule. la partie (c) a aussi t bien russie. certaine lves ont nomm les tasses qui recevaient une boule, tout en omettant certains numros. dans la partie (d), bon nombre dlves ont compt la premire tasse deux fois pour conclure que la boule continuait sur 338 8 tasses aprs la premire, au lieu de 337 7 tasses. moyenne: 6,5 3. bon nombre dlves ont russi les parties (a) et (b). lerreur la plus frquente tait de calculer les diff rences entre les nombres adjacents plutt que celles entre toutes les paires de nombres. les parties (c) et (d) taient plus diffi ciles et exigeaient une plus grande attention. moyenne: 3,2 7 enrollmentinscription number of schools registered by province / nombre dcoles inscrit par province csmc/ccmscimc/ccmi ab1119 bc7056 mb97 nb33 ns611 on350273 pe10 qc1810 sk65 international6160 total535444 number of students registered by province / nombre dtudiants inscrit par province csmc/ccmscimc/ccmi ab101159 bc866885 mb144123 nb1614 ns110163 on50113573 pe150 qc172123 sk4558 international13361625 total78166723 8 champions 2013champions 2013 2013 student champions and championship teams palmars individuel et palmars par quipe 2013 canadian senior mathematics contest concours canadien de niveau suprieur students /lves students are listed in alphabetical order / les lves sont nomms en ordre alphabetique plaquesschoollocationgrade coleendroitniveau sina abbasirichmond hill h.s.richmond hill11 itai bar natanthe abelard schooltoronto12 richard dumarc garneau c.i.north york11 eilon lavia.b. lucas s.s.london12 antonio molina lovettste. annefredericton12 each plaque winner receives a $500 cash prize from the centre for education in mathematics and computing. / chaque lve qui reois une plaque recevra aussi un prix de 500 $ du centre dducation en math- matiques et en informatique. teams / quipes schoollocationscore coleendroitnote champion / premiremarc garneau c.i.north york281 second / deuximerichmond hill h.s.richmond hill277 third / troisimeuniversity of toronto schoolstoronto271 vincent massey s.s.windsor271 fifth / cinquimewaterloo c.i.waterloo270 9 champions 2013champions 2013 2013 student champions and championship teams palmars individuel et palmars par quipe 2013 canadian intermediate mathematics contest concours canadien de niveau intermdiaire students /lves students are listed in alphabetical order / les lves sont nomms en ordre alphabetique plaquesschoollocationgrade coleendroitniveau richard caowalter murray c.i.saskatoon10 chong hao hana.b. lucas s.s.london10 david kangiroquois ridge h.s.oakville10 michael linorth york9 caroline tangnorth yo