2006～2012年北京高考数学（理科）历年真题及答案解析.pdf

第第 1 1 页页 共共 7575 页页 前前 言言 本试题集是由高考试题培训研究根据北京高考考生平 时为找历年真题而在网上一篇一篇的收集，即费时又费力，所以现在特将北京高考考试 20062012 各年高考数学真题汇集成册，供各位考生方便查看，同时也有各年试题的答案解 析，可以帮助考生自测，也能当作考试资料，也可以赠送给其他需要真题集的同学和朋友。 这份试题集，高考讲师-巧老师巧老师也会用它作为学员的练习题。 高考试题培训研究，专注于给学员提供最好的学习指南，各种高考考试真题集，培训 机构的高考考试的一手资料及各种考试经验交流， 目的在于让更多的学员得到启发， 尽快通 过高考考试。同时，高考试题培训研究，也独家提供高考考试讲师巧老师的独家免费高考课 程讲义供学员免费学习和提高。 高考试题研究2013-2-1 目目 录录 2006 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题及答案真题及答案解析解析.1 2007 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题及答案真题及答案解析解析.12 2008 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题及答案真题及答案解析解析.21 2009 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题及答案真题及答案解析解析.31 2010 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题及答案真题及答案解析解析.45 2011 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题及答案真题及答案解析解析.56 2012 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题及答案真题及答案解析解析.66 2006 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题及答案真题及答案解析解析 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷卷（选择题选择题 共共 4040 分分） 注意事项： 1 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。 2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 第第 2 2 页页 共共 7575 页页 一、 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1） 在复平面内，复数1 i i 对应的点位于 （a）第一象限 （b）第二象限 （c）第三象限 （d）第四象限 （2）若a r 与bc rr 都是非零向量，则“a ba c r rr r ”是“()abc rrr ”的 （a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件 （c）充分必要条件 （d）既不充分也不必要条件 （3） 在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中， 各位数字之和为奇数的共有 （a）36 个 （b）24 个 （c）18 个 （d）6 个 （4）平面的斜线ab交于点b，过定点a的动直线l与ab垂直，且交于点c，则 动点c的轨迹是 （a）一条直线 （b）一个圆 （c）一个椭圆 （d）双曲线的一支 （5）已知 (31)4 ,1 ( ) log,1 a axa x f x x x 是(,) 上的减函数，那么a的取值范围是 （a）(0,1) （b） 1 (0, ) 3 （c） 1 1 , ) 7 3 （d） 1 ,1) 7 （6）在下列四个函数中，满足性质： “对于区间(1,2)上的任意 1212 ,()x x xx， 1221 |()()| |f xf xxx恒成立”的只有 （a） 1 ( )f x x （b） |fxx （c）( )2xf x （d） 2 ( )f xx （7）设 4710310 ( )22222() n f nnn l，则( )f n等于 （a） 2 (81) 7 n （b） 1 2 (81) 7 n （c） 3 2 (81) 7 n （d） 4 2 (81) 7 n （8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口, ,a b c的 机动车辆数如图所示，图中 123 ,x x x分别表示该时段单位时间通过路段 ,ab bc ca 第第 3 3 页页 共共 7575 页页 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数 相等） ，则 20，30；35，30；55，50 （a） 123 xxx （b） 132 xxx （c） 231 xxx （d） 321 xxx 第第卷卷（共共 110110 分分） 注意事项： 1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 （9） 2 2 1 32 lim 1 x xx x 的值等于_. （10）在 7 2 ()x x 的展开式中， 2 x的系数中_（用数字作答）. （11） 若三点(2,2), ( ,0),(0, )(0)ab acb ab 共线， 则 11 ab 的值等于_. （12）在abc中，若sin:sin:sin5:7:8abc ，则b的大小是_. （13）已知点( , )p x y的坐标满足条件 4 1 xy yx x ，点o为坐标原点，那么|po的最小值 等于_,最大值等于_. （14） 已知, ,a b c三点在球心为o， 半径为r的球面上，acbc， 且abr， 那么,a b 两点的球面距离为_，球心到平面abc的距离为_. 三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15） （本小题共 12 分） 已知函数 12sin(2) 4 ( ) cos x f x x ， （）求( )f x的定义域； （）设是第四象限的角，且 4 tan 3 ，求( )f的值. 第第 4 4 页页 共共 7575 页页 （16） （本小题共 13 分） 已知函数 32 ( )f xaxbxcx在点 0 x处取得极大值5，其导函数( )yfx的图 象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （） 0 x的值； （）, ,a b c的值. （17） （本小题共 14 分） 如图，在底面为平行四边表的四棱锥pabcd中，abac，pa平面 abcd，且paab，点e是pd的中点. （）求证：acpb； （）求证：/pb平面aec； （）求二面角eacb的大小. （18） （本小题共 13 分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是, ,a b c， 且三门课程考试是否及格 相互之间没有影响. （）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由） （19） （本小题共 14 分） 已知点( 2,0),(2,0)mn，动点p满足条件| 2 2pmpn.记动点p的轨 迹为w. （）求w的方程； （）若,a b是w上的不同两点，o是坐标原点，求oa ob uuu r uuu r 的最小值. （20） （本小题共 14 分） 第第 5 5 页页 共共 7575 页页 在数列 n a中，若 12 ,a a是正整数，且 12 |,3,4,5, nnn aaan l，则称 n a为“绝对差数列”. （）举出一个前五项不为零的“绝对差数列” （只要求写出前十项） ； （）若 “绝对差数列” n a中， 2021 3,0aa，数列 n b满足 12nnnn baaa ， 1,2,3,n l，分别判断当n 时， n a与 n b的极限是否存在，如果存在，求 出其极限值； （）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 2006 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题真题参考答案参考答案2007 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题真题参考答案参考答案2008 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题真题参考答案参考答案2009 年年北京北京高考数学高考数学（理理）真题真题参考答案参考答案 一一、本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中，选出符合题目选出符合题目 要求的一项要求的一项。 1 【答案答案】b 【解析解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. (12 )22ziiiii ，复数z所对应的点为2,1，故选 b. 2 【答案答案】d 【解析解析】本题主要考查向量的共线（平行） 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查. 取 a1,0，b0,1，若1k ，则 cab1,1，dab1, 1， 显然，a 与 b 不平行，排除 a、b. 若1k ，则 cab1,1 ，dab1,1 ， 即 c/d 且 c 与 d 反向，排除 c，故选 d. 3 【答案答案】c 【解析解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. alg31lg103yxx ， blg31lg103yxx ， c 3 lg31lg 10 x yx ， 第第 3636 页页 共共 7575 页页 d 3 lg31lg 10 x yx . 故应选 c. 4 【答案答案】d 【解析解析】本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第 4 题解答图） 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意， 1 60b ab ，如图， 1 1 tan603bb ，故选 d. 5 【答案答案】a 【解析解析】 本题主要考查三角函数的基本概念、 简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基本运算的考查. 当2() 6 kkz 时， 1 cos2cos 4cos 332 k ， 反之，当 1 cos2 2 时，有22 36 kkkz ， 或22 36 kkkz ，故应选 a. 6 【答案答案】c 【解析解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. 5012345 012345 555555 12222222cccccc 1 5 22020 2204 24129 2 ， 由已知，得41 29 22ab，412970ab.故选 c. 7 【答案答案】b 【解析解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知 识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有 2 9 9 872a （个） ， 当 0 不排在末位时，有 111 488 4 8 8256aaa （个） ， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328（个）.故选 b. 8 第第 3737 页页 共共 7575 页页 【答案答案】a 【解析解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以 及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问 题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设,1a m np x x， 则2,22bmxnx， 2 ,a byx在上， 2 2 21(2) nm nxmx 消去 n,整理得关于 x 的方程 22 (41)210 xmxm （1） 222 (41)4(21)8850mmmm 恒成立， 方程（1）恒有实数解，应选 a. 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 30 分分。把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上。 9 w【答案答案】 1 2 【解析解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、 基本运算的考查. 2 1111 1 1 limlimlimlim 121 11 1 xxxx xx x xxx xxx xx xx x ，故应填 1 2 . 10 【答案答案】6 【解析解析】 本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当4,2xy 时， 246syx 为最小值. 故应填6. 第第 3838 页页 共共 7575 页页 11 【答案答案】1 【解析解析】 本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、 基本运算 的考查. 取 2 fxx，如图，采用数形结合法， 易得该曲线在( 1,( 1)f处的切线的斜率为 1. 故应填1. 12 【答案答案】2, 120 【解析解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. 22 9,3ab， 22 927cab， 12 2 7ff ， 又 112 4,26pfpfpfa， 2 2pf ， 又由余弦定理，得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 fpf ， 12 120fpf ，故应填2, 120. 13 【答案答案】3,1 【解析解析】 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、 基本运算的考 查. （1）由 0 1 |( )|30 11 3 3 x f xx x . 第第 3939 页页 共共 7575 页页 （2）由 0 0 1 |( )|01 1111 3 33 33 x x x x f xx . 不等式 1 |( )| 3 f x 的解集为| 31xx ，应填3,1. 14 【答案答案】1，0 【解析解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得 20094 503 3 1aa ， 20142 100710074 252 1 0aaaa . 应填 1，0. 三三 、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 80 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程演算步骤或证明过程。 15 （本小题共 13 分） 【解析解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基 础知识，主要考查基本运算能力 （）a、b、c 为abc 的内角，且 4 ,cos 35 ba ， 23 ,sin 35 caa ， 23134 3 sinsincossin 32210 caaa . （）由（）知 334 3 sin,sin 510 ac ， 又,3 3 bb ， 在abc 中，由正弦定理，得 sin6 sin5 ba a b . abc 的面积 11634 3369 3 sin3 2251050 sabc . 16 （本小题共 14 分） 【解法解法 1 1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查 空间想象能力、运算能力和推理论证能力 （）pa底面 abc，pabc. 又90bca ，acbc. 第第 4040 页页 共共 7575 页页 bc平面 pac. （）d 为 pb 的中点，de/bc， 1 2 debc， 又由（）知，bc平面 pac， de平面 pac，垂足为点 e. dae 是 ad 与平面 pac 所成的角， pa底面 abc，paab，又 pa=ab， abp 为等腰直角三角形， 1 2 adab， 在 rtabc 中，60abc ， 1 2 bcab. 在 rtade 中， 2 sin 24 debc dae adad ， ad与平面pac所成的角的大小为 2 arcsin 4 . （）de/bc，又由（）知，bc平面 pac，de平面 pac， 又ae平面 pac，pe平面 pac，deae，depe， aep 为二面角adep的平面角， pa底面 abc，paac，90pac . 在棱 pc 上存在一点 e，使得 aepc，这时90aep ， 故存在点 e 使得二面角adep是直二面角. 【解法解法 2 2】如图，以 a 为原点建立空间直角坐标系axyz， 设paa，由已知可得 133 0,0,0 ,0 ,0,0 ,0,0, 222 abaacapa . （） 1 0,0,0,0 2 apabca uuu ruuu r ， 0bc ap uuu r uuu r ，bcap. 又90bca ，bcac，bc平面 pac. （）d 为 pb 的中点，de/bc，e 为 pc 的中点， 13131 ,0, 44242 daaaeaa ， 第第 4141 页页 共共 7575 页页 又由（）知，bc平面 pac，de平面 pac，垂足为点 e. dae 是 ad 与平面 pac 所成的角， 13131 ,0, 44242 adaaaaeaa uuu ruuu r ， 14 cos 4 ad ae dae adae uuu r uuu r uuu ruuu r. ad与平面pac所成的角的大小为 14 arccos 4 . （）同解法 1. 17 【解析解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随 机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. （）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 a，因为事件 a 等 价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事 件 a 的概率为 1114 11 33327 p a . （）由题意可得，可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯” （k 0，1，2，3， 4） ， 4 4 12 20,1,2,3,4 33 kk k pkck ， 即的分布列是 0 2 4 6 8 p 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 的期望是 16328818 02468 81812781813 e . 18 【解析解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综 合分析和解决问题的能力 （） 1,01,00 kx fxkx eff, 曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为yx 第第 4242 页页 共共 7575 页页 （）由 10 kx fxkx e，得 1 0 xk k ， 若0k ，则当 1 ,x k 时， 0fx ，函数 fx单调递减， 当 1 ,x k 时， 0fx ，函数 fx单调递增， 若0k ，则当 1 ,x k 时， 0fx ，函数 fx单调递增， 当 1 ,x k 时， 0fx ，函数 fx单调递减， （） 由 （） 知， 若0k ， 则当且仅当 1 1 k ， 即1k 时， 函数 fx在1,1 内单调递增； 若0k ，则当且仅当 1 1 k ，即1k 时，函数 fx在1,1内单调递增， 综上可知，函数 fx在区间1,1内单调递增时，k的取值范围是 1,00,1u. 19 （本小题共 14 分） 【解法解法 1 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 （）由题意，得 2 3 3 3 a c c a ， 解得1,3ac， 222 2bca， 所求双曲线c的方程为 2 2 1 2 y x . （）点 0000 ,0p xyx y 在圆 22 2xy上， 圆在点 00 ,p xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y ， 第第 4343 页页 共共 7575 页页 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy得 222 000 344820 xxx xx ， 切线l与双曲线 c 交于不同的两点 a、b，且 2 0 02x， 2 0 340 x ，且 222 000 164 34820 xxx ， 设 a、b 两点的坐标分别为 1122 ,x yxy， 则 2 00 1212 22 00 482 , 3434 xx xxx x xx ， cos oa ob aob oa ob uuu r uuu r uuu ruuu r， 且 1212120102 2 0 1 22oa obx xy yx xx xx x y uuu r uuu r ， 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8228 0 3434 xx xx . aob的大小为