上海交通大学20022010年保送生考试数学试题.pdf

上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题 一、填空题一、填空题（本题共 64 分，每小题 4 分） 1设方程 x3=1 的一个虚数根为 2 ,1 nn +则(n 是正整数)=_ 2设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数 分别是 2，1，0，则(a,b)=_ 3投掷 3 个骰子，其中点数之积为 9 的倍数的概率为_ 4若 x,y,z0 且 x2+y2+z2=1，则 222 111 xyz +的最小值为_ 5若 2x2x=2，则 8x=_ 6若 a,b,c 为正实数，且 3a=4b=6c，则 111 2abc +=_ 7 222 111 (1)(1)(1) 23n l的值为_ 8函数 2 2 sec sec xtgx y xtgx = + 的值域为_ 9若圆内接四边形 abcd 的边长 ab=4，bc=8，cd=9，da=7，则 cosa=_ 10若 a,b 满足关系： 22 111abba+=，则 a2+b2=_ 11 29 1 (1) 2 x x + 的展开式中 x9的系数是_ 12当12a时，方程 22 2|axx=的相异实根个数共有_个 13若不等式 2 054xax+有唯一解，则 a=_ 14设 a,b,c 表示三角形三边的长，均为整数，且abc，若 b=n（正整数） ，则可组成这 样的三角形_个 15 有两个二位数， 它们的差是 56， 它们的平方数的末两位数字相同， 则这两个数为_ 16某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等 5 所小学，各小学分别有电脑 15，7，11， 3，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电 脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了_台，从第二小学向第三 小学移交了_台， 从第五小学向第一小学移交了_台， 移动总数是_ 台 二、计算与证明题二、计算与证明题（本题共 86 分） 17 （本题 12 分） （1）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式： (1) 222 1111 12 23nn +l；(2)已知当 2 sin 01,11 6 xx x x 时， 试用此式与(1)的不等式求 1111 lim(sin12sin3sinsin) 23 n n nn +l 18 （本题 14 分） 若存在实数 x， 使 f(x)=x， 则称 x 为 f(x)的不动点， 已知函数 2 ( ) xa f x xb + = + 有两个关于原点对称的不动点 (1) 求 a,b 须满足的充要条件； (2) 试用 y=f(x)和 y=x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图） 19 （本题 14 分）欲建面积为 144m2的长方形围栏，它的一边靠墙 （如图） ，现有铁丝网 50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝 网多少米？并求此时围栏的长度 20 （本题 14 分）设数列an满足关系 2 1 21(1,2,) nn aan + =l，若 n 满足 1(2,3,) n an=l， 试证明：(1) 1 | 1a ； (2) 1 2 cos 2n k a = （k 为整数） 21 （本题 16 分）设( ) |lg|, ,f xxa b=为实数，且 0,( )( )2 () 2 ab aba bf af bf + =若满足 试写出 a 与 b 的关系，并证明在这一关系中存在 b 满足 3，当自然数 n6 时成立 上海交通大学 2004 年保送生考试数学试题(90 分)2004.1.3 一、填空题：一、填空题： 1已知 x,y,z 是非负整数，且 x+y+z=10，x+2y+3z=30，则 x+5y+3z 的范围是_ 2长为 l 的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_ 3函数xxycossin+=（ 2 0 x）的值域是_ 4已知 a,b,c 为三角形三边的长，b=n，且 abc，则满足条件的三角形的个数为_ 5baxx+ 2 和cbxx+ 2 的最大公约数为1+x，最小公倍数为 dxbxcx+)3() 1( 23 ，则a=_,b=_,c=_,d=_ 6已知21 a,则方程xxa=2 22 的相异实根的个数是_ 7 8182004 )367(+的个位数是_ 8已知数列 n a满足1 1 =a,2 2 =a，且 nnn aaa23 12 = + ，则 2004 a=_ 9nn的正方格,任取得长方形是正方形的概率是_ 10已知abcxyzxyzabc76=,则xyzabc=_ 二、解答题二、解答题 1已知矩形的长、宽分别为 a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线 长 2某二项展开式中，相邻 a 项的二项式系数之比为 1：2：3：a，求二项式的次数、a、 以及二项式系数 3f(x)=ax4+x3+(58a)x2+6x9a，证明： （1）总有 f(x)=0； （2）总有 f(x)0 4 1 1 )( 1 + = x x xf，对于一切自然数 n，都有)()( 11 xffxf nn = + ，且)()( 636 xfxf=，求 )( 28 xf 5对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心 的轨迹 6已知 n b为公差为6的等差数列，)( 11 nnaab nnn = + (1) 用 1 a、 1 b、n表示数列 n a的通项公式； (2) 若aba= 11 ，33,27a，求 n a的最小值及取最小值时的n的值 上海交通大学 2005 年保送、推优生数学试题 一、填空题一、填空题（每小题 5 分，共 50 分） 1方程 2 2 1 0 2 xpx p =的两根 12 ,x x满足 44 12 22xx+，则 p=_（pr） 2 88 41 sincos,(0,) 1282 xxx +=，则 x=_ 3已知 nz，有 12004 11 (1)(1) 2004 n n + +=+，则 n=_ 4将 3 个 12cm12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图） ，将这 6 部分接 于一个边长为6 2的正六边形上（如下图） ，若拼接后的图形是一个多 面体的表面展开图，该多面体的体积为_ 5已知2 3333xy=，x、yr，则(x,y)=_ 6 222212 2468( 1)(2 ) n n + + l=_ 7若 z3=1，且 zc，则 z3+2z2+2z+20=_ 8一只蚂蚁沿 123 立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为 _ 94 封不同的信放入 4 只写好地址的信封中，装错的概率为_，恰好只有一封装错的 概率为_ 10已知等差数列an中， 371119 44aaaa+=， 5916 aaa+=_ 二、解答题二、解答题（第 1 题 8 分，第 2、3、4 题各 10 分，第 5 题 12 分） 1 32 0 xaxbxc+=的三根分别为 a,b,c，并且 a,b,c 是不全为零的有理数，求 a,b,c 的 值 2是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 (1) 最大角是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍； 若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由 3 2 2 8 1 axxb y x + = + 的最大值为 9，最小值为 1，求实数 a,b 4已知月利率为，采用等额还款方式，则若本金为 1 万元，试推导每月等额还款金额 m 关于的函数关系式（假设贷款时间为 2 年） 5对于数列an：1,3,3,3,5,5,5,5,5,，即正奇数 k 有 k 个，是否存在整数 r,s,t，使得对于 任意正整数 n 都有 n arnst=+恒成立（x表示不超过 x 的最大整数） 又3 2 3 = 3 9 3 8=2=3log32,所以b c , a b c.所以输出的数为a. 例6 (2001年上海市高考题)对任意函 数f ( x) , xd可按图所示构造一个数列发 生器.其工作原理如下:输入数据x0d 经数列发生器输出x1= f ( x0 ) ; 若x1|d ,则数 列发生器结束工作;若x1 d ,则将x1反馈回输入 端,再输出x2= f ( x1 ) , 并依此规律继续下去.现 定义f ( x) = 4x -2 x +1 . (1)若输入x0= 49 65 ,则由数列发生器产 生数列 xn ,请写出数列 xn的所有项; (2)若要数列发生器产生一个无穷数列 的常数,试求输入的初始数据x0的值; (3)若输入x0时,产生的无穷数列 xn 满足:对任意正整数n ,均有xn xn+1,求 x0的取值范围. 赏析 本题可以认为是用流程图表示 的一个循环结构.其中循环关系为xn+1= 4xn-2 xn+1 . (1)因为 f ( x) 的定义域d = ( -, - 1) ( - 1, + ) , 所以数列 xn只有三项: x1= 11 19 , x2= 1 5 , x3=1. (2)因为f ( x) = 4x -2 x +1 = x ,即x2- 3x +2=0,所以x =1,或x =2.即当x0= 1或2时, xn+1= 4xn-2 xn+1 = xn.故当x0=1 时, xn=1;当x0=2时, xn=2 ( n n ) . (3)解不等式x 4x -2 x +1 ,得x -1或 1 x 2,要使x1 x2,则x1 -1或1 x12.对于函数 f ( x) = 4x -2 x +1 =4- 6 x +1 ,若x1 4, x3= f ( x2) x2,当1 x1 x1,且1 x20, ,解得 a -23. 所以a的取值范围为a -23. 点评 这是一道函数的常规题,考查了 对数函数定义域,单调性以及二次函数等有 关基础知识及其应用能力. (8)有2张100元纸币,3张50元纸币和 4张10元纸币,可以使用1张或n张纸币来 进行价格组合,则共可凑成 种金额. 解 显然,2张100元纸币,3张50元纸 币和4张10元纸币,可以组合成10元,20元, 30元,370元,380元,390元中的任一种 金额,所以共可凑成39种金额. 点评 本题考查了学生等差数列的基 础知识和分析问题和解决问题的实际能力. (9)已知为 5 -1=0的非实数根,则 (+1) ( 2 +1 ) = . 解 由 5 -1=0得=1或 4 + 3 + 2 +1=0.所以(+1) ( 2 +1 ) = 4 + 3 + 2 += -1. 点评 本题考查了学生恒等变形的知识. (10)已知ak= k +2 k ! + ( k +1) ! + ( k +2 ) ! , k1,则它的前10项和为 . 解 因为ak= k +2 k ! + ( k +1) ! + ( k +2 ) ! = k +2 k !( k +2) 2 = k +1 ( k + 2 ) ! = 1 ( k + 1 ) ! - 1 ( k + 2 ) ! ,所以 10 k =1 k +2 k ! + ( k +1) ! + ( k +2 ) ! = 1 2 - 1 12!. 点评 本题考查了含有阶乘的分式的 恒等变形以及数列拆项求和的技能技巧. 2 解答题 (1) a( b - c) x2+ b( c - a) x + c( a - b) =0有两个相同的根 ( abc 0, bc ,且a , b , cr ) , 求证: 1 a , 1 b , 1 c 成等差数列. 解 因为bc ,由题意得一元二次方 程的根的判别式=0,即 b( c - a) 2- 4ac( b - c) ( a - b) =0,化简整理得( bc + ab -2 ac) 2 =0,因为a , b , cr,所以bc + ab =2ac又abc0,所以 2 b = 1 a + 1 c ,即 1 a , 1 b , 1 c 成等差数列. 点评 这是以一元二次方程为载体考 查等差数列基本知识的一道常规题. (2)已知椭圆 x2 a + y2=1 ( a 1 ) , 以它 的顶点 a ( 0,1)为内接等腰直角三角形的直 角顶点,请分析这样的三角形共有多少个? 解 不妨设b、c两点分别位于y轴的 左右两侧,设ab的斜率为k ,则k 0. ab所 在直线方程为y = kx +1,代入椭圆方程并 整理得 ( ak 2 +1 ) x 2 +2akx =0,解得x =0 或x= - 2ak ak2+1 ,故b点 的 横 坐 标 为 - 2ak ak2+1 ,故| ab | = 2ak1+ k2 ak2+1 ,同理| a c | = 2a1+ k2 a + k2 ,由| ab | =| a c | ,得 k ak2+1 = 1 a + k2 ,即 ( k - 1 ) k 2 - ( a -1 ) k +1 =0 (3 ) . 当1且1a ，则方程 2 122 x axxa+ = +的解的个数为 4设扇形的周长为 6，则其面积的最大值为 51 1! 2 2! 3 3!n n + +=l 6设不等式(1)(1)x xyy与 22 xyk+的解集分别为 m 和 n若mn，则 k 的最小值 为 7设函数( ) x f x x =，则 21 12 ( )3( )( ) n sf xfxnfx = +=l 8设0a ，且函数( )(cos )(sin )f xax ax=+的最大值为 25 2 ，则a = 96 名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交 卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 10已知函数 1 21 ( ) 1 x f x x = + ，对于1,2,n =l，定义 11 ( )( ) nn fxffx + =，若 355 ( )( )fxfx=，则 28( ) fx = 2 / 3 二、计算与证明题（每小题 10 分，共 50 分） 11工件内圆弧半径测量问题 为测量一工件的内圆弧半径r，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒 123 ,o o o放在如图与工件圆弧相切 的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒 2 o顶侧面的垂直深度h，试写出r用h表示的函数 关系式，并计算当10,4rmm hmm=时，r的值 12设函数( )sincosf xxx=+，试讨论( )f x的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性） ，求其极值， 并作出其在0,2内的图像 13已知线段ab长度为3，两端均在抛物线 2 xy=上，试求ab的中点m到y轴的最短距离和此时m 点的坐标 14设 432 ( )(1)(32)4f xa xxaxa=+，试证明对任意实数a： （1）方程( )0f x =总有相同实根； （2）存在 0 x，恒有 0 ()0f x 15已知等差数列 n a的首项为a，公差为b，等比数列 n b的首项为b，公比为a，1,2,n =l，其中 , a b均为正整数，且 11223 ababa + 与圆 22 (2)3xy+=交于ab、两点，线段ab的中点在yx= 上，求p 2008 年交大冬令营数学试题参考答案年交大冬令营数学试题参考答案 一填空题一填空题 1若 21 ( ) 21 x x f x = + ， 1 ( )( )g xfx =，则 3 ( )_ 5 g=2 2函数 2 1 8 x y x + = + 的最大值为_ 1 4 3等差数列中， 813 53aa=，则前n项和 n s取最大值时，n的值为_20 4复数| 1z =,若存在负数a使得 22 20zazaa+=，则_a = 15 2 5若 1 cossin 2 xx=，则 33 cossin_xx= 11 16 6数列 n a的通项公式为 1 1(1) n a n nnn = + + ，则这个数列的前 99 项之和 99 _s= 9 10 7 2 (1)(1)xx+ 9899 (1)(1)xx+中 3 x的系数为_ 4 100 c=3921225 8数列 n a中， 0 0a =， 1 1 2 a = ， 2 6a =， 3 3 4 a = ， 4 20a =， 5 5 6 a = ， 6 42a =， 7 7 8 a = ， 8 72a =，此数列的通项公式为_ n a = ( 1) ( 1)(1) n n n n + 9甲、乙两厂生产同一种商品甲厂生产的此商品占市场上的 80%，乙厂生产的占 20%； 甲厂商品的合格率为 95%，乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品， 则此次品为甲厂生产的概率为_ 2 3 10 若曲线 22 1: 0cxy= 与 22 2:( )1cxay+=的图像有 3 个交点， 则a = 1 二解答题二解答题 130 个人排成矩形，身高各不相同把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每 行最高的人选出，这些人中最矮的设为b （）a是否有可能比b高？ （）a和b是否可能相等？ 1 解：( )1不可能 若a、b为同一人，有ab=； 若a、b在同一行、列，则均有ab； 若a、b不在同一行、列，同如图 1 以 5*6 的矩形为例，记a所在列与b所在 行相交的人为x。 因为a为a、x列最矮的人，所以有ax； 于是有axb ( )2有可能，不妨令 30 个人身高由矮至高分别为1,2,330，如图 2 所示： 此时有26ab= 2已知函数 2 ( )f xaxbxc=+(0)a ，且( )f xx=没有实数根那么( ( )f f xx=是 否有实数根？并证明你的结论 解：没有. 法一： 2 ( )(1)0f xxaxbxc=+=无实数根， 2 (1)40bac =； ( ( )0f f xx= 222 ()()0a axbxcb axbxccx+ = 22222 ()()0a axbxcaxaxb axbxccx+ = 2222 ()()(1)(1)(1)0a axbxcx axbxcxbaxbxc b+ += 222 (1)(1)(1)(1)0a axbxcaxbxcbaxbxc+= 222 (1)(1)10axbxca xa bxbc+= 于是有 2 (1)0axbxc+=或 22 (1)10a xa bxacb+ = 2 1 (1)40bac =； 222 2 (1)4(1)a baacb =+ 222 (1)4440abaca=， 于是 ( ( )( )f f xf xx； 若0a ，则( )f xx， 于是 ( ( )( )f f xf xx过点( ,0)p a且平行于y轴的直线与曲线:( )c yf x=的交点为q，曲线 c过点q的切线交x轴于点r，则pqr的面积的最小值是（ ） （a）1 （b） 2e 2 （c） e 2 （d） 2 e 4 8设双曲线 22 1 2 :(2,0) 4 xy ck ak a =，椭圆 22 2 2 :1 4 xy c a +=若 2 c的短轴长与 1 c的实轴长 的比值等于 2 c的离心率，则 1 c在 2 c的一条准线上截得线段的长为（ ） （a）2 2k+ （b）2 （c）4 4k+ （d）4 9欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何 3 个顶点作为 顶点的三角形有 3 种不同颜色的边， 并且不同的三角形使用不同的 3 色组合， 则n的最小值为 （ ） （a）6 （b）7 （c）8 （d）9 10设定点abcd、 、 、是以o点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线oa为轴满足 条件( )bc=的旋转，用表示空间关于ocd所在平面的镜面反射，设l为过ab中点与cd中 点的直线，用表示空间以l为轴的 180旋转设 o表示变换的复合，先作，再作。则 可以表示为（ ） （a） o oo o （b） o oo oo （c） oo oo （d） o ooo o 二、解答题二、解答题 11 在abc中，已知 2 2sincos21 2 ab c + +=，外接圆半径2r = （）求角c的大小； （）求abc面积的最大值 12 设abcd、 、 、为抛物线 2 4xy=上不同的四点，,a d关于该抛物线的对称轴对称，bc平行于该抛 物线在点d处的切线l设d到直线ab，直线ac的距离分别为 12 ,d d，已知 12 2ddad+= （）判断abc是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； （）若abc的面积为 240，求点a的坐标及直线bc的方程 13 （）正四棱锥的体积 2 3 v =，求正四棱锥的表面积的最小值； （）一般地，设正n棱锥的体积v为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱 锥的表面积取得最小值 14 假定亲本总体中三种基因型式：,aa aa aa的比例为:2 :uv w(0,0,0,21)uvwuv w+=且 数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个 （）求子一代中，三种基因型式的比例； （）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由 15 设函数( ) 1 xm f x x + = + ，且存在函数( ) 1 (,0) 2 statb ta=+，满足 2121 () ts f ts + = （）证明：存在函数( )(0),tscsd s=+满足 2121 () st f st + =； （）设 11 3,(),1,2,. nn xxf xn + =l证明： 1 1 2 3 n n x 2010 年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案 一、选择题 ad c abdbd 二、解答题 11解： （）由 2 2sincos21 2 ab c + +=得 2 2cos1cos2 , 2 c c = 所以 2 cos(2cos1).c = 即 2 2coscos10cc+ = (2cos1)(cos1)0cc+= 因为c为abc内角 所cos10c + ， 1 cos 2 c =， . 3 c = （） 3 2 sin42 3. 2 crc= 又由余弦定理得 222 2cos,cababc=+， 即 22 12,abab=+ 又 22 2,ababababab+=， 所以12.ab 有 133 sin123 3, 244 abc sabcab= ， 当且仅当ab=即abc为等边三角形时， abc的面积取得最大值3 3. 12解： （）设 222 001122 111 (,), ( ,),(,), 444 a xxb xxc xx 则 2 00 1 (,) 4 dxx 由 1 2 yx=可知的斜率 0 1 , 2 kx= 因此可以设直线bc方程为 0 1 . 2 yx xb= + 把 2 1 4 yx=代入，整理得 2 0 240,xx xb+= 所以 120 2xxx+= 因为,abac都不平行于y轴， 所以直线,abac斜率之和为 2222 1020 120 1020 11 ()() 44 (2)0 abac xxxx kkxxx xxxx +=+=+= 可知直线,ab ac的倾角互补，而ad平行于x轴， 所以ad平分.cab 作,deab dfac e f为垂足 则ade adf可得dedf= 由已知2dedfad+=， 可得2,dead=，所以45daedaf= = 所以90,cab=abc为直角三角形 （）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为 22 0000 11 (), 44 yxxxyxxx= = 把 2 1 4 yx=分别代入，得 2222 0000 440,440,xxxxxxxx+=+= 所以 00 2 22 ,2 22 .abxacx=+= 由已知可知 1 240, 2 ab ac =， 所以 2 0 1 84240, 2 x=解得8,x = ， 所以(8,16)a或( 8,16)a 当取( 8,16)a 时，求得(4,4)b，又bc斜率 0 1 4, 2 x=， 所以直线bc方程为44(4)yx=, 即4120.xy= 同理，当取(8,16)a时，直线bc方程为4120.xy+= 13解： （）设正四棱锥的底面正方形的边长为2a，高为h则正四棱锥的体积 2 42 . 33 va h= 正四棱锥的表面积 222 4().saa ah=+ 从而 3 3 2 2 9 s s v = 223 8( ) (11( ) ) . ah ha =+ 令 2 ( ) , h t a =设 3 1 ( )(11) ,0f ttt t =+ 则 2 2 (11) ( )(22 1). 21 t fttt tt + =+ + 令( )0,ft =解得8.t = 当08t ( )f t当8t =时取得最小值(8)8f= 正四棱锥的表面积的最小值为 4. （）一般地，设正n棱锥的底面正n边形的中心到各边的距离为a，高为h，则n正边形的体积 正棱锥的表面积 由（）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。由于正棱锥的表面积与底面机之比为 可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的 4 倍。 解： （）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应 情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为aa，aa，aa的概率如下表： 父本、母本的基因型式 相应情况 出现的概率 子一代基因 为aa的概率 子一代基因 为aa的概率 子一代基因 为aa的概率 父aa母aa 2 u 1 0 0 父aa母aa 2uv 1 2 1 2 0 父aa母aa uw 0 1 0 父aa母aa 2uv 1 2 1 2 0 父aa母aa 2 4v 1 4 1 2 1 4 父aa母aa 2vw 0 1 2 1 2 父aa母aa uw 0 1 0 父aa母aa 2vw 0 1 2 1 2 父aa母aa 2 w 0 0 1 子一代的基因型式为aa的概率为 222 1 111 1224() 224 puuvuvvuv= +=+. 由对称性知子一代的基因型式为aa的概率为 2 3 ()pvw=+. 子一代的基因型式为aa的概率为 2 2 2 11111 2124212 22222 2() puvuwuvvvwuwvw uvuwvvw =+ + + =+ 2()().uv vw=+ 若记puv=+，qvw=+，则0p ，0q ， 1pq+=，子一代三种基因型式：aa，aa， aa的比例为 22 :2:ppq q. （）由（）可知子二代的基因型式为aa，aa，aa的比例为 22 :2: ，其中 2 ppq =+， 2 pqq =+. 由1pq+=，可得p =，q =. 故子二代三种基因型式aa，aa，aa的比例为 22 :2:ppq q，与子一代基因型式的比例相同. 15 解法一： （）令 2121 () ts f ts + =，代入satb=+化简得 2 (4) (4)3(1)0a mtb matb+= 由于等式对所有 1 2 t 成立，可知 10 (4)30 (4)0 b b ma a m + = += = 解得1,4,3bma= = 4 ( ) 1 x f x x + = + 令 2121 () st f st + =，代入tcsd=+，化简得31csds+=+ 所以存在( )31(0)tsss=+ 使得 2121 () st f st + = （）令 1111 1,( )314stss=+ = 1 ( )31 nnn stt + = 111 ()31,1,2, nnn tssn + =+=l 注意到 1 1 1 21s x s + =，由（）知， 212 2121 ,1,2, nn nn nn st xxn st + =l 1 3192 nnn sts + = =+ 化为 1 11 9() 44 nn ss + +=+ 可知 22 1