长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案(中考、理科数学竞赛必备).doc

长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷注意：(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (a) 直线y = x上 (b) 抛物线 y =上 (c) 直线y = x上 (d) 双曲线xy = 1上2以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是 ( )(a) 35 (b) 30 (c) 25 (d) 203若10，则一定是 ( )第4题(a) 最小，最大 (b) 最小，最大 (c) 最小，a最大 (d) 最小， 最大 4如图，将ade绕正方形abcd的顶点a顺时针旋转90，得abf，连结ef交ab于h，则下列结论错误的是（ ）(a) aeaf （b）ef：af =：1(c) af2 = fhfe （d）fb ：fc = hb ：ec 5在abc中，点d，e分别在ab，ac上，且cd与be相交于点f，已知bdf的面积为10，bcf的面积为20，cef的面积为16，则四边形区域adfe的面积等于（ ） (a) 22 (b) 24 (d) 36 (d)446某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （a）30 （b）35 （c）56 （d） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7若4sin2a 4sinacosa + cos2a = 0, 则tana = _ _ .(第9题)8在某海防观测站的正东方向12海浬处有a、b两艘船相会之后，a船以每小时12海浬的速度往南航行，b船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及a、b两船恰成一个直角三角形.9如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过a,b,c三点的拋物线对应的函数关系式是 .(第11题)10桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.11物质a与物质b分别由点a(2,0)同时出发，沿正方形bcde的周界做环绕运动，物质a按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质b按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .第12题12设 为一群圆, 其作法如下：是半径为a的圆, 在的圆内作四个相等的圆(如图), 每个圆和圆都内切, 且相邻的两个圆均外切, 再在每一个圆中, 用同样的方法作四个相等的圆, 依此类推作出 , 则(1) 圆的半径长等于 (用a表示)；(2) 圆的半径为 ( k为正整数，用a表示，不必证明) 三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。第13题13.（本小题满分12分）如图，四边形abcd内接于圆o，且ad是圆o的直径，dc与ab的延长线相交于e点，ocab.(1) 求证ad = ae；(2) 若oc=ab = 4，求bce的面积. 14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p 2的顶点为m，(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为a，b，求实数p的值使abm面积达到最小.15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，a队共积19分。(1) 试判断a队胜、平、负各几场?(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设a队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为w（元），试求w的最大值. （第16题）16（本小题满分18分）已知：矩形abcd，（字母顺序如图）的边长ab=3，ad=2，将此矩形放在平面直角坐标系xoy中，使ab在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =x1经过这两个顶点中的一个.（1）求出矩形的顶点a、b、c、d的坐标；（2）以ab为直径作m，经过a、b两点的抛物线，y = ax2bxc的顶点是p点. 若点p位于m外侧且在矩形abcd内部，求a的取值范围； 过点c作m的切线交ad于f点，当pfab时，试判断抛物线与y轴的交点q是位于直线y =x1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由. 2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1d 2d 3a 4c 5d 6b 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7. 82. 9 y = x2 x +. 1020. 11( ,2). 12(1) 圆的半径； (2)圆的半径 ( 1 )n 1 a .三、解答题13.（本小题满分12分）（1）证1.ad是圆o的直径，点c在圆o上， acd = 90，即acde. 又ocae，o为ad中点， ad = ae. 4分证2 o为ad中点，ocae， 2oc = ae， 又ad是圆o的直径， 2oc = ad， ad = ae. 4分 （2）由条件得abco是平行四边形，bcad，又c为中点，ab =be = 4，ad = ae，bc = be = 4， 4分连接bd，点b在圆o上，dbe= 90，ce = bc= 4，即be = bc = ce= 4， 所求面积为4. 4分14.（本题满分14分）解：(1) = 4p2 8p + 8 = 4 ( p 1)2 + 4 0 , 抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2) 设a (x1, 0 ), b( x2, 0),则|ab|2 = |x2 x1|2 = (x1 + x2)2 4x1x22 = 4p2 8p + 8 2 = 4 ( p 1)2 + 42,|ab| = 2. 5分又设顶点m ( a , b ), 由y = ( x p)2 ( p 1 )2 1 .得b = ( p 1 )2 1 .当p =1时，|b|及|ab|均取最小，此时sabm = |ab|b|取最小值1 . 5分15 （本小题满分16分）解：（1）设a队胜x场，平y场，负z场，得，可得： 4分依题意，知x0,y0,z0,且x、y、z均为整数， 解得：x ， x可取4、5、6 4分 a队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1； 当x=5时，y= 4,z = 3 ； 当x=6时，y=1,z= 5. 4分（2）w=（1500+500）x + (700+500)y +500z= 600x+19300当x = 4时，w最大，w最大值= 604+19300=16900（元） 答略. 4分16（本小题满分18分）解：(1)如图，建立平面直有坐标系，矩形abcd中，ab= 3，ad =2，设a(m 0)（ m 0 ), 则有b(m3 0)；c(m3 2), d(m 2);若c点过y =x1；则2=(m3)1, m = 1与m0不合；c点不过y=x1；若点d过y=x1，则2=m1, m=2, a (2, 0), b(5,0)，c(5,2 )， d(2,2)； 5分（2）m以ab为直径，m(3.5 0)，由于y = ax2bxc过a(2, 0)和b(5 ,0)两点， 2分y = ax27ax10a( 也可得：y= a(x2)(x5)= a(x27x10) = ax27ax10a ) y = a(x)2a； 抛物线顶点p(, a) 2分顶点同时在m内和在矩形abcd内部, a 2,a. 3分 设切线cf与m相切于q，交ad于f，设af = n, n0；ad、bc、cf均为m切线，cf=n2, df=2n; 在rtddcf中，df2dc2=cf2；32(2n)2=(n2)2, n=, f(2, )当pfab时，p点纵坐标为；a =，a = ; 抛物线的解析式为：y= x2x5 3分抛物线与y轴的交点为q（0，5），又直线y =x1与y轴交点（ 0，1）；q在直线y=x1下方. 3分2009年长郡中学高一招生数学试题（b）时间60分钟 满分100分一.选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个符合题意的答案)1. 下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）黄红黄红绿绿黄红绿红绿黄绿红红绿黄黄绿红黄红黄绿a b c d2某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ）a2x b 1+2x c（1+x）x d（2+x）x3甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）aab bab ca=b d与a和b的大小无关 4若d是abc的边ab上的一点，adc=bca，ac=6，db=5，abc的面积是s，则bcd的面积是 （ ）a b c d5如图，aeab且ae=ab，bccd且bc=cd，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积s是（ ） a50 b62 c65 d686如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指着的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的参数为m，则m/n等于 （ ）a b c d7如图，甲、乙两动点分别从正方形abcd的顶点，a、c同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边 （ ） aab上 bbc上 ccd上 dda上8已知实数a满足，那么的值是（ ） a2005 b2006 c2007 d2008二填空题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。)9小明同学买了一包弹球，其中是绿色的，是黄色的，余下的是蓝色的。如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了（ ）个弹球10.已知点a（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点p使aop为等腰三角形.则符合条件的点p共有（ ）个. 11不论m取任何实数，抛物线 y=x2+2mx+m2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是（ ）12将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球已知： （1）黄盒中的小球比黄球多； （2）红盒中的小球与白球不一样多； （3）白球比白盒中的球少 则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是( )13在梯形abcd中，abcd，acbd相交于点o，若ac=5，bd=12，中位线长为，aob的面积为s1，cod的面积为s2，则=（ ）14已知矩形a的边长分别为a和b，如果总有另一矩形b，使得矩形b与矩形a的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为（ ）15已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=（ ）16 如图5，已知在圆o中，直径mn=10，正方形abcd的四个顶点分别在半径om，op以及圆o上，并且pom=45，则ab的长为（ ）三解答题：(本题有2小题,每小题10分，满分20分。)17甲、乙两班同时从学校a出发去距离学校75km的军营b军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？ 18如图，已知矩形abcd，ad=2，dc=4，bn=2am=2mn，p在cd上移动，ap与dm交于点e，pn交cm于点f，设四边形mepf的面积为s，求s的是大值. 2009年长郡中学高一招生数学试题（b）参考答案：一、1、c 2、d 3、a 4、c 5、a 6、c 7、a 8、c二、9、 96 10、 8 11、 x+y=-1 12、黄、红、白13、 14、 15、 12499 16、 三、17解：设甲班学生从学校a乘汽车出发至e处下车步行，乘车akm，空车返回至c处，乙班同学于c处上车，此时已步行了bkm.则解得a=60 b=20 至少需要（h） 18、 解：连结pm，设dp=x，则pc=4x，am/op 同理可求（8分） 因此 （13分） 当x=2时，上式等号成立.（15分师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题本卷满分150分 考试时间120分钟题号一二三总 分复 核12345得分阅卷教师一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为a、b、c、d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1、下列图中阴影部分面积与算式的结果相同的是【 】2、下列命题中正确的个数有【 】 实数不是有理数就是无理数； aaa；121的平方根是 11；在实数范围内，非负数一定是正数；两个无理数之和一定是无理数a. 1 个 b. 2 个 c. 3 个 d. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么【 】a、甲比乙更优惠 b、乙比甲更优惠 c、甲与乙相同 d、与原标价有关4、如图，acb60，半径为2的o切bc于点c，若将o在cb上向右 滚动，则当滚动到o与ca也相切时，圆心o移动的水平距离为【 】a、2 b、 c、 d、45、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有个，最少有个，则等于【 】a、36 b、37 c、38 d、39二、填空题（每小题6分，共48分）1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。2、若化简的结果为，则的取值范围是 。3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50、20和30的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。笔试实践能力成长记录甲908395乙889095丙9088904、已知点是一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内的交点，点在 轴的负半轴上，且（为坐标原点），则的面积为 。5、如果多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数的值是 。6、如右图所示，p是边长为1的正三角形abc的bc边上一点，从p向ab作垂线pq，q为垂足。延长qp与ac的延长线交于r，设bp=（），bpq与cpr的面积之和为，把表示为的函数是 。7、已知为方程的两实根，则 。8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。三、解答题（本大题6小题，共72分）1、（10分）在中，。的垂直平分线分别交、于、两点，连结，如果，求：的值。2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。甲乙价格（万元台）75每台日产量（个）10060 按该公司的要求，可以有几种购买方案？ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中，。为了合理利用这块钢板将在五边形eabcd内截取一个矩形块mdnp，使点p在ab上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。4、（12分）如图所示等腰梯形中，,对角线与交于, 点分别是的中点。求证：是等边三角形。 5、（12分）如右图，直线ob是一次函数的图像，点a的坐标是（0，2），点c在直线ob上且aco为等腰三角形，求c点坐标。6、（14分）已知关于x的方程有两个正整数根（m是整数）。abc的三边a、b、c满足，。求： m的值； abc的面积。师大附中2011年高一自主招生考试数学试题参考答案一、1、b，2、b，3、b，4、c，5、b二、1、2 2、 3、甲、乙 4、 5、6、 7、7 8、20三1、有已知可得均为等腰直角三角形，计算得，在直角三角形中，。2、（1）设购买台甲机器，则，所以。即取0、1、2三个值，有三种购买方案：不购买甲机器，购6台乙机器；购买1台甲机器，5台乙机器；购买2台甲机器，购4台乙机器。（2）按方案，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案，所需资金为（万元），日产量为（个）。所以，选择方案。3、如图所示，为了表达矩形mdnp的面积，设 dnx，pny，则面积 sxy， 因为点p在ab上，由apqabf得 ，即 代入，得， 即 因为3y4，而y不在自变量的取值范围内，所以y不是最值点，当y3时，s12；当 y4时，s8故面积的最大值是s12此时，钢板的最大利用率是80。4、连cs。abcd是等腰梯形，且ac与bd相交于o，ao=bo,co=do.acd=60，ocd与oab均为等边三角形.s是od的中点，csdo.在rtbsc中，q为bc中点，sq是斜边bc的中线，sq=bc.同理bpac.在rtbpc中，pq=bc.又sp是oad的中位线，sp=ad=bc.sp=pq=sq.故spq为等边三角形.5、若此等腰三角形以oa为一腰，且以a为顶点，则ao=ac1=2. 设c1（），则得，解得，得c1（） 若此等腰三角形以oa为一腰，且以o为顶点，则oc2=oc3=oa=2. 设c2（），则得，解得.得c2（） 又由点c3与点c2关于原点对称，得c3（） 若此等腰三角形以oa为底边，则c4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得c4（）. 所以，满足题意的点c有4个，坐标分别为：（），（），（），c4（）6、（1）方程有两个实数根，则，解方程得，由题意，得 即故（2）把代入两等式，化简得，当时，当时，、是方程的两根，而0，由韦达定理得，0，0，则0、0 ，时，由于故abc为直角三角形，且c90，sabc，时，因，故不能构成三角形，不合题意，舍去，时，因，故能构成三角形sabc综上，abc的面积为1或2011年雅礼中学自主招生考试科学素养（数学）测试题命题人：李明利注意事项： 1. 本卷满分150分，考试时间120分钟； 2. 所有题目必须在答题卷上作答，否则不予计分。一、选择题（每小题5分，共30分。每小题均给出了a、b、c、d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得分）1、有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示。如果记6的对面的数字为，2的对面的数字为，那么的值为 a3 b7 c8 d1111xyo2、右图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图像（收支差额=车票收入-支出费用）ya11xyoa11xyoa11xyo由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。下面给出四个图像（如图所示）则11xoaa反映了建议（2），反映了建议（1） b反映了建议（1），反映了建议（2）c反映了建议（1），反映了建议（2） d反映了建议（1），反映了建议（2）3、已知函数，并且是方程的两个根，则实数的大小关系可能是 a b c d4、记=，令，称为，这列数的“理想数”。已知，的“理想数”为2004，那么8，的“理想数”为 a200 b2006 c2008 d20105、以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则的长为 a b c d46、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。公司在年初分配给a、b、c、d四个维修点某种配件各50件。在使用前发现需将a、b、c、d四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行。那么要完成上述调整，最少的调动件次（件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为 abcd二、填空题(每小题6分,共48分)7、若表示不超过的最大整数（如等），则_。8、在中，分别是上的点，交于点，若，则四边形的面积为_。9、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是_。 10、已知抛物线经过点a(4,0)。设点c（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点d,使得的值最大，则d点的坐标为。 11、三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为_。12、已知点（1，3）在函数的图像上。正方形的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图像又经过、两点，则点的横坐标为_。13、按下列程序进行运算（如图）输入是乘以3减去2大于244停止否x规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算。若，则运算进行_次才停止；若运算进行了次才停止,则的取值范围是_。三、解答题（本大题共5小题，）15、已知：如图在rtabc中，斜边ab5厘米，bc厘米，acb厘米，b，且、b是方程的两根。 求和b的值； 与开始时完全重合，然后让固定不动，将以1厘米/秒的速度沿所在的直线向左移动。 设x秒后与的重叠部分的面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围； 几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？16、已知过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作的切线交轴于点。 求的值； 如图，设与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。yhadoocpfygdexbx17