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理学硕士学位论文 关于交换环上矩阵的若干问题 王 莹 哈尔滨工业大学 2004 年 7 月 国内图书分类号：o152 国际图书分类号.: 512.2 理学硕士学位论文 关于交换环上矩阵的若干问题 硕 士 研 究 生： 王 莹 导师： 郑宝东教授 申 请 学 位： 理学硕士 学 科 、 专 业： 基础数学 所 在 单 位： 数学系 答 辩 日 期： 2004 年 7 月 授予学位单位： 哈尔滨工业大学 classified index：o152 u.d.c.: 512.2 dissertation for the masters degree in science on some problems of matrices over commutative rings candidate： wang ying supervisor： prof. zheng baodong academic degree applied for： master of science speciality： fundamental mathematics affiliation： department of mathematics date of defence: july, 2004 degree-conferring-institution： harbin institute of technology 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 摘要摘要 1848 年， 为了给研究行列式提供一个适当的代数语言， j.j.sylvester 首先引入了“矩阵”这个概念. . 1855 年，为了研究两个线性变换的 复合变换的表达式，a.cayley 给出了矩阵乘法的定义，从而开创了矩 阵代数这个研究领域. . 二十世纪以后，人们把矩阵视为线性变换一 般理论的有限维情形，对矩阵进行了更加深入的研究，并将研究引 入到环上的矩阵之中. . 现在，矩阵在各个学术领域和重要的应用课 题中已经起着不可替代的作用，许多数学家从事着对这一领域的研 究. . 设r是含有单位元的交换环，记( ) m n mr 为r上所有矩阵的 全体构成的集合， mn ( ) m n amr ( ) k caa ，以的一切k阶子式为元素，按字典 序排列构成的矩阵为的阶复合矩阵. . 而以子式的代数余 子式为元素的阶矩阵 a ka k n c( ) * k ca为的阶复合伴随矩阵. . 伴随矩阵是 复合伴随矩阵的特例，因此复合伴随矩阵是伴随矩阵理论的深入发 展. . ak 作为准备工作，本文首先研究了交换环上矩阵的性质，交换环 上矩阵的秩，交换环上矩阵的特征值. 然后在含有单位元的交换环 上研究了复合矩阵和复合伴随矩阵，证明了对合(幂等、幂单、幂零) 阵的复合矩阵和复合伴随矩阵都是对合(幂等、幂单、幂零)阵，同 时 证 明 了 复 合 映 射是 从 乘 法 幺 半 群 k c( ) n n mr 到 乘 法 幺 半 群( ) s s mr 的同态映射，复合伴随映射c是从乘法幺半群 * k ( ) n n mr 到乘法幺半群 ( ) s s mr 的反同态映射，而且得出复合矩阵和复合伴随矩阵的秩. 假设是特征为的域，中至多含有f2f()2nn其中个元素，本文 - i - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 证明了当存在，且 * sf1s 时，( ) n slf中任一矩阵都是 2 个对合换 位子之积. . 这一结果丰富了已有的相关理论. . 关键词关键词 交换环；复合伴随矩阵；特征值；秩；换位子 - ii - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 abstract in order to provide a right algebra language, the concept of matrix was introduced firstly by j. j. sylvester in 1848. then, in 1855, a. cayley proposed the definition of matrix multiplication for the purpose of studying the compound transform expression of two linear transforms, which initiated the new research field algebraic research in matrix. as a finite dimensional case of general linear transform theory, matrix has been more intensely investigated since 20th century. moreover, matrix over rings are also studied. nowadays , matrix takes an irreplaceable role in various academic fields and many important applications. many mathematicians are engaged in this field. suppose r is a commutative ring with identity and ( ) m n mr is the set that is constituted by all the mn matrices over r, and is an element in a( ) m n mr ( * k . the matrix constituted by all the submatrix of order in lexicographic order is the compound matrix of order of . the compound adjoint matrix c of order of is a matrix of order c and its element is just the algebraic complement minor of subminior . since the adjoint matrix is the special case of the adjoint matrix, the compound adjoint matrix is the evolution of theory on the adjoint matrix. ( k ca ka )k k a a)a k n for preparation, we first study the properties of the matrix over commutative rings, ranks of matrix over commutative rings, and eigenvalues of matrix over commutative rings. then we study on the compound matrix and compound adjoint matrix over commutative rings with identity and prove that the compound matrix and the compound adjoint matrix of involutory (idempotent, unipotent, nilpotent) matrix are still involutory (idempotent, unipotent, nilpotent) matrix, and also prove that the compound mapping c is a homomorphic mapping from multiplicative k - iii - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 unisemigroup ( ) n n mr to multiplicative unisemigroup ( ) s s mr , and the compound adjoint mapping c is a inverse homomorphic mapping from multiplicative unisemigroup * k ( ) n n mr to multiplicative unisemigroup ( ) s s mr f sf . we can obtain the ranks of compound matrix and compound adjoint matrix. f f suppose is a field of character 2. when is more than 1, and there are less than elements in , it is proved that each matrix in special linear ring over is a product of two commutators of involutions if there exist an element in that is neither zero nor identity. the result enriches some already-existed relative theories. n n keywords commutative ring, compound adjoint matrix, eigenvalues, rank, commutator - iv - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 目录目录 摘要 . i abstract .iii 第 1 章 绪论 .1 1.1 课题背景 .1 1.2 发展概况 .3 1.3 本文主要研究内容 .8 第 2 章 预备知识 . 10 2.1 交换环上矩阵的定义 . 10 2.2 交换环上矩阵的运算 . 10 2.3 本章小结 . 14 第 3 章 交换环上矩阵的秩和方程组的解. 15 3.1 基本概念 . 15 3.2 交换环上矩阵秩的几个结论. 16 3.3 交换环上线性方程组 . 19 3.4 本章小结 . 20 第 4 章 交换环上复合矩阵和复合伴随矩阵 . 21 4.1 基本概念 . 21 4.2 交换环上复合矩阵和复合伴随矩阵的关系和性质 . 22 4.3 交换环上复合矩阵和复合伴随矩阵的史密斯标准形 . 29 4.4 本章小结 . 33 第 5 章 交换环上矩阵的特征值和特征向量 . 34 5.1 基本概念 . 34 5.2 几个结论 . 35 5.3 本章小结 . 36 第 6 章 表 sln(f)中某类矩阵为对合换位子之积的长度 . 37 6.1 基本概念与研究背景 . 37 6.2 表示 sln(f)中某类矩阵为对合换位子之积的长度 . 38 6.3 本章小结 . 41 结论 . 42 - v - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 参考文献 . 44 攻读学位期间发表的学术论文 . 47 哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 . 48 致谢 . 49 - vi - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 第第1章 绪论章 绪论 1.1 课题背景课题背景 对矩阵代数的研究是代数研究的一个重要组成部分. 矩阵是现 代自然科学工程技术以及社会科学的很多领域中的一个不可缺少的 重要数学工具. 1848 年，为了给研究行列式提供一个适当的代数语 言，j.j.sylvester首先引入了“矩阵”这个概念. . 1855 年，为了研究两 个线性变换的复合变换的表达式，a.cayley给出矩阵乘法的定义，从 而开创了矩阵代数这个研究领域. . 二十世纪以后，人们把矩阵视为 线性变换一般理论的有限维情形，对矩阵进行了更加深入的研究， 并将研究引入到环上. . 今天，矩阵在各个学术领域和重要的应用课 题中已经起着不可替代的作用，许多数学家从事着这一领域的研究 工作. . 不 可 交 换 的 代 数 矩 阵 代 数 ， 它 是 英 国 数 学 家 凯 利 (arthur cayley， 18211895)在 1857 年把矩阵与下列形式的线性变换相联系： xaxby ycxdy = + = + 在这里是实数，并且，它可被认为是将( , , ,a b c d)x y投影到( ,)x y上. 显然，上述变换完全由a b c四个系数确定. 因而，这变换可被符 号化为方阵 , , ,d ab cd 我们称之为二阶方矩阵.当且仅当它们具有同样的系数,考虑的两个 - 1 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 变换才是等同的. 我们定义两个矩阵 ab cd 和 ef gh 是相等的，当且仅当ae. 如果在上面给出的变换后 面还跟着一个变换 ,bf cg dh= xexfy ygxhy =+ =+ ) ) 可用初等代数证明,结果是变换 ()( ()( xeafc xebfd y ygahc xgbhd y = + = + 这导出下列两个矩阵的乘积的定义 efabeafcebfd ghcdgahcgbhd + = + 矩阵的加法被定义为 abefaebf cdghcgdh + += + 如果m是任何实数，我们定义 ababmamb mm cdcdmcmd = 在 所 得 到 的 矩 阵 代 数 中 ， 可 以 证 明 ,加 法 既 满 足 交 换 律 也 满 足 结 合 律；乘法满足结合律；在加法上满足分配律. 但是，乘法是不可交 换的. 用个简单例子可以说明： 100101 000100 = 011000 010000 = 凯利矩阵硕果累累，当前它已成为数学上很重要的工具，它的 创造无疑堪称数学史上的里程碑. - 2 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 设r是含有单位元的交换环.对于矩阵的研究，可以将任意交换 环作为研究的基础，而不必一定是域. 如果研究的基础是域，那么 所得的理论就是经典代数的结果. 来自任意的交换环上代数的一般理论是数学的一个巨大的主题 和非常活跃的研究领域，有很多代数学家，数学家，工程师，科学 家都对此感兴趣. 而对于交换环上的矩阵的研究又是其中的一个重 要分支. 1.2 发展概况发展概况 对于交换环上的矩阵的研究，主要有bernard r.mcdonald，他对于 交 换 环 上 线 性 代 数 的 专 题 研 究 是 从 在oklahoma大 学 以 交 换 环 上 线 性 代数学为主题的演讲开始的，主要对交换环上的矩阵理论进行了简 要介绍.他著有交换环上的线性代数 1 一书.另外，william c.brown 在非交换环理论, 交换环理论，非结合代数学,代数的几何学和线性 代数学上也有很深刻的研究，有超过三十篇研究论文 ,并且出版了 几本关于线性代数学的书，其中一本为交换环上的矩阵 2 . 交换环上的线性代数理论提供了交换环上的矩阵理论，线性方 程组的解理论，一般线性群的结构，自由模和投射模，自同态环的 morita二元性和baer映射，自同态环的自同构理论，投射模的局部化 和结构包括serre定理证明，单一自同态理论的分析，比如相似、迹、 行列式、特征多项式、等价以及投射模的k理论和它们的自同态环 的理论中产生的基本结论等很多方面的内容（见311）. k - 3 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 交 换 环 上 矩 阵 的 研 究 主 要 有 矩 阵 的 秩 ， 线 性 方 程 组 ， cayley-hamilton定理，结式，理想，各种标准形以及特征值和特征多 项式等，有很多著作如 1219. . 设r是含有单位元的交换环，记( ) m n mr 为r上所有矩阵的 全体构成的集合， mn ( ) m n amr ( ) k caa ，以的一切k阶子式为元素，按字典 序排列构成的矩阵为的阶复合矩阵. . 而以子式的代数余 子式为元素的阶矩阵， a ka k n c( )a * k c为的阶复合伴随矩阵. . 伴随矩阵 是复合伴随矩阵的特例，因此复合伴随矩阵是伴随矩阵理论的深入 发展. . ak 对于复合伴随矩阵的研究，主要是在一般域上进行的. .2001 年向 大晶在复合矩阵与复合伴随矩阵间的关系 20 一文中，给出了数 域上的复合矩阵与复合伴随矩阵间的一个关系式， 并由此推出了复 合伴随矩阵的若干性质，这是通常意义下相应结果的推广，相关论 文还有2124. . 而同年，谭宜家在关于交换环上的幂等阵与幂 零阵 f 25 一文中，证明了交换环上的幂等矩阵的伴随矩阵是幂等的， 同时证明了整环上幂零矩阵的伴随矩阵仍然是幂零的，所得的结果 推广了复数域上的相应结论，相关论文还有26等. . 研究一些特殊矩阵群的理论就是典型群理论. 设是一个域,用f ( ) n n mf 表示上阶方阵的集合. fn( ) n n mf 中可逆矩阵的全体关于矩 阵乘法组成的群称为一般线性群，记为( )f n gl. ( ) n n mf 中行列式为 - 4 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 1 的 矩 阵 的 全 体 组 成( ) n glf的 一 个 子 群 ， 称 为 特 殊 线 性 群 ， 记 为 . 典型群（或称为矩阵群）一般是指一般线性群和它的一些特 殊子群，比如特殊线性群、辛群、正交群、酉群等. 典型群是群论 研究的一个重要方面，在代数及其它数学分支中都有着广泛的应用. ( ) n slf 二十世纪初，dickson首先开始了对典型群的研究. 随后，世界 上许多著名的数学家对这一课题产生了极大的兴趣. 我国典型群的 研究，是华罗庚先生在上个世纪四十年代开创的，特点是在几何背 景的指导下，用矩阵方法研究典型群，这在典型群的结构和自同构 的研究中很有效，在上个世纪中叶取得了丰硕的成果，受到国际同 行们的重视，把以华罗庚为代表的典型群研究群体誉为典型群的“中 国学派”. 1962 年华罗庚与万哲先合作出版了专著典型群 27 一书，汇 集了当时多数的研究成果. 用矩阵方法研究典型群被国际代数界誉 为“中国方法”. 国际著名数学家，法国巴尔布基（bourbaki）学派 的 创 始 人 之 一 迪 厄 多 内 （j.dieudonne） 在 典 型 群 的 几 何 学 （la gemoemrie doe groups classiques）一书中多次提到他们的工作. 曾经在 1975 年访华的美国数学代表团在 1977 年以“中华人民共和国的纯粹 数学和应用数学” （pure and applied mathematics in the peoples republic of china）为标题发表的访华报告中，将典型群方面的工作列为中国数 学的五项重要成就之一. 后来，典型群的研究领域逐步扩大，万哲先与他的学生和合作 - 5 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 者们对有限域上典型群几何学的理论进行了研究，七十年代后期至 1994 年中国数学家对典型群的贡献大多收录在李福安，游宏的综述 文章“recent progress on classical groups and algebraic k-theory in china”中. 在典型群的理论中，生成问题是一个基本的研究问题. 特殊线 性群中每一个元素都是乘法换位子. 当是至少含有 3 个元素的域 时，结果已经归结到一些矩阵群（见2830）或一些特殊环（见 3133）. f 1996 年，j.hahn在34中解决了正交群( )f n o的换位子群的 生成长度问题，证明了其中每一个矩阵都是至多 ( )f n 1 2 res+ ( 表示 有理数的整数部分，()iarankresa=)个对称换位子之积. 这使得我 们思考一个问题： 能否将典型群中的一个矩阵群g表示成具有一些特 殊性质，比如对合，对称，幂等，平延，伸缩，换位子等矩阵的乘 积，并且确定出这个分解的最小长度. 在群的生成问题中， 换位子生成十分重要. 设是群， ,是 的换位子群. 一般地，换位子群中的元素未必可以写成一个换位子. 因此，同样我们可以思考：是否存在一个最小的数 gg gg ( )c g，使换位子 群 中 每 一 个 元 素 都 可 表 示 成 不 超 过( )c g个 换 位 子 的 积 的 形 式 . 在 35中djokovic证明了每个上一般线性群中的矩阵，其中是至 少含有 3 个元素的一个除环（非交换域） ，是至多个伸缩的积. faf n 1936 年，shoda在einige satze uber matrices一文中，首先开始研究 - 6 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 一个矩阵是否可以表成换位子的问题，证明了如果是一代数闭域， 则中 矩 阵可 以 表 成 换 位 子 的 充 要 条 件 是, 即 f ( ) n gl f ( n a( )det1a = )asl f, 由 于 对 所 有 无 限 域 ( )( ), nn glfglf 1 ( ) n f sl=. 因 此 ， shoda的结果表明，此时()( ) n c gl f. 1953 年，honda在on commutators in finite groups一文中刻画了有 限群的换位子. 1955 年，h.b.griffiths在a note on commutators in free products 一文 中对自由积 n ggggl= 21 ，证明了如果g非平凡，则. ( )1c g 1961 年，thompson在commutators in the special and general linear groups一文证得任一域及,f1n ()( )1 n c gl f,()( )2 n c sl f. 1963 年，macdonald在on cyclic commutator subgroup一文中证明了 如果g是幂单群且 ,是元循环群，则c(g) mg gm/2. 1974 年，rodney在on cyclic derived subgroups 中证明了如果 ,是 循环群且是幂单群或 ,是无限群，则 g g gg g( )1c g =. 1986 年，djokovic 在on commutators in real semisimple lie groups一文 中对四元数体证明了h() n c sl h1=.kursov等对体上的一般线性群 研究了. k ( n c gl)k ) 1988 年，dennis-vaserstein在on a question of m.newman on the number of commutators一文中对newman上述问题给出了一个否定的回答，并讨 论了具稳定度环上的线性群的换位子生成长度问题. 1990 年，vaserstein和wheland在commutators and companion matrices over rings of stable rank 1 一文中证明了如果交换环r满足,那 么，对所有都有 ( )1sr r 3n ( ) n c gl r2. 1996 年，hahn在the elements of the orthogonal group as products of - 7 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 commutators of symmetries 一文中解决了正交群o的换位子群 中元素由对称换位子生成的长度问题. ( ) n f( ) n f 1999 年，郑宝东研究了域上特殊线性群中元素分解为对合换 位子之积的问题. 证明了当域的特征不为 2 时， 其中的任意一个矩 阵都可以写成 3 个对合换位子之积. 如果域上特殊线性群中的矩阵 不是数量阵，则可以写成 2 个对合换位子之积，并且 2 是满足条件 的最小数. 同时证明了域的特征是 2 时， 且至少含有元素时， 中的任何一个矩阵都可以写成 2 个对合换位子之积. 其他一 些结论见3439等. f f ff1n+ () n sl f 1.3 本文主要研究内容本文主要研究内容 第1章阐述了课题背景和主要研究内容. 第2章介绍了交换环上的矩阵的概念以及交换环上矩阵的一些 基本运算以及它们的简单性质. 第3章研究矩阵的秩的性质以及方程组的系数矩阵和它有唯一 解的关系.介绍了交换环上矩阵的秩的概念和性质，得出阶方阵满 秩的充要条件是矩阵可逆，等价矩阵具有相同的秩等性质，并且讨 论了交换环上不同定义的秩之间的关系，证明了非齐次线性方程组 的有唯一解的充要条件是系数矩阵可逆. n 第4章研究复合矩阵和复合伴随矩阵. 首先在交换环上定义了 复合矩阵和复合伴随矩阵. 通过对矩阵中元素的讨论建立了复合矩 阵和复合伴随矩阵的关系，从而得出结论：复合映射c是从乘法幺 k - 8 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 半群( ) n n mr 到乘法幺半群( ) s s mr ) 的幺半群同态映射，复合伴随映射 是 从 乘 法 幺 半 群 * k c( n n mr 到 乘 法 幺 半 群( ) s s mr * 的 幺 半 群 反 同 态 映 射，它们具有保逆，保转置，保相似、保合同、保等价等性质，而 对合、幂等、幂单、幂零矩阵的复合矩阵和复合伴随矩阵也分别是 对合、幂等、幂单、幂零的. 推论 4.3.1 和推论 4.3.2 得出复合矩 阵和复合伴随矩阵的秩. m a ( ) * ca 1 1,aa 1 a f f * a 第5章研究交换环上矩阵的特征值和特征向量,通过的特征值 a 得到ra，aa，aa的特征值,并且建立了ca 与的特征值之间的关系. bi+ 1 ba +( ) k k 第 6 章研究域上特殊线性群中的矩阵表示成对合换位子之积 的长度的问题，其中的是至多含有个元素，特征为的域,存 在. . 2n 2 * 1f - 9 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 第第2章 预备知识章 预备知识 2.1 交换环上矩阵的定义交换环上矩阵的定义 设r是含有单位元1的交换环.用(0)( )u r表示环r的所有可逆 元构成的乘法群，( )z r表示环r的所有零因子构成的乘法群. 用,i j表示具有有限势的指标集.设1,2,3,1,2,3,imjn=ll. . 那么，r上矩阵是一个映射m n:ijr,其中的元素属于r，按 照如下列表的形式排列： () 11121 21222 12 n n ij mmmn aaa aaa a aaa = l l mmom l 其中ai. 列表中的元素的行指标为i， 列指标为(), ij j=r ij aj. 称 为 在(位 置 或 是 矩 阵 的 ij a ),i j(),i j 元 . 称 两 个 映 射:ijr， :ijr相等，记为=：如果对(),i jij ，有. . 如果 ()i j(,i j)= 有排列，( ij a)a=有排列() ij bb=，满足, ij ab ij =(),i jij ，则 称等于ab，记为. . () ij () ij b=a 用( ) m n mr 表示元素取自r的m n矩阵的全体，( n n )mr 是r上 阶方阵的集合. . n 2.2 交换环上矩阵的运算交换环上矩阵的运算 定义 2.2.1 2.2.1 如果()()( ), ijijm n aabbmr =， 则与ab加法定义为 - 10 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 () () () ijijij ababc+=+= 其中ca，. . ijijij b=+(),i jij 显然，(是群，单位元为( ), m n mr +)abel( )0o = a ，也就是每个位置 都是0的零矩阵，而的加法逆元为() ij aa=() () ij aa= ij . . 定义 2.2.2 2.2.2 设，rr()( ) ijm n aamr =，定义矩阵的数乘为 () () ijij rar ara= 这样，( ) m n mr 在定义的加法和数乘下是r模. 定义 2.2.3 2.2.3 设()( ) ijm n aamr =，()( ) ijn p bbmr =，定义与ab 的积为 ab=() ij a() jk b() ik c 其中c. . 1 n ikijjk j a = =b 矩阵乘积给出一个r双线性映射：( )( )( m nn pm p )mrmrmr . . 即，()a bcabac+=+()ab cacbc+=+()()(r abra ba rb)=()rr. . ( ) n n mr 在规定的加法、乘法、数乘下是r代数. 代数( ) n n mr 有单位元() ij i=，其中 0, 1, ij ij ij = = ，称为 符号.矩阵 kerkronec i称为单位矩阵. 矩阵( ij rir)=称为数量矩阵. 数量矩阵的集合形成( ) n n mr 的与 r同构的子环. 命题 2.2.12.2.1 1 对交换环r，阶方阵集n( ) n n mr 的中心c m ( )() n n r ( )( ), n nn n amr abbabmr = 是数量矩阵集ri rr. . - 11 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 定义 2.2.4 2.2.4 设()( ) ijn n aamr =，如果存在b，使得 abbai= 称矩阵可逆，称ab是的逆矩阵，记为a 1 a. . 逆矩阵存在则一定唯一. .如果可逆，则 12 ,a a 11 1221 ()a aaa 1 =. . ( ) n n mr 中可逆矩阵全体，在通常的矩阵乘法下形成群,称为r上 n阶一般线性群，记为( ) n rgl. 定义 2.2.5 2.2.5 设()( ) ijm n aamr =，的转置定义为 a ()( ) t ijn m abmr = 其中b， ijji a=1jm，. . 1in 容 易 验 证( )( ): m nn m rmr t m,是 从( ) t t aa=t( ) m n mr 到 ( ) n m mr 的r模 同 构 映 射 ， 并 且t 2 =单 位 映 射 .()ab tt abt+=+， ()tab tt b a=，( )() 1 1 t t aa =. . 进而，( )( ) n r : n n r n mt m是一个r代 数反自同构. 定义 2.2.6 2.2.6 设( ) m n amr 的迹是对角元素的和，记tr，即 a( )a ( ) 1122nn tr aaaa=+l 如果，则( ), m n a bmr ()( )( )abtr atr b+=+tr，()(tr abtr ba=)， ()tra=( )tr a()r. . 进而，迹映射( ): m n mrr tr是r模映射.而且，tr； 如果q可逆，则 ()( ) t atr a= ()( ) 1 qaqtr a =tr. . 定义 2.2.7 2.2.7 设()( ) ijn n aamr =，定义( ) n n mr rdet:，使 ( )( ) ( )( )( )1122 detsgn n nn s aaa =a l - 12 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 其中表示所有个字 n sn1,2,nl的个排列. 如果!n n s，sgn( )表示 的符号： 如果是偶排列，( )sgn1= ； 如果是奇排列，sgn. . ( )1= 映射( ) n n mr rdet:称为行列式映射，( )adet称为的行列式. a 命题 2.2.22.2.2 如果( ), m n a bmr ， 则矩阵的行列式具有如下性质： (1) ()( )( )detdetdetabab=; (2) ; ()( ) detdet t aa= (3) 如果，( ) n aglr ()( ) 1 1 detdetaa =; (4) 如果是由ab的某行(列)乘r中元得到的，则 ( )( )detdetab=; (5) 如果是由ab的某两行(列)相加得到的，则; ( )( )detdetab= (6) 如果是由交换ab的某两行(列)得到的，则det; ( )( )detab= (7) 如果的第 行(列)是aib的第i行(列)与的第i行(列)的和， c b和与只有第 行(列)不同，则 cai( )( )( )detdetdetab=+c. . 定义 2.2.8 2.2.8 设()( ) ijn n aamr =，1m，用表示由去 掉 第行 第 in,tm n ij aa ij列 元 素 而 得 到 的(1) (n1)n ( 1)det( ij ijij b + = ) 矩 阵 .称 为的 第( ,余 子式，记为. . 令， ( 1)i j ij a + a a)i j ( ij cof a)() ij bb= * a， t b=. . 矩阵称为 的伴随矩阵. * a a 定理 2.2.12.2.1 2 设( ) n n amr ，则有 (1) ; * det( )aaa aa i= (2) 如果，则. . ( ) n aglr( ) 1 1* detaa =a 定理 2.2.22.2.2 2 设( ) n n amr ，则可逆当且仅当. . a( )( )det au r - 13 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 证明 设可逆，则存在矩阵a( ) n n bmr ，使得. . abbai= 由于()()( )( )etdetdetdet n 1diabab=，有( )( )det au r. . 反之，如果( )( )det au r，由定理 2.2.1（1）得出 ( )()( )() 11 * detdet n aaaaaa i= ， 故可逆. a 2.3 本章小结本章小结 本章介绍了交换环上的矩阵的概念以及交换环上矩阵的一些基 本运算，包括矩阵加法，矩阵与环上元素数乘，矩阵积，矩阵逆， 矩阵转置，矩阵迹，矩阵行列式，伴随矩阵并研究了这些运算的一 些简单性质. - 14 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 第第3章 章 交换环上矩阵的秩和方程组的解交换环上矩阵的秩和方程组的解 3.1 基本概念基本概念 定义 3.1.13.1.1 2 设m是r模， (1) 对于( ),0 r mmannmxr xm=称为的零化子； m (2) ()0 r annmxr xmmm=称为m的零化子. 定义 3.1.23.1.2 2 对( ) m n amr ，1,min,trm =ln，定义( ) t ia 为r中由所有的子式生成的理想. att 这样， 如果要计算( ) t ia， 就要算出每个的att子矩阵的行列式， 找 到 由 这 些 行 列 式 生 成 的r的 理 想 .定 理 表 明的 每 个leaplaca () ()1tt+1子式都在( ) t ia中，则有r的升理想链： ( )( )( )( ) 121rr iaiaiaiar l. 为了符号定义的方便，如下规定( ) t ia：对于tz ( ) ( )0t min t0 t ia r = 若 若 m,n 因此，有r的升理想链： ( )( )( )( )( )( ) 1121 0 rrr iaiaiaiaia + lr. 定义 3.1.33.1.3 2 设( ) m n amr ， 称非负整数( )()( ) ma 为的秩，记为. . x0 rt t annia= a( )ark 定义 3.1.43.1.4 2 设( ), m n amr 称非负整数( )( ) max0 t t ia 为的 秩，记为 a 1 rk( )a 1 rk. - 15 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 用表示当( )rank ar是域时，( ) m n amr 定义的秩,即为的极大 线性无关的行(列)的个数，此时， a ( )( )( )( ) 1 max0 t t iaa=rank ark. . 3.2 交换环上矩阵秩的几个结论交换环上矩阵秩的几个结论 引理 3.2.13.2.1 2 设( )( ), m pp n b