第七章灰色系统综合评价方法.doc

第七章 灰色系统综合评价方法 将灰色系统方法应用于多指标综合评价，也是目前实践中比较广泛的做法。从最近十多年的应用文献看，这一评价方法被广泛应用于环境质量综合评价、经济效益综合评价、社会发展评价、工农业生产工艺评价、医院管理与卫生统计评价等众多领域。相应的应用文献数量也不逊于其他综合评价方法。本章讨论基于灰色系统有关理论的综合评价方法及其应用 笔者认为，灰色系统方法应用于综合评价存在许多理论上有待进一步研究的问题。例如灰色系统白化权函数的构造问题，灰色关联系数的定义问题。笔者在对灰色系统综合评价方法的两点认识载于统计研究，2002年第10期一文中对之作了讨论。考虑到这一评价方法有较广泛的应用情况，故本书仍对之作简要的讨论。对于明显不合理的地方，笔者根据自己的研究作了改进。目前灰色系统理论的研究也有不少新的成果，这些成果如何应用于多指标统计指标评价，还有待于进一步的讨论。但是，必须引起注意的是：灰色系统综合评价方法虽然在形式上看有它一些专门术语或者概念，但从内涵看，它与模糊数学综合评判方法之间存在很大的相似性，这点从后文的讨论中可以看出。包括学术界提出的基于诸如“未确知测度”或者“属性集测度”等新兴学科分支的一些综合评价思路，都没有从本质上跳出模糊评判的思想。第一节 灰色系统综合评价方法概述一、灰色系统与综合评价灰色系统理论是我国邓聚龙教授于1982年创立的一种研究“少数据、贫信息不确定性问题”的新方法 1982年，北荷兰出版公司出版的系统与控制通讯（System & Control Letters）杂志刊载了华中理工大学邓聚龙教授的第一篇灰色系统论文“灰色系统的控制问题”（The Control Problem of Grey System）。同年，华中工学院学报刊载了邓聚龙教授的第一篇中文灰色系统理论论文“灰色控制系统”。这两篇论文被公认为灰色系统理论诞生的标志性成果。“灰色系统理论以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信息不确定性系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控” 刘思峰等灰色系统理论及其应用，科学出版社，2004。经过二十多年的发展，无论是理论水平还是应用层次，灰色系统理论均获得了很大的发展。其内容包括：灰色代数系统、灰色矩阵理论、灰色方程理论等基础理论；灰色序列及其生成方法、灰色关联及其测量方法、灰色模型（GM）及其参数估计方法等基本方法；灰色分析、灰色评估、灰色预测、灰色决策、灰色优化、灰色控制、灰色规划等应用技术。在灰色系统理论中，“灰数”是其基本细胞。所谓“灰数”，是指只知道大概范围而不知道确切数值的数，因此属于“部分信息明确、部分信息不明确”的情况，通常记为。与之相对应，就有“黑”和“白”两种极端：“黑”表示信息完全未知，“白”表示信息完全明确。“灰”显然就是介于“黑”与“白”两个层次之间的中间状态。按照系统理论的表达，基于灰数的信息系统就可称为“灰色系统”。灰数并不是一个数，而是一个数集或者区间。所以，灰数通常表述为：的形式。例如，A企业资金利润率为10%左右，B企业资金周转速度（年）介于5至6次之间，则可分别用灰数表达为：和。显然，这两个灰数所表达的信息是“不完全明确”的。或许是通过非全面调查获得上述“灰数”，或者是通过统计估算推算出上述“灰数”。假设采用全面调查，且没有登记性误差，最后便可获得A企业准确的资金利润率数值（假设为XA）或者B企业确切的资金周转速度值（假设为XB），则最后的确切值就是“白化值”，“灰数”向“白数”转化的过程称为“白化”。如果将灰数的白化过程一起用符号来表示，则通常用表示以x为白化值的灰数，用或者表示灰数的白化值，即。不同的灰数有不同的背景，从而有不同的信息含义。在灰色系统理论中，可以通过对灰数进行白化处理，实现灰数信息描述的清晰化。一般来说，对于区间灰数，其白化值通常定义为：这实际上是取灰数区间两端的加权算术平均值作为灰数的白化值，称为“等权白化”。特别地，当权重取1/2时，称为“等权均值白化”。但在大多数灰色系统中,灰数白化过程并非等权的。因此，对于区间灰数，其白化值x取值虽然介于区间a,b，但取不同值的“可能性”却不完全相同。于是，用f（x）来表示（或x）取不同值的权，称f（x）为灰数的白化权函数（简称白化函数）。白化权函数刻画了灰数在取值区间之内的“偏好”程度。它构成了灰色系统理论的两大基础之一。对于多指标分类综合评价而言，当按单项指标对评价对象的价值水平进行分类时，通常是将各指标按其实际取值情况划分为若干个不同的区间段，不同区间段属于不同的“灰类”。显然，每一区间段实际上就是一个“信息不完全明确”的灰数。例如，一个地区的人均GDP低于3000美元时，属于“竞争力弱”（记为灰类1）；当人均GDP介于3000美元至5000美元之间时，属于“竞争力一般”（记为灰类2），当人均GDP介于5000美元至8000美元时，属于“竞争力较强”（记为灰类3）；当人均GDP超过8000美元以上时，属于“竞争力很强”（记为灰类4）。相应于这四个灰类，就有四个灰数：、。对于特定的被评价对象（地区），其人均GDP指标的具体取值实际上就是灰类上灰数的一个白化值。计算该白化值的“权”，便可以确定该地区“单项竞争力”偏好于特定灰类的“程度”。通过综合这些程度，便可以判断被评价对象区域竞争力强弱的类型。因此，灰色系统中的灰类划分（或灰色聚类），为多指标综合评价提供了一条新的思路。也就是说，把灰色系统理论与方法应用于多指标综合评价是可行的。二、灰色系统综合评价技术体系的基本归纳从目前多指标综合评价实践看，应用灰色系统方法进行综合评价，有许多不同的做法。有灰色排序评价，也有灰色聚类评价，还有评价中的因素分析；有单纯应用灰色系统方法进行评价，也有结合模糊数学、物元分析等学科或专家评价、多层次评价等思想进行灰色系统综合评价；有基于灰数的白化权函数进行综合评价，也有基于灰序列关联系数进行综合评价。不同文献在具体方法的阐述上也不完全相同，这一方面体现了不同应用者对灰色系统综合评价方法的不同认识，但另一方面也反映了这类综合评价方法还不够成熟，缺乏统一的提法。因此，理清这一类综合评价方法的基本技术类型，对于正确认识并应用这一类综合评价方法是有积极意义的。根据笔者对所掌握到的有关文献进行归纳，灰色系统排序综合评价与分类综合评价大致分为几种情况：第一种是基于白化函数所作的分类与排序评价，第二种是基于关联分析所作的排序评价，第三种是基于关联分析所作的分类评价（兼排序），第四种是同时基于白化函数与关联系数进行的排序与分类评价，第五种则是灰色系统方法与其他系统科学方法相结合的综合评价。可见，白化权函数与灰关联系数是灰色系统综合评价的两大基本理论支柱。图7-1给出了灰色系统综合评价的几种类型。本章只介绍其中16灰色系统综合评价方法的基本思路。类型完全基于灰色系统理论与方法的灰色系统综合评价方法混合其他新兴学科的思想与方法的灰色系统综合评价方法白化权函数灰色关联分析白化+关联混合Delphi 思想模糊数学物元分析 物元分析，现更名为“可拓学”，是广东工学院蔡文教授在研究解决不相容问题时提出的一门介于数学、思维科学、系统科学和哲学之间的边缘学科。其最早选题于1976年，1983年发表了首篇论文可拓集合和不相容问题。早期可拓学的主要研究内容有：物元理论、可拓集合、关联函数、问题理论。经过二十多年的发展，目前可拓论（包括可拓元理论、可拓集合、可拓逻辑）、可拓方法（包括发散树、分合链、相关网、蕴含系、共轭对等可拓方法和优度评价、真伪信息判别等评价方法及可拓变换、菱形思维方法、转换桥方法等）、可拓工程（可拓方法在工程技术、社会经济、生物警觉、交通环保等方面的应用）三大方面取得了较多的成果。拙著统计指标理论与方法研究（中国物价出版社，1998）一书曾讨论了物元分析在统计指标构造与评价中应用的可能性：可拓学中的物元与统计总体单位具有相同的含义，可拓变换思想可应用于统计指标变换，可拓学中的质度关联函数可用于对指标取值的变换（笔者曾按质度关联函数推导出“功效系数”公式）。排序评价1.基于白化权函数的排序综合评价3.基于灰关联分析的排序综合评价5.同时基于白化权函数与关联系数的排序综合评价7.Delphi灰色排序评价9.灰色模糊排序评价11.灰色物元排序评价分类评价2.基于白化权函数的分类综合评价4.基于灰关联分析的分类综合评价6.同时基于白化权函数与关联系数的分类综合评价8.Delphi灰色分类评价10.灰色模糊分类评价12.灰色物元分类评价 图7-1 灰色系统综合评价技术体系第二节 基于灰色系统白化权函数的综合评价技术一、基于白化权函数的灰色系统评价原理这是目前应用最多的一种“灰色系统评价方法”，也是邓聚龙教授最初提出的“灰色聚类”过程。其基本步骤是：第一步：建立综合评价指标体系（设有p个指标）。同时给出聚类灰类（设有m个灰类），灰类相当于模糊综合评价中的“评语等级”。例如，在对企业财务状态进行灰色系统评价时，可将每一项财务指标所反映的财务效益划分为“很高”、“较高”、“一般”、“较低”、“很低”等五个“灰类”。记第i单位第j指标的实际值为（；）。第二步：确定灰类的白化权函数。将第k项指标第j灰类的白化权函数记为（；）。这是关键的一步。白化权函数一方面表示灰数在指定区域内不同白化值的“可能性”，但另一方面也表明了第k指标隶属于第j灰类的程度，被称为“灰数的白化权函数”（许多书中简称为“白化函数”）。因此它相当于模糊数学中的隶属函数。对于灰数，其典型的白化权函数如图7-2所示 大多数灰色系统评价方面的应用文献所采用的白化权函数都是梯形或者三角形函数。并且，每一灰类白化函数都是从“原点”出发。这其实是不确切的。笔者在对灰色系统综合评价方法的两点认识载于统计研究，2002。一文中对之作了专门的讨论拙著多指标综合评价理论与方法研究（中国物价出版社，2001）也对此有专门的证明：基于整个定义域来构造所有灰类的白化权函数是不妥当的，同时提出了应该采用模糊数学中隶属函数构造方式来确定白化权函数。刘思峰教授所给出的灰数白化权函数定义基本上符合笔者的意见，只是没有注意到白化值在不同灰类之间的“可能性”之和应该满足“归一化要求”。本书采用了刘教授对白化函数所作的基本定义，同时作了一些修改。 f（x） f（x） 1.0 L（x） R（x） L（x） R（x） 0 a b c d x a b c d x（a）白化权函数的一般形态 （b）梯形白化权函数图7-2 白化权函数的典型形态对应于图7-2（a）,白化权函数基本形式是：L（x）是左增函数，R（x）为右减函数。中间平顶部分为峰区。当b=c时，峰区即为一尖点。对应于图7-2（b）,白化权函数基本形式是（这是最常见的梯形函数）：这是实践中最常见的梯形白化函数。当b=c时，即为“三角形白化函数”。由于灰类的划分通常是基于单项指标坐标轴之上的一种不相交的完备划分（任何两个灰类灰数之间的交集为空集，所有灰类灰数的并集为全集）。因此如果直接基于这种灰数区间构造白化函数，将会出现评价中的“断层”现象：相邻两个灰数之间的白化权函数值将为零，呈现出如图7-3的不合理情形： f（x） a1 a2 a3 x 图7-3 不合理的白化权函数图形笔者认为，灰类白化权函数本质上应该定义为一种“隶属度”，因此应该采用模糊数学中的隶属函数来定义。图7-4的白化权函数才是符合要求的 刘思峰教授在讨论“灰色聚类评估”时，给出的白化权函数基本上类似于图7-4。只是没有注意到“归一化”，但给出了灰类的新的表达形式：用四个转折点描述灰类，同时给出了三角白化权函数的一般公式。这是很大的进步。参见刘思峰等著：灰色系统理论及其应用，第96124页，科学出版社，2004。f（x） 0.5 a1 /2 a1 （a1 +a2）/2 a2 （a2 +a3）/2 a3 a3 + （a3 a2）/2 x 图7-4 基于模糊数学思想的灰数白化权函数按图7-4的灰类白化权函数定义，则需要对灰类的灰数表达方式进行改进。笔者认为，灰类灰数一般应该由六个关键点构成。设某单项评价指标的坐标轴上划分为m个灰类，记为（类）（）。除首尾两个灰类，中间各灰类的六个关键点分别为（这里假定每一灰类白化函数的“顶部”是呈“平台”形态的，“尖顶”只是其特例）：则灰类灰数的完整表达应为：对于和，关键点为三个，则可表述为：和当采用三角形函数时，有。对于形如图7-4的灰类，相应白化权函数（折线型）为： 读者在实际的评价问题中，可根据实际情况选择相应的白化权函数形式（可以是非线性的，具体做法与模糊综合评价类似）,也可以根据实际情况分别确定各个“关键点”（图7-4只是基于“中点对称”或者“均匀分布”的思路确定关键点的一种方式，但不是唯一的方式）。第三步：求出指标的权重。邓聚龙教授最早提出的是“标定聚类权”（又称“可变聚类权”），但从多指标综合评价本身的要求看，指标重要性权数也是非常必要的。因此，实践中除采用“标定权数”或其修正形式之外，也有人直接采用了“重要性权数”（又称“固定聚类权”）。标定聚类权的计算采用下式： （）式中，ij是第j灰类第i指标的“标定权重”，即1j、2j、3j、pj构成了p个指标关于某j灰类的权重。显然，ij为第i指标第j灰类白化函数取1时（即“顶点”）对应的xij值，它实际上是各灰类灰数中的一个临界点。当白化函数为尖顶形时（如图7-4），每一指标每一灰类的ij是唯一确定的（白化函数处于尖顶时的x值），但当白化函数为平顶时，通常取平顶区域的上限值作为ij。显然，在多指标综合评价中，各指标的量纲常常是不完全相同的，这时必须对原始变量先作同度量化处理，根据选定的同度量化方法将xij转化为同度量值，然后再计算“标定权重”。同度量化方法很多，第三章提到的有关思想都可以使用。笔者认为，也可以采用重要性权重甚至标定权重与重要性权重的组合权重进行灰色系统评价。若记重要性权重为w1、w2 、w3、wp，则组合权重为：乘法组合：（）加法组合：（）当重要性权重时（乘法组合），或者时（加法组合），上式即为“标定权重”。当标定权重时（乘法组合），或者时（加法组合），上式即为“固定权重”。第四步：计算聚类系数bj，确定聚类向量。第j类的聚类系数定义为： （）即为第j灰类各指标的白化权函数值的加权算术平均 不难看出，既然灰色系统聚类评估中的基本思想是“模糊数学”，那么bj的含义与模糊合成中的B向量元素之含义是相同的，从而第六章中有关的幂平均合成思想此处同样是适用。另外，“标定权数”的物理含义不够明确，“标定权重”的大小取决于每一指标的值，它既与指标的实际重要性无关，也与指标的区分能力无关，撇开量纲，只取决于“峰值”本身的大小，而这一权数含义并不符合综合评价与多目标决策之要求。因此，笔者建议实践中采用“固定权数”进行加权。若将各指标在各灰类之下的白化权函数值用矩阵表示，记为R，即且第j列元素构成的向量（即各指标在第j灰类之下的白化权函数值）记为：各指标在各灰类之下的灰色聚类权矩阵W为：且第j列元素构成的向量（即第j灰类各指标的灰色聚类权）记为：（）于是，灰色聚类系数（即加权合成值）为：（）第五步：进行灰色系统聚类评价。记，则与模糊聚类评价类似，可以根据“最大隶属原则”进行聚类。若则该单位被判别为“c灰类”。但当“最大隶属原则”失效时，采用点值进行灰类识别更加合理。 第六步：若需要进行综合评价排序，则将B转化为点值y，即 式中，tj为第j灰类的“灰水平”赋值。根据每个单位的y值大小就可以进行综合评价排序，其赋值原则与模糊综合评价类似。二、灰色系统白化权函数在综合评价中的应用例7-1在医院管理统计工作中，经常采用各种多指标综合评价技术对各级医院的管理水平进行统计评估。设某地区（市）下辖5个县级医院，拟采用四项指标进行评价：人均收入（元/人）、人均门诊服务量（次/人）、百元固定资产收入率（元/百元）、病床使用率（%）。表7-1是五个医院四项指标的实际数。同时，将医院效益划分为四个灰类：“高效益”（灰类1）、“较好效益”（灰类2）、“一般效益”（灰类3）、“低效益”（灰类4） 本例源自中国医学统计百科全书统计管理与健康统计分册5359页关于“灰色系统法”条目中的一个例子，笔者作了修改。可参阅苏颀龄主编：统计管理与健康统计分册，人民卫生出版社，2004。表7-1 五个县级医院4项效益指标白化值及均值化结果县级医院人均收入（元/人） x1人均门诊服务量（次/人） x2百元固定资产收入率（元/百元） x3病床使用率（%） x4实际值均值化实际值均值化实际值均值化实际值均值化12345168011201180125014201.26320.84210.88720.93981.06778107406007709401.04920.95850.77720.99741.21761201701751801650.74071.04941.08021.11111.018575788976820.93750.97501.11250.95001.0250平均值13301.00007721.00001621.0000801.0000各指标各灰类的灰数为：关于“高效益”灰类，各指标的一般灰数（顶点）表达为：关于“效益较高”灰类，各指标的一般灰数（顶点）表达为：关于“效益一般”灰类，各指标的一般灰数（顶点）表达为： 关于“效益低”灰类，各指标的一般灰数（顶点）表达为：要求采用灰色系统评价技术进行综合评价，对五个医院的效益类型进行识别，同时作出排序评价。解答本例拟采用灰色系统理论中最常用的三角形白化权函数进行评价。如果采用前面提出的灰类灰数六要素表达方式，则上述各灰类灰数表达为：关于“高效益”灰类，各指标灰数表达为：关于“效益较高”灰类，各指标灰数表达为：关于“效益一般”灰各指标灰数表达为类： 关于“效益低”灰各指标灰数表达为类：各指标白化权函数形式如图7-5至图7-8所示，相应的白化权函数列于图下方。f1j （x1） 1 0.5 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 x1 图7-5 医院人均收入指标的白化权函数f2j （x2） 1 0.5 600 650 700 750 800 850 900 x2图7-6 医院人均门诊服务量指标的白化权函数f3j （x3） 1 0.5 120 130 140 150 160 170 180 图7-7 百元固定资产收入率指标的白化权函数F4j （x4） 1 0.5 60 65 70 75 80 85 90 x4 图7-8 病床率指标的白化权函数将表7-1中的实际值代入上述白化权函数，可计算各医院四项指标不同灰类的白化权值。结果如表7-2所示。表7-2 五个医院经济效益白化权函数值及聚类权医院指标灰类的白化权值效益高效益较高效益一般效益低1X1X2X3X41.000.100.000.000.000.900.000.500.000.000.000.500.000.001.000.002X1X2X3X40.000.000.500.000.000.400.500.800.000.600.000.201.000.000.000.003X1X2X3X40.000.000.750.900.000.000.250.100.000.000.000.001.001.000.000.004X1X2X3X40.000.001.000.000.000.700.000.600.500.300.000.400.500.000.000.005X1X2X3X40.201.000.250.200.800.000.750.800.000.000.000.000.000.000.000.00根据各灰类的“阀值”（顶点），可以计算出每一灰类的“标定聚类权”。由于各指标的量纲不同，因此“标定权重”计算需要采用标准化的结果。未经同度量化的灰类阀值矩阵为：采取均值化处理，即有：高效益 效益较高 效益一般 低效益按列归一化，即可得到如下的“标定聚类权” 尽管笔者建议不采用“标定聚类权重”，但为了便于读者全面了解实践中灰色系统评估的原貌，本例仍然包括了“标定权”。本例基于均值化处理之后的标定聚类权差异很小，这也在一定程度上从另一个角度说明了标定聚类权并没有太大的加权价值。有兴趣的读者可以对本例数据采用“标定聚类权”进行聚类评价。高效益 效益较高 效益一般 低效益假设各指标的重要性权重wi（采用第四章的某种权数方法构造，如AHP法）依次为：35%、20%、30%、15%，采用加法混合权重，即有： 高效益 效益较高 效益一般 低效益于是，可以计算各个医院灰色系统聚类系数。以第一个医院为例，由表7-2知：高效益 效益较高 效益一般 低效益从而，第一个医院的聚类系数向量为：类似地，也可计算出其余四家医院的“聚类系数向量”，分别为：从上述5个聚类系数向量可以看出，由于各医院不同指标方面效益差异很大，导致合成值离中趋势很大，“最大隶属原则”并不合适，故应该转化为点值进行评价。如果将“高效益”灰类量化为100分，“效益较高”灰类量化为80分，“效益一般”灰类量化为60分，“低效益”灰类量化为30分，则可计算出各医院经济效益综合得分值：五个医院效益排序为（第一名至第五名）：医院5、医院4、医院1、医院2、医院3。按择近原则判断灰类为：医院5、医院4、医院1为“效益较高类”，医院2、医院3为“效益一般”类。第三节 基于关联系数的灰色综合评价技术一、基于灰关联系数的排序评价原理及其应用1基于灰关联系数的排序评价原理这一灰色评价思想是借助于灰色系统理论中的一个重要概念灰色关联系数而独立设计的。假设已经获得被评价对象的有关数据，则这一评价技术的基本步骤为：第一步：构造“参考序列”。 所谓参考序列，是指由评价指标体系各指标的标准值所构成的一个序列，是作为判断被评价对象价值水平的一个参照系，可以视为一个虚拟的被评价单位。通常是由样本指标中的极值构成参考序列。若第i单位p项指标的实际值序列为：（）则参考序列记为：其中“标准值”（）通常是取该项指标的“最优值”（理想值或者最大目标值）。如果参评单位个数较多，也可取样本资料中的最优值。即： （）对于适度指标，则需要作“单向化处理”。也有文献提出同时使用两个参考序列，即最优参考序列：最劣参考序列：显然，此时的参考序列值确定方式如下： （） （） 第二步：对指标进行无量纲化处理。本书第三章中大多数当量化函数均可采用。但目前有关灰色系统评价方法文献中较多的是采用“极值化”。我们把经过无量纲化处理的各序列为：（）、 刘思峰教授等提出了“序列算子”的概念。把“初值化”、“均值化”、“极差变换”、“逆变换”、“倒数变换”等无量纲化方法分别称为“初值化算子D1”、“均值化算子D2”、“区间值化算子D3”、“逆化算子D4”、“倒数化算子D5”，并且把经过无量纲化处理的结果称为“像”。每一个评价对象与“参考序列”之间存在着偏差，于是可计算如下的序列差： （；）记（），它是样本单位实际价值水平离参考水平（通常是最优水平）的绝对距离序列。即： （；）对于两个参考序列，则有相应的两个绝对偏差：最优偏差： （；）最劣偏差： （；）相应的序列为： （） （）第三步：计算第i单位第k指标与参考序列相比较的关联系数i（k）。i（k）是这一类灰色综合评价技术的关键。根据邓聚龙教授的最初定义，也是目前人们应用最多的一个定义： （；）式中，与分别为所有单位所有指标与参考序列之间的绝对差距中的最小值与最大值；为第i单位第 k指标与参考序列之间的绝对差距；为分辨系数，一般取。有关符号写成计算公式为： 显然，关联系数仍然是一个序列，第i单位与相应各参考序列的“关联系数序列”可分别记为： （） （） （）可见，与成反比：i单位与参考序列水平越接近，越小，但越大。第四步：根据关联系数序列，计算关联度，并据之进行综合评价排序。很容易看出，关联系数序列反映了一个评价对象在各单项指标上偏离“目标”的相对程度，若将这些相对偏差加以统计综合（合成），即可获得对整个序列“偏离”目标程度的综合测量，因此灰色关联度正是刻画序列“总的相对偏差”程度的指标。由于不同指标在评价体系中的作用不同，因此关联度也可以通过加权的方式计算。通常的关联度定义是采用算术平均方式 根据统计学理论可知，既然总关联程度是关联系数的统计平均或者合成，则算术平均显然不是惟一的方式。因此，理论上看，肯定存在无穷多个计算总关联度的公式。不同性质的序列，也可以有不同类型的关联度计算公式，因此在灰色系统理论中，还有斜率关联度、速率关联度、B型关联度、灰色点关联度等多种不同的公式。详细内容参阅有关灰色系统理论方面的论著。，即：（）即将第i单位全部指标的关联系数进行加权平均，称为“灰色关联度”。其中权数wk是指标k的重要性权重。直接利用即可进行排序综合评价。越大，表示该单位与“最优目标值”越接近（关联程度越高），因此名次越在前。当采用“最优”、“最劣”两个参考序列时，则需要计算相应的“优关联度”与“劣关联度”。其计算公式分别为： （） （）将“优关联度”与“劣关联度”综合考虑，即有“综合关联度”，即 采用“最优”、“最劣”两个序列进行的灰色关联分析综合评价，实际上是借用了决策中的TOPSIS思想。： （）用值即可对所有单位的价值水平进行排序。越大，表示离“最优目标”越近，名次越靠前。2基于灰关联系数的排序评价方法应用例7-2续前例，拟采用灰关联系数分析技术对五个基层医院效益水平进行排序。解答以各指标的最优值作为“参考序列”（双参考序列法留给读者作为练习完成）。全部指标先采用“均值化”进行同度量化（见表7-1）。有关序列如下：医院1：医院2：医院3：医院4：医院5：参考序列：相应的序列差（各医院与最优参考序列之间的绝对偏差）为：根据离差序列，可获得：取，则有关联系数公式：将各医院偏差序列代入上述公式，便可获得相应的“关联系数序列”。以医院1为例：其余医院关联系数序列计算与之类似。结果如表7-3所示。采用加权算术平均公式，取固定权重为0.35、0.2、0.3、0.15，则可计算相应的关联度。类似地，也可计算其他医院的关联度，结果如表7-3所示。表7-3 五个医院关联度排序评价结果评价指标（）权重（%）关联系数医院1医院2医院3医院4医院51.医院人均收入x12.医院人均门诊服务量x23.百元固定资产收益率x34.病床率x4353530151.00000.56670.37290.55720.34340.45950.78100.61560.36940.33330.87711.00000.40510.50001.00000.57540.52971.00000.70400.7156综合关联度（关联系数的加权算术平均值）0.65880.53870.60910.62810.7039综合评价排序名次25431从最后结果看，五家医院效益综合评价排序结果是（第一名至第五名）：医院5、医院1、医院4、医院3、医院2。二、基于灰关联系数的分类评价（模式识别）原理及其应用 1灰关联聚类评价的基本原理目前有一些文献采用灰色关联分析进行的灰色聚类评价。从综合评价的一般理论看，灰色聚类评价同样也应该有“无师分类”（聚类）与“有师分类”（识别）两种。灰关联系数既可以测量样品序列之间的“相像”程度，也可以计算变量或者因素序列之间的联系程度，因此完全可以基于灰关联度构造聚类分析矩阵（聚类统计量），采用多元统计中的聚类方法或者模糊数学中的聚类方法便可以进行聚类分析 实践中人们通常应用灰色关联分析进行“类型识别”。但灰色系统理论中的“优势分析”实际上类似于“指标聚类”。由于这种聚类评价与第五章、第六章有关内容没有太多的区别，因此本书不作讨论。读者可以自己根据“灰关联度矩阵”尝试真正意义上的“灰色聚类”分析。同时，也可以引入模糊数学中的模式识别思路，对评价对象的价值水平类型（灰类）进行判断。基于灰色关联分析的灰类识别评价技术的基本步骤为：第一步：对每一指标划分“灰类”，并给出每一指标在每一灰类之下的“标准模式值”。仍然记第i个单位的p项指标构成的序列为： （）其无量纲化之后的序列记为：（）记第k类的参考序列（灰类的标准值）为：经过无量纲化之后：一般来说，各“灰类参考序列”可以用每一灰类的白化权函数“顶点”时的变量值构成。设第j指标k灰类的灰区间表示为，则： （；）其中，一般令。此时即以灰色区间的中点值来构造“参考序列”。对于“开口式”的“上界灰类”与“下界灰类”，读者可以按照统计学中处理“开口组”组中值的方式确定参考值（按邻组组距推算）：下界灰类中点=（下界灰类上限邻组组距）2；上界灰类中点=（上界灰类下限+邻组组距）2。第二步：计算第i单位各指标与各灰类标准序列之间的关联系数。记第i单位与第k灰类之间的关联系数序列为： （；） （；）式中有关符号含义基本同前，为分辧系数，一般取。 （；）记第i单位各指标与k灰类之间的绝对偏差序列为： （；）第三步：计算第i单位关于第k灰类的灰色关联度，得到该单位的灰关联度向量。（；）式中，为重要性权重。第四步：采取“择大原则”对各被评价单位所属“灰类”进行综合识别。若，则认为i单位的整体水平属于C类。2基于灰关联分析的聚类评价技术的应用例7-3 本例最简单的类别确定方法是通过计算每一学生的“总分”或者“平均分”。用分值来判断学生的品德类型。当然，“总分”的计算却有许多方法可采用。第三章有关合成方法均可使用，此处只是想用来说明这一类灰色评价方法的实际使用原理。 从上述对关联系数计算过程的描述可以看到，灰关联系数的基本内容是：无量纲化结果与标准值计算绝对离差，然后对离差结果再作一次倒数化逆变换得到关联系数，这一过程本质上仍然是无量纲化变换。最后的关联度实质上就是上述无量纲化结果的“算术平均值”。因此，从这个角度看，灰色系统评价与当量平均法也是类似。对学生的思想品德进行测评，并不是社会主义国家所特有的。欧美等西方国家同样实施对学生的品德测评。假设某一品德评价体系由“学习勤奋努力程度”、“遵纪守法状况”、“卫生习惯”、“集体荣誉感与参与程度”、“诚实守信”、“待人礼貌与尊敬师长”等项目（指标）构成。所有项目都是经过多渠道评分及日常记录评分确定。假设有八名学生的品德测评结果如表7-4所示。同时，把学生品德水平划分为四个类别：优秀、良好、合格、不合格。各类别的单项测评分值界限为：90100分，8090分，6080分，60分以下。要求对表7-4所列八名学生的品德类型进行识别。表7-4 学生品德测评结果项目学习勤奋努力程度遵纪守法状况诚实守信集体荣誉感与参与程度待人礼貌与尊敬师长卫生习惯权重10%30%30%10%15%5%学生（原始数据）12345678857895658896758586759285909685909089909592988590688585958888708875759585859070909092859582889085解答若取各灰类的中点位置作为六个评价项目的“参考序列”元素（由于原始数据已经是同度量的，因此不需要再作无量纲化处理），则有：可计算每一位学生与此四个参考序列的“偏差序列”，即各学生的实际值序列与上述四个参考序列的绝对离差。以学生1为例，有：其余各学生品德测量与标准（参考）序列之间的绝对偏差序列留给读者自己完成。 取分辨系数，则有以下的关联系数公式：以学生1与第一个灰类参考序列相应指标的关联为例，有：类似地，可计算出学生1与其余三个灰类之间的关联序列，结果如下：于是，学生1关于第各灰类（优秀）的加权灰色关联度为：表7-5 八位学生品德水平类型的灰色关联技术评价学生与类型各变量（指标）与参考序列绝对离差关联系数关联度类型C学生1优良合不100153591163655204027172182010525552040.70591.6154.4068.7273.9600.6000.4000.8276.8276.5455.3750.4706.5854.9231.5714.5455.7059.8276.4898.8276.8276.5455.3750.68406.81774.67616.43633良好学生2优良合不177828201052564193910015352010525372242.5854.7742.7500.4615.5455.7059.8276.4898.8000.8571.5581.3810.70591.6154.4068.5455.7059.8276.4898.8889.7742.5217.3636.67851.80288.68341.43208良好学生3优良合不01025453722425520401001535010254510015351.7059.4898.3478.8889.7742.5217.3636.8276.8276.5455.3750.70591.6154.40681.7059.4898.3478.70591.6154.4068.85471.83559.54626.37464优秀学生4优良合不302051510015350102545010254510015350102545.4444.5455.8276.6154.70591.6154.40681.7059.4898.34781.7059.4898.3478.70591.6154.40681.7059.4898.3478.80937.77718.58796.41207优秀学生5优良合不73183855204037224273183810015351331232.7742.8889.5714.3871.8276.8276.5455.3750.8889.7742.5217.3636.7742.8889.5714.3871.70591.0000.6154.4068.6486.8889.6667.4286.76990.87807.58202.39136良好学生6优良合不111264611126463132848731838552040731838.9600.6857.4800.3429.9600.6857.4800.3429.8889.6486.4615.3333.7742.8889.5714.3871.8276.8276.5455.3750.7742.8889.5714.3871.86414.77091.51831.36137优秀学生7优良合不20105251001535100153525150202515020552040.5455.7059.8276.4898.70591.6154.4068.70591.6154.4068.4898.61541.5455.4898.61541.5455.8276.8276.5455.3750.62740.79404.76730.46154良好学生8优良合不10015355520405520407318385520401001535.70591.6154.4068.8276.8276.5455.3750.8276.8276.5455.3750.7742.8889.5714.3871.8276.8276.5455.3750.70591.6154.4068.77812.89528.57309.38761良好由“择大原则”，有：故评价结论认为学生1的品德水准属于“良好”一类。类似地，学生2至学生8的品德类型判断结论是：学生2、学生5、学生7、学生8品德测