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文档简介

第二讲 函数的极限一 内容提要1.函数在一点处的定义使得，有.右极限使得，有.左极限使得，有.注1 同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性注2的存在性（以为例）：在数列的“”定义中，我们曾经提到过，的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的无关紧要；对也是如此，只要对给定的，能找到某一个，能使时，有即可 注3讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究是否无限趋近于注4注，有，称为归结原则海涅（Heine）定理它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题（会叙述，证明，特别充分性的证明）注6，有2函数在无穷处的极限设在上有定义，则使得，有使得，有使得，有注注，有函数的有界设在上有定义，若存在一常数，使得，有，则称在上有界无穷大量使得，有使得，有类似地，可定义，等注若，且和，使得，有，则特别的，若，则无穷小量若，则称当时为无穷量注1 可将改为其它逼近过程注2 ，其中由于有这种可以互逆的表达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代注3 ，在的某空心邻域内有界，则注4 ，且当足够大时，有界，则注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量6 函数极限的性质以下以为例，其他极限过程类似（1），则极限唯一（2），则，使得，有（3），且，则，使得，有 注 这条性质称为函数的“局部保号性”在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍（4），且当时，则（5），则 （）要求：进行运算的项数为有限项；极限为有限数7 夹逼定理若使得，有，且，则8 Cauchy收敛准则函数在的空心邻域内极限存在使得，当，时，有9 无穷小量的比较设，且，则（1）当时，称为的高阶无穷小量，记作；（2）当时，称为的低阶无穷小量；（3）当且时，称为的同阶无穷小量特别的，当时，称和为等价的无穷小量，记作 注1 上述定义中，自变量的变化过程也可用，之一代替注2 当时，常见的等价无穷小有：，注3 在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换因为：若（），则或 （为某逼近过程）而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果注4 在某一极限过程中，若为无穷小量，则在此极限过程，有 10 两个重要极限（1）； （2）二、典型例题例 用定义证明下列极限：（1）；（2）例，证明：（1）若，则有；（2）例设是上的严格严格单调函数，又若对（），有，试证明：例函数在点的某邻域内有定义，且对（），且（），有，证明：例 设函数，满足（），且 （）则 （）问：在题设条件下，是否有？答：否如例 设函数在上满足议程，且，则 （）例 求下列函数极限（1）（）； （2）（）；（3）例 求下列极限（1）；（2）；（3）例 求下列极限：（1
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