常微分方程考研讲义

第一章 绪论 教学目标 1 理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。 2 掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤。 3 理解积分曲线和方向场的概念。 教学重难点 重点微分方程 的基本概念 ，难点是积分曲线和方向场。 教学方法 讲授，实践。 教学时间 4 学时 教学内容 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场； 建立 常微分方程 模型 的具体方法。 考核目标 常微 分方程及其解的概念，会建立常微分方程模型。 1 微分方程模型 1、 微分方程的产生和发展 常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产 生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。 该课程是与微积分一起成长起来的学科， 是 学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。 300 多年前， Newton 与 Leibniz 奠定微积分基本思想的同时 ,就正式提出了微分方程的概念 . 17世纪末到 18世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式 . 19世纪末到 20世纪处 ,主要研究解的定性理论与稳定性问题 . 20世纪进入新的阶段 ,定性上升到理论 ,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法 . 解析方法 :是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数 . 几何方法 :(或定性方法 )把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族 . 数值方法 :求微分方程满足一定初始条件 (或边界 )条件的解的近似值的各种方法 . 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨 论过微分方程的近似解。 牛顿 在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布 贝努利、 欧拉 、法国数学家 克雷洛、 达朗贝尔 、 拉格朗日 等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是 和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利 用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。 2、 微分方程模型 微分方程是 数学联系实际问题的重要渠道之一 ,将实际问题建立成微分方程模型最初并不是数学家做的 ,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。 例 1 物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中，在时刻 0t 时，测得 它的温度 为0 150u ， 10 分钟后 测得温度为1 100u .确定物体的温度与时间的关系 ,并计算 20 分钟后物体的温度 .假定空气的温度保持为24au . 解 设物体在 时刻 t 的温度为 ()u u t ,由牛顿 (Neweon)冷却定律可得 ( ) ( 0 , )aadu k u u k u udt (1.1) 这是关于未知函数 u 的一阶微分方程 ,利用微积分的知识将 (1.1)改为 adu k d tuu (1.2) 两边积分 ,得到 l n ( ) au u k t c c 为任意常数 令 cec ,进而 ktau u ce (1.3) 根据初始条件 , 当 0t 时 , 0uu, 得常数0 ac u u 于是 0()ktaau u u u e (1.4) 再根据条件 10t 分钟时 ,1uu,得到 1010() kaau u u u e 011 ln10 aauuk uu 将011 5 0 , 1 0 0 , 2 4au u u 代入上式 ,得到 1 1 5 0 2 4 1l n l n 1 . 6 6 0 . 0 5 11 0 1 0 0 2 4 1 0k 从而 , 0 .0 5 12 4 1 2 6 tue (1.5) 由方程 (1.5)得知 ,当 20t 分钟时 ,物体的温度2 70u ,而且 当 t 时 , 24u . 温度与时间的关系也可通过图形表示出来 .如图 (1.1). 可解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了 .事实上，经过 2 小时后，物体的温度已变为 24 ，与空气的温度已相当接近 .法律破案判断尸体的死亡时间就是用这一冷却过程的函数关系来判断的 . 实际问题的信息 数学模型 抽象 、简化 数学模型解 答答 求解 实际问题 验证 解释 例 2 动力学问题 物体由高空下落 ,除受重力作用外 ,还受到空气阻力的作用 ,空气的阻力可看作与速度的平方成正比 ,试确定物体 下落过程所满足的关系式 . 解 设物体质量为 m ，空气阻力系数为 k ，又设在时刻 t 物体的下落速度为 v ,于是在时刻 t 物体所受的合外力为 2F m g kv,建立坐标系 ,取向下方向为正方向 ,根据牛顿第二定律得到关系式 2dvm m g k vdt (1.6) 而且 , 满足初始条件 0t 时 , 0v (1.7) 例 3 电力学问题 在 如图 (1.2)所示 的 R L C 电路 ,它包 括 电感 L 、 电阻 R 和电容 C .设 R 、 L 、 C 均为常数 ,电源()et 是时间 t 的已知函数 ,建立 当开关 K 合上后 ,电流 I 应满足的微分方程 . 解 经过电感 L 、电阻 R 和电容 C 的电压降分别为： dILdt、 RI 和 QC，其中 Q 为电量，由基尔霍夫第二定律得到 () d I Qe t L R Id t C （ 1.8） 因为 dQIdt，于是有 221 ( )d I R d I I d e td t L d t L C L d t （ 1.9） 这就是电流 I 应满足的微分方程 .如果 ()et =常熟，得到 22 0d I R d I Id t L d t L C （ 1.10） 如果又有 0R ，则得到 22 0d I Id t L C （ 1.11） 例 4 人口模型 英国人口统计学家马尔萨斯（ Malthus）在 1798 年提出了闻名于世的 Malthus 人口模型的基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记此常数为 r （生命系数） . 在 t 到 tt 这段时间内人口数量 ()N N t 的增长量为 ( ) ( ) ( )N t t N t r N t t （ ( ) ( )1,()N t t N ttr Nt ） 于是 ()Nt 满足微分方程 dN rNdt （ 1.12） 将上式改写为 dN rdtN 于是变量 N 和 t 被“分离”，两边积分得 ln N rt c rtN ce （ 1.13） 其中 cce 为任意常数 .（因为 0N 也是方程（ 1.17）的解 . 如果设初始条件为 0tt时 ,0()N t N （ 1.14） 代入上式可得 00 rtc N e， .即方程（ 1.17）满足初值条件（ 1.19）的解为 0()0() r t tN t N e （ 1.15） 如果 0r ，上式说明人口总数 ()Nt 将按指数规律无限增长 .将时间 t 以 1 年或 10 年离散化，那么可以说，人口数是以 re 为公比的等比数列增加的 . 当人口总数不大时，生存空间、资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的 .但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实；环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以Malthus 模型在 ()Nt 很大时是不合理的 . 荷兰生物学家 Verhulst 引入常数mN（环境最大容纳量）表示自然资源和环境条件所容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为 ()1mNtrN，即净相对增长率随 ()Nt 的增加而减少，当 ()mN t N时，净增长率 0 . 按 此假定，人口增长的方程应改为 1md N NrNd t N （ 1.16） 这就是 Logistic 模型 .当mN与 N 相比很大时， 2mrNN与 rN 相比可以忽略，则模型变为 Malthus 模型；但mN与 N 相比不是很大时， 2mrNN这一项就不能忽略，人口增长的速度要缓慢下来 .我们用 Logistic 模型 .来预测地球未来人数，某些人口学家估计人口自然增长率为 0.029,r 而统计得世界人口在 1960 年为 29.8 亿，增长率为 1.85%，由 Logistic 模型 .（ 1.21），有 82 9 . 8 1 00 . 0 1 8 5 0 . 0 2 9 1mN ，可得 8 2 .3 1 0mN ，即世界人口容量 82.3 亿，以（ 1.21）式右端为二项多项式，以2mNN 为顶点，当2mNN时人口增长率增加；当2mNN时人口增长率减少，即人口增长到 84 1 .1 5 1 02mN 时增长率将逐渐减少 .这与人口在20 世纪 70 年代为 40 亿左右时增长率最大的统计结果相符 . 小结：从以上的讨论可以看出，将实际问题转化为数学模型这一事实，这正是许多应用数学工作者和工程应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据 .以上我们只举出了常微分方程的一些简单的实例 ,其实在自然科学和技术科学的其它领域中，都提出了大量的微分方程问题 .所以说，社会的生产实践是微分方程理论取之不尽的基本源泉 .此外，常微分方程与数学的其它分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互相促进 .例如，几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具 . 考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学基础课程，我们自 然应该注意它的实际背景与应用； .而作为一门数学基础课程，我们又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上 .因此，在学习中，不应该忽视课程中所列举的实际例子以及有关的习题，并从中注意培养解决实际问题的初步能力 .但是，按照课程的要求，我们要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法这两方面来，这是本课程的重点，也是我们解决实际问题的必要工具 .而解决的过程为：（ 1）建立方程 ；（ 2）求解方程 ；（ 3）分析问题 .关键的是第一步，即对所研究问题，根据已知定律公式以及某些等量关系列出微 分方程和相应的初始条件 .如果指出了由微分方程所确定的未知函数的求法，那么未知量间的关系便找到了 .寻求微分方程所确定的未知函数是微分方程理论的基本问题 . 2 基本概念 1、 常微分方程和偏微分方程 微分方程：将自变量、未知函数以及它 的导数联系起来的关系式 . 常微分方程： 只含一个自变量的微分方程 . 偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程 . 方程 22 ()d y d yb c y f td t d t （ 1.17） 2 0d y d ytyd t d t （ 1.18） 22 s i n 0d y g yd t l （ 1.19） 是常微分 方程的例子， y 是未知函数， 仅含一个自变量 t . 方程 2222 2 2 0TTTx y z （ 1.20） 224TTxt （ 1.21） 是偏微分方程的例子， T 是未知函数， , , ,x y z t 是自变量 . 微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数 . 例如 ，方程（ 1.17）、（ 1.19）是二阶的常微分方程，而方程（ 1.20）、（ 1.21）是二阶的偏微分方程 . 一般的 n 阶微分方程具有形式 ( , , , , ) 0nnd y d yF x y d x d x （ 1.22） 这里 ( , , , , )nnd y d yF x y d x d x是 x 、 y 、 dydx 、 nndydx 的已知函数，而且一定含有 nndydx ； y是未知函数， x 是自变量 . 2、线性和非线性 如果微分方程对于未知函数及它的各阶导数的有理整式的整体而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程 .如： 22d y d yytd t d t （ 1.23） 是非线性微分方程 ，而（ 1.17）是一个二阶的线性微分方程 . 一般的 n 阶线性微分方程具有形式 1111( ) ( ) ( ) ( )nnnnd y d y d ya x a x a x y f xd x d x d x （ 1.24） 这里12( ) , ( ) , , ( ) , ( )na x a x a x f x是 x 的已知函数 . 3、解和隐式解 微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解 .即若函数 ()yx 代入式 （ 1.22） 中 ，使其成为恒等式，称 ()yx 为 方程（ 1.22） 的解 . 例如容易验证 cosyx 是方程 2 22 0dy ydx 的解 如果关系式 ( , ) 0xy决定的 隐函数 ()yx 为方程 （ 1.22）的解 ，称 ( , ) 0xy是方程 （ 1.22） 的隐式解 .例如，一阶微分方程 dy xdx y 有解 21yx 和 21yx ；而关系式 221xy 是方程的隐式解 . 4、通解和特解 通解：具有 n 个独立的任意常数12, , , nc c c的解12( , , , , )ny x c c c称为方程 （ 1.22）的通解 . 注：所谓函数12( , , , , )ny x c c c含有 n 个独立常数，是指存在12( , , , , )nx c c c的某一邻域，使得行列式 1212( 1 ) ( 1 ) ( 1 )120nnn n nnc c cc c cc c c 其中 () kkkx . 特解： 方程满足 特 定条件的解 . 定解问题：求方程满足定解条件的求解问题 .定解条件分为初始条件和边界 条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题 . 一般地， 初 值问题为 ()( 1 ) ( 1 ) ( 1 )0 0 0 0 0 0( , , , , ) 0( ) , ( ) , , ( )nnnF x y y yy x y y x y y x y 特解可以通过初始条件限制，从通解中确定任意常数而得到 ,如例 1 中，含有一个任意常数 c 的解 ktau u ce 就是一阶方程（ 1.1）的通解；而 0()ktaau u u u e 就是满足初始条件 00,t u u 的特解 . 5、积分曲线和方向场 一阶微分方程 ( , )dy f x ydx （ 1.25） 的解 ()yx 是 xy 平面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线 ；而 方程 （ 1.20） 的通解 ( , )y x c 对应于 xy 平面上的一族曲线，称为方程的 积分曲线族 ；满足初始条件00()y x y的特解就是通过点00( , )xy的一条积分曲线 . 方程（ 1.25）的积分曲线上每一点 ( , )xy 的切线斜率 dydx刚好等于函数 ( , )f x y 在这点的值，也就是说，积分曲线的每一点 ( , )xy 及这点上的切线斜率 dydx恒满足方程（ 1.25）；反之，如果一条曲线 上 每点 的 切线斜 率刚好等于函数 ( , )f x y 在这点的值，则这一条曲线就是方程（ 1.25）的积分曲线 . 设函数 ( , )f x y 的定义域为 D ，在 D 内每一点 ( , )xy 处 ，画上一小线段，使其斜率 恰好 为 ( , )f x y ，将这种带有小线段的区域 D 称为由方程 （ 1.25） 所规定的方向场 . 在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线 .微分方程 （ 1.25） 的等斜线方程为 ( , )f x y k （ 1.26） 例 5 2dy xdx 解 积分曲线族是 2y x c， 20yx，即 0x 是极值线， 2 ( 0 , 1 , )y x k k 是等斜线 . 例 6（习题 7）微分方程 2 2 2 34x y y x y，证明其积分曲线关于坐标原点 (0,0) 成中心对称的曲线，也是微分方程的积分曲线 . 证 设 : ( ) , , L y f x x a b是微分方程的一条积分曲线，则满足 2 2 2 34 ( ) ( ) ( ) , , x f x f x x f x x a b (1.27) 而 L 关于 (0,0) 成中心对称曲线 : ( ) ( ) , , , , L y f x F x x b a x a b ， 所以有 ( ) ( )F x f x, , x b a 当 , x b a , , x a b ,由 (1.27)式可知 2 2 2 34 ( ) ( ) ( ) ( )x f x f x x f x 即 2 2 2 34 ( ) ( ) ( )x F x F x x F x 所以 ()Fx满足微分方程，故 ()Fx为微分方程的积分曲线 .并且相对于 L 关于原点 (0,0) 成中心对称曲线 . 第二章、 一阶微分方程的初等解法 教学目标 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类 型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 教学重难点 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 教学方法 讲授，实践。 教学时间 14 学时 教学内容 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 考核目标 1.一阶微分方程的初等解法 ： 变量分离 法、一阶线性微分方程的 常数变易法 、 恰当方程与 积分因子法 、 一阶隐方程 的参数解法 。 2.会建立一阶微分方程并能求解。 1 变量分离方程与变量变换 1、 变量 分离方程 1) 变量分离方程 形如 ( ) ( )dy f x g ydx (或1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0M x N y d x M x N y d y) （ 2.1） 的方程，称为 变量分离方程 ，其中函数 ()fx和 ()gy分别是 ,xy的连续函数 . 2) 求解方法 如果 ( ) 0gy ，方程 (2.1)可化为， ()()dy f x d xgy 这样变量就分离开了 ,两边积分 ,得到 ()()dy f x d x cgy （ 2.2） 把 , ( )()dy f x d xgy分别理解为 1 , ( )()fxy的某一个原函数 . 容易验证由（ 2.2）所确定的隐函数 ( , )y x c 满足方程（ 2.1） .因而（ 2.2）是（ 2.1）的通解 . 如果存在0y使0( ) 0gy，可知0yy也是（ 2.1）的解 .可能它不包含在方程的通解（ 2.2）中，必须予以补上 . 3) 例题 例 1 求解方 程 dy xdx y 解 将变量分离，得到 ydy xdx 两边积分，即得 222 2 2y x c 因而，通解为 22x y c 这里的 c 是 任意的正常数 . 或解出显式形式 2y c x 例 2 解方程 2 cosdy yxdx 并求满足初始条件：当 0x 时 . 1y 的特解 . 解 将变量分离，得到 2 cosdy xdxy 两边积分，即得 1 sin xcy 因而，通解为 1siny xc 这里的 c 是任意的常数 .此外，方程还有解 0y . 为确定所求的特解，以 0x . 1y 代入通解中确定常数 c ，得到 1c 因而，所求的特解为 11 siny x 例 3 求方程 ()dy P x ydx （ 2.3） 的通解，其中 ()Px是 x 的连续函数 . 解 将变量分离，得到 ()dy P x dxy 两边积分，即得 l n ( )y P x d x c 这里的 c 是任意常数 .由对数的定义，即有 ()P x dx cye 即 ()P x d xcy e e 令 cec，得到 ()P x dxy ce （ 2.4） 此外， 0y 也是 （ 2.3）的解 .如果在（ 2.4）中允许 0c ，则 0y 也就包括在（ 2.4）中，因而，（ 2.3）的通解为（ 2.4），其中 c 是任意常数 . 注 : 1.常数 c 的选取保证 (2.2)式有意义 . 2.方程的通解不一定是方程的全部解 ,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解 .此时，还应求出不含在通解中的 其它解 , 即将遗漏的解要弥补上 . 3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y的一个解，表示的是一条过点00( , )xy的曲线 . 2、可化为变量分离方程的类型 1） .形如 dy ygdx x （ 2.5） 的方程，称为齐次方程，这 里的 ()gu 是 u 的连续函数 . 另外 , )对于方程 ( , )( , )d y M x yd x N x y 其中函数 ( , )M x y 和 ( , )N x y 都是 x 和 y 的 m 次齐次函数，即对 0t 有 ( , ) ( , )mM t x t y t M x y ( , ) ( , )mN t x t y t N x y 事实上，取 1tx，则方程可改写成形如 (2.5)的方程 . ( 1 , ) ( 1 , )( 1 , ) ( 1 , )mmyyx M Mdy xxyydx x N Nxx )对 方程 ( , )dy f x ydx 其中右端 函数 ( , )f x y 是 x 和 y 的零次齐次函数，即对 0t 有 ( , ) ( , )f t x t y f x y 则方程也可改写成形如 (2.5)的方程 (1, )dy yfdx x 对齐次方程（ 2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解 . 令 yux （ 2.6） 即 y ux ，于是 dy duxudx dx （ 2.7） 将（ 2.6）、（ 2.7）代入（ 2.5），则原方程变为 ()dux u g udx 整理后，得到 ()d u g u ud x x （ 2.8） 方程（ 2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（ 2.5）的解 . 例 4 求解方程 d y y ytgd x x x 解 这是齐次方程，以 ,y d y d uu x ux d x d x 代入，则原方程变为 dux u u t g udx 即 du tgudx x （ 2.9） 分离变量，即有 dxctgudux 两边积分， 得到 ln s i n lnu x c 这里的 c 是任意的常数，整理后，得到 sinu cx （ 2.10） 此外，方程（ 2.9）还有解 0tgu ,即 sin 0u . 如果（ 2.10）中允许 0c ，则 sin 0u 就包含在（ 2.10）中，这就是说，方程（ 2.9）的通解为（ 2.10） . 代回原来的变量，得到原方程的通解为 sin y cxx 例 5 求解方程 2 ( 0 ) .dyx x y y xdx 解 将方程改写为 2 ( 0 )d y y y xd x x x 这是齐次方程，以 ,y d y d uu x ux d x d x 代入，则原方程变为 2duxudx （ 2.11） 分离变量，得到 2du dxxu 两边积分，得到（ 2.11）的通解 ln ( )u x c 即 2 l n ( ) ( l n ( ) 0 )u x c x c (2.12) 这里的 c 是任意常数 .此外，（ 2.11）还有解 0u 注意，此解不包括在通解（ 2.12）中 . 代回原来的变量，即得原方程的通解 2 l n ( ) ( l n ( ) 0 )y x x c x c 及解 0y . 原方程的通解还可表为 2 l n ( ) , l n ( ) 0 ,0,x x c x cy 它定义于整个负半轴上 . 注： 1.对于齐次方程 dy ygdx x 的求解方法关键的一步是令 yux后，解出 y ux ，再对两边求 关于 x 的导数得 dy duuxdx dx，再将其代入齐次方程使方程变为关于 ,ux的可分离方程 . 2.齐次方程也可以通过变换 xvy而化为变量分离方程 .这时 x vy ，再对两边求关于 y 的导数得d x d vvyd y d y ，将其代入齐次方程 dx xfdy y 使方程变为 ,vy的可分离方程 小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的 dy ygdx x 形状的解法 .而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法 . 2）形如 1 1 12 2 2a x b y cdyd x a x b y c （ 2.13） 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的1 2 1 2 1 2, , , , ,a a b b c c均为常数 . 分三种情况来讨论 （ 1）120cc情形 . 这时方程（ 2.13）属齐次方程，有 1122a x b yd y ygd x a x b y x 此时，令 yux，即可化为变量可分离方程 . （ 2） 11220abab ，即 1122ab 的情形 . 设1122abk，则方程可写成 2 2 1 222 2 2() ()k a x b y cdy f a x b yd x a x b y c 令22a x b y u，则方程化为 22()du a b f udx 这是一变量分离方程 . （ 3） 1112220,ab ccab 及 不全为零的情形 . 这时方程（ 2.13）右端的分子、分母都是 ,xy的一次式，因此 1 1 12 2 200a x b y ca x b y c （ 2.14） 代表 xy 平面上两条相交的直线，设交点为 ( , ) . 显然， 0 或 0 ，否则必有120cc，这正是情形（ 1）（只需进行坐标平移，将坐标原点 (0,0)移至 ( , ) 就行了，若令 XxYy （ 2.15） 则（ 2.14）化为 112200a X b Ya X b y 从而（ 2.13）变为 1122a X b Yd Y Ygd X a X b Y X （ 2.16） 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下： (1)解联立代数方程（ 2.14），设其解为 ,xy； (2)作变换（ 2.15）将方程化为齐次方程（ 2.16）； (3)再经变换 YuX将（ 2.16）化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（ 2.13）的解 . 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（ 2.13）更一般的方程类型 1 1 12 2 2a x b y cdy fd x a x b y c 此外，诸如 ()dy f a x b y cdx ( ) ( ) 0y x y d x x g x y d y 2 ()dyx f xydx 2d y yxfd x x 以及 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0M x y x d x y d y N x y x d y y d x （其中 ,MN为 ,xy的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程 . 例 6 求解方程 13d y x yd x x y （ 2.17） 解 解方程组 1030xyxy 得 1, 2.xy 令 12xXyY 代入方程（ 2.17），则有 dY X YdX X Y （ 2.18） 再令 YuX 即 Y uX 则（ 2.18）化为 2112d X u duX u u 两边积分，得 22l n l n 2 1X u u c 因此 22( 2 1 ) cX u u e 记1,cec并代回原变量，就得 2212Y X Y X c 1( 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )y x y x c 此外，易验证 2 2 1 0uu 即 2220Y X Y X 也就是（ 2.18）的解 .因此方程（ 2.17）的通解为 222 6 2y x y x y x c 其中 c 为任意的常数 . 3、 应用举例 例 7 电容器的充电和放电如图（ 2.1）所示的 RC 电路，开始时电容 C 上没有电荷，电容两端的电压为零 .把开关 K 合上“ 1”后，电池 E 就对电容 C 充电，电容 C 两端的电压Cu逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关 K 合上“ 2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容 C 两端的电压Cu随时间 t 的变化规律 . 解 对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理， cu RI E （ 2.19） 对于电容 C 充电时，电容上的电量 Q 逐渐增多，根据CQ Cu，得到 () CC dud Q dI C u Cd t d t d t （ 2.20） 将（ 2.20）代入（ 2.19），得到cu满足的微分方程 ccduR C u Edt （ 2.21） 这里 R 、 C 、 E 都是常数 .方程（ 2.21）属于变量分离方程 .将（ 2.21）分离变量，得到 CCdu dtu E R C 两边积分，得到 11ln Cu E t cRC 即 1 112ttc R C R CCu E e e c e 这里 12 cce为任意常数 . 将初始条件： 0t 时， 0Cu 代入，得到2cE. 所 以 1(1 )tRCCu E e （ 2.22） 这就是 RC 电路充电过程中电容 C 两端的电压的变化规律 .由（ 2.22）知道，电压Cu从零开始逐渐增大，且当 t 时，CuE，在电工学中，通常称 RC 为时间常数，当 3t 时， 0.95CuE，就是说，经过 3 的时间后，电容 C 上的电压已达到外加电压的 95%.实用上，通常认为这时电容 C 的充电过程已 基本结束 .易见充电结果CuE. 对于放电过程的讨论，可以类似地进行 . 例 8 探照灯反射镜面的形状 在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状 . 解 取光源所在处为坐标原点，而 x 轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线 ()0y f xz （ 2.23） 绕 x 轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求 xy 平面上的曲线 ()y f x 的问题 ,仅考虑 0y 的部分 ,过曲线 ()y f x 上任一点 ( , )M x y 作切线 NT ，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知 12 从而 OM ON 注意到 2d y M PtgdxNP 及 22,O P x M P y O M x y 就得到函数 ()y f x 所应满足的微分方程式 22d y ydx x x y （ 2.24） 这是齐次方程 .由 2.12 知引入新变量 xuy可将它化为变量分离方程 .再经直接积分即可求得方程的解 . 对于方齐次方程（ 2.24）也可以通过变换 xvy而化为变量分离方程也可由 x yv 得 d x d vvyd y d y代入（ 2.24）得到 2s g n 1dvv y v y vdy 于是 2s g n 1d y d vyyv （ 2.25） 积分（ 2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得 2 ( 2 )y c c x （ 2.26） 其中 c 为任意常数 . （ 2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面 22 ( 2 )y z c c x （ 2.27） 小结 : 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题 .将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论 . 2 线性方程 与常数变易法 1、一阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 0dya x b x y c xdx 在 ( ) 0ax 的区间上可以写成 ( ) ( )dy P x y Q xdx （ 2.28） 对于 ()ax有零点的情形分别在 ( ) 0ax 的相应区间上讨论 .这里假设 ( ), ( )P x Q x 在考虑的区间上是 x 的连续函数 . 若 ( ) 0Qx ，（ 2.28）变为 ()dy P x ydx （ 2.3） 称为一阶齐线性方程 . 若 ( ) 0Qx ，（ 2.28）称为一阶非齐线性方程 . 2、常数变易法 （ 2.3）是变量分离方程，已在例 3 中求得它的通解为 ()P x dxy ce （ 2.4） 这里 c 是任意的常数 . 下面讨论一阶非齐线性方程（ 2.28）的求解方法 . 方程 (2.3)与方程 (2.28)两者既有联系又有区别 ,设想它们的解也有一定的联系 ,在 (2.4)中 c 恒为常数时 ,它不可能是 (2.28)的解 ,要使 (2.28)具有形如 (2.4)的解 , c 不再是常数 ,将是 x 的待定函数 ()cx ,为此令 ()() P x d xy c x e （ 2.29） 两边微分，得到 ( ) ( )() ( ) ( )P x d x P x d xd y d c x e c x P x ed x d x （ 2.30） 将（ 2.29）、（ 2.30）代入（ 2.28），得到 ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x d x P x d x P x d xd c x e c x P x e P x c x e Q xdx 即 ()() () P x d xd c x Q x edx 积分后得到 ()( ) ( ) P x d xc x Q x e d x c （ 2.31） 这里 c 是任意的 常数 .将（ 2.31）代入（ 2.29），得到 ( ) ( )( ) ( ) ( )() = ( )P x d x P x d xP x d x P x d x P x d xy e Q x e d x cc e e Q x e d x （ 2.32） 这就是方程（ 2.28）的通解 . 这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法 .实际上常数变易法也是一种变量变换的方法 .通过变换（ 2.29）可将方程（ 2.28）化为变量分离方程 . 注 : 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和 . 例 1 求方程 1( 1 ) ( 1 )xndyx n y e xdx 的通解，这里的 n 为常数 . 解 将方程改写为 ( 1 )1 xnd y n y e xd x x （ 2.33） 先求对应的齐次方程 01d y n yd x x 的通解，得 ( 1)ny c x 令 ( )( 1) ny c x x （ 2.34） 微分之，得到 () ( 1 ) ( 1 ) ( )nd y d c x x n x c xd x d x （ 2.35） 以（ 2.34）、（ 2.35）代入（ 2.33），再积分，得 () xc x e c 将其代入公式（ 2.34），即得原方程的通解 ( 1 ) ( )nxy x e c 这里 c 是任意的常数 . 例 2 求方程22dy ydx x y 的通解 . 解 原方程改写为 2dx xydy y （ 2.36） 把 x 看作未知函数， y 看作自变量，这样，对于 x 及 dxdy来说，方程（ 2.36）就是一个线性方程了 . 先求齐线性方程 2dx xdy y 的通解为 2x cy （ 2.37） 令 2()x c y y ,于是 2() 2 ( )d x d c y y c y yd y d y 代入（ 2.36），得到 ( ) lnc y y c 从而，原方程的通解为 2 ( ln )x y c y 这里 c 是任意的常数 ,另外 0y 也是方程的解 . 特别的，初值问题 00( ) ( )()dy P x y Q xdxy x y 的解为 0 0 00( ) ( ) ( )= ( )x x sx x xP d P d P dxxy c e e Q s e d s 例 3 试 证 （ 1）一阶非齐线性方程（ 2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（ 2.3）之解； （ 2）若 ()y y x 是（ 2.3）的非零解，而 ()y y x 是（ 2.28）的解，则（ 2.28）的通解可表为( ) ( )y c y x y x，其中 c 为任意常数 . （ 3）方程（ 2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（ 2.3）的解 . 证 （ 1）设12,yy是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使 1122( ) (1 )( ) ( 2 )dy p y Q xdxdy p y Q xdx （ 1） （ 2）有 1212() ()d y y p y ydx 说明非齐线性方程任意两个解的差12yy是对应的齐次线性方程的解 . （ 2）因为 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )d c y x y x d y x d y xc p c y p y Q x p c y y Q xd x d x d x 故结论成立 . （ 3）因为 1 2 1 21 2 1 2( ) ( )() ( ) , ( ) , ( )d y y d y yd c y p c y p y y p y yd x d x d x 故结论成立 . 3、 Bernoulli 方程 形如 ( ) ( ) ndy P x y Q x ydx （ 0,1 ） （ 2.38） 的方程，称为伯努利（ Bernoulli ）方程，这里 ( ), ( )P x Q x 为 x 连续函数 .利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程来求解 .事实上，对于 0y ，用 ny 乘（ 2.38）两边，得到 1 ( ) ( )nndyy y P x Q xdx （ 2.39） 引入变量变换 1 nzy （ 2.40） 从而 (1 ) nd z d ynyd x d x （ 2.41） 将（ 2.40）、 2.41）代入（ 2.39），得到 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )dz n P x z n Q xdx （ 2.42） 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（ 2.38）的通解 .此外，当 0n 时，方程还有解 0y . 例 4 求方程 26d y y xyd x x的通解 解 这是 2n 时的伯努利方程，令 1zy ,得 2dz dyydx dx 代入原方程得到 6dz zxd x x 这是线性方程，求得它的通解为 26 8cxz x 代回原来的变量 y ，得到 2618cxyx 或者 688xxcy 这是原方程的通解 . 此外，方程还有解 0y . 例 5 求方程331dyd x x y x y 的解 解 将方程改写为 33dx y x y xdy 这是一个自变量为 y ，因变量为 x 的伯努利方程 .解法同上 . 例 6 求方程23ydy e xdx x 的通解 这个方程只要做一个变换，令 ,yyd u d yu e ed x d x，原方程改写为 22231d u x uud x x x 便是伯努利方程 . 小结 ；这次主要讨论了一 阶线性微分方程的解法 .其核心思想是常数变易法 .即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数 ()cx ，求出非齐次方程的解 .我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解 . 3 恰当方程与积分因子 1、 恰当方程的定义 将 一阶微分方程 ( , )dy f x ydx 写成微分的形式 ( , ) 0f x y d x d y 把 ,xy平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y （ 2.43） 假设 ( , ), ( , )M x y N x y在某区域 G 内 是 ,xy的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数 . 如果存在可微函数 ( , )u x y ,使得 ( , ) ( , )d u M x y d x N x y d y (2.44) 即 ( , ) , ( , )uuM x y N x yxy (2.45) 则称方程 (2.43)为恰当方程 ,或称全微分方程 . 在上述情形 ,方程 (2.43)可写成 ( , ) 0du x y ,于是 ( , )u x y C 就是方程 (2.43)的隐式通解 ,这里 C 是任意常数 (应使函数有意义 ). 2、 恰当方程的判定准则 定理 1 设 ( , ), ( , )M x y N x y在某区域 G 内连续可微 ,则方程 (2.43)是恰当方程的充要条件是 , ( , )MN x y Gyx (2.46) 而且当 (2.46)成立时 ,相应的原函数可取为 000( , ) ( , ) ( , )xyu x y M s y d s N x t d t (2.47) 或者也可取为 000( , ) ( , ) ( , )yxu x y N x t d t M s y d s (2.48) 其中00( , )x y G是任意取定的一点 . 证明 先证必要性 .因为 (2.43)是恰当方程 ,则有可微函数 ( , )u x y 满足 (2.45), 又知 ( , ), ( , )M x y N x y是连续可微的 ,从而有 22M u u Ny y x x y x 下面证明定理的充分性 ,即由条件 (2.46),寻找函数 ( , )u x y ,使其适合方程 (2.45).从 (2.47)可知 ( , )u N x yy 000000( , ) ( , ) = ( , ) ( , ) = ( , ) ( , ) ( , )yyyxyyyyuM x y N x t d txxM x y N x t d tM x y M x t d t M x y 即 (2.45)成立 ,同理也可从 (2.48)推出 (2.45). 例 1. 解方程 2 1( ) 02xx y d x d yy (2.49) 解 这里 2 1, = ( )2xM x y Ny,则yxM x N,所以 (2.49)是恰当方程 .因为 N 于 0y 处无意义 ,所以应分别在 0y 和 0y 区域上应用定理 2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数 ( , )u x y . 先选取00( , ) (0 ,1)xy,代入公式 (2.47)有 22011( ) l nxy xxu x d x d y y yy 再选取00( , ) ( 0 , 1)xy ,代入公式 (2.47)有 22011( ) ( ) l n ( )xy xxu x d x d y y yy 可见 不论 0y 和 0y ,都有 2 ln | |2xu y y 故方程的通解为 2 ln | |2x y y C. 3、恰当方程的解法 上 述定理已给出恰当方程的解法 ,下面给出恰当方程的另两种常用解法 . 解法 1. 已经验证方程为恰当方程 ,从 ( , )xu M x y出发 ,有 2( , ) ( , ) ( ) ( )2xu x y M x y d x y y y (2.50) 其中 ()y 为待定函数 ,再利用 ( , )yu N x y,有 221()xxyy 从而 1()yy 于是有 ( ) ln | |yy 只需要求出一个 ( , )u x y ,因而省略了积分常数 .把它代入 (2.50)便得方程的通解为 2 l n | |2xu y y C 解法 2. 分项组合的方法 对 (2.49)式重新组合变为 2 1( ) 02xx y d x d y d yy 于是 2( ) l n | | 02xd y d y 从而得到方程的通解为 2 ln | |2x y y C 4、积分因子的定义及判别 对于微分形式的微分方程 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y （ 2.43） 如果方程（ 2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数 ( , ) 0xy，使得 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y (2.51) 为一恰当方程，即存在函数 ( , )v x y ，使 ( , ) ( , )M x y d x N x y d y d v 则称 ( , )xy 是方程（ 2.43）的积分因子 .此时 ( , )v x y C 是 (2.51)的通解，因而也就是（ 2.43）的通解 . 如果函数 ( , ) , ( , )M x y N x y和 ( , )xy 都是连续可微的 ,则由恰当方程的判别准则知道 , ( , )xy 为(2.43)积分因子的充要条件是 MNyx 即 ()MNNMx y y x (2.52) 5、积分因子的求法 方程 (2.52)的非零解总是存在 的，但这是一个以 为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子 . 定理 2 设 ( , ) , ( , )M M x y N N x y和 ( , )xy 在某区域内都是连续可微的，则方程（ 2.43） 有形如 ( ( , ) )xy 的积分因子的充要条件是：函数 ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )yxxyM x y N x yN x y x y M x y x y （ 2.53） 仅是 ( , )xy 的函数，此外，如果（ 2.53）仅是 ( , )xy 的函数 ( ( , ) )f f x y ，而 ( ) ( )G u f u d u ，则函数 ( ( , )G x ye （ 2.54） 就是方程（ 2.43）的积分因子 . 证明 因为如果方程（ 2.43）有积分因子 () ，则由（ 2.52）进一步知 ( ) ( )d M NNMd x y y x 即 yxxyMNd dNM 由 () 可知左端是 的函数，可见右端 yxxyMNNM也是 的函数，即 ()yxxyMN fNM ， 于是，有 ()d fd ， 从而 () ()fd Gee 反之，如果（ 2.53）仅是 的函数，即 ()yxxyMN fNM ，则函数（ 2.54）是方程（ 2.52）的解 .事实上，因为 ()( ) ( ) ( )Gx y y xN M N M f e M Nxy 因此函数（ 2.54）的确是方程（ 2.43）的积分因子 . 为了 方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下： 例 2. 解22( 3 1 ) ( ) 0y x y d x x y x d y 解 这里 223 1 ,M y x y N x y x ,注意 yxM N y x 所以方程不是恰当的 ,但是 1yxMNNx 它仅是依赖与 x ，因此有积分因子 1 dxxex 给方程两边乘以因子 x 得到 2 2 2 3( 3 ) ( ) 0x y x y x d x x y x d y 从而可得到隐式通解 2 2 3 21122u x y x y x C 例 3. 解方程 2( ) ( 1 ) 0x y y d x x y y d y 解 这里 2 ,1M x y y N x y y 方程不是恰当的 .但是 类型 条件 积分因子 ()x ()yxMN fxN ()f x dxe ()y ()yxMN fyM ()f y dye ()xy 111 ()yxMN f x yx N y M x y () |f u du u x ye ( ( , )xy ( ( , ) )yxxyMN f x yNM () ( , )|f u d u u x ye 1yxMNMy 它有仅依赖于 y 的积分因子 1 1dyyey 方程两边乘以积分因子 1y得到 1( ) ( 1 ) 0x y d x x d yy 从而可得到隐式通解 21 l n | |2u x x y y y C 另外，还有特 解 0y .它是用积分因子乘方程时丢失的解 . 例 4. 解方程 2 2 3( 2 ) ( ) 0y x y d x x y x d y 解 这里 2 2 32,M y x y N x y x ，不是恰当方程 .设想方程有积分因子 ()xy ，其中 ， 是待定实数 .于是 21 1 21 1 1( ) ( 2 )yxMN yxx N y M x y y x x y x y 只须取 3, 2.由上述简表知原方程有积分因子 32xy 从而容易求得其通解为： 4 4 6 313u x y x y C 六、 积分因子的其他求法 以例 4 为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式： 2 2 3( ) ( 2 ) 0y d x x y d x x y d x x d y 前一组有积分因子11y ，并且 21 ( ) ( )y d x x y d y d x yy 后一组有积分因子2 1x ，并且 2 3 21 ( 2 ) ( )x y d x x d y d x yx 设想原方程有积分因子 211( ) ( )x y x yyx 其中 ， 是待定实数 .容易看出只须 3, 2，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个 . 例 5. 解方程 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0M x M y d x N x N y d y 其中1M，2M，1N，2N均为连续函数 . 解 这里12( ) ( )M M x M y，12( ) ( )N N x N y.写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若有0y使得20( ) 0My，则0yy是此方程的解；若有0x使得10( ) 0Nx，则0xx是此方程的解；若21( ) ( ) 0M y N x ，则有积分因子 211( ) ( )M y N x 并且通解为 12( ) ( )( ) ( )M x N yu d x d yN x M y 例 6、 试用积分因子法解线性方程（ 2.28） . 解 将（ 2.28）改写为微分方程 ( ) ( ) 0P x y Q x d x d y （ 2.55） 这里 ( ) ( ) , 1M P x y Q x N ，而 ()MNyx PxN 则线性方程只有与 x 有关的积分因子 ()P x dxe 方程（ 2.55）两边乘以 ()P x dxe ，得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0P x d x P x d x P x d x xP x e y d x e d y Q x e d x （ 2.56） （ 2.56）为恰当方程，又分项分组法 ( ) ( )( ) ( ) 0P x d x P x d xd y e Q x e d x 因此方程的通解为 ( ) ( )()P x d x P x d xy e Q x e d x c 即 ( ) ( ) ( ) P x d x P x d xy e Q x e d x c 与前面所求得的结果一样 . 注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子 . 4 一阶隐方程与参数表示 1、一阶隐方程 一阶隐式微分方程的一般形式可表示为 : ( , , ) 0F x y y 如果能解出 ( , )y f x y ,则可化为显式形式 ,根据前面的知识求解 . 例如方程 2( ) ( ) 0y x y y x y ,可化为 yx 或 yy 但难以从方程中解出 y ,或即使解出 y ,而其形式比较复杂 ,则宜采用引进参数的方法求解 .一般隐式方程分为以下四种类型 : 1) ( , )y f x y 2) ( , )x f y y 3) ( , ) 0F x y 4) ( , ) 0F y y 2、求解方法 ） 可以解出 y （或） x 的方程 1) 讨论形如 ( , )y f x y （ 2.57） 的方程的解法，假设函数 ( , )f x y 有连续的偏导数 ,引进参数 yp ,则方程 (2.57)变为 ( , )y f x p (2.58) 将 (2.58) 的两边对 x 求导数 ,得到 f f d ppx y d x (2.59) 方程 (2.59)是关于 ,xp的一阶微分方程 ,而且属于显式形式 . 若求得 (2.59)的通解形式为 ( , )p x c ,将其代入 (2.58),于是得到 (2.57)通 解为 ( , ( , )y f x x c 若求得 (2.59)的通解形式为 ( , )x p c ,于是得到 (2.57)的参数形式的通解为 ( , )( ( , ) , )x p cy f p c p 其中 p 为参数 , c 是任意常数 . 若求得 (2.59)的通解形式为 ( , , ) 0x p c,于是得到 (2.57)的参数形式的通解为 ( , , ) 0( , )x p cy f x p 其中 p 为参数 , c 是任意常数 . 例 1 求方程 3( ) 2 0d y d yxyd x d x 的解 解 令 dy pdx,于是有 3 2y p xp (2.60) 两边对 x 求导数 ,得到 23 2 2d p d pp p x pd x d x 即 23 2 0p d p x d p p d x 当 0p 时 ,上式有积分因子 p ,从而 323 2 0p d p x p d p p d x 由此可知 4 234p xp c 得到 4 2223344cp cxppp 将其代入 (2.60),即得 43342 ( )cpyp p 故参数形式的通解为 22334 ( 0 ) 212cxpppcypp 当 0p 时 ,由 (2.60)可知 0y 也是方程的解 . 例 2 求方程 22()2d y d y xyxd x d x 的解 . 解 令 dy pdx,得到 222xy p x p (2.61) 两边对 x 求导数 ,得到 2 d p d pp p x p xd x d x 或 ( 2 ) ( 1 ) 0dppxdx 由 10dpdx,解得 p x c ,于是得到方程的通解为 2 22xy c x c (2.62) 由 20px ,解得2xp,于是得到方程的一个解为 24xy (2.63) 特解 (2.63)与通解 (2.62)中的每 一条积分曲线均相切 ,因此称为方程的 奇解 . 2) 讨论形如 ( , )dyx f ydx (2.64) 的方程的求解方法 ,方程 (2.64)与方程 (2.57)的求解方法完全类似 ,假定函数 ( , )f y y 有连续偏导数 . 引进参数 dy pdx,则 (2.64) 变为 ( , )x f y p (2.65) 将 (2.65) 的两边对 y 求导数 ,得到 1 f f d pp y x d y (2.66) 方程 (2.66)是关于 ,yp的一阶微分方程 ,而且属于显式形式 .设其通解为 ( , , ) 0y p c 则 (2.64)的通解为 ( , , ) 0( , )y p cx f y p ） 不显含 y （或） x 的方 程 3) 讨论形如 ( , ) 0F x y (2.67) 的方程的解法 . 记 dypydx,此时 ( , ) 0F x p 表示的是 xp 平面上的一条曲线 ,设曲线用参数形式表示为 ()xt , ()pt (2.68) 由于 dy pdx ,进而 ( ) ( )d y t t d t 两边积分 ,得到 ( ) ( )y t t d t c 于是得到方程 (2.67)参数形式的解为 ()( ) ( )xty t t d t c c 是任意常数 . 例 3 求解方程 3330x y x y 解 令 y p tx ,则由方程得 331 tx t , 2331 tp t 于是 23339 (1 2 )(1 )ttd y d tt 积分得到 2 3 33 3 3 29 (1 2 ) 3 1 4(1 ) 2 (1 )t t ty d t c ctt 故原方程参数形式的通解为： 3332313 1 42 (1 )txttyct 4) 讨论形如 ( , ) 0F y y (2.69) 的方程 ,其解法与方程 (2.67)的求解方法类似 . 记 dypydx,此时 ( , ) 0F y p 表示的是 yp 平面上的一条曲线 ,设曲线用参数形式表示为 ()yt , ()pt 由关系式 dy pdx 可知 ( ) ( )t d t t d x ,于是 0p 时 ,有 ()()tdx dtt, ()()tx d t ct 故方程 (2.69)的参数形式的通解 ()()()tx d t ctyt c 是任意常数 . 此外 ,不难验证 ,若 ( , 0) 0Fy 有实根 yk ,则 yk 也是方程的解 . 例 4 求解方程 22(1 ) ( 2 )y y y . 解 令 2 y yt ,则 有 2 2 2(1 )y y y t 由此可以得 21yt ， 1ytt 代入 1dx dyp，得到 2 2 21 1 1( 1 )1d x d t d tt t t 积分 ,得到 1xct 故原方程参数形式的通解为 11xctytt 其中 c 是任意常数 .此外 , 当 0y 时原方程变为 2 4y ,于是 2y 也是方程的解 . 例 5 求解方程 21x y y 解 令 yp ,则 有 21x p p,取 , ( , )22p t g t t ,则2 s i ns e c1p t g txttp 由 dy pdx 得到 c o s s i nd y t g t t d t t d t 所以 cosy t c 故原方程参数形式的通解为 sinc o sxty t c 其中 c 是任意常数 . 第三章 一 阶微分方程解的存在定理 教学目标 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 教学重难点 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 教学方法 讲授，实践。 教学时间 12 学时 教学内容 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 考核目标 1.理解解的存在唯一性定理的条件、 结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显 得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 2dy ydx 过点 (0,0) 的解就是不唯一，易知 0y 是方程过 (0,0) 的解，此外，容易验证 ， 2yx 或更一般地，函数 20 0( ) c 1xcyx c x 都是方程过点 (0,0) 而且定义在区间 01x上的解，其中 c 是 满足 01c的任一 数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于 能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1 存在性与唯一性定理 ： （ 1）显式一阶微分方程 ),( yxfdxdy （ 3.1） 这里 ),( yxf 是在 矩形域：00: | | , | |R x x a y y b （ 3.2） 上连续 。 定理 1：如果函数 ),( yxf 满足以下条件： 1）在 R 上连续： 2）在 R 上关于变量 y 满足李普希兹 （ Lipschitz）条 件 ， 即 存 在 常 数 0L ， 使 对 于 R 上任何一对点1(, )xy，2( , )xy均 有 不 等 式1 2 1 2( , ) ( , )f x y f x y L y y 成立， 则 方程（ 3.1）存在唯一的解 ()yx ， 在区间0|x x h上 连续，而且满足初始条件 00()xy （ 3.3） 其中,m i n ( , ) , m a x ( , )x y Rbh a M f x yM,L 称为 Lipschitz 常数 . 思路： 1） 求解 初值问题 (3.1)的解等价于积分方程 00 ( , )xxy y f x y d x 的连续解。 2） 构造近似解函数列 ( )n x 任取一个连续函数0()x，使得00| ( ) |x y b ，替代上述积分方程右端的 y ，得到 01 0 0( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x 如果10( ) ( )xx，那么0()x是积分方程的解，否则，又用1()x替代积分方程右端的 y ，得到 02 0 1( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x 如果21( ) ( )xx，那 么1()x是积分方程的解，否则，继续进行，得到 001( ) ( , ( ) )xnnxx y f x x d x （ 3.4） 于是得到函数序列 ( )n x. 3） 函数序列 ( )n x在区间00 , x h x h上一致收敛于 ()x ，即 lim ( ) ( )nn xx 存在，对 (3.4)取极限 ,得到 00010l i m ( ) l i m ( , ( ) ) = ( , ( ) ) xnnxnnxxx y f x x d xy f x x d x 即00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x . 4) ()x 是积分方程00 ( , )xxy y f x y d x在00 , x h x h上的连续解 . 这种一步一步求出方程解的方法 逐步逼近法 .在定理的假设条件下 ,分五个命题来证明定理 . 为了讨论方便 ,只考虑区间00x x x h ,对于区间00x h x x 的讨论完全类似 . 命题 1 设 ()yx 是方程 (3.1)定义于区间00x x x h 上 ,满足初始条件 00()xy （ 3.3） 的解 ,则 ()yx 是积分方程 00 ( , )xxy y f x y d x 00x x x h (3.5) 的定义于00x x x h 上的连续解 .反之亦然 . 证明 因为 ()yx 是方程 (3.1)满足00()xy 的解 ,于是有 () ( , ( ) )dx f x xdx 两边取0x到 x 的积分得到 00( ) ( ) ( , ( ) )xxx x f x x d x 00x x x h 即有00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x 00x x x h 所以 ()yx 是积分方程00 ( , )xxy y f x y d x定义在区间00x x x h 上的连续解 . 反之 ,如果 ()yx 是积分方程 (3.5)上的连续解 ,则 00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x 00x x x h （ 3.6） 由于 ),( yxf 在 R 上连续 ,从而 ( , ( )f x x 连续 ,两边对 x 求导 ,可得 () ( , ( ) )dx f x xdx 而且 00()xy , 故 ()yx 是方程 (3.1)定义在区间00x x x h 上 ,且满足初始条件00()xy 的解 . 构造 Picard的逐次逼近函数序 列 ( )n x. 0000 1 0 0()( ) ( , ( ) ) xnnxxyx y f d x x x h ( 1, 2, )n （ 3.7） 命题 2 对于所有的 n ， （ 3.6）中的函数 ()n x在00x x x h 上有定义，连续且满足不等式 0| ( ) |n x y b （ 3.8） 证明 用数学归纳法证明 当 1n 时，01 0 0( ) ( , )xxx y f y d ，显然1()x在00x x x h 上有定义、连续且有 001 0 0 0 0| ( ) | | ( , ) | | ( , ) | ( )xxx y f y d f y d M x x M h b 即命题成立 . 假设 nk 命题 2 成立，也就是在00x x x h 上有定义、连续且满足不等式 0| ( ) |k x y b 当 1nk时， 010( ) ( , ( ) )xkkxx y f d x 由于 ),( yxf 在 R 上连续 ,从而 ( , ( )kf x x在00x x x h 上连续，于是得知1()k x在00x x x h 上有定义、连续 ,而且有 01 0 0| ( ) | | ( , ( ) ) | ( )xkk xx y f d M x x M h b 即命题 2对 1nk时也成立 .由数学归纳法知对所有的 n 均成立 . 命题 3 函数序列 ( )n x在00x x x h 上是一致收敛的 . 记 lim ( ) ( )nn xx ,00x x x h 证明 构造函数项级数 011( ) ( ) ( ) kkkx x x 00x x x h (3.9) 它的部分和为 011( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn k k nkS x x x x x 于是 ( )n x的一致 收敛性与级数 (3.9)的一致收敛性等价 . 为此，对级数 (3.9)的通项进行估计 . 01 0 0 0| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) | ( )xxx x f d M x x (3.10) 02 1 1 0| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) |xxx x f f d 由 Lipschitz条件得知 002 1 1 0020| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( ) ( )2!xxxxx x L dL M x dMLxx 设对于正整数 n ,有不等式 110| ( ) ( ) | ( ) !n nnnMLx x x xn 成立 ,则由 Lipschitz条件得知 ,当00x x x h 时 ,有 000111010| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( ) ( ) | ( ) ! ( )( + 1 ) !xn n n nxxnnxnxnxnnx x f f dLdMLxdnMLxxn 于是由数学归纳法可知 , 对所有正整数 k ,有 1110| ( ) ( ) | ( ) !kkkkkkM L M Lx x x x h 00x x x h (3.11) 由正项级数 11 !kKkhMLk 的收敛性 ,利用 Weierstrass 判别法 ,级 数 (3.9)在00x x x h 上一致收敛 .因而序列 ( )n x在00x x x h 上一致收敛 . 设 lim ( ) ( )nn xx ,则 ()x 也在00x x x h 上连续 ,且 0| ( ) |x y b 命题 4 ()x 是积分方程 (3.5)的定义在00x x x h 上的连续解 . 证明 由 Lipschitz条件 | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( ) ( ) |nnf x x f x x L x x 以及 ( )n x在00x x x h 上一致收敛于 ()x ,可知 ( , ( )nf x x在00x x x h 上一致收敛于( , ( )f x x .因此 0001l i m ( ) l i m ( , ( ) ) = l i m ( , ( ) ) xnnxnnxnx nx y f dy f d 即 00( ) ( , ( ) ) xn xx y f d 故 ()x 是积分方程 (3.5)的定义在00x x x h 上的连续解 . 命题 5 设 ()x 是积分方程 (3.5) 的 定 义 在00x x x h 上的一个连续解 , 则( ) ( )xx , 00x x x h . 证明 设 ( ) | ( ) ( ) |g x x x,则 ()gx是定义在00x x x h 的非负连续函数 ,由于 00( ) ( , ( ) ) xxx y f d 00( ) ( , ( ) ) xxx y f d 而且 ( , )f x y 满足 Lipschitz条件 ,可得 0000( ) | ( ) ( ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( ) ( ) | ( )xxxxxxg x x x f f df f dL d L g d 令0( ) ( )xxu x L g d ,则 ()ux是00x x x h 的连续可微函数 ,且0( ) 0ux, 0 ( ) ( )g x u x, ( ) ( )u x L g x , ( ) ( )u x L u x , ( ( ) ( ) ) 0Lxu x L u x e , 即 ( ( ) ) 0Lxu x e ,于是在00x x x h 上 , 00( ) ( ) 0LxLxu x e u x e 故 ( ) ( ) 0g x u x,即 ( ) 0gx ,00x x x h ,命题得证 . 对定理说明几点 : (1)存在唯一性定理中 m in ( , )bhaM的几何意义 . 在矩形域 R 中 ( , )f x y M ,故方程过00( , )xy的积分曲线 ()yx 的斜率必介于 M 与 M 之间 ,过点00( , )xy分别作斜率为 M 与 M 的直线 . 当 bMa时，即 baM,（如图 (a)所 示），解 ()yx 在00x a x x a 上有定义；当 bMa时 ,即b aM ,（如图 (b)所示），不能保证解在 00x a x x a 上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形 R 外去，只有当00bbx x xMM 才能保证解 ()yx 在 R 内，故要求解的存在范围是 0|x x h. (2)、 由于 李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数 ),( yxf 在矩形域 R 上关于 y 的偏导数 ),( yxfy存在并有界， 即 ( , )yf x y L，则李普希兹条件条件成立 . 事实上 2 1 21 2 1 212( , ( ) )| ( , ) ( , ) | | | | | | |f x y y yf x y f x y y yyL y y 这里12( , ) , ( , ) , 0 1x y x y R . 如果 ),( yxfy在 R 上连续， 它 在 R 上当然满足李普希兹条件 .但是 ,满足 李普希兹条件 的函数 ),( yxf 不一定有偏导数存在 .例如函数 ( , ) | |f x y y 在任何区域都满足 李普希兹条件 ,但它在 0y 处没有导数 . (3)、设方程 (3.1)是线性的 ,即方程为 ( ) ( )dy P x y Q xdx 易知 ,当 ( ), ( )P x Q x 在区间 , 上连续时 ,定理 1的条件就能满足 ,且对任一初值0 0 0( , ) , , x y x 所确定的解在整个区间 , 上有定义、连续 . 实际上 ,对于一般方 程 (3.1),由初值所确定的解只能定义在0|x x h上 ,是因为在构造逐步逼近函数序列 ( )n x时 ,要求它不越出矩形域 R ,此时 ,右端函数对 y 没有任何限制 ,只要取0 , m a x | ( ) ( ) |xM P x y Q x. (4)、 Lipschitz条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件 . 例如 试证方程 0 = 0l n | | 0 ydyyydx y 经过 xoy 平面上任一点的解都是唯一的 . 证明 0y 时 , ( , ) ln | |f x y y y ,在 0y 上连续 , ( , ) 1 l n | |yf x y y 也在 0y 上连续 ,因此对 x 轴外的任一点00( , )xy,方程满足00()y x y的解都是唯一存在的 .又由 ln | |dy yydx 可得方程的通解为 xceye ,其中 xceye 为上半平面的通解 , xceye 为下半平面的通解 ,它们不可能与 0y 相交 .注意到 0y 是方程的解 ,因此对 x 轴上的任一点0( ,0)x,只有 0y 通过 ,从而保证 xoy 平面上任一点的解都是唯一的 . 但是 | ( , ) ( , 0 ) | | l n | | | | l n | | | | |f x y f x y y y y 因为0lim | ln | |y y ,故不可能存在 0L ,使得 | ( , ) ( , 0 ) | | |f x y f x L y 所以方程右端函数在 0y 的任何邻域并不满足 Lipschitz 条件 . 此题说明 Lipschitz条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件 . 2)考虑一阶隐方程 ( , , ) 0F x y y (3.12) 由隐函数存在定理 ,若在000( , , )x y y的某一邻域内 F 连续且000( , , ) 0F x y y ,而 0Fy ,则必可把 y 唯一地表为 ,xy的函数 ( , )y f x y (3.13) 并且 ( , )f x y 于00( , )xy的某一邻域连续 ,且满足0 0 0( , )y f x y 如果 F 关于所有变元存在连续的偏导数 ,则 ( , )f x y 对 ,xy也存在连续的偏导数 ,并且 /f F Fy y y (3.14) 显然它是有界的 ,由定理 1可知 ,方程 (3.13)满足初始条件的0( ) 0yx解存在且唯一 .从而得到下面的定理 . 定理 2 如果在点000( , , )x y y的某一邻域中 : ) ( , , )F x y y 关于所有变元 ( , , )x y y 连续 ,且存在连续的偏导数； ）000( , , ) 0F x y y ）000( , , ) 0F x y yy 则方程（ 3.12）存在唯一的解 0( ) | | y y x x x h （ h 为足够小的正数） 满足初始条件 0 0 0 0( ) , ( )y x y y x y （ 3.15） 1、 近似计算和误差估计 求方程 近 似解的方法 Picard的逐次逼近法 0000 1 0 0()( ) ( , ( ) ) xnnxxyx y f d x x x h 对方程的第 n 次近似解 ()n x和真正解 ()x 在0|x x h内的误差估计式 1| ( ) ( ) |( 1 ) !n nnMLx x hn （ 3.16） 此式可用 数学归纳法证明 . 000| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) | ( )xxx x f d M x x M h 设有不等式 1110| ( ) ( ) | ( ) !nnnnnM L M Lx x x x h 成立 ,则 000110110| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( ) ( ) | ( ) ! ( )( + 1 ) ! ( + 1 ) !xnnxxnxnxnxnnnnx x f f dLdMLxdnM L M Lx x hnn 例 1 讨论初值问题 22dy xydx , (0) 0y 解的存在唯一性区间 ,并求在此区间上与真正解的误差不超过 0.05的近似解 ,其中 , : 1 1 , 1 1R x y . 解 ( , )1m a x | ( , | 2 , 1 , 1 , m i n , 2x y RbM f x y a b h a M ,由于 | | | 2 | 2f yLy ,根据误差估计式 (3.16) 1 1| ( ) ( ) | 0 . 0 5( 1 ) ! ( 1 ) !n nnMLx x hnn 可知 3n .于是 0( ) 0x 322100( ) ( ) 3x xx x x d x 3722210( ) ( ) 3 6 3x xxx x x d x 3 7 1 1 1 522320( ) ( ) 3 6 3 2 0 7 9 5 9 5 3 5x x x x xx x x d x 3()x就是所求的近似解 ,在区间 1122x 上 ,这个解与真正解得误差不超过 0.05. 2 解的延拓 上节我们学习了解的存在唯一性定理，当 ),( yxfdxdy 的右端函数 ),( yxf 在 R 上满足解的存在性唯一性条件时 ，初值问题)(),(00 xyyyxfdxdy 的解在0|x x h上存在且唯一 . 但是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的 . 可能随着 ),( yxf 的存在区域 的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例 1，当定义区域变为 : 2 2 , 2 2R x y 时， 218 , m i n 2 , 84Mh ，解的范围缩小为0 1|4xx. 在实际引用中，我们也希望解的存在区间 能尽量扩 大，下面 讨论解的 延展 概念， 尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由 局部的变成大范围的 . 1、饱和解及饱和区间 定义 1 对定义在平面区域 G 上的微分方程 ),( yxfdxdy (3.1) 设 ()yx 是方程 (3.1)定义在区间1IR上的一个解 ,如果方程 (3.1)还有一个定义在区间2IR上的另一解 ()yx ,且满足 (1) 12II；但是12II （ 2）当1xI时， ( ) ( )xx 则称1( ),y x x I是可延拓的，并称 ()yx 是 ()yx 在2I上的延拓 .否则如果不存在满足上述条件的解 ()yx ,则称1( ),y x x I是方程 (3.1)的不可延拓解或饱和解 ,此时把不可延拓解的区间1I称为一个饱和区间 . 2、局部李普希兹条件 定义 2 若函数 ),( yxf 在区域 G 内连续，且对 G 内每一点 P ，都存在以 P 点为中心，完全含在 G 内的闭矩形域pR，使得在pR上 ),( yxf 关于 y 满足 李普希兹条件 （对于不同的点，闭矩形域pR的大小和 李普希兹 常数 L 可能不同），则称 ),( yxf 在 G 上关于 y 满足局部 李普希 兹条件 . 定理 3 （延拓 定理）如果方程 ),( yxfdxdy 的 右端函数 ),( yxf 在（有界或无界）区域 2GR 上连续，且 在 关于 y 满足局部李普希兹条件，则对任意一点00( , )x y G，方 程 ),( yxfdxdy 以 ),(00 yx为初值的解 )(x 均可以向左右延展，直到 点 ( , ( )xx 任意接近区域 G 的 边界 . 以向 x 增大的一方来说，如果 ()yx 只能延拓到区间上，则当 xm 时， ( , ( )xx 趋于区域 G 的边界 。 证明 00( , )x y G，由解的存在唯一性定理，初值问题 )(),(00 xyyyxfdxdy （ 1） 存在唯一的解 ()yx ，解的存在唯一区间为00|x x h.取1 0 0x x h, 11()yx,以11( , )xy为中心作一小矩形1RG,则初值问题 11( , )()dy f x ydxy y x (2) 存在唯一的解 ()yx ，解的存在唯一区间为11|x x h. 因为 11( ) ( )xx,有唯一性定理 ,在两区间的重叠部分应有 ( ) ( )xx ,即当1 1 1x h x x 时( ) ( )xx .定义函数 0 0 0 00 0 0 0 1( ) ,()( ) ,x x h x x hxx x h x x h h 则 ()yx 是方程 (3.1)满足 (1)(或 (2) 的 ,在0 0 1 1 , x h x h上有定义的唯一的解 .这样 ,把方程 (3.1)满足 (1)的解 ()yx 在定义区间上向右延伸了一段 .即把解 ()yx 看作方程 (3.1)的解 ()yx 在定义区间00|x x h的向右延拓 ,延拓到更大区间0 0 0 0 1x h x x h h .同样的方法 ,也可把解()yx 向左延拓 .这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去 ,最后将得到一个解 ()yx ,不能再向左右延拓了 .这个 解称为方程 (3.1)的饱和解 . 推论 1 对 定义在平面区域 G 上的初值问题 )(),(00 xyyyxfdxdy 其中00( , )x y G 若 ),( yxf 在区域 G 内连续且关于 y 满足局部 Lipschtiz 条件 ,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解 . 推论 2 设 ()yx 是初值问题 )(),(00 xyyyxfdxdy 其中00( , )x y G 的一个饱和解，则该饱和解的饱和区间 I 一定是开区间 . 证明 若饱和区间 I 不是开区间 ,不妨设 ( , I ,则 ( , ( ) G ,这样解 ()yx 还可以向右延拓 ,从而 ()yx 是非饱和解 , 矛盾 . 对 , )I 时 , 同样讨论 , 即 x ( 或 x ) 时 , ( , ( )x x G . 推论 3 如果 G 是无界区域 ,在上面解的延拓定理的条件下 ,方程 (3.1)通过00( , )xy点的解 ()yx 可以延拓 ,以向 x 增大 (减小 )一方的延拓来说 ,有以下两种情况 : (1) 解 ()yx 可以延拓到区间0 , )x (或0( , x)； (2) 解 ()yx 只可延拓到区间0 , )xm(或0( , mx)，其中为有限数，则当 xm 时，或者 ()yx无界 ,或者点 ( , ( )x x G . 例 1讨论方程 2 12dy ydx 分别 通过点 (0,0) 和点 (ln2, 3) 的解的存在 区间 . 解 此方程 右端函数 2 1( , )2yf x y 在整个 xy 平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件 .易知方程的通解为 11xxcey ce 故通过点 (0,0) 的解为 (1 ) / (1 )xxy e e ,这个解的存在区间为 x ； 通过点 (ln2, 3) 的解为 (1 ) / (1 )xxy e e ,这个解的存在区间为 0 x (如图所示 ).注意 , 过点 (ln2, 3) 的解为 (1 ) / (1 )xxy e e 向右方可以延拓到 ,但向左方只能延拓到 0 ,因为当 0x 时 , y . 例 2讨论方程 1 lndy xdx过 (1,0) 点的解的存在 区间 . 解 方程 右端函数 ( , ) 1 lnf x y x 在右半平面 0x 上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件 .区域 G (右半平面 )是无界开域， y 轴是它的边界 . 易知问题的解为 lny x x ,它于区间 0 x 上有定义、连续且当 0x 时 , 0y ,即所求 问题的解向右方可以延拓到 ,但向左方只能延拓到 0 ,且当 0x 时积分曲线上的点 ( , )xy 趋向于区域 G 的边界上的点 . 例 3 考虑方程 ),()( 22 yxfaydxdy ,假设 ( , )f x y 和 ),( yxfy在 xoy 平面上连续，试证明：对于任意0x及 ay 0，方程满足00 )( yxy 的解都在 ),( 上存在 . 证明 根据题设 ,易知方程右端函数在整个 xoy 平面 上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件 .又 ya 为方程在 ( , ) 上的解 ,由延拓 定理可知 ,对00,| |x y a,满足00)( yxy 的解()y y x 应当无限远离原点 ,但是 ,由解的唯一性 , ()y y x 又不能穿过直线 ya ,故只能向两侧延拓 ,而无限远离原点 ,从而解应在 ( , ) 存在 . 注 : 如果函数 ( , )f x y 于整个 xoy 平面 上定义、连续和有界 ,同时存在关于 y 的一阶连续偏导数 ,则方程 (3.1)的任一解均可以延拓到区间 x . 练习 试证对任意0x，0y，方程1222 yxxdxdy 满足初始条件 00 )( yxy 的解都在 ),( 上存在 . 3 解对初值的连续性和可微 性定理 在初值问题)(),(00 xyyyxfdxdy 中我们都是把初值 ),(00 yx看成是固定的数值，然后再去 讨论方程),( yxfdxdy 经过点 ),( 00 yx 的解 .但是 假如 00( , )xy 变动， 则相应初值问题的 解也 随之变动 ， 也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量 x ,还依赖 于初值00( , )xy.例 如 ： yyxf ),( 时 ,方程 yy 的解是xcey ,将初始条件 00 )( yxy 带入 ,可得 00 xxeyy .很显然 它 是自变量 x 和初始条件 00( , )xy 的函数 .因此将 对初值问题)(),(00 xyyyxfdxdy 的 解 记 为 ),(00 yxxy ,它满足0 0 0 0( , , )y x x y. 当 初值发生变化时，对应的解是如何变化的？ 当 初始