数学游戏与高中数学教育研究.pdf

辽宁师范大学 硕士学位论文 数学游戏与高中数学教育研究 姓名：冯威 申请学位级别：硕士 专业：学科教学（数学） 指导教师：王青建 2012-06 数学游戏与高中数学教育研究 摘要 内容摘要：本文以当前高中生在数学学习中出现的厌学情况为研究背景，发 觉要想转变当前高中生的数学学习情况，提高他们对数学学科的兴趣是必不 可少的。那么将数学游戏作为一种教学手段来引入课堂，可以大大的提高学 生的学习兴趣。 本文通过研究大量的有关数学游戏的资料的基础上，对数学游戏进行了 界定。根据以上界定的内容，提出了数学游戏应该具有趣味性、竞争性、智 力性和知识性等特点。并将数学游戏进行分类：数学游戏可分为数的游戏、 形的游戏、博弈游戏和逻辑游戏。 数学游戏，表面上都非常浅显易懂，容易上手，它们常常不需要过多的数学 储备知识便可以进行。但是不论是什么样的数学游戏，其内在都蕴藏着大量的数 学知识。数学家们往往讨论数学游戏中的数学思想、数学方法，进而去寻求数学 游戏中的一般规律。通过具体事例的分析，讨论数学游戏中包含了深奥的数学 思想和数学方法。 笔者从高中数学课堂教学的特点出发，总结概括了将数学游戏引入课堂， 对高中数学教学具有积极的促进作用。第一，数学游戏有助培养学生的数学兴 趣和学习的主动性；第二，数学游戏有助于渗透数学思想和树立正确的数学态度； 第三，数学游戏有助于获得数学知识；第四，数学游戏有助于推动新课程的实施。 对于将数学游戏引入课堂的过程中，如何设计数学游戏进行数学教学，笔者认为， 应该有几个步骤：选择游戏题材，确定教学目的：设定游戏教学，拟定游戏规则： 实施游戏计划，进行课堂教学。并以实际教学案例为载体，具体的说明数学游戏 在高中数学课堂上的应用。 关键词：数学游戏，数学学习，数学教学，学习兴趣 数学游戏与高中数学教育研究 a b s t r a c t c o n t e n t ：r e s e a r c hb a c k g r o u n dt ot h ec u r r e n th i g hs c h o o ls t u d e n t si nm a t h e m a t i c s l e a r n i n gw e a r i n e s s ， f o u n dt h a ti no r d e rt oc h a n g et h ec u r r e n th j 【g hs c h o o lm a t h e m a t i c s l e a r n i n g ，e n h a n c et h e i ri n t e r e s ti nm a t h e m a t i c si se s s e n t i a l t om a t hg a m e sa sat e a c h i n g t o o li n t ot h ec l a s s r o o mc a l lg r e a t l yi n c r e a s es t u d e n t s i n t e r e s t t h i sp a p e rs t u d i e so nt h eb a s i so fd a t ao fal a r g en u m b e ro fm a t hg a m e s ，m a t h g a m e sd e f i n e d a sd e f i n e da b o v e ，t h ec o n t e n t so fam a t hg a m es h o u l db ef u n ， c o m p e t i t i o n ，i n t e l l e c t u a la n di n f o r m a t i v ef e a t u r e s a n dm a t hg a m e st oc a t e g o r y ： m a t h e m a t i c a lg a m e sc a nb ed i v i d e di n t oan u m b e ro f g a m e s ，s h a p eg a m e s ，g a m e ，g a m e a n d l o g i cg a m e m a t hg a m eo nt h es u r f a c ea r ev e r ye a s yt ou n d e r s t a n d ，e a s yt ou s e ，t h e yo f t e nd o n o th a v et o om u c h k n o w l e d g eo ft h em a t h e m a t i c a lr e s e r v e sc a np r o c e e d b u tn om a t t e r w h a tk i n do fm a t h e m a t i c a lg a m e s ，i t si n h e r e n tb e a r sal o to fm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g e m a t h e m a t i c i a n st e n dt od i s c u s sm a t h e m a t i c a lt h i n k i n gi nm a t hg a m e ，m a t h e m a t i c a l m e t h o d s ，a n dt h e nt os e e kt h eg e n e r a lr u l e so fm a t hg a m e s t h r o u g ht h ea n a l y s i so f s p e c i f i ce x a m p l e s ，d i s c u s sm a t hg a m ec o n t a i n sp r o f o u n dm a t h e m a t i c a li d e a sa n d m a t h e m a t i c a lm e t h o d s f r o mt h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h eh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c st e a c h i n g ，t h ea u t h o r ， s u m m e du pt h em a t hg a m e si n t ot h ec l a s s r o o mh a sap o s i t i v er o l ei np r o m o t i n gh i g h s c h o o lm a t h e m a t i c s t e a c h i n g ：f i r s t ，m a t hg a m e s w i l l h e l pd e v e l o p s t u d e n t s m a t h e m a t i c a li n t e r e s t sa n dl e a r n i n gi n i t i a t i v e ；s e c o n d ，m a t hg a m e sw i l l h e l pt h e p e n e t r a t i o no fm a t h e m a t i c a li d e a sa n dt o e s t a b l i s h t h ec o r r e c ta t t i t u d et o w a r d s m a t h e m a t i c s ；t h i r d ，m a t hg a m e sh e l pt oo b t a i nt h em a t h e m a t i c a lk n o w l e d g e ；f o u r t h ， m a t hg a m e sw i l lh e l pt op r o m o t et h ei m p l e m e n t a t i o no ft h en e wc u r r i c u l u m h o wt o d e s i g nam a t h e m a t i c a lg a m em a t h e m a t i c a lt e a c h i n gf o rm a t hg a m e si n t ot h ec l a s s r o o m ， t h ea u t h o rb e l i e v e st h a tt h e r es h o u l db es e v e r a ls t e p s ：c h o o s et h eg a m et h e m e ，t o d e t e r m i n et h ep u r p o s eo ft e a c h i n g ；s e tt h eg a m et e a c h i n g ，t od e v e l o pt h er u l e so ft h e g a m e ；i m p l e m e n tt h eg a m ep l a nf o rc l a s s r o o mt e a c h i n g a n da c t u a lt e a c h i n gc a s e sa sa c a r d e r ，as p e c i f i cd e s c r i p t i o no fm a t h e m a t i c a lg a m ei nh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s c l a s s r o o m k e yw o r d s ：m a t hg a m e s ，m a t h e m a t i c ss t u d y ，m a t h e m a t i c st e a c h i n g ，s t u d yi n t e r e s t 数学游戏与高中数学教育研究 引言 为什么很多高中生对数学学习不感兴趣，甚至对数学学习“深恶痛绝”? 笔者认为有以下几方面的原因。第一，数学是研究现实世界的空间形式和量 的关系的科学，一般来说，具有四个显著的特点：高度的抽象性、体系的严谨 性、应用广泛性和发展的连续性。由于数学具有以上特点，使得学生很难理解数 学中高度抽象化的知识内容，使学生对于数学的印象是枯燥乏味、抽象难懂，更 加提不起对数学学习的兴趣。第二，数学体系是具有逻辑上的严谨性的，数学知 识是环环相扣的。许多学生在数学学习中的某一个环节上没有理解，就会造成对 以后学习上的困难。久而久之，就会对数学学习产生惧怕的心理。甚至认为自己 就是学不好数学，从而产生了放弃的念头。第三，从教学方式上看，许多的数学 课堂都存在着“满堂灌”、“填鸭式”传统教学现象。这种教学方式很大程度上扼 杀了学生学习数学的兴趣，使学生在数学课堂中处于被动地位，不能积极的参与 到数学学习中。 普通高中数学课程标准( 实验) 在课程性质中提出“高中数学课程提高 提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基 础性的作用。有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简 单实际问题的能力。 在课程的基本理念中提出“倡导积极主动、勇于探索 的学习方式注重提高学生的数学思维能力”在课程目标中提出“通 过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。提高学习 数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度”。 由此可见，纲要要求在课程中要锻炼学生自主学习的能力，锻炼学生的数学 思维，必须充分调动学生学习的积极性，激发学生对数学学习的兴趣，让学生自 发的参与到数学学习中去。陆1 伟大的科学家爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师。 意思是说是说一个 人如果对某些事产生了浓厚的兴趣，他就会主动去求知、去探索、去实践，并且 在求知、探索、实践的过程中产生愉快的情绪和体验。所以古今中外的教育家无 不重视兴趣在智力开发中的作用。怎样才能提高学生学习数学的兴趣呢? 学习兴 趣是学习动机中、最现实的部分。作为一名数学教育工作者，要想让我们的学生 对数学产生兴趣，使学生自愿的参与到数学学习中，就必应该想方法去提高数学 数学游戏与高中数学教育研究 教学中的趣味性。而采用数学游戏教学不失为一种较好的解决方法。数学游戏的 教学，学习数学知识是目的，而数学游戏在教学过程中起到桥梁的作用，以具体 的、活泼的形式来完成数学知识的学习，使学生的数学学习变成一个生动活泼的、 主动的和具有个性的过程。教师激发学生的学习积极性，给与学生充分的自主的 参与到数学活动的机会，启发学生自主探索和合作交流的能力，让他们在此过程 中真正的去理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和数学方法。让学生通 过实践来进行自主的学习思考，在解决问题的过程中学习与他人交流合作，表述 自己的观点，进而来提高学生的素质。 数学游戏与高中数学教育研究 1 、数学游戏的界定与举例 提到游戏，人们首先联想到的就是娱乐。的确，游戏就是用来玩，用来 娱乐的途径。游戏可分为智力游戏和活动性游戏，前者如文字游戏、逻辑游戏、 图画游戏等众多与智力有关的游戏类题目总称，此类游戏以提高人们的智力为 目的。后者如赛跑及利用各种器材进行的活动，主要以锻炼人们的身体为目 的，多为集体活动，并有规则和情节，具有竞赛性。 1 1 数学游戏的界定 数学游戏属于智力游戏，是一种运用数学知识的大众化的智力娱乐活动， 它寓数学问题于游戏之中，让人们在做游戏的过程中学到数学知识、数学方法和 数学思想。所以但凡是蕴含着数学原理，在游戏的过程中应用到数学知识或数学 方法的智力游戏都可以归结为数学游戏。它寓数学问题于游戏之中，让人们在做 游戏的过程中学到数学知识、数学方法和数学思想。“数学游戏”作为一个专有 名词历史不长，但将数学作为游戏由来已久。数学史上比比皆是数学游戏的例证。 2 0 世纪9 0 年代，国内相继翻译了数本关于数学游戏的著作。实际上，数学的确有 许多游戏的成分在里面，我们经常提及的各种智力游戏多数也都是数学游戏。数 学游戏是发展智力的重要手段之一。一些数学游戏还为某些数学分支的诞生和发 展起到了促进作用。狭义地说，数学游戏只包括运用到数学知识，或是可以用数 学知识解决的智力游戏，这其中包括一些逻辑悖论游戏、棋类游戏和计算机游戏 等。广义地说，数学本身就可以看作是一种游戏，只不过这种游戏要涉及哲学、 艺术、科学等更为广泛的人类文化范畴。n 3 1 2 数学游戏的特点 数学游戏既是游戏又是数学问题，它的结果是部分未知或全然未知的， 可以使学生产生极大的兴趣，积极去探索结果。所以数学游戏应该具有趣味 性、竞争性、智力性和知识性等特点。随3 ( 1 ) 趣味性。为什么数学游戏具有难以抗拒的魅力，很重要的一个原因就 是它具有一般游戏的性质趣味性强、令人兴奋、具有挑战性等。比如数独游 戏，在入门级学生感到简单有趣，后来又经历进阶级、骨灰级，难度逐级上升， 在闯关过程中，学生们的好奇心好胜心为揭示数学现象的本质提供了强大的动力， 很具有挑战性。 一穹 数学游戏与高中数学教育研究 另一个原因是游戏所涉及到的问题和内容十分有趣极其吸引人，并且浅显易 懂，不需要很多的预备知识，只需要掌握一些基本的数学知识，初学者就可以参 与到游戏中去，理解数学学科的很多内容。比如毕达哥拉斯学派通过石块的游戏 列举的定理就非常有趣。 ( 2 ) 竞争性。在数学游戏的过程中，始终体现着积极进取与竞争精神。竞争 在数学游戏中最具生命力和吸引力，它能够激发学生积极进取的心智，鼓舞学生 用于挑战的意志，使他们在游戏过程中的各种情感上的体验更加深刻，影响也更 为广泛。 ( 3 ) 智力性。通过游戏活动，让学生积极主动动脑，在游戏的过程中使学 生的思维得到很好的锻炼，激起学生独立思考的热情，培养学生的创新意识和解 决问题的能力，发展学生的数学思维能力，从而开发学生的智力。比如扑克游戏 中，学生能通过亲身观察来进行实验、类比等方法来产生自己的数学猜想，并努 力地寻求证明猜想的证据，进而得出相应的结论；在与他人进行交流的过程中， 能够通过数学语言，符合逻辑思维进行质疑与讨论；并能够在此基础上对已有的 数学游戏进行解释和创新。 ( 4 ) 知识性。数学游戏中蕴含着解决游戏相关的数学知识、数学原理、数 学思想和数学方法。比如在河内塔游戏中，学生经历从一般化到特殊化进行类比 和归纳等过程，培养和训练学生的数学思想方法。再比如通过一笔画游戏和二进 制游戏，学生们除了学到数学的内容，还体验了数学的思维方式，学会用数学思 想思考实际生活问题，用数学方法去解决实际问题，了解只要善于运用数学的眼 光、数学思想和方法来观察事物，分析问题，就能够把生活、生产中的某些实际 问题转化为数学问题，并运用数学的方法来处理和解决。 1 3 数学游戏举例 我们平时遇到的智力游戏，大多都属于数学游戏，其中都蕴含着相应的数学 知识、数学思想和数学方法。 数独。报刊或者杂志中经常会刊登一种叫做数独的智力游戏，就属于数学游 戏。数独游戏在世界范围内广泛流传。它是由9 9 的8 1 个小格所构成，其中又 包含了9 个九宫格。游戏过程就是在九宫格中给出一些固定的数字，根据规则填 写出空格处的未知数字，要求填写数字卜9 ，并且使得每一横排和竖排中，每个数 数学游戏与高中数学教育研究 字只允许出现一次。 七巧板。七巧板是中国古 代民间流传的一种智力游戏。 它由一块正方形的板切割成 的七块小板组成，由一个平行 四边形、一个正方形和五个大 小不等的三角形所构成( 如图 1 3 - 1 ) 。 七巧板结构简单，通俗易 懂，用七块不同的小板可以拼 接出多种多样的图案。这正是 图1 3 - 1 七巧板能够广泛流传的原因。因为七巧板的结构简单，所以往往给人们的感觉是 游戏简单。但是这种见解实际是片面的，通过七巧板能够拼接出1 6 0 0 多种图案， 人物、动物、建筑等等。如果给定我们范围来进行拼接，那么难度就会上升。 魔方。魔方是19 7 4 年匈牙利布达佩斯建 筑学院厄尔诺鲁比克( e r n r u b i k ) 教授为 了锻炼学生的空间想象力和空间思维能力 发明的一种教学道具( 如图1 3 - 2 ) 。他将 魔方转动几次之后发现，怎样才能把打乱的颜 色方块复原是一个非常困难却很有趣的问题。 标准魔方是3 阶的，每个边含3 个小的正 方体。由6 个中心方块( 固定不动，只有1 面 有颜色) 、8 个角块( 可转动，3 个面有颜色) 和1 2 个变块( 可转动，2 个面有颜色) 所组成。 图1 3 - 2 后来又出现了2 阶魔方和4 阶魔方以及多阶魔方。随着研究的深入和玩法的创新， 还出现了许多魔方的类似玩具。 因为魔方构思巧妙、图案千变万化和蕴含着深奥的数学原理而轰动一时，被 评为是当时世界最佳游戏，并在不久就风靡世界。 数学游戏与高中数学教育研究 2 、数学游戏的分类与表现 按游戏的表现形式和解答方法，数学游戏可分为数的游戏、形的游戏、博弈游 戏、逻辑游戏等。 2 1 数的游戏 主要指表现形式为数，也可以是通过建立数量模型来解决的游戏。解决此类游 戏过程经常要用到算术、代数、排列、组合、概率、数论等方面的知识，所以也 可细分为算术游戏和代数游戏等。数的游戏要讨论的是数字间的关系，涉及到的 内容多数为初等数学，解决起来通常也比较容易，但是当找出解决某一类的问题 都普遍适用的方法的时候，却很容易引申出高等数学的知识。 2 1 1 算术游戏 算术游戏又包含两方面的问题：一种是算数，常见的是数字间的关系及各种数 字趣逸事等。例如，我们经常可以遇见的二十四点问题：给定几个数字，在不改 变排列顺序的情况下，只添加运算符号和必要的括号，使其运算结果等于2 4 ，这 种问题解决起来灵活多变，方法多样。另一种是运用算术知识解决的问题。例如， 在大约1 5 0 0 年前，孙子算经中就记载了这样一个有趣的问题，书中的描述这 样的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何? ” 这就是著名的“鸡兔同笼”问题。这类问题常用的是假设法：假设3 5 只都是 鸡，那么应有足7 0 只，而与实际足数的差距就应该是每多出2 足，就多出1 只兔子，那么应该有兔子1 2 只，这样也就算出有鸡2 3 只。这类问题常用代 数方法解决，使问题简单化。 2 1 - 2 代数游戏 代数游戏一般是指运用方程或者方程组来进行求解的问题。很多有趣的代 数游戏问题引申出多元方程组的求解问题。从这一方面我们也不难看出，数 学游戏很多时候寓教于乐，也促进数学的发展。 2 2 形的游戏 形的游戏主要是指表现形式为几何图形或者是可以通过建立几何模型来进行 求解的问题。解决此类游戏过程经常要用到几何、图论等方面的知识。许多形的 游戏可以用实物模型来表示，借此增强趣味性，如七巧板、魔方、华容道等。 华容道是中国古老的智力游戏，它与魔方、独粒钻石游戏一起被并称为“智 f ； 数学游戏与高中数学教育研究 力游戏界中的三个不可思议”。华容道游戏取材三国演义中“赤壁之战”后， 曹操败走华容的故事。华容道以此故事为背景，设置了一个4 x 5 的棋盘，棋子共 计1 0 枚，其中包括2x2 棋子1 枚代表曹操，1x2 或者2x1 棋子5 枚代表五虎大 将，1xl 棋子4 枚代表兵士。游戏要求在这1 0 枚棋子在某一种开局的情况下，使 曹操移动到下方的出口逃脱。数学家研究其一般的规律，最终通过计算机得出曹 操逃出最快需要8 1 步。n 2 3 2 3 博弈游戏 博弈游戏是指一些带有竞技性质的游戏。这类游戏多是两人或者多人共同参 与的，它们有固定的规则所支配，参与游戏的人要按照事前定下的规则来进行。 博弈游戏最后的结果是要出现游戏中的赢家和输家，那么数学家所探讨的就是怎 么样才能够成为赢家的秘诀。 各种牌类游戏和棋类游戏都属于博弈游戏。博弈游戏一般较少的涉及数学知 识，不论你是否精通数学，都可以按照相应的游戏规则来进行游戏。此类游戏双 方都是在无法预测游戏结果的前提下进行博弈，这也是这类游戏最吸引人的地方。 普通的游戏者要凭借自己的智慧来争取在博弈中取胜，而数学家们则是寻求在各 种情况下能够决胜的策略和规律。 2 4 逻辑游戏 逻辑游戏是那些运用逻辑上的推理来进行解答的智力游戏。较为经典的有以 下几个问题。 分油问题。有一个8 斤的油桶里装满了油，现在要用一个5 斤的油桶和一个3 斤的油桶，不借助称量，最终分出4 斤的油。此类问题有多种问法和解法，其主 要思路是如何能够首先分出1 斤的油，再借助3 斤桶就可以顺利的得到4 斤的油。 摆渡问题。一个船夫想要带着一只羊、一只狼和一袋卷心菜过河，但是他每 一次只能带一件货物，如果船夫不在，狼就会吃掉羊，同样羊也会吃掉卷心菜。 那么船夫能不能将3 样货物都运过河呢? 我们要做的就是不能让狼和羊或者是羊 和卷心菜同时在河的一岸就可以了。常见的问题还有三位美丽的新娘和她们的爱 吃醋的先生一同旅行。他们来到了一条河边，但只有一条小船，小船一次只能载 二人。为了避免有人吃醋，他们约定：除非自己的先生陪在身旁，否则不论哪个 新娘都不得和其他男人在一起。问怎样安排渡河7 7 数学游戏与高中数学教育研究 称球问题。有几个大小、形状都相同的球，其中有一个与其它的质量不同。 问如果用天平但是不加砝码，最少要称多少次能够找出这个不同质量的球? 这类 问题也有的是给定球的数量和次数，问如何来称量。 数学游戏与高中数学教育研究 3 、数学游戏中的数学方法 数学游戏所带来的益处往往不是数学游戏包含的内容，而在于数学游戏的过 程。数学学习也是一样，知识点固然重要，但是数学学习过程一一数学方法更值 得重视。 我们常见的数学游戏，表面上都非常浅显易懂，容易上手，它们常常不需要 过多的数学储备知识便可以进行。但是不论是什么样的数学游戏，其内在都蕴藏 着大量的数学知识。数学家们往往讨论数学游戏中的数学思想、数学方法，进而 去寻求数学游戏中的一般规律。 善于总结规律在数学学习中显得尤为重要。很多高中生在数学学习过程中不 善于总结规律，只是一味性的去记忆各种公式，但是在做各种各样的练习时却显 得非常吃力。他们不懂得在遇到不同的问题时，学习过的各种知识如果运用到实 际做题中，不能够做到总结各类练习题的解题技巧，方法运用不当，做题事倍功 半。实际上，数学游戏中虽然可以不去运用过多的数学知识，但是通过接触数学 游戏，却可以培养数学方法的运用。 我们就以几个数学游戏的实例，具体来体会一下一个简单的数学游戏中所蕴 含的数学方法。 3 1 “九连环”与数列 “九连环”是 中国先人所创造的 一种智力游戏。它 的起源有多种说 法，这其中最远的 要追溯到春秋战国 时期。 “九连环”的 主体是9 个套在环 柄上的环，环柄两 端分h , jr , q 环钗和柄 图3 1 - 1 把，环可以从钗把这一端套上环柄或取下，但不能从柄把这一端套上或取下( 如 数学游戏与高中数学教育研究 图3 卜1 ) 。九连环的常规玩法是将9 个环都取下或者再都套上。口鄙 要卸下9 个或装上9 个环，必须了解以下两个原理。 原理l ：第一个环任何情况下，可上也可下( 如图3 卜2 ) 。 图3 1 - 2 原理2 ：如果某一个环在上，而它前面所有的环都在下，那么这个环的后一个 可上也可下。这也就是说，我们要想把第n 个环卸下，那么第n 一1 个环要留在架 上，而第n - 1 个环前面的所有的环都不能在架上。( 如图3 卜3 ) 。 = ，_ 一 莹长 一一 图3 1 3 有了上面的两个原理我们就可解决“九连环”了。也就是说，要想解一个9 连环，就是先解一个7 连环，再解第9 个环，再上7 连环，再解一个8 连环 以此类推。 那么解一个“九连环”总共需要几步呢? 由原理1 我们可以知道，解1 个 环只需要1 步，而解2 个环则根据原理2 可推出公需要2 步( 下2 环，再下1 环) ， 可是当环数增加时，我们很难直接的数出用多少步可以完成。我们用数列的 方法来给出解n 连环的步数：记解开n 连环的总步数为s 。，卸下每个环的步数为 a 。那么由原理2 我们知道要卸下第r 1 个环，需要先卸下前n 一2 个环总步数为s 盹， 在卸下第n 个环需要1 步，在装上前n 一2 个环需要s 脱步( 装上和卸下的步骤是正 好相反的，步数也就相同) ，总计要卸下第n 个环需要a 。= 2 s 肫+ l 步。 这样，解开一个r l 连环的步数用数学语言来表述就是： 1 0 数学游戏与高中数学教育研究 已知s l = 1 ，s 2 = 2 ，a 。= 2 s 盹+ l ，求s 。( n 3 ) 解：因为a 。= 2 s 棚+ 1 ， 所以s 。一s 州= 2 s 盹+ 1 两边同时加上2 s 川+ 1 得 s 。+ s 。+ 1 + 1 = 2 ( s 。一l + s 。一2 + 1 ) 所以s 。+ s 。一l + 1 = 2 ( s 。一1 + s 。一2 + 1 ) - - 2 2 ( 一2 + s 。一3 + 1 ) = = 2 - 2 ：+ & + 1 ) 所以s 。+ s 。_ l + 1 = 2 ” 所以s 。一詈2 4 + 互1 = 一 s 。一，一；2 “_ 1 + j 1 ) 所以 s 。一2 3 , 2 n + 三= 一( s 。一。一詈2 ”- l + 丢 = ( - ，) 2 ( s r 。一：一詈2 n - 2 + - 三1 = = ( _ ，) ”q ( 墨一；2 + 三) 整理得 s 。= 丢 2 ”+ 2 3 + ( - ) “_ 1 】 至此我们可以得出解一个“九连环”共需要墨= 吉【2 9 + 2 3 + ( - 1 ) 9 。1 _ 3 4 1 步。 3 2 梵塔问题 梵塔问题也叫汉诺塔问题或者河内塔问题。在印度，有这么一个古老的传说： 位于世界中心贝拿勒斯( 在印度北部) 的圣庙中，有一块黄铜板上插着三根 宝石针。梵天( 印度教的主神) 在创造世界之时，在其中一根宝石针上由下 至上地穿好了由大到小的6 4 片金片，这就是我们所说的汉诺塔。不论何时， 总有一个僧侣在按照一定的规则来将这些金片进行移动：每一次只能移动一 片金片，不管金片位于在哪根宝石针上，小片必须位于大片之上。僧侣们预 言，当所有的金片都从梵天穿好的那根宝石针上移到另外一根宝石针上时， 世界末日即将到来，而梵塔、庙宇和众生也都将轰然消失。乜1 数学家们在研究这个问题的时候总是研究他的一般规律和最小步数。1 8 8 3 年 法国数学家吕卡指出，僧侣们要想完成这个任务，最少需要搬动金盘2 6 1 1 次。假 设每1 秒钟可以搬动一次，则全部完成需要5 8 4 0 多亿年! 数学游戏与高中数学教育研究 现在我们来观察梵塔问题( 如图1 3 2 - 1 ) ，就是将a 塔上的所有盘子都移动 到c 塔上。此时，我们要注意两个问题： b c 图1 3 2 1 ( 1 ) 每次只可以移动一个盘子； ( 2 ) 小的盘子必须在大的盘子上。 那么，将a 塔上的n 个盘子都移动到c 塔上，总共需要几步呢? 我们可以看到， 要想将最大盘子( 第n 个) 移动到c 塔，其余的盘子都应该在b 塔上( 如图1 3 2 2 ) ， 再将b 塔上的盘子移动到c 塔上。 a 、 、 、 、 ，一 l 。一。p 一一一。 _ b c 图1 3 2 2 这个时候实际问题就转化为了将n 一1 个盘子从a 塔移动到b 塔的问题了，这 里我们要注意，上面的n 一1 个盘子实际上移动了两次( a b ，b c ) 。所以要移动 n 个盘子的总步数s 。= 2 s + 1 ，此递推公式的数学解就是s 。= 2 ”- 1 。 但是，这里还有一个问题，当我们移动第一个盘子的时候，是移动到b 塔上 还是移动到a 塔上呢? 从上面我们可以看到，要想最后一个盘子移动到c 塔上， 那么前n - 1 个盘子都要先移动到b 塔上，也就是第n 一1 个盘子要移动到b 塔上。 那么，要想将第n - 1 个盘子移动到b 塔上，就需要前n - 2 个盘予都移动到c 塔 数学游戏与高中数学教育研究 上。以此类推，我们不难发现，当n 为奇数或者偶数时，第一个盘子移动到b 塔或者是c 塔是不同的：当n 为奇数是，第一个盘子首先应该移动到c 塔，当n 为偶数时，第一个盘子首先应该移动到b 塔。 3 3 博弈游戏与概率 现有庄家摇三个骰子，约定规则：如果同时出现三个6 点，则庄家付给游戏 者5 0 元：如果同时出现两个6 点，则庄家付给游戏者1 0 元；而如果只出现一个6 点或者没有出现6 点，则游戏者只需付给庄家5 元。那么如果你参与这个游戏， 输和赢的概率哪个更大呢? 其实这个问题不难解答。分别设同时出现三个6 点、同时出现两个6 点和最 多出现一个6 点的概率分别为只、最和弓。 那么曰：三! ! ：上 6 6 6 2 1 6 只：3 一1 一1 三：旦 6 6 62 1 6 只：l 一上一旦：型 。 2 1 6 2 1 62 1 5 这样我们就可以算出游戏者可得 5 0 上+ 1 0 旦：一2 0 0 ( 元) 2 1 62 1 62 1 6 而庄家可以得到 ，2 0 01 0 0 0 ，、 3 = l 兀) 2 1 62 1 6 很明显庄家可以赢得更多的钱! 同样类型的问题还有如下：假如你有1 0 0 元，现在有3 长2 短共5 支竹签， 如果抽出长的竹签，那么你将得到你手上已有的钱数的一半作为奖励，如果抽到 短的竹签，那么你将失去手上一半的钱作为惩罚。表面上看，长的要比短的多1 个，你应该是稳赢的。但是如果你没有计算就同意下来，那么你就输定了。 为什么会输呢? 实际上我们通过一个简单的计算就会明白了。如果你抽到的 是长的竹签，那么你手上的钱将变成原来的1 5 倍，但是如果你抽到的是短的竹 签，那么你手上的钱就会变成原有的0 5 倍。你最后剩下的钱其实与你第几次抽 到哪支签是无关的，最后你只会得到1 0 0 1 5 1 5 x1 5 0 5 x 0 5 = 8 4 3 7 5 元! 1 穹 数学游戏与高中数学教育研究 数学游戏中不仅仅涉及到数列、概率这些知识，不同的数学有所涉及到的数 学知识以及数学方法，几乎可以涵盖所有的数学分支，在遇到不同的数学游戏问 题时，不能变得盲目。有些游戏者在进行数学游戏时，不断的去尝试，当通过一 个游戏时，心中沾沾自喜。但是，很多时候此类游戏者靠的是对于游戏结果的盲 目尝试，当他解开某一个游戏时，并为对这类游戏中的数学方法做出理性的归纳， 没有找出游戏中所潜在的规律。往往结果是再遇到此类问题，游戏者还是不能找 到游戏的切入点，再一次的陷入盲目尝试中。 更多的人在做数学游戏的同时，找寻游戏中的数学方法，在数学游戏中既得 到了游戏所带来的愉悦，也掌握了更多解决数学问题的数学方法。 数学游戏与高中数学教育研究 4 、数学游戏与高中数学教育的关系 数学作为高中教育的一门基础学科，占有很重要的地位。普通高中数学课 程标准( 实验) 中强调要注重学生的数学学习过程，因此数学学习在学习方式上 不能再是传统的教师“满堂灌”，学生“被动听讲”，解题能力以多做练习的方式 来进行，而数学学习应该是一个充满活力的过程。在数学教学中相应的加入数学 游戏对于改善我们的课堂教学就起到积极的促进作用。 4 1 数学游戏有助培养学生的数学兴趣和学习的主动性 数学是研究现实世界的空间形式和量的关系的科学，一般来说，具有四 个显著的特点：高度的抽象性、体系的严谨性、应用广泛性和发展的连续性。由 于数学具有以上特点，使得学生很难理解数学中高度抽象化的知识内容，使学生 对于数学的印象是枯燥乏味、抽象难懂，更加提不起对数学学习的兴趣。只有让 学生提高对数学学习的兴趣，才有可能把数学学好。 由于数学游戏应该具有趣味性、竞争性、智力性和知识性等特点，所以可 以通过在高中课堂中加入数学游戏，以娱乐的形式出现，令学生耳目一新，使许 多数学理论变得生动有趣，来培养学生积极寻求问题解答的好奇心和对数学的兴 趣。而好奇心和兴趣会成为学生积极参与到数学学习中的强大推动力，这样的数 学学习会成为学生在数学学习过程中精神上的享受和心理上的追求，使数学学习 不再枯燥乏味，充满了乐趣。 当学生对于数学学习产生了浓厚的学习兴趣，学生们就会自主的去进行学习。 比较其他的数学教学方法，加入了数学游戏的教学方式会使得学生真正的参与到 教学过程中去，他们会积极去探索，寻求成功的快乐，学习主动性自然会提高。 当学生主动去学习的时候，数学学习就不会再是枯燥的、无趣的，而是一个享受 的过程。 4 2 数学游戏有助于渗透数学思想和树立正确的数学态度 数学游戏有着极大的数学教育价值。加德纳曾经如此的评价过数学游戏：“唤 醒学生最好的方法是向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖 论、打油诗或是那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。”数学游戏有利于 学生更加深刻地理解数学精神，培养学生正确的数学态度。 数学游戏与高中数学教育研究 由于许多数学游戏的解决需要创造性思维，甚至是瞬间闪现的灵感和高度的 洞察力，因而数学游戏对于培养创造性思维也起着不可低估的作用。有的数学游 戏就是为了服务教育而创造的。比如，魔方的发明就是为了提高学生的空间想象 能力和建筑图案的设计能力，增加学生的感性认识而发明的。但是魔方所蕴含的 数学思想为数学家们所喜爱。 数学的体系是严谨的，学习数学的过程应该由浅入深，循序渐进。而数学游 戏，表面上都非常浅显易懂，容易上手，它们常常不需要过多的数学储备知识， 只要掌握一些基本的数学知识便可以进行。在游戏的过程中，娱乐的成分更多， 但是当学生想把游戏玩通、玩精，就必须更深一步的去了解游戏中所包含的数学 方法。在游戏的过程中，学生不可避免的会遇到一些困难，积极的想办法解决困 难可以锻炼学生的意志力，进而做到培养学生们在数学学习的过程中敢于面对困 难，勇于探索的精神，树立正确的数学态度。 4 3 数学游戏有助于获得数学知识 在数学教材中应该包含一些数学游戏，这样能够使学生集中精神投入到问题 的解决中，在解决这些问题的过程中掌握相关的数学知识。也可以用数学游戏来 巩固和深入所学内容，在课堂上不仅能活跃气氛，还可以提高学生的想象力，学 生通过讨论获得更多的知识和结论，较深入地理解数学。例如，丢番图墓碑上的 诗歌碑文，大意是他的一生有六分之一是同年，十二分之一是青年，七分之一是 单身汉，结婚五年之后有了一个儿子，他的儿子比他早去世四年，只活了他的年 龄的一半，求丢番图的年龄。这其中包含了算术的知识，也包含了代数知识。这 样的问题很容易引发学生的兴趣，学生在积极思考的同时也学会了游戏中所蕴含 的数学知识。 4 4 数学游戏有助于推动新课程的实施 普通高中数学课程标准( 实验) 中要求在课程中要锻炼学生自主学习的能力， 锻炼学生的数学思维，必须充分调动学生学习的积极性，激发学生对数学学习的 兴趣，让学生自发的参与到数学学习中去。数学游戏在对于纲要中所提及的 要求可以起到良好的促进作用。将数学游戏加入数学教学中，可以很好的激发学 生学习数学的兴趣，可以让学生自发的参与到数学学习中去，提高学生的学习积 数学游戏与高中数学教育研究 极性，还可以使学生的数学思维得到相应的锻炼。 数学游戏不仅是提高数学素质的手段，也是综合素质教育的必要措施。它不 但可以作为数学教学的辅助手段来引入教材，还可以作为一种数学欣赏来介绍给 学生。 对于数学游戏而言，游戏的方法并不能取代一切，但是如果在正规严肃的教 学方法之外多为学生提供机会去参加一些数学游戏，将会起到事半功倍的效果。 数学游戏可以使任何水平的学生都从自己的最佳观测点面对每一个题材。学生除 了学到数学的内容，体验数学的思维方式，还可以培养正确的学习态度：不同的 思路、创造、动力、兴趣、热情、喜悦等。 将数学是为游戏在教育中是有益的，可以使学生在轻松的心态下学习数学， 甚至可以做到对前人的数学成果进行欣赏。由于游戏的规则激励竞争，还可以使 学生形成学好数学的愿望。 数学游戏与高中数学教育研究 5 、数学游戏引入高中课堂的教学实例 5 1 教学过程中数学游戏的设计 如何来设计数学游戏来进行数学教学，其过程应分为以下步骤。 5 1 1 选择游戏题材，确定教学目的。 在教学中，选择适当的数学游戏才能够将学习内容和游戏过程有机的结合在 一起。适当的数学游戏可以使得教学过程更加的顺利。游戏与教学内容不能很好 的同步配合，教学目的也很难实现。为了能够使数学游戏融入教学更加的顺利， 笔者认为选择数学游戏应该符合以下几点。 ( 1 ) 游戏的题材应该适合教学内容。我们之所以要将数学游戏引入课堂教学， 其目的是为了引发学生对数学学习的兴趣，让全体学生都积极、愉快地投入活动。 所以在选择游戏的时候应该注意游戏是否符合知识内容，不能只是为了取悦学生 而进行游戏。 ( 2 ) 游戏的内容不宜过难。数学游戏在教学过程中所起到的应该是激发兴趣、 辅助教学的作用。所以选择的游戏不应该有繁杂的计算和证明，游戏的过程是为 了让学生学习游戏里所蕴含的数学知识。 ( 3 ) 游戏规则应该明确、合理，游戏的程序应该简单明了、易于操作，游戏 应该具有趣味性、竞争性、智力性和知识性等特点，不应该是单纯的练习题。 ( 4 ) 游戏要具有挑战性。选择的数学游戏要能够激起学生对解决问题的 欲望，让学生都能够自主的加入数学学习过程，充分去调动学生的学习积极 性。 5 1 2 设定游戏教学，拟定游戏规则 游戏能否顺利的进行，需要有较为严密、合理的游戏规则。在制定游戏规则 时，应该考虑让所有的学生都参与到游戏中去。学生的活动和课堂的流程都是根 据游戏规则来引导向既定的方向去发展，通过游戏规则来把教学任务顺利的完成。 数学游戏有多种分类，所以在在对不同的游戏制定规则时，要求也就不一样。 有些游戏是为了让学生理解数学知识，在制定规则的时候应该让更多的学生参与 到游戏中去，在游戏中去体会数学知识、数学思想和数学方法。有些游戏是为了 锻炼学生的操作能力，通过动手操作来培养学生发现问题、解决问题的能了，在 数学游戏与高中数学教育研究 制动规则的时候应该注意规则的简明性，不宜繁杂，让学生真正的参与进来，更 多的去体现竞争性。 5 1 3 实施游戏计划，进行课堂教学 游戏设计好后，就要进行实际的课堂教学。在游戏教学的过程中，教师应该 处于引导整个游戏的领导者，教师可以作为裁判参与到游戏中，鼓励更多的学生 来参与到游戏中去，绝不能放手让学生自己去玩，要主导整个游戏的流程，要应 用各种手段去营造愉快的游戏气氛，保持学生的游戏情绪和对游戏的兴趣。 课后教师也应该对游戏的结果进行反思，看看是否真的达到了教学要求。学 生是否真的理解了教学内容，能力是否得到了提高。便于对以后的教学提供帮助。 5 2 数学游戏在课堂教学中的实施 【案例一】3 1 3 频率与概率( 人教b 版必修3 ) 1 、知识与技能目标 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一 步了解概率的意义以及频率与概率的区别。 2 、过程与方法目标 在教学过程中注意培养学生的操作、归纳、探求规律的能力和利用数 教学学知识解决实际问题的能力。 目标3 、情感、态度与价值观目标 通过学生的实际操作，归纳、探求规律，激发学生的学习兴趣，以及 探寻事物规律的强烈愿望，在随机中存在着规律，规律中叶存在着随机。 在课堂学习中，学生既有实际操作，又有独立思考、合作探讨，有意识、 有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神。 重点教学重点：频率的概念和概率的统计定义。 难点教学难点：概率的统计定义以及频率与概率的区别与联系。 方法采用问题的探究式教学法，加入数学游戏，通过学生的实际操作以及 指导对数据的分析，发现并归纳规律，从而使问题得以解决。 教学复习引入 过程教师：同学们，现在我来问大家几个问题。 数学游戏与高中数学教育研究 ( 1 ) 足球比赛开始前，利用掷硬币的方式选择场地和进攻的方向， 你认为合理么? 学生回答：合理。 ( 2 ) 掷两次硬币，正面向上的频率是多少呢? 如果掷1 0 次呢? 学生回答：不一定，每次投出的频率是不同的。 ( 3 ) 掷1 0 0 次硬币，正面向上的频率大概是多少? 学生回答：大概是0 5 。 ( 4 ) 做大量实验呢，大概频率是多少? 现在我们就来玩一个掷硬币 的游戏。同学们请每4 - 5 个人一组分成小组。各小组将一枚