设计串联解耦环节实现系统的解耦控制 (自动保存的).docx

设计串联解耦环节实现系统的解耦控制绪论解耦控制又称为一对一控制，是多输入多输出线性定常系统综合理论中的一项重要内容。对于一般的多输入多输出受控系统来说，系统的每个输入分量通常与各个输出分量都互相关联（耦合），即一个输入分量可以控制多个输出分量。反过来说，一个输出分量受多个输入分量的控制。这给系统的分析和设计带来很大的麻烦。所谓解耦控制就是寻求合适的控制规律，使闭环系统实现一个输出分量仅仅受一个输入分量的控制，也就是实现一对一控制，从而解除输入与输出间的耦合。方法有串联解耦和状态反馈解耦。 在多变量系统中,不同的输入和输出之间存在着耦合,即系统的第一个输入量不但会对第一个输出量产生影响,而且还会影响到其他的输出量。这样就造成了控制系统设计和实际操作的困难。因此,控制领域的工程人员就提出了解耦的思想,试图把多变量系统分解为多个单变量系统。解耦控制的思想最早是由gilbert完成的。当时称为morgan问题。解耦问题是多输入多输出线性定常系统综合理论的一个重要组成部分。其目的是寻找合适的控制规律使闭环控制系统实现一个输出分量仅仅受一个输入分量控制,而且不同的输出分量受不同的输入分量控制,从而可以运用经典的控制系统综合方法进行系统校正,以使系统的动静态性能及各项指标满足工程实际的需要。第一章：建立数学模型1.1 数学模型 若一个系统（a,b,c）的传递函数g（s）是非奇异对角矩阵，即g(s)=g11(s)g22(s)gmm(s)则称系统（a.b.c）是解耦的。由式可知，此时系统的输出为g11(s)g22(s)gmm(s)u1(s)u2(s)um(s)整理可得y1s=g11(s)u1(s)y2s=g22(s)u2(s)yms=gmm(s)um(s)由此可见，解耦实质上就是实现每一个输入只控制响应的一个输出，也就是一对一控制。通过解可将系统分解为多个独立的单输入单输出系统。解耦控制要求原系统输入 与输出的维数要相同，反映在传递函数矩阵上就是g（s）应是m阶方阵。而要求g（s）是非奇异的，等价于要求g11(s)，g22(s)，gmm(s)应均不等于零。否则相应的输出与输入无关。1.2 串联解耦所谓串联解耦，就是在原反馈系统的前向通道中串联一个补偿器gc(s)，使闭环传递矩阵gf(s)为要求的对角矩阵g(s),系统的结构如图其中，g0（s）为受控对象的传递矩阵；h为输出反馈矩阵；gp(s)为前向通道的传递矩阵。为简单起见，设各传递矩阵的每一个元素均为严格真有理分式。由图得系统的闭环传递函数矩阵为gf(s)=i+gphgp(s)=g(s)gp(s)=g(s)i+g(s)hgp(s)=g0(s) gc(s)因此串联补偿器的传递矩阵为gc(s)=g0-1(s)g(s)i-hg(s)-1若是单位反馈时，即h=i，则gc(s)=g0-1(s)g(s)i-g(s)-1一般情况下，只要g0(s)是非奇异的，系统就可以通过串联补偿器实现解耦控制。话句话说detg0(s)0是通过串联补偿器实现解耦控制的一个充分条件。1.3 状态反馈解耦第二章：极点配置2.1极点配置的概念 控制系统的稳定性和动态性能主要取决于系统的闭环极点在根平面上的分布。因此，在进行系统设计的时候，可以根据对系统性能的要求，规定系统的闭环极点的位置。所谓“极点配置”，就是使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。在状态空间中，通常采取反馈系统状态变量或输出变量的方法来实现极点配置。2.2 反馈控制的结构 控制系统采用反馈控制改善系统的动态性能，无论在经典控制理论还是在现代控制理论中，反馈控制都是控制系统的主要方式。古典控制理论习惯于采取系统输出量作为反馈量，而现代控制理论中可以采用状态反馈和输出反馈两种控制方式。2.2.1状态反馈设系统为 x=ax+buy=cx （2.1）其中，,分别为维状态变量、维输入向量和维输出向量：、分别为、矩阵。当将系统的控制量取为状态变量的线性函数 （2.2） 时，称之为线性直接状态反馈，简称为状态反馈，其中为维参考输入向量，为矩阵，称之为反馈增益矩阵。将式（2.2）代入式（2.1），可得到采用状态反馈后闭环系统的状态空间方程为x=a+bkx+bvy=cx （2.3） 比较式（5.1）和式（5.3）可知，引入状态反馈后系统的输出方程没有变化，状态反馈将开环系统状态方程式（5.1）中的系数矩阵变成了闭环系统状态方程式（5.3）中的（a+bk），特征方程从变成了，可看出状态反馈后闭环系统的系统特征根（即系统的极点）不仅与系统本身的结构参数有关，而且与状态反馈增益矩阵有关，我们正是利用这一点对极点进行配置。应该指出完全能控的系统经过状态反馈后，仍是完全能控的，但状态反馈可能改变系统的能观性。 加入状态反馈后的系统结构图如图 2.1 所示。图 2.1 加入状态反馈后的系统结构图系统的状态变量属于系统的内部变量，它们通常不能全部测量到。而在一般情况下，能直接测量的只是系统的输出变量，为此，通常采用的反馈控制方法是输出反馈。2.2.2输出反馈把系统的输出变量按照一定的比例关系反馈到系统的输入端或状态微分端称为输出反馈。由于状态变量不一定具有物理意义，所以状态反馈往往不易实现。而输出变量则有明显的物理意义，因而输出反馈易实现。对于式(2.1)描述的线性系统，当将系统的控制量取为输出 的线性函数 (2.4)时，称之为输出反馈，其中其中 为维参考输入向量， 为矩阵，称为输出反馈增益矩阵。将式(2.4)代入式(2.1)，可得到采用输出反馈后闭环系统的状态空间方程x=a+bkcx+bvy=cx (2.5)输出反馈至参考输入的系统结构图如图 5.2 所示。比较(5.1)和(5.5)式可见输出反馈前后的系统特征方程分别为和，从而可见输出反馈后的系统极点与输出反馈矩阵有关。当我们把图 2.2 输出反馈结构图中的矩阵移到第一个相加点之前时，就是输出变量反馈到 x 端的情况如图 5.3 所示。图 2.2 输出反馈至参考输入结构图图 2.3 输出反馈至x 结构图此时，系统的状态方程为x=a+gcx+buy=cx (2.6)式中，为矩阵，也称为输出反馈增益矩阵。输出反馈不改变系统的能观性。状态反馈和输出反馈(主要指输出反馈至x 的情况)都能够对系统进行极点配置，且一般经验认为，用简单的比例反馈(即 ， 或 为常数矩阵)就能使问题得到解决。2.3多输入极点的配置多输入系统的极点配置的方法和原则较多，本书只介绍其中的一种。这种极点配置的基本思路是：首先求一状态反馈，使得其闭环系统对某一输入(例如第一个输入)是能控的，再按单输入系统配置极点的方法配置极点。2.3.1 能控系统的极点配置 设阶多输入能控系统x=ax+bv (2.7)现在求出反馈增益矩阵，使被控对象在状态反馈 (2.8)作用下的闭环系统为x=a+bkx+by (2.9)的极点是任意指定的对称复数集合。式中的控制和参考输入均是 维的。由于系统能控，所以系统的能控阵的秩为 ，即 (2.10)将能控阵 的列向量按下面方式重新排列(2.11)由于式(2.11)极大线性无关组向量的个数为， 因此可在的各列中从左向右依次挑选个线性无关列向量作为极大线性无关组向量。不难证明，当 与它前面的列向量线性相关时，则 也与 前面的列向量线性相关，当不在上述挑选的极大线性无关组时，则 也不在其中。最后得到的个列为并以此作为列向量，构造矩阵(2.12)且有 (2.13)式中，若 ，则意味着 不出现，显然 是 阶的满秩矩阵，故 存在。再构造如下矩阵(2.14)式中，为维列向量，且位于矩阵的列，显然是阶矩阵，令即 (2.15)为式(2.7)系统先构造一个状态反馈 (2.16)系统式(2.7)在状态反馈式(2.16)作用下的闭环系统为 (2.17)若只考虑 的第一个输入 时，且 为 的第一列，则有单输入系统 (2.18)若被控对象式(2.7)是完全能控的，则当取状态反馈式(2.15)的增益矩阵为则单输入系统 是完全能控的。若系统 是完全能控的，则对式(2.18)单输入系统的能控性矩阵有 (2.19)及 (2.20)即 的最后一行行向量与 的最后一行行向量相等。故极点配置步骤如下：(1) 利用所给系统的 、，根据式(2.11)和式(2.14)构造 及 阵，并由式(2.15)求出闭环 对于单输入 能控的反馈增益阵 ，且记 的最后一行为。(2) 计算 的特征多项式，即根据指定的极点，计算由单输入 实行反馈的闭环系统特征多项式(3) 求出将 化为能控标准形的变换矩阵，即将 逆变换到原来的坐标系，则得实际的反馈增益为这个反馈只是对单输入 加的，因此对全体输入而言，反馈增益阵为，其中为的零矩阵。(4) 使系统 实现极点任意配置的状态反馈为其中 图 2.4 多输入极点配置的闭环系统图 2.4(a)给出了对多输入系统按所给的设计思路构成的闭环系统，它实际上就是如图 2.4(b)所示的闭环系统。显然， 与 具有相同的特征值，因此使所介绍的设计方法得以实现。2.3.2不完全能控系统的极点配置设不完全能控的多输入系统为 (2.21)经过坐标变换，即经过能控结构分解，式(2.21)可写成 (2.22)式中，为能控子系统，由于坐标变换不改变系统的极点，所以式(2.21)与式(2.22)系统的极点相同，它们的极点集为 (2.23)极点 为能控极点， 为不能控极点，考虑式(2.22)系统的任意状态反馈 (2.24)在此反馈作用下，闭环系统为 (2.25)闭环系统极点为 (2.26)由于 是能控的，所以适当选择，可使闭环系统 部分的极点能任意配置。而不能控部分 的特征值在任意状态下反馈都不会改变。如果的特征值均具有负实部，则可选择 ，使能控部分的闭环极点均具有负的实部，因此存在状态反馈，使闭环系统稳定。若不全具有负实部，显然不存在状态反馈使闭环系统稳定。系统式(2.21)用状态反馈使闭环系统稳定的充分必要条件为系统的不能控极点 都具有负实部。若系统的不能控极点都具有负实部，则称是能稳定的，因此可以说系统能用状态反馈使闭环系统稳定的充分必要条件为是能稳定的。第三章:任务设计3.1任务要求已知系统的状态空间表达形式如下：要求：设计一个串联解耦环节，实现闭环系统的完全解耦，并将其极点配置在处。设计主要内容： （1）求出系统的传递函数。 （2）设计串联解耦环节，并求出解耦后的系统传递函数。 （3）对解耦后的系统进行极点配置，并求出配置后系统的传递函数。（4）绘制原系统及配置极点后系统的输出响应曲线图，并进行分析。3.2求系统传递函数3.2.1原理线性定常系统的状态空间表达式包括状态方程和输出方程，简写形式如下 (3.1)式中，分别为维，维，维向量。式(3.1)中，上式为状态方程，下式为输出方程。状态空间表达式实际上是对mimo系统的时域描述，而传递函数阵则是对系统的频域描述，把时域的数学模型转换成频域的数学模型，其基本方法是在零初始条件下取拉氏变换。因此，对式(3.1)在零初始条件下取拉氏变换，则有 (3.2)由式(3.2)状态方程式的拉氏变换式，得 (3.3)上式两边左乘以逆矩阵，有 (3.4)把式(3.4)代入式(3.2)输出方程的拉氏变换式，得 (3.5)按照传递函数的定义，从上式可直接写出mimo系统的传递函数阵 ，即 (3.6)在工程实际中，对mimo系统的传递函数，一般分母阶次不小于分子阶次。当=时，传函为式(3.6)；时，传函，系统传函为 (3.7)式中，为求行列式的多项式，是阵的特征多项式，和均表示伴随矩阵。3.2.2计算传递函数由，代入表达式中，有3.2.3matlab仿真3.3求解耦后传函3.3.1原理依据第一章串联解耦原理串联一个补偿器，使系统传函为对角矩阵形式。3.3.2计算解耦过程解耦后结构图如图3-1所