高等动力学课后答案.pdf

理工大机械论坛（） 说明：本资料由 coofish 花费大量心血制作，使用此资料时请心存感激！ 机械学子，心心相连！ 高等动力学（上）课后习题答案高等动力学（上）课后习题答案 第一篇第一篇 运动学运动学 第三章第三章 刚体绕固定点的转动和刚体的一般运动（刚体绕固定点的转动和刚体的一般运动（p85） 1、 ()iipiq jrkiqkr=+= + i? ? ? j ? ()jjpiq jrkjpkr=+= i ? ? i qi ()kkpiq jrkkp j=+= + i ? ? 2、 piq jrk=+ ? ? ? () () d piq jrkpipiq jq jrkrk dt piq jrkpiq jrkpiq jrk piq jrk =+=+ =+=+ =+ iii i iii iiiiii iii ? ? ? ? ? 故题目得证。 3、下面证明题目中第一条等式，其他两条同理可得。 11 11 22 22 3 ()()() ()()() i iiji k iijiki j ijjj k ijjjkj k i 1 1 2 2 = = = = = = = = = = = = = iii iii ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 33 232333 ()()() () ()( kjk k ikjkkk )ji k ij kjk k kjijk 3 3 233 = = = = = += + +=+ iii iii ? ? ? ? ? ? ? ()j kjkip = ? ? ? 4、 （1） ab vvab= ? ? ? 直线与 平行 ? 0 0 abbaabba vvrvvr ab =+ = = ? ? ? ? ? ? 且 又故直线与 平行 （2） ab abvv= ? ? ? 直线与 平行 0 ba abbaab abr vvrvv = =+ = ? ? ? ? ? ? 直线与 平行 又 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 1 理工大机械论坛（） 7、由题易得：240= = = iii sinsincos2 3cos2 cossinsin2 3sin2 cos0 2 3cos22 3sin22 3 4 3sin24 3cos24 3 x y z t t tit j tit j =+= = += =+= = = = ii ii ii i ? ? 8、设锥角为， 21 2 1 tan 2 rr hh = 9、圆锥作定点运动，取圆锥的对称轴为轴，则章动角 oz=常数。 圆锥角速度 kknkk=+=+ iiiii ? ? 0t =时，圆锥与固定平面的接触线为轴，由纯滚动条件得ox为圆锥的瞬时转动轴， 即为瞬时角速度方向。 ox k i? z x o ? z c k i? a tan3/4/sin3/5/ caa vvr = = =+ iii c ? ? ? ? 因为a在瞬时转动轴上，所以0 a v = ? ? 。则：sin(/2) caccac vrvr= ? ? ? ? ? ? 得：48/(12/5)20(3/4)15(5/3)25= = = ii? i 0t =时， 1525kk=+ ? ? 因为瞬时转动轴始终在xoy平面内，所以 ? 也在xoy平面内，0 z = 即 xy ij=+ ? 15tt= i cos20cos15sin20sin15 20cos1520sin15300sin15300cos15300 xy tt tit jtit j = = =+= += ? 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 2 理工大机械论坛（） 14、薄圆轮绕作定点转动。若取图示为轴，易知章动角 o o z 2 =（常数） 。因而薄圆轮 角速度为。 1 kkkkk =+=+= iiii ? ? = i ? z r o y xr m o z x y q 1 对图示接触点，有： q 1 11 ()1 ( ) 11 1 2 1 222 2 11 1 0 (1)(2) (2)(1): (sincos)cos qq q b rr vvvrr rr rr kkk rr r j r rom rr arjrkrjriir rr k = = = = = =+=+ i iii ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 把代入 2 222 1 2222 22 11 11 2 22222 1 cos () (1 cos )(sinsin )(1 cos ) 2 sin()(cos) 22 b c c r arr r ki ar rr rkrj rr arrrr r i =+ = = = + =+ ? ? ? ? ? 18、设接触点为，接触点为q。因为球作纯滚动，所以在接触点上有相同 的速度，在接触点上也有相同的速度。设沿oc ,b c , a p, a cc, b c c ? 方向上的单位矢量为e。 ? 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 3 理工大机械论坛（） 2 2 1 2 pbcc pbopcccp qaoqcccq qacc ab cc ba vbev vrvr ab vrvr vaev ab v ab =+ =+ =+ =+ = = e e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得：() ab abe+ ? ? 第三篇第三篇 刚体动力学刚体动力学 第一章第一章 物体的二次惯量矩（物体的二次惯量矩（p254） 1、 （1） zx jjj=+薄片平面 y (3) 0 2222 ()()() 0,0 ()(1)(2) (1)(2)(3) zyx vvv zxy z jxy dvjx dvjy dv jjj = =+ = = =+ 厚度为 由式，得： （2） zxy jjj=+薄片平面 222222 ()()() 2222222 ()()()() ()()() ()()()0 zxy vvv zxy vvvv jxy dvjzy dvjxz dv jjj xy dvzy dvxz dvz dvz =+ =+ =+ =+ +=+= 并且 即该刚体为薄片平面 = 2、轴在xoy中的方向余弦为(cos ,sin ) 2222 2cossin2sincos xyxyxy jjjjjj xy j =+=+ 轴在xoy中的方向余弦为( sin ,cos ) 2222 2sincos2sincos xyxyxy jjjjjj xy j =+=+ 下面求出两坐标系之间坐标变换关系： 设点在pxoy中坐标为( , )x y，在o 中坐标为( , ) 由几何关系，得： cossin cossin xy yx =+ = ()() 2222 ()()() 0 22 ( cossin )( cossin ) ()sincos(cossin) ()sincos(cossin) vv vvv z xyxy jdvxyyxdv y dvx dvxydv jjj = =+ =+ =+ 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 4 理工大机械论坛（） o jj oj jj = 刚体对坐标系的惯量矩阵为： 第三篇第三篇 刚体动力学刚体动力学 第三章第三章 刚体定点转动和一般运动动力学（刚体定点转动和一般运动动力学（p323） 1、 o gapibq jcrkpiq jrk=+ =+ ? ? ? 混合积： ()() ()0, , a b oo gkap jbqipiq jrkgk = = += ? ? ? 故三者共面 * * * 22 * 2 22 * 2222222 22 * 2 22222 2 * 2 11 cos(,) 1 1 1 2 cos(,) 11 1 cos(,) 1 cos( o o o r o o r o o o oo r oo o o o o r k r a acrt c g gac rra c crcr gk gac ra c ac g = = = = + + + + = + + = + + =+ + + = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )(,)(2) (1)(2), o k acgk ? ? 同理可证： 当时, 位于和 之间。 3、设为刚体在o点的惯性主轴坐标系。 ox y z 222 00 1 ()0 2 o o gapibq jcrkpiq jrk gap pbqq crr dt tapbqcrap pbqq crr dt =+ =+ = += =+=+= i iii iii iii ? ? ? ? 动能为常量 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 5 理工大机械论坛（） 5、由题图可知，刚体为均质圆盘，取为刚体在质心处的惯性主轴坐标系。 ox y z 则有： 1 2 abc= 2* 22 * 222222 * ) 22 1 2 2 2 2 cos(,) 1 1 1 2 11 4 44112 2 11 4 5434 5 25 (, o o o o oo r ac o acrt g gac rr ac ac g = = + = + + = + + = + + = + + + ? ? ? ? ? ? 令( o 2 2 )arccos19.5 3 根据前面求出的， 求出 因此可化简为： 该位置是稳定的平衡位置。 第四篇第四篇 分析力学基础分析力学基础 第三章第三章 动力学普遍方程（动力学普遍方程（p70） 3、设的加速度为，运用达朗贝尔原理列出力矩平衡方程：aa0 c m= 。 1221 12 12 () ()0 22() ppmpp rqq paa rraramp rag ggggppq r + += + 6、显然系统的自由度为 1。以滚子a中心的初始位置为坐标原点，建立xoy坐标系，x轴 平行于斜面向下，轴垂直于斜面向上。 y 22222 11 111 ( )()2( )( )( ) 22 222 22 () qqxpq txrxx ggrgg tqpdtqp xx xgdtxg =+ +=+ + = ? ? ? ? 2 p x g ? 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 15 理工大机械论坛（） sinsin 0()0 2s sin00 2 k k d dxpxp x tdtt xdtxx qpqp pxax gq = = = = + = + ? ? in g p 8、该系统的自由度为 2，选取如图所示坐标系。 a b c d x y 2222 122 122122 2222 1122 2 2 111 (2cos) 224 cos()cos 33 coscos 22 0()cos(1) sin tm xm xyxym y tdt m xm xm ymm xm y xdtx tdt m ym xm ym x ydty dt qmm xm y dtx m gy q =+ =+=+ =+=+ =+ = ? ? ? ? ? ? ? 222 2 2 122 3 sincos(2) 2 sin2 (1)(2):() 3()2cos dt m gm ym x ydty m g x mmm =+ = + ? ? ?由得负号表示加速度与假设方向相反 11、因为不计滑轮质量，所以动滑轮左右两边绳子上拉力相等，设拉力为。 f ? 由于，所以的加速度a方向向上。则 1 ppp=f ? 。所以的加速度 方向向上，的加速度方向向下。 1 p 1 a 2 p 2 a 取动滑轮为研究对象，其惯性力为 p s g =a，则(2)0fpsy= 0202(1 p )yfpsfpa g =+ 取左边定滑轮及为研究对象，的惯性力： 1 p 1 p 1 11 p sa g =，则 111 ()fpsy0= 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 16 理工大机械论坛（） 1 1111 00 p yfpsfpa g =+ 1(2) 取右边定滑轮及为研究对象，的惯性力： 2 p 2 p 2 22 p sa g =，则 22 ()pfsy0= 2 2222 00 p ypfsfpa g = (3) 12 ,yyy ? ? ? 的关系为： 1221 22yyyyyy+= = ? 同样，得到加速度关系为： 21 2aaa= (4) 联立(1)(2)(3)(4)解得： 12 131 ()()() 111111 agagag= = = 向上向下向上 12、 假设的加速度方向向下， 重物的加速度分别为向上， 向下。 设重物 绳上的拉力为，则重物绳上的拉力为 2。 3 p 3 a 12 ,p p 12 ,a a 12 ,p p f 3 pf 对重物： 3 p 3 3333333 (2)02(1 p pfsyfpspa g )= 对重物： 2 p 2 2222222 ()0 p pfsyfpspa g (2)= 对重物： 1 p 1 1111111 ()0 p pfsyfpspa g (3)+=+=+ 关系： 123 ,a a a 123 2(4)aaa= 联立(1)(2)(3)(4)解得： 321 15 171717 ag ag a= = = 7 g 第四篇第四篇 分析力学基础分析力学基础 第四章第四章 第二类拉格朗日方程（第二类拉格朗日方程（p123） 8、易知此系统只有 1 个自由度，取为广义坐标。直杆一方面绕其质心自转，另一方面绕 圆心转动，直杆质心与圆心o的距离不变。根据速度合成定理可知，质量为m的质点 绝对速度大小为 o 2222 () 2222 2 2vravrav t+ ? +。 选取圆心o为重力势能零 点，直杆对垂直于纸面并通过其质心的轴的转动惯量 2 1 1 3 jm=a。则直杆对通过o点并 垂直于纸面的轴的转动惯量 22222 m 2 12 () 33 jmdmam ra=+=+= 1 j o mra。 系统动能为： 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 17 理工大机械论坛（） 22222222 222 2222222 22 11 ()2) 22 11 () 22 o tmvravrav tj mvmvram rav tmrma =+ =+ ? ? 2 2 3 ? 系统势能： 2222 cos(cossin )vmg ramgravt= 拉格朗日函数ltv= 22222 222 222 2222 2222 2 () 3 2 () ()2 3 sin(sincos ) l mv ram rav tmrma dl m rav tmrmamv t dt l mg ramgravt = + =+ = + ? ? ? ? 再由拉格朗日方程()0 dll dt = ? ，得： 222 222222 22 2 ()2sin 3 (sincos )0 m rav tmrmamv tmgramg ravt + += ? 解微分方程得： 1 0 2 222 tan () 2 () 3 vt c ma rar m =+ + 其中 0 ,c是任意常数。 13、证明原式只需证明 11 () nn d qq dtqt = += ? ? 上式左端 1 () n dd q dtqdtt = = ? ? + 111 111 1111 ()() () ()() nnn nnn nnnn d qqq dtqqqtt d qqqq dtqqqq dd qqqq dtqqdtqq = = = =+ =+ = ? ? ? ? ? ? 证毕 15、选取重物分别对其静止平衡位置的位移 123 ,x x x为广义坐标，规定竖直向上为正，设弹 簧的静压缩量分别为 123 , ，则 1 132223333 () ,() ,kmm g kmm g km 12 mg=+=+=。 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 18 理工大机械论坛（） 取平衡时各位置为势能零点， 则系统动能 22 1 12123123 111 ()( 222 tm xm xxm xxx=+? 2 )? 系统势能为： 222 333111222 112123123 ()()() ()( 222 k xk xkx vm gxm g x =+)xm g xxx+ 拉格朗日函数：ltv=，则： 1 121231231 12123123 11 21231232123123 22 3123 3 ()()()()( ()()()()() ()( ldl m xm xxm xxxm xm xxm xxx xdtx ldl m xxm xxxm xxm xxx xdtx ldl m xxx xdt =+=+ =+=+ =+ ? ? ? ? ? ? ) 3123 3 )()m xxx x =+ ? ? 1111231 1 1 2222322 2 333333 3 ()() ()() () l k xmmm gk x x l kxmm gk x x l k xm gk x x = += = += = += 将以上各式代入拉格朗日方程，得： 1231232331 1 2312323322 3 1323333 ()() ()()0 0 mmm xmm xm xk x mm xmm xm xk x m xm xm xk x += += += ? ? ? 0 19、圆盘与重物都做简谐运动，取它们距平衡位置的距离 12 ,x x为广义坐标，将 12 ,x x固定 在圆盘与重物的静平衡位置上。 系统动能 222 1 12 111 () 242 cc x tm xm rm x r =+ ? ?2 p 选取圆盘与重物各自的静平衡位置为势能零点，则系统势能： 2 122 1 sin() 2 cp vm gxm gxk xx=+ 1 拉格朗日函数：ltv=，则： 111 11 22 22 21 1 21 2 133 () 222 () sin() () ccc pp c p ld m xm xm xm x xdt ldl m xm x xdtx l m gk xx x l m gk xx x =+= = = + = ? ? ? ? 1c l x ? 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 19 理工大机械论坛（） 将以上各式代入拉格朗日方程，得： 12 221 3 sin()0 2 ()0 cc pp m xm gk xx m xm gk xx + += ? ? 1 = 将上面方程组得： 1 2 cossin 800 , 3cos3sin3 xabtctdt abcd xabtctdt 2 =+ = =+ 其中、 、 、 是积分常数 20、选取两圆柱中心轴距各自初始位置的距离 12 ,x x为广义坐标，坐标轴的方向沿 斜面向下，系统动能 1, ox ox2 22 2 mx + 22 222 1122 3 ()()( 24244 mxxxmrmrm x rr =+= ? 12) +?tx。取圆柱 中心轴的初始位置为势能零点，系统势能为： 1 o 2 122 sin()sin() 2 k vmgxmg lxxx1= + 拉格朗日函数ltv= 121 11 221 22 121 221 3 ()()sin 2 3 ()()sin 2 3 ()sin0(1) 2 3 ()sin0(2) 2 3 (1)(2)( 2 dll mxk xxmg dtxx dll mxk xxmg dtxx mxk xxmg mxk xxmg m = =+ = = + += += + ? ? ? ? ? ? ? 代入拉格朗日方程得： 得： 12 1121 1221 21222 2 2 1 112 212 )2sin 3 ,2sin0(3) 2 3 (1)(2)()2 ()0 2 3 ,2 ()0(4) 2 (3)(4) 1 3sin sin 32 2 (1 cos) xxmg yxxmymg m xxk xx yxxmyky xgt ygtxx ytxx += =+ = += = = =+ =+ = ? ? ? ? 令则 得： 令则 由解得： 2 2 2 (1 cos) 4 () 13 sin(cos1) 32 t k m xgtt = =+ 25、 （1）罗兹函数：为循环坐标，则： 1 q 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 20 理工大机械论坛（） 1102 1 101102 12 22222 33 12112 12222 1222 2 22 102 3 1022 1222 () 22 21 () 2 2 22 22 1 () 2 |2( 242 qpaqb ql pqpaqb qaqb qqqqql rlqqcqqcq qaqbaqbaqb paqb pqq rrqcqaqb aqb =+ = =+ + ) =+=+ + + =+= + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此，罗兹函数: 3 22 2qcq+ （2）威特克函数：不作要求，略。 27、设 1212 1 (,) g ggnn r r l ll qqqq qqrlq q + = = = ? ? ? r 1111 1 gnnn rrr r gr gr gr rrrrrr n r r lrlrll qqqlq qqqqqq l lh q = += += += = = = += = ? ? ? 原式化为： 即:该积分也必为拉格朗日的首次积分。 r h 取 第四篇第四篇 分析力学基础分析力学基础 第六章第六章 哈密顿正则方程（哈密顿正则方程（p187） 4、系统自由度为 1，取坐标轴x固定在环心初始位置，ox方向竖直向下，ox为广义坐 标， 系统动能 22 mx 2 111 () 222 mm tmxjj=+为?， 因 22 1 () 2 m jm r=+r, 2 1 2 m jm=, r x r = ? ，所以 2 2 2 1 3(3) 4 r txmm r =+?。取环心初始位置为势能零点，则系统势能为： ()vmm g= +x。 拉格朗日函数 22 2 3(3)() 4 xr ltvmmmm gx r =+ ? 2 22 2 2 22 22 2 2 22 22 2 3(3) 2 3(3) 22 () 3(3)3(3) 2 ()() 3(3) 22 3(3)3(3) c lxrp pmmx rxr mm r pp hm rr mmmm rr ph m gx mm gxpmm g rx mm r pp xxa rr mmmm rr =+ = + =+ + =+= =+ + = = + ? ? ? ? ? ? 哈密顿函数 2 222 2() 3(3) mm gr mrrrm + = + 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 21 理工大机械论坛（） 5、系统动能 2 11 (sin )() 22 tm am a 2 =+ ? ，选取小环初始位置为势能零点，则系统势能 为(cos1)vamg=， 2 222 (sin)(1 cos ) 2 ma ltvmag=+ ? 。 2 2 2 222 224 2222 2 22 22 222 2 1 (sin)(1 cos ) 2 sin (1 cos ) 22 sincossin sincossin sincoss lp pma ma pp hpmamag mam a pma mag ma h pmamag ppmamag mamama mamamg = =+ = = =+ + = = =+ ? ? ? ? ? ? 即in 16、用雅可比方法求解第四篇第四章习题 1 2222 12211 11 11 ()( )(2) 22 24 x tm xm rmm xvm gxlt r =+=+ = = ? ?v 21 21 2 1 21 2 1 21 0 2 01 21 0 0012101 12 (2) 22 2 1 ()0 2 1 () 2 00,0,0 2( kk lp pmm xx xmm p hpvm gx mm ss m gx tmmt s a t s am gx mmt txxp sa tcsmm am =+= + =+= + += + = =+ + = = = = = + =+ ? ? ?时, 3 2 1 2 12 21 1 1211 21121 2 ) 32 (2) 2(2)22 22 m g gxxt m gmm mm h xht m g m gmm hm ghgh rvx mmm grmmrpq = + + = = + = + ? 令则 1 2+ 2 2 17、令 222 121122121 ,qx qy pxq pyqhppqq= = = = =+=+? 哈雅方程： 22 12 ()() sss tqq 0+= 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 22 理工大机械论坛（） 分离变量，得： 22 012 012 12 ( )( )( ) ( )( )( )0 ds tds tds t ss ts ts t dtdqdq =+ += 22 012 0101 12 000111120122 011012 212 01 01 01101 11101 12 ),) , (1);(2) 222 (3); dsdsds aaaa dtdqdq sa tcsa qcsaa qc sa ta qaa qc qqqss tbb aaaaaaa ss apqaa qq = , (= (= = + =+ =+ = + = += = = = ? 22 2 2 2222 0222 2 22 212 (4) 22 (1)(3)(4)100 24 sin() cos(),sin(), cos() t pq qqqq tbq qq qq xat qatqqata yat = += +=+= =+ =+ = =+ =+ ? ? ? ? ? 对 求导 由得： 解得：即是积分常数 第四篇第四篇 分析力学基础分析力学基础 第七章第七章 力学的变分原理（力学的变分原理（p213） 3、高斯方程： 1 () n iiii i fm rr = = iiii 0 ? ? ? ? 即 1 ()()()0 n ixiiiiyiiiiziii i fm xxfm yyfm zz = + ?= z , iiiiiixiiiyiii xyzm xfm yfm zf = = =?相互独立 对于完整的质点系统，设有个广义坐标n 12 , n q qq，其中n个质点的矢径为： 12 1 (,) (1,2, )(1) n i iinij j j r rr q qqinrq q = = = = ? ? ? ? ? ? ? 把(1)代入高斯方程，得： 11 () nn i iiij ij j r fm rq q = 0 ii ii = ? ? ? ? ? ? 即： 11 ()0(2 nn i iiij ji j r fm rq q = )= ii ii ? ? ? ? ? ? 11 1 ()(3 (4) nn ii iiii jj jj n i ii j jj rrdt m rm r dtqqq rt m r qq = = =+ = i iii i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) j ? 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 23 理工大机械论坛（） i ii rr qq = i ? ? ? ? 恒等式： i （有兴趣的同学自己证明） 1 (3)(4):() n i ii j jj rdtt m r dtqqq = j = ii ? ? ? ? ? 所以，式(2)可写为： 1 () n jj j jj dtt qq dtqq = + ? ? 0= () jj jj dtt qq dtqq = ? 独立， 4、系统所有质点物块的拘束量之和 2 1 () 2 i ii i i f zma m = ? ? ? 22 12 1122 12 22 12 121121 12 sin11 ()() 22 sin11 ()( 22 m gffm g zmama mm m gffm g aazmama mm ) =+ = =+ 即： z只是的函数，所以 1 az取极值的条件为： 12 112 112 12 12 12 sin ()( sin m gffm gz mama amm mm aag mm 1) 0 = = = + 7、易知该系统有 2 个自由度。设重物加速度分别为，方向向下。 123 ,a a a 系统拘束量： 22 312 12 ()()( 222 ppp 2 3) zgagaga ggg =+ 312 22 321 1221 1 ()(1) 2 1 ()()( 2222 aaa ppp 2 )zgaagaga ggg = + =+ z取极值的条件为： 12 0 zz aa = 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 24 理工大机械论坛（） 3122 1 3122 2 3 ()() 2 ()() 2 1 (1)(2)(3) 17 paap gga gg paap gga gg ag + += + += =由得： 0(2) 0 (3) 9、, kk kk hh pq qp = = ?，令 1 ( , , ) n kk k h p q tpl = = ，则 1 n kk k lp q = h= ? 1 () n kkkkkk k kk hh lpqqppq pq = =+ ? 正则方程： 11 ()0(1)()0(2) nn kk kk kk hh pq qp = += = ? 1 0 1 0 11 1 1 (1) ()(2)0()()0 ()0(3) () (3)()( nn kkkkkk kk kk n t kkkkkk t k kk kkkkkk n t kkkkkkk t k k hh qppqqp qp hh pqqpqp dt qp d pqpqpq dt dh pqdtpqqpq dtq = = = += += h += =+ + ? ? ? ?化为： 1 0 1 1 0 0 11 00 1 11 )0(* ()|0 (*)00 n t k t k k nn t t kkkkt t kk tt tt p dt p d pqdtpq dt l dtl dt = = = = = ) = 又 化为：证毕 13、系统动能： 22 11 (sin )() 22 tm am a=+ ? 选取金属圈最高点为势能零点，则系统势能：(cos1)vamg= 22 11 (sin )() (cos1) 22 ()()() ()() ltvm am aamg ll l llddldl dtdtdt dldll l dtdt =+ =+ = =+ ? ? ? ? ? ? 又 理工大机械论坛让你学习更轻松！ 25 理工大机械论坛（） 哈密顿原理 11 00 0 tt tt ldtl dt= 11 00 222 ()(sincossin )0 tt tt dl dtmamamagdt dt + ? ? = 又由于，所以 1 0 |0 t t = 1 0 () t t dl dt dt 0= ? 则得： 222 sincossin0mamamag+= ? 此为所求运动微分方程 第四篇第四篇 分析力学基础分析力学基础 第八章第八章 正则变换（正则变换（p241） 1、 （1）( ,) kk pq hh t = 1 k kk kkkkk phhhh qp qpqpp = = = = = ? ? 1 k kk kkkkk qhhhh pq pqpqq = = = = ? ? （2）( ,tan ,ctan ) sin cos kk kk pq hh t pt qt tt = + 22 2 cos /sin () s