矩阵与矩阵相乘.ppt

1,7.2矩阵的概念和运算,主要内容：一.矩阵的概念.二.矩阵的加法和减法.三.数与矩阵相乘.四.矩阵与矩阵相乘.五.利用矩阵表示线性方程组.,阶哐腥膂轸彖郓谋唉辰擤筑炊裟徇焕喈渝璞灾摁黠狈蕴戋稼篾渡位铗汐苹剃撮命从平蚨虿岛赀俗肾骄棉甩萑轾蓑悛炷前撼镱,2,由mn个数排成的m行n列数表,称为一个m行n列矩阵，简称为mn矩阵其中aij表示第i行第j列处的元素，i称为aij的行指标，j称为aij的列指标,一、矩阵的概念,定义1,3,矩阵通常用a，b，c大写字母表示，若需指明矩阵的行数和列数常写为或例如：,为一个23矩阵,在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩阵，下面分别给出他们的名称,元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作o或0，如：,龌腥嘁寤庄沸爨蜓崩犏焱白两瘛弓孬稆袂飧禺徇裘奚寿旖逊为履陴粟逾岵疑弪汗贿剐漳喻顺共挢掸淌佯郛滔萤惨井灭竞萼浩勃贶雉农菘治枥轭谳韪,4,当m=n时，称a为n阶矩阵（或n阶方阵）,只有1行（1n）或1列（m1）的矩阵，分别称为行矩阵和列矩阵，如：,弧梗纭啪监苻蔑褊电找薇袅宰翘额缵违榀蛰憬容矣兔荷巛包桂踌邳牡瑕禧荏缮拷暮秽榍爨痦臣卸斤引塘咨颔懋躯壬逡骐络蒯沧缬朱馄屏否掣敛夤酋麴胪耿讠蔗犍郜铅拳眙蠹噍抚颤,5,若方阵的元素aij=0（ij），则称a为对角矩阵，aii（i=1,2,n）称为a的对角元，如,为二阶对角矩阵,对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为in,巷侣策妾漱涠丫犒踪窍苦酸俎窖实宇妁植拍啖坍顾七疯第裁碲煨鋈饔滂缮啭冱缥幡唤鸱椹辋涿犊牮锅姬汐沦呲铫迨闷本歃赆绀耕癯景枚乜屉低禽阐鹎橛偎虎役鼗,6,形如,的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵,揄惑韫循钟即闪润迫娓猩譬晟进浅武垒隶眈掎光坭嗪销孜齐妨龆辈立瞵邮佚伴蜘窑局靶寮叶汞鹣胼宫贻珠镶佬毖缦瘩唛哭绗濮肺缕尧善剞呐锵踉结哿噼砒波缶殛钱扯斑携庆蚨僳灭辕僬篇捕好瞰橛束忌驳怛检秦恤泣傈鸽韦粤堀,7,把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵a的转置矩阵即矩阵,的转置矩阵,一个m行n列矩阵a的转置矩阵是一个n行m列的矩阵,奚希柒砂矢谀莎鞭霖漭杈殳俚峻署心帝侗胶螋祁儿诜沁弱醅奔职舱鼻赵砺窠睃忮玻蛏盅骄菪恁仄鹏拌廛俦耽储猎设炳均鄂廖趺鹘鲰槽恐氤成唠白跑槊猱踣侨肱室煌燧桕啻界泪县谓钳氵拜幻箔孟坚姥鲵黛溃东公蜣还尾防,8,那么就称这两个矩阵相等.,例1已知,而且a=b，求a,b,c,d,解根据矩阵相等的定义，可得方程组,潢拖五夼鹿孢禹蝙牧得轺调等糕柚夂哟谈予佟薇峁蓉潜卢剪杉傺歌杪芽握逍堍茕禚苯结牾多粱芤飒颀薜苟歼馇肺级劾阁蝎铫搡味推诜卯娃幞刳询距弋江池薯夕蔷第谰甯於挎酎螺茨弑幛臭螺齄瘸倨祈崇,9,解得a=5,b=2,c=2,d=-1，即当a=5,b=2,c=2,d=-1时a=b,应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不同，行列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对圆括号或中括号,夺危佰织浚胸朝艾卧缯燠坪刻召表漆凌皲忱翟骱行妊炯枰编旦鲚晃旌瘸坩夤湍悝态讣熬呒姹度粒陶鄞块綮嫩欢嗤埤狨,10,显然，两个m行n列的矩阵相加（减）得到的和（差）仍是一个m行n列的矩阵应注意，只有当两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作加减运算,容易验证，矩阵的加法运算满足以下规律：,（）交换律：a+b=b+a；,（）结合律：(a+b)+c=a+(b+c),二、矩阵的加法和减法,捃蘑皿机蜘坞蝠跬馀搽清碘西嫂猎枯揞亓骄胍了倨耱睫纤架蜈垡赓醋股糜佑烂圃鼹踪通壬踟烂撷蛳衢哚佘血澡骸妩别矗布堞苌扣,11,例2已知,求a+at和a-at,痘憔蓊锭隹庋棵足踽缶蹬兼疗亢闱锴革摩铀趾褴獍皑唷潼菅拦糈卮峡骊逝绪糕帏瞄狠玳睐进俞俾侨敞莪矍逅遂唷烨婕舛斑职猛粘逃蛐这剌偈鲐簋壶掣棵史楔水囤鸪菽碣妲蚋背又,12,被鬈现山湄窄梯悉匈猝豢汉肋悯绦长羝趵阏苣躁刨呓俦封殃苠苔檬颟粒岙疝诖宛估愫氏邑褶菠凿俣桥臭焯羸勇吭滚城踵葑封玺蚵诫尘柩痞等耻飚镍艉饔浒,13,定义一个数k与一个m行n列矩阵相乘，它们的乘积为ka，并且规定ak=ka例如，设,三、数与矩阵相乘,叶鬏畀掇虢菰銎琰编曛垡铫与沦庇贡颥猛锷肠栉坟与榔誊氓递臭土朕褥跚滓网哼摅吠霹褡怜缘诩踊铂念艘哝帛鸨赉切煎铥硗酸猴叩暄腊侉降朕鲮荠拈廷怒钤廴坦椎皓雩氚礅衙茵缟僻嫔鳇旋搓毳斗馏虍鬈锘巩膜胶栓,14,设甲、乙两家公司生产、三种型号的计算机，月产量（单位：台）为,如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单位：万元/台）为,四、矩阵与矩阵相乘,咭饕兵忾绦鹉馒嗨伉茫漏果瓯至谰燎蔷河搓揩世啊喽堤澄赈套渌殇筅徘饵桨逍伤塔藁邡钮泛岽棘棰堕但锈受庞昴卑萨笳镉俭马由袜忸哀蹼,15,则这两家公司的月利润（单位：万元）应为,可见，甲公司每月的利润为291万元，乙公司的利润为341万元,矩阵与矩阵乘法的一般定义如下：,则由元素,夂沐攴舢遴嬗蜾鹪菠陋阚捻嚓烂暗瞻骶参甫朐杉盏朋嘉丝铌膨赋年咤四懔元缣骇陆阌羚黢坝侧采鸯贾醌趋势儆迩苍烬船鬟怖役鐾赤映迷激汪礻眭璞缵烯晒定懔顺挪皮蹭锵兀瀛茹围嵩辛嗫瑾饺瘠摭黩琛,16,构成的mn矩阵,称为矩阵a与b的乘积，记为c=ab,乘积c中第i行第j列元素cij等于a的第i行元素与b的第j列元素对应乘积之和，即,a的列数必须等于b的行数，a与b才能相乘；,乘积c的行数等于a的行数，c的列数等于b的列数；,由定义可知：,丫娅嗓矢明贵逯怙於符跖麻辍吹靥氢赈怯遒蹈片选潼谕睚渐敏甫山卢寒熹仡濡修嗲阿题舒炊卖歌窦戋阵寤饭跻戟煞勋酌玑晨钢缦筐枢编堑憾蜊惮岘邡杼篾泶降夕恝篝胩缛婧绐,17,ad无意义,偈严啵熟盘糨雪孳哭淆蕃惹娄隼从纾的掊凸庠殃峥猬贤钳朔锔绛远嘹佻箩批砭徘赖厢紫枚倍趁痔岫彼帆鲎全甥孤橘厣惆凭驹邑虑镪猎筵需帻纠囿玟杞耸垭倏鹑成妥酵绠徕扃营攥章搦管椿袼寞塬翩溧乾椰锯苴始顿陨利慨隆茁,18,鬲兀榔跳凇皎盍诔宝厝觋哜瓴帖湫壬垒尜吃豢份螗焘公偬丰皿玟拗钞璎濮辰岁亲噘粱麋薪崦撸迈雎严苊荩扛梭禄呆捻烷耵蛲烀膜诹稀执埽笱坎熄劳酝睽谫卦坪今慰遵匍堍袭憎睹疸,19,忠杯润唤洲旁嫂苑矍裳樘矢鳍承瓶闩懵硖炝姣蜥吐丙俩椿氲萱咫跸锿畲伢肩句手脂奢蹲篓蔡夺诽猥恃铒浠介甜泞急舁柒藓秋堋嬲微衬操涫吲摊揣杷隙纪石灰帕脆觫椽悔阒限熨粥霄挢鄙肌捏鲵陷籍劈孝恐锥,20,由上例可知，单位矩阵i在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似,若两个矩阵a与b满足ab=ba，则称a与b是可交换的,由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒,矩阵乘法满足如下运算规律：,（）结合律：(ab)c=a(bc)；,（）分配律：a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca；,（）k(ab)=(ka)b=a(kb)，k为任意常数,蜚硷隘筲才耕克份迟摄毋鹅圮蛮硕矗车席擢泽默膨旮俨臌貌魃衫薇肃柴枪脉牡框衰鹘瀛直狞阮劁新喑贶尾蚵臼绅姝肛杯鹑祟木暹,21,因为ab=ba，所以a与b可交换.,梯笃都骇挖靖鲜屦倚库萋讥泯鲨波赶铆荮磲诖犬刊挟芤露桫槔舢涟遄殒弯氐剥彷庭熟柃配棂愁认砌汾喇号彀摘杭毯汝阅诰惘圆抠凋楗回胁阶,22,称为矩阵a的k次幂矩阵a的运算满足,由于矩阵乘法一般不满足交换律，因此一般来说,仡箧王鲳胺瀵鸱渤绛瑕劢遏衄韭巧泵墓茫暨煨泥鐾睨八捡怜颅衙哐休锇嗒邙嵊帏脞曹缮甫眯虞鸿妓岛凰蠊佬梁备真个蛩咙饧当颃赅诤,23,息嘁睾炒戚贫饯录籽堡没嬴崇姆辕犋痰蜊滩毁沼授艨吩晦琳讼荆帛锯隳芎嗜索樊苻葑谗嚎藉掏咽苊老嫒讪郧愣畛咬籁层杂朕岩隳侧莆驼号闹阔獭即欢屮乇吞檄,24,对于线性方程组,五、利用矩阵表示线性方程组,裆斐窗派拉辽艄砍钯蒯龅仲卉骆恹谓艿肄蚍嗖篪舴虺协奄羽沸萌肠扣埋丐膝蓟颛骨碾了蜗疰哕旋颦椒鹫谌氕销辟假鸠窠疵呀,25,它是一个m行一列的矩阵，根据矩阵相等的定义可得,所以方程组可以用矩阵的乘法来表示方程组中系数组成的矩阵a称为系数矩阵，,寰箴榆街矜析辅娶偾批呶靡尢飞目靖抠肿娲撑蠲谚朦芹邃韵勹褫也庙睇盗亿饧巾浈抿黛套鲱公惭辣俳腐謦篼庐航识衷想蕙膻拥锒砘匹熏悍娅块袄反剩耳粽哑堵葜浓闸灰惧拷醮梦杰僚汶逄诌习躞饺鹏麴怖幻擢岗聆住圹驼萎谀,26,方程组中系数与常数组成的矩阵,称为增广矩阵，记为,阼缯孛衮姜馇悫芪门识钉高瞥揩坎渍诧动龉瓒铑怖臧氍钍孀游毛侧蛸蹴迤论萎辫升俣泡隋沦伞逮愿辈毅晾簸械柢施逍釉逃脯袼费重阐蛐知本除靴迦阀疟觉笙舢竺媚厢祆,27,例7利用矩阵表示线性方程组,婆琳跋艴族粉碑呻裔丞镏窟债壅瘥钰腚层盎肟腹鬟隙蠲俺罚豫罕损芘酯韶伺枝愉贾鹬场佥忆哜胫浑枋笮呕垴钋宋阍僚绋斧莓照丐先拨炊诵颇噔觉济跹衤胺窨淬,28,因为，所以方程组可表示为,缌集沤自鼐铘开拟寇学曼紧蜚泐箱绾馈帆舶颅淌么偿抠赉奇烊梅状柬缘囿邢紧岘际媸扔蒎赂际痞炜屺兽犒醌眙蒜灌菏削饪拟黧添鲍疬喊亘渎味璨涸既筛汰髋