新课标高考数学题型全归纳全册_部分7.pdf

第十章 圆锥曲线方程 1 6 1 心得体会 证: 设A( x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x,y) , 由题意知 P A A Q = P B Q B , 设A在P,Q之间,P A =A Q ( 0) , 又Q在P,B之间, 故P B =-B Q , 因为 P B B Q , 所以00) 过点M(2,1) , 且左焦 点为F1(- 2, 0). ( 1) 求椭圆C的方程; ( 2) 当过点P(4,1) 的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时, 在线段 A B上取点Q, 满足|A P | |Q B |=|A Q | |P B | .证明: 点Q总在某定直线上. 【 分析】 用待定系数法求解椭圆的方程, 巧妙地利用定比分点解答点Q的轨迹问题. 【 解析】 ( 1) 由题意知 c 2=2 2 a 2+1 b 2=1 c 2= a 2- b 2 , 解得a 2=4, b 2=2, 所求椭圆方程为x 2 4+ y 2 2=1 . 图 1 0 - 3 0 ( 2) 如图1 0-3 0所示, 设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x,y) , 由题意知 P A A Q = P B Q B , 不妨设A在P,Q之间,P A =A Q ( 0) , 又Q在P,B之 间, 故P B = -B Q , 因 为 P B B Q , 所以0 0 (),如图1 0-3 1所示, 作辅助线, 设A x 1,y1 ( ), B x2,y2(), 易知R t F M RR t AH B, 所以 F R A B = FM AH = A F-B F 2 x1-x2 = A F-B F 2x1-x2 () 由定义知A F+A F =2a, 从而A F-A F = A F 2- A F 2 2a =( x1+c) 2+ y 2 1- ( x1-c) 2+ y 2 1 2a = 2e x1. + 2 得A F=a+e x1, 同理B F=a+e x2. -得A F-B F=ex1-x2( ), 代入式() 得 F R A B = ex1-x2() 2x1-x2 =e 2 . 类比椭圆, 在双曲线中有 F R A B =e 2 . 第十章 圆锥曲线方程 1 6 3 心得体会 图 1 0 - 3 2 在抛物线中, 设抛物线方程为y 2=2 p x p 0 (), 如图1 0-3 2 所示, 作辅助线方法同椭圆中, 得 F R A B = A F-B F 2AH = A F-B F 2A S-B T = A F-B F 2A F-B F =1 2 . 即 F R A B =1 2= e 2( 抛物线离心率为1 ). 【 例1 0 . 5 5】 (2 0 1 0 全国 理,1 2) 已知椭圆C: x 2 a 2+y 2 b 2=1 ab0()的离心率为 3 2 , 过右焦点F且斜率为k k0()的直线与C相交于A,B两点, 若A F =3F B, 则k= ( ). A . 1B . 2C . 3D . 2 图 1 0 - 3 3 【 解析】 如图1 0-3 3所示, 不妨设A F =3, 则F B =1,MF =1, R F =e 2 A B= 2e= 3, 在R t F MR中,k= t a n R F M = RM F M = 3 - 1 1 = 2 .故选B . 【 评注】 若l A B的倾斜角为, 且A F = F B 0( ), 则c o s= -1 e+1() . 【 变式1】 (2 0 0 9全国理,1 1) 已知双曲线C: x 2 a 2- y 2 b 2= 1a 0, b 0()的右焦点为F, 过 F且斜率为3的直线交C于A,B两点, 若A F = 4 F B , 则C的离心率为( ). A . 6 5 B . 7 5 C . 8 5 D . 9 5 图 1 0 - 3 4 【 变式2】 (2 0 1 0全国理,1 6) 已知F是椭圆C的一个焦点, B 是短轴的一个端点, 线段B F的延长线交C于点D, 且 B F =2F D, 则C 的离心率为 . 【 变式3】 (2 0 0 7重庆文,2 1) 如图1 0-3 4所示, 倾斜角为的直 线经过抛物线y 2=8 x的焦点F, 且与抛物线交于A,B 两点. ( 1) 求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程; ( 2) 若为锐角, 作线段A B的垂直平分线m交x轴于 点P, 证明:F P-F Pc o s 2为定值, 并求此定值. 模型二: 三大圆锥曲线中( 双曲线需同支) , 设过焦点F且不平行于焦点所在坐标轴的弦 为A B, 则 1 A F + 1 B F 为定值4 L ( L为通径长). 证: 设椭圆x 2 a 2+ y 2 b 2=1ab0 (), 如图1 0-3 5所示, 过点F作lx轴于点F, 过点 A,B分别作AH1,BH2垂直于l于点H1,H2, 设A x1,y1( ), B x2,y2( ), lA B的 倾斜角为, 不妨设x20, 直线l经过C1的焦点, 依次交C1,C2于A,B, C,D四点, 则A B C D 的值为( ). A .p 2 4 B .p 2 3 C .p 2 2 D .p 2 图 1 0 - 3 7图 1 0 - 3 8 模型二的推广: 三大曲线( 椭圆、 双曲线( 同支) 、 抛物线) 中, 设Pi( i=1,2, ,n,n, n2) 为曲线上的动点, 点F为曲线的焦点, 且线段F P1,F P2, ,F Pn把圆周角F分成 n等份, 则 n i=1 1 F Pi 为定值, 2n L ( L为通径长). 证:对于椭圆x 2 a 2+ y 2 b 2=1ab0 (), 由题意可设 1=x +F P 1=, 则 i=x +F P i=+ 2i-1( ) n i=1,2, ,n(), 且由模型一知 1 F Pi = 1-ec o si b 2 a i=1,2, ,n( ), 所以 n i=1 1 F Pi = n i=1 1-ec o si b 2 a = n a b 2-c b 2 n i=1 c o si(). 因为 i=+ 2i-1( ) n , 所以单位向量 F Pi F Pi 的终点均匀分布在以F为圆心 的单位圆上, 所以 n i=1 F Pi F Pi =0(). ( 证明: 可把 F Pi F Pi 逆时针旋转2 n , 则式() 左边不变, 其右边只能为0). 所以 n i=1 c o si,s i ni( )=0, 即有 n i=1 c o si=0, 代入式() 得 n i=1 1 F Pi = n a b 2-c b 20= n a b 2为定值. 类比椭圆, 在双曲线( 同支) 中, 仍有 n i=1 1 F Pi = n a b 2. 对于抛物线y 2=2 p x p0 ( ), 设 1=x +F P 1=, 则i=x +F P i=+ 2i-1() n i=1,2, ,n( ), 新课标高考数学题型全归纳 1 6 6 心得体会 由模型一中知 1 F Pi = 1- c o si p , 所以 n i=1 1 F Pi = n i=1 1- c o si p =n p -1 p n i=1 c o si, 由中证明知 n i=1 c o si=0, 代入上式得 n i=1 1 F Pi =n p 为定值. 【 评注】 上述结论可统一为 n i=1 1 |F Pi|= 2n L ( L为通径长). 【 例1 0 . 5 7】 (2 0 0 7重庆理,2 2) 在椭圆 x 2 3 6+ y 2 2 7=1上任取三个不同的点 P1,P2,P3, 使 P1F P2=P2F P3=P3F P1, 其中F为右焦点, 求证: 1 F P1 + 1 F P2 + 1 F P3 为定值, 并求此定值. 【 解析】 解法一: 设椭圆的右顶点为A, 以F为极点, A F的延长线为极轴, 建立极坐标 系, 并设A F Pi= ii=1,2,3 ( ), 0ib0 ( ) . 设P x0, y0 ( ), A x1,y1( ), B x2,y2( ) . 令x0=ac o s, y0=bs i n,A ac o s,bs i n ( ), B ac o s , bs i n ( ) . 则kA B=b s i n-bs i n ac o s-ac o s =b a 2 c o s + 2 s i n - 2 -2 s i n + 2 s i n - 2 =-b ac o t + 2 (). 同理, kP A=-b ac o t + 2 , kP B=-b ac o t + 2 . 而k P A+kP B=0, 得-b ac o t + 2 -b ac o t + 2 =0, 所以c o t + 2 + c o t + 2 =0, 得 1 t a n + 2 + 1 t a n + 2 =0 t a n + 2 + t a n + 2 =0, 即t a n+ 2 + =0 t a n + 2 + t a n=0 c o t + 2 + c o t=0, 所以c o t + 2 =- c o t, 代入式() 得 kA B=-b a - c o t( )= b ac o t = b 2 x0 a 2 y0, 为定值. 由于x0y00, 所以上述所有三角运算均有意义. 对于双曲线x 2 a 2- y 2 b 2= 1a, b 0(), 设P(x0,y0) 为P as e c,bt a n( ), A as e c,bt a n( ), B as e c , bt a n (), 则kA B= bt a n-bt a n as e c-as e c =b a s i n c o s - s i nc o s c o s - c o s =b a s i n-() -2 s i n + 2 s i n - 2 =b a c o s - 2 s i n + 2 (). 同理, kP A=b a c o s - 2 s i n + 2 , kP B=b a c o s - 2 s i n + 2 , 新课标高考数学题型全归纳 1 6 8 心得体会 而k P A+kP B=0, 即b a c o s - 2 s i n + 2 + c o s - 2 s i n + 2 =0, 所以 c o s - 2 s i n + 2 + c o s - 2 s i n + 2 =0,s i n + 2 c o s - 2 + s i n + 2 c o s - 2 =0 . 即1 2 s i n +- 2 + s i n +-(-) 2 + 1 2 s i n +- 2 + s i n +-() 2 =0 s i n+ - 2 + s i n + 2 + s i n+ - 2 + s i n + 2 =0 s i n- - 2 + s i n + - 2 +2 s i n + 2 =0 2 s i n - - 2 + - 2 2 c o s - - 2 -+ - 2 2 +2 s i n + 2 =0 s i nc o s - 2 + s i n + 2 =0 c o s - 2 s i n + 2 =- 1 s i n , 代入式() 得 kA B=b a - 1 s i n =- b a 1 s i n=- b 2 x0 a 2 y0, 为定值. 由于y00, 所以上述所以三角函数运算均成立. 对于抛物线y 2=2 p x p0 (), 设P x0, y0 ( ), A y 2 1 2p, y1 , B y 2 2 2p, y2 ( y0,y1,y2两两均不相等) , 则kA B=y 1-y2 y 2 1 2p- y 2 2 2p = 2p y1+y2( ). 同理, kP A= 2p y0+y1, kP B= 2p y0+y2, 又k P A+kP B=0, 得 2p y0+y1+ 2p y0+y2=0 , 即 1 y0+y1+ 1 y0+y2=0 , 故y0+y1+y0+y2=0, 得y1+y2=-2 y0, 代入式() 得 kA B= 2p -2y0=- p y0 . 【 例1 0 . 5 8】 (2 0 0 9辽宁理,2 0) 已知椭圆C: x 2 4+ y 2 3=1 , A为椭圆C上的点, 其坐标为 1, 3 2 , E,F是椭圆C上的两动点, 如果直线A E的斜率与A F的斜率互 为相反数, 证明: 直线E F的斜率为定值, 并求出该定值. 【 分析】 要求直线E F的斜率, 必须知道E, F的坐标. 【 解析】 设直线A E的方程为y=k x-1( )+ 3 2, x 2 4+ y 2 3=1 y=k x-1 ( )+ 3 2 , 第十章 圆锥曲线方程 1 6 9 心得体会 消y得4k 2+3 ()x 2+ 1 2 k-8k 2 ()x+4 3 2- k 2 -1 2=0, 则xE= 4 3 2- k 2 -1 2 4k 2+3 ()xA = 3-2k()2-1 2 4k 2+3 , 又直线A F的斜率与A F的斜率互为相反数, 故以上k用-k代替得 xF= 3+2k()2-1 2 4k 2+3 , 所以 kE F=y F-yE xF-xE= -k xF-1( )+ 3 2- k xE-1( )+ 3 2 xF-xE =- k xF+xE( )+2 k xF-xE , 把,两式代入上式, 得k E F=1 2 . 【 变式1】 已知A,B,C是长轴为4, 焦点在x轴上的椭圆上的三点, 点A 是长轴的一个 顶点, B C过椭圆的中心O, 且A C B C=0,B C =2A C . ( 1) 求椭圆的方程; ( 2) 如果椭圆上的两点P,Q, 使得P C Q的平分线垂直于O A, 问是否总存在 实数, 使得P Q = A B ? 说明理由. 【 变式2】 已知椭圆x 2 6+ y 2 2=1的内接P A B 中, 点P坐标为 3,1 (),P A与P B的倾 斜角互补, 求证: 直线A B的斜率为定值, 并求之. 图 1 0 - 3 9 【 变式3】 已知双曲线x 2-y 2 3 =1上点P2,3(), 过P作两条直线 P A,P B, 满足直线P A与P B倾斜角互补, 求直线A B的 斜率. 【 变式4】 (2 0 0 4北京理,1 7) 如图1 0-3 9所示, 过抛物线y 2=2 p x p0 ()上一定点P x0, y0 ()y00(), 作两条直线分别交 抛物线于A x1, y1 ( ), B x2,y2( ) . ( 1) 求该抛物线上纵坐标为p 2的点到焦点F 的距离; ( 2) 当P A与P B的斜率存在且倾斜角互补时, 求y 1+y2 y0 的值, 并证明直线A B的斜率是非零常数. 模型四: 已知曲线C: x 2 s +y 2 t =1(s t0) ,P是C上异于顶点的动点,A,B是关于原点中 心对称的两顶点.若直线P A,P B分别交同一坐标轴于M,N( 非A,B两点) , 则OM ON 为定值. 【 例1 0 . 5 9】 如图1 0-4 0所示, 已知圆O的半径是a a0 (), 圆中有两条互相垂直的直径 A B和C D,P是圆周上任意一点( 不在A B,C D上) , 直线A P,B P分别交直 线C D于M,N, 证明OM ON =a 2 . 【 解析】 证: 因为B P A P, 所以 B N AM, 从而 B N AM= B O + O N ( ) A O + O M ( )= 0 , 新课标高考数学题型全归纳 1 7 0 心得体会 图 1 0 - 4 0 即B O A O+B OOM+ONA O+OMON=0, 即-a 2+OM ON=0 . 所以OM ON =OM ON c o s 0=OM ON =a 2, 得证. 【 例1 0 . 6 0】 如图1 0-4 1所示, 已知椭圆x 2 a 2+y 2 b 2=1ab0 () 的 上、 下顶点分别为A,B, 点P是椭圆上异于顶点的任 意一点, 直线A P,B P分别交x轴于M,N, 证明: 图 1 0 - 4 1 OM ON =a 2 . 【 解析】 证: 设P x 0,y0 (), 则x0y00,M m,0( ), N n,0( ), 则A P AM, 即 x0,y0-b( ) m,-b( ) . 所以m y0-b( )=- b x0, 得m=- b x0 y0-b . 同理由B P BN, 得n=b x0 y0+b . 所以OM ON =m n=- b 2 x 2 0 y 2 0-b 2= x 2 0 1- y 2 0 b 2 =x 2 0 x 2 0 a 2 =a 2 . 图 1 0 - 4 2 【 变式1】 如图1 0-4 2所示, 已知椭圆x 2 a 2+y 2 b 2=1ab0 () 上、 下 顶点分别为A,B, 点P是椭圆上异于顶点的任意一点, 直线A P,B P分别交x轴于M,N.证明:AM BN为定 值, 并求之. 【 例1 0 . 6 1】 如图1 0-4 3所示, 已知双曲线 x 2 a 2- y 2 b 2=1a, b0()左、 图 1 0 - 4 3 右顶点分别为A,B, 点P是双曲线异于顶点的任意 一点, 直 线A P,B P分 别 交y轴 于M,N, 证 明: OM ON =b 2 . 证: 设P x0, y0 ( ), y00,M0,m ( ), N0,n( ), A-a,0( ), B a,0(), 则A P AM, 即x0+a, y0 ( ) a,m( ), 所以m x0+a( )=a y 0, 即m= a y 0 x0+a . 同理, 由B P BN, 得n=- a y 0 x0-a . 所以,O M O N =m n= a y 0 x0+a - a y 0 x0-a = a 2 y 2 0 x 2 0-a 2= y 2 0 x 2 0 a 2- 1 = y 2 0 y 2 0 b 2 =b 2 . 【 变式1】 (2 0 0 9江西理,2 1) 已知双曲线x 2 2b 2- y 2 2 5b 2=1b0 ()的左、 右顶点为B,D, 在双 曲线上任取一点Q x0, y0 ()y00(), 直线Q B,Q D分别交y轴于M,N两点, 求证: 以MN为直径的圆过两定点. 第十章 圆锥曲线方程 1 7 1 心得体会 图 1 0 - 4 4 【 例1 0 . 6 2】 如图1 0-4 4所示, 已知抛物线y 2=2 p x p0 (), 动直 线l过定点Q q, 0(), 且l与抛物线交于A,B两点, AM垂直于x轴于M,BN垂直于x轴于N,AM 垂 直于y轴于M ,BN 垂直于y轴于N , 证明:OM ON =q 2,OM ON =2p|q| . 【 解析】 证: 由题意知直线l的斜率非零, 故可设直线l: x= t y +q tR( ), A x1,y1( ), B x2,y2( ). 由 y 2=2 p x x= t y +q , 得y 2-2 p t y-2p q=0 . 所以OM ON =y1y2=2p|q|, OM ON =x1x2= y 2 1 2p y 2 2 2p = y1y2 ()2 4p 2 =4 p 2 q 2 4p 2=q 2 . 题型1 5 4 最值问题 思路提示: 有两种求解方法: 一是几何方法, 即利用几何性质结合图形直观求解; 二是 建立目标函数, 通过求函数的最值求解. 【 例1 0 . 6 3】 设椭圆 x 2 2 5+ y 2 1 6=1的左、 右焦点分别为F 1,F2, 点M是椭圆上任意一点, 点 A的坐标为2,1(), 求MF1+MA的最大值和最小值. 【 分析】 本题若设M x, y (), 建立目标函数MA+MF1=f x, y (), 则会作茧自缚. 但是注意到F1为椭圆左焦点, 联想到椭圆定义及三角形中边的关系不等式时, 问题就容易获解. 图 1 0 - 4 5 【 解析】 如图1 0 -4 5所示, 因为M在椭圆上, 所以有M F1+M F2= 2a= 1 0 . 令Z=MF1+MA, 得Z=1 0+MA-MF2. 当M,A,F2三点不共线时, 有 -A F2MA-MF20(), 取等号的条件均为a=b. 【 变式1】 (2 0 0 6全国, 理2 0) 已知椭圆x 2+y 2 4=1在第一象限部分为曲线C, 动点P 在C上,C在点P处的切线与x, y轴的交点分别为A,B, 且向量OM =O A+ O B , 求 OM 的最小值. 【 变式2】 (2 0 1 0广东文,2 1) 已知曲线C:y=n x 2, 点P nxn,yn ()xn0, yn0 ()是曲线 Cn上的点n=1,2, ( ) . ( 1) 试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程, 并求出ln与y轴的交点Qn的 坐标; ( 2) 若原点O0,0()到ln的距离与线段PnQn的长度之比取到最大值, 试求点 Pn的坐标xn,yn( ); ( 3) 设m与k为两个给定的不同的正整数,xn与yn是满足(2) 中条件的点Pn 第十章 圆锥曲线方程 1 7 3 心得体会 的坐标. 证明: s n=1 m+1()xn 2 -k+1()yn 0( ), P x,y( ), 由A P = P B 知点P 坐标为 m- n 1+ , 2m+2 n 1+ , 又P在双曲线上, 所以 2m+2 n 1+ 2 4 - m- n 1+ 2 1 =1 m n= 1+()2 4 = +1 +2 4 . 设A O B=2, 因为t a n 2- =2 , 所以t a n=1 2, s i n 2= 2 t a n 1+ t a n 2 = 1 1+1 4 =4 5, 所以SA O B=1 2 5 m 5n4 5=2 m n=1 2 +1 +1 , 又 1 3, 2 , 当=1时, SA O B取最小值为2; 当=1 3时, SA O B取最大值为8 3 . 所以SA O B 2, 8 3 . 【 评注】 本题建立目标函数, 即A O B的面积与的函数关系S ( )= 1 2 +1 +1 , 利 新课标高考数学题型全归纳 1 7 4 心得体会 用函数的单调性来求解. 【 变式1】 已知抛物线x 2=4 y的焦点为F,A,B是抛物线上的两动点, 且A F = F B 0(), 过A,B两点分别作抛物线的切线, 设其交点为M. ( 1) 证明:FM A B为定值; ( 2) 求A BM的面积的最小值. 【 例1 0 . 6 6】 (2 0 0 8全国 理, 2 1) 设椭圆中心在坐标原点,A2,0( ), B0,1()是它的两 个顶点, 直线y=k x k0()与椭圆交于E,F两点, 求四边形A E B F面积的 最大值. 【 分析】 将四边形A E B F分割为两个三角形来求面积. 【 解析】 设E x 0,y0 ( ), F-x0,-y0( ), x0,y00, 由题意知椭圆方程为x 2 4+ y 2=1, 如图1 0-4 9所示, S四边形A E B F=SA E F+SB E F=1 2 O Ay0- -y0()+ 图 1 0 - 4 9 1 2 O Bx0- -x0()=2y0+x0, 又 x 2 0 4 +y 2 0=1 即x 2 0+4y 2 0=4,4=x 2 0+4y 2 04x0y0 ( 当x0=2y0时等号成立). 所以S 2 四边形A E B F=x0+2y0()2=x 2 0+4x0y0+4y 2 04+x 2 0 + 2y0()2=8, 即S四边形A E B F2 2, 当且仅当x0=2 y0时取等号. 另解: 设x0=2 c o s, y0= s i n, 0, 2 , 则S四边形A E B F=2 c o s+ s i n=2 2 s i n+ 4 2 2 . 故四边形A E B F的面积的最大值为2 2. 【 例1 0 . 6 7】 (2 0 0 9全国 理, 2 1) 如图1 0-5 0所示, 已知抛物线E:y 2=x 与圆M: x-4()2+y 2= r 2 r0()相交于A,B,C,D四点. 图 1 0 - 5 0 ( 1) 求r的取值范围; ( 2) 当四边形A B C D的面积最大时, 求对角线A C,B D 的交点P的坐标. 【 解析】 ( 1) 将y 2= x代入x-4()2+y 2= r 2 并化简得x 2-7 x+1 6-r 2=0. 因为E与M有四个交点的充要条件是方程有两个不等的 正根x1, x2, 由此得 = -7()2-41 6-r 2 ( )0 x1+x2=70 x1x2=1 6-r 20 , 解得1 5 4 r 20, 所以r的取值范围是 1 5 2 , 4 . ( 2) 不妨设E与M的四个交点坐标分别为Ax1,x1(),Bx1,- x1 (), 第十章 圆锥曲线方程 1 7 5 心得体会 Cx2,- x2 (),Dx 2,x2 (), 则直线A C,B D的方程分别为 y-x1=- x2-x1 x2-x1 x-x 1 ( ), y+x1= x2+x1 x2-x1 x-x 1 ( ) . 解得点P的坐标为 x1x2,0 (). 设t= x1x2, 由t=1 6-r 2及( 1) 知0t7 2 .由于四边形A B C D为等腰梯 形, 因而其面积S=1 2 2x1+2x2 ()x2-x1. 即S 2= x1+x2+2x1x2 ()x1+x2()2-4x1x2 . 将x1+x2=7,x1x2=t代入上式, 并令f( t)=S 2, 得 f(t)= 7+2t ()27-2t() 0t7 2 .求导数得 f ( t)=-22t+7( ) 6 t-7( ) . 令 f ( t)=0, 解得t=7 6, t=-7 2( 舍去) .显然当0t0, 当7 6 t7 2时, f ( t)0 .故当且仅当t=7 6时, f(t) 有最大值, 即四边形A B C D 的面积最大. 故所求的点P的坐标为 7 6, 0 . 【 评注】 本题主要有两个考查点: 一个是考查将曲线与曲线的交点问题转化为二次方程 的根的个数问题, 是较基本的问题; 另一个是考查四边形A B C D的面积最大值 问题, 是本题的核心点.要注意本题中表面上求点的坐标, 实质上是求四边形 A B C D面积的最大值, 而且在求目标函数最值的过程中, 利用导数判断函数单 调性的方法, 从而使本题的综合性大大提高. 【 变式1】 (2 0 1 1湖南文,2 1) 已知平面内一动点P到点F( 1,0) 的距离与点P到y轴 的距离的差等于1. ( 1) 求动点P的轨迹C的方程; ( 2) 过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2, 设l1与轨迹C相交于点 A,B,l2与轨迹C相交于点D,E, 求AD E B的最小值. 第十一章 算法初步 考纲解读 1 .了解算法的含义和思想. 2 .理解程序框图的3种基本逻辑结构: 顺序、 条件分支、 循环. 3 .理解几种基本算法语句 输入、 输出、 赋值、 条件和循环语句的含义. 命题趋势探究 预测在2 0 1 2年高考中, 本章知识仍为考查的热点, 内容以程序框图为主.从形式 上看, 以选择题和填空题为主, 以实际问题为背景, 侧重知识应用能力的考查, 要求考 生具备一定的逻辑推理能力. 本专题主要考查算法的逻辑结构, 要求能够写出程序的运行结果、 指明算法的功 能、 补充程序框图、 求输入参量, 并常将算法与其他版块知识( 尤其是与数列) 进行综 合考查.一般来说, 有关算法的试题属容易题目, 分值稳定在5分. 知识点精讲 一、 算法与程序框图 1.算法 算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤, 这些程序或步骤必 须是确定的和能执行的, 而且能够在有限步之内完成. 2 .程序框图 ( 1) 定义: 程序框图又称流程图, 是一种用程序框、 流程线及文字说明来表示算法的 图形. ( 2) 说明: 在程序框图中一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤; 带有方向 的流程线将程序框连接起来, 表示算法步骤的执行顺序. 3 . 3种基本逻辑结构 程序框图有3种基本的逻辑结构, 如表1 1-1所示. 第十一章 算法初步 1 7 7 心得体会表 1 1 - 1 名称 内容 顺序结构条件结构循环结构 定 义 顺序 结 构 由 若 干 个 依 次 执行的步骤组成, 是任何 一个 算 法 都 离 不 开 的 基 本结构 算法 的 流 程 根 据 条 件 是 否成立有不同的流向, 条 件结 构 就 是 处 理 这 种 过 程的结构 从某处开始, 按照一定的 条件反复执行某些步骤, 反复执 行的 步 骤 称 为 循 环体 程序 框图 二、 基本算法语句 1 . 3种语句的一般格式和功能 3种基本算法语句的一般格式和功能如表1 1-2所示. 表 1 1 - 2 语句一般格式功能 输入语句 I N P UT“ 提示内容” ; 变量 输入信息 输出语句 P R I N T“ 提示内容” ; 表达式 输出结果 赋值语句变量=表达式将表达式的值赋给变量 2 .条件语句 ( 1) 算法中的条件结构由条件语句来表达. ( 2) 条件语句的格式及框图如图1 1-1和图1 1-2所示. I FTHE N格式 图 1 1 - 1 I FTHE NE L S E格式 图 1 1 - 2 新课标高考数学题型全归纳 1 7 8 心得体会 3 .循环语句 ( 1) 算法中的循环结构由循环语句来实现. ( 2) 循环语句的形式及框图如图1 1-3和图1 1-4所示. UNT I L语句 图 1 1 - 3 WH I L E语句 图 1 1 - 4 ( 3)WH I L E语句与UNT I L语句之间的区别与联系如表1 1-3所示. 表 1 1 - 3 WH I L E语句UN T I L语句 区别 执行循环体前测试条件, 当条件为真时执 行循环体, 当条件为假时终止循环, 可能 不执行循环体 执行循环体后测试语句条件, 当条件 为假时执行循环体, 当条件为真时终 止循环, 最少执行一次循环体 联系可以相互转换,L O O PUN T I L( 条件) 相当于WH I L E( 反条件) 三、 算法案例 1.辗转相除法 辗转相除法又叫欧几里得算法, 是一种求最大公约数的古老而有效的算法, 其步骤 如下: ( 1) 用两数中较大的数除以较小的数, 求商和余数; ( 2) 以除数和余数中较大的数除以较小的数; ( 3) 重复上述两步, 直到余数为0; ( 4) 则较小的数是两数的最大公约数. 2.更相减损术 更相减损术是我国古代数学专著 九章算术 中介绍的一种求两数最大公约数的算 法, 其基本过程为: 对于任意给定的两个正整数, 以大数减小数, 接着把所得的差与较小 的数比较, 并以大数减小数, 继续该操作, 直到所得的数相等为止, 则这个数( 等数) 就是 所求的最大公约数. 第十一章 算法初步 1 7 9 心得体会 3.秦九韶算法 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作 数书九章 中提出的一种用于 计算一元n次多项式的值的方法. 4.进位制 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统, “ 满k进1” 就是k进制, k进 制的基数是k. 题型归纳及思路提示 题型1 5 5 已知流程框图, 求输出结果 思路提示: 分析条件结构, 确定最后一步运算. 【 例1 1 . 1】 (2 0 1 0全国新课标理, 7( 文,8) ) 如果执行如图1 1-5所示的框图, 输入N= 5, 则输出的数等于( ). 图 1 1 - 5 A . 5 4 B . 4 5 C . 6 5 D . 5 6 【 分析】 解决这类算法问题时, 一般有两种思路: 一是把人看作计 算机, 程序执行哪一步, 我们就计算哪一步, 一直到程序 终止, 这类方法往往适用于步骤比较简单、 循环次数不十 分多的程序; 另一种思路是分析程序的原理, 了解程序实质要完成的 目标, 将其还原为数学模型, 从而对数学模型进行求解. 【 解析】 解法一: S=0,k=1,S=0+ 1 12= 1 2, 15, 是k=2,S =1 2+ 1 23= 2 3, 25, 是k=3,S= 2 3 + 1 34= 3 4, 35, 是k=4,S=3 4+ 1 45= 4 5, 45, 是k=5,S= 4 5+ 1 56= 5 6, 55, 否, 程序结束. 解法二: 本题实质上是求解 5 k=1 1 kk+1() , 故 S=0+ 1 12+ 1 23+ 1 56=1- 1 2+ 1 2- 1 3+ 1 5- 1 6= 5 6. 故选D. 【 变式1】 (2 0 1 0沈阳监测理,2) 执行如图1 1-6所示的程序框图, 则输出的结果S 是 . 【 变式2】 (2 0 1 0天津河西区调查) 如图1 1-7所示, 该程序框图的输出结果是 . 【 变式3】 (2 0 0 7山东理,1 0) 阅读如图1 1-8所示的流程框图, 若输入的n是1 0 0, 则输 出的变量S和T的值分别是( ). A . 2 5 0 0,2 5 0 0B . 2 5 5 0,2 5 5 0C . 2 5 0 0,2 5 5 0D . 2 5 5 0,2 5 0 0 【 变式4】 (2 0 1 1课标全国理,3) 执行如图1 1-9所示的程序框图, 如果输入的N 是6, 新课标高考数学题型全归纳 1 8 0 心得体会 则输出的p是( ). A. 1 2 0B. 7 2 0C. 1 4 4 0D. 5 0 4 0 【 变式5】 (2 0 1 1浙江理,1 2) 若某程序框图如图1 1-1 0所示, 则该程序运行后输出的k 的值是 . 图 1 1 - 6 图 1 1 - 7 图 1 1 - 8 “ ?N ?p k=1, p=1 k=k+1 p=pk kb? 图 1 1 - 1 0 图 1 1 - 1 1 【 例1 1 . 2】 (2 0 1 0辽宁文,5) 如果执行如图1 1 -1 1所示的流程框图, 输入n=6,m=4, 那么输出的P等于( ) A . 7 2 0B . 3 6 0C . 2 4 0D . 1 2 0 【 解析】 k= 1, P= 1 6 - 4 + 1( )= 3 , 1 4 k= 2,P= 3 6 - 4 + 2( )= 1 2 , 2 4 k= 3,P= 1 2 6 - 4 + 3( )= 6 0 , 3 4 k= 4,P= 6 0 6 - 4 + 4()= 3 6 0,4 = 4 程序结束 输出P= 3 6 0 .故选B . 【 变式1】 (2 0 1 0辽宁理,4) 如果执行如图1 1-1 1所示的程序框图,输入正整数n, m