物理竞赛——小量近似方法应用两则.doc

小量近似方法应用两则小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的。这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法对一个小角量来说，有，；在研究一个普通量时，可以忽略小量。一、欧拉公式十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系：，其中F1代表我们所用的力，F2代表我们所要对抗的力，e代表数2.718（自然对数的底），代表绳和桩子之间的摩擦系数，代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。若取，则。所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物。下面就欧拉公式作一证明：取一小段弧为研究对象，受力分析如图所示，和为小弧两端所受张力，为柱体对绳的压力，为静摩擦力。根据平衡方程，得： （1） （2）临界情况 （3）很小，有，所以 即 或 两边求和或 故 即两张力之比按包角呈指数变化。儒勒凡尔纳在马蒂斯桑多尔夫这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面。不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上。他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟。最后，缆索断了。可是这十秒钟时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻微地擦了一下快艇，就向前驶了开去。理解了欧拉公式，我们明白：原来在这里帮助他们的，并不是马蒂夫异常的臂力，而是绳和桩子之间的摩擦力。二、重力场中光子频率变化已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能。若从地面上某处将一束频率为的光射向其正上方相距为d的空间站，d远小于地球半径，令空间站接收到的光的频率为，则差 =_ ，已知地球表面附近的重力加速度为g。（第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷第二大题第8小题）参考答案：解析：d远小于地球半径，由能量守恒得而 则 这与题给参考答案似乎有点矛盾：！其实只要注意到 ，就不难理解以上两个结论是相同的，即。事实上，能量守恒式子中的m也是在变化的，同样也有。本题可以从引力势能角度考虑，思路会更加清晰：由能量守恒得利用，有 变形得从而注意到则 ，其中 所以 非惯性系与惯性力在匀加速上升的升降机里，人站在测力计上，观察可知测力计的示数大于人所受到的重力G。测力计显示的为人对测力计的压力F，根据牛顿第三定律可知测力计对人的弹力。若以升降机为参考系，则人处于平衡状态。而由作出人的受力示意图可知，人受到重力G与测力计对人的支持力F作用，但二力的合力并不为零，可见在相对于地面做匀加速运动的升降机里，牛顿运动定律不再成立。牛顿运动定律不成立的参考系，称为非惯性系。牛顿运动定律成立的参考系，称为惯性系。我们一般都以惯性系作为参考系来研究物体的运动情况，有时也需要研究非惯性系中物体的运动，这时为了使牛顿第二定律仍然成立，便需要引入“惯性力”的概念。在图1中，以升降机作为参考系，质量为m的物体静止在测力计上，我们可以认为物体除了受到重力G与测力计对物体支持力F外，还受到一个竖直向下的力F惯，在这三个力共同作用下，物体保持平衡。这个F惯就叫做惯性力。vaGF惯F图1惯性力与通常意义下的“真实”的力不同，它是形式上引入的“假想”的力，没有施力物体。在以加速度相对于某一惯性系做加速运动的非惯性系中，所有的物体除受到“真实”的力作用，还受到惯性力F惯作用，大小为，方向与非惯性系的加速度方向相反，即F惯 其中，负号表示惯性力的方向与非惯性系的加速度方向相反，m为物体的质量。例1 如图2所示，一质量为M、倾角为的光滑斜面，放置在光滑水平面上，另有一质量为m的小物体沿斜面下滑，斜面底边长为L，当物体从斜面顶端由静止开始下滑到底端时，求m、M的加速度；斜面具有多大的速度。mgFNa1F（惯性力）mMMg图4图3图2F1FNa2分析与解如图3所示，对于m 如图4所示，对于M 联立式解得 m对地的加速度 m对地的加速度 对于m 对于M 联立得 例2 长分别为L1和L2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m的m1和m2，如图5所示，原先它们处于静止状态。突然，连接两绳的中间小球受到水平向右的冲击，短时间内获得水平向右的初速度v0，求这一瞬间连接m2的绳的拉力为多少？v0OL1m1m2L2m2gFT2图6图5分析与解 小球m1受到冲击获得初速度v0，由于受到上端固定在O点的绳L1的牵制，而绕O点做圆周运动，此刻的加速度竖直向上，大小为。下面的小球m2此刻相对于地面的速度为零，但以m1为参照，m2的速度为v0，方向向左，且绕m1做圆周运动，这时m2受到三个力的作用：竖直向下的重力mg，绳子的拉力T2，惯性力，方向竖直向下，如图6所示。由牛顿第二定律和向心力公式可得即 故 通过这样两道例题我们可以发现，引入惯性力以后，可以使一些动力学问题的求解变得简单，从而给解题带来很大的方便，因此在学习过程中，我们应该很好地掌握这种方法。练习 如图7所示，一光滑细杆绕竖直轴以匀角速度转动，细杆与竖直轴夹角保持不变。一个相对细杆静止的小环自离地面h高处沿细杆下滑，求小球滑到细杆下端时的速度。（参考答案：）图奇妙的“摆线”世界首先看一道经典的带电质点在复合场中运动的题目：如图1所示，一带正电的塑料小球从小孔S处无初速地进入一个区域足够大的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里。已知小球的质量为m、带电量为q，试问这个小球距边界AC的距离多大时，可能沿水平方向做匀速直线运动？此时速度多大？A S CB 图1原解当小球水平向右做匀速直线运动时，受力平衡由动能定理解以上两式得 分析由以下分析可以看出，这个解法是错误的。小球刚进入磁场时初速度为零，在重力与洛伦兹力的共同作用下做曲线运动；当小球运动方向水平时，竖直方向速度为零，小球在这一运动过程中的其他任一位置竖直分速度均不为零；所以小球在竖直方向上的分运动经历了由加速再到减速的过程，小球运动方向水平时仍有向上的加速度，之后运动轨迹向上偏转。因此，小球不可能做水平方向的匀速直线运动。正解小球刚进入磁场时，引入两个等值、反向的水平初速度v加在小球上。其中，与向右的速度v相对应的洛伦兹力恰好与小球的重力平衡，即 与向左的速度v相对应的洛伦兹力，使小球在纸面内做匀速圆周运动。这样，小球的运动就看作是由纸面内逆时针方向的匀速圆周运动与水平向右的匀速直线运动复合而成。设小球做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿运动定律和向心力公式得 由两式得当小球运动方向水平向右时速度最大，此时两分运动速度方向相同小球距边界AC的距离最大 讨论那么小球实际运动的轨迹到底是怎样的呢？从以上求解过程容易联想到生活中的物理模型-无滑动的纯滚动车轮轮缘上一个质点的运动轨迹情况，下面来分析这个问题：如图2，建立平面直角坐标系xoyxyO 图2设M为车轮圆心，R为半径，车轮以速度v匀速直线行驶。考虑车轮边缘上的某一点P，其初始位置在坐标原点，为运动过程中转过的角度，设t时刻位置坐标为（x,y）。由图分析其几何关系可知这是一个关于的参数方程。P点运动轨迹为图2中那条关于对称的曲线，这条曲线在数学中称为摆线，又称滚线、旋轮线。其中，最高点。再回到文中的问题，对比可以看出，小球在磁场与重力场复合场中的运动轨迹应为摆线，如图所示。事实上，两运动均看作同一平面的匀速圆周运动与匀速直线运动的合成。Oxy图3以小球初位置为坐标原点，竖直向下为y轴正方向，水平向右为x轴正方向，建立直角坐标系xoy。参照图2中P点的参数方程，容易得到小球运动的参数方程当时，小球下落距离有最大值小球经时间（由匀速圆周运动分运动可知）完成一次周期性运动，即运动轨迹完成图3所示第一拱，以后重复做周期性运动。一道普通的物理题背后，竟隐藏着奇妙的“摆线”世界。公式应用范围的两则证明平面线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴作匀速转动时，线圈中会产生按正弦规律变化的交变电动势，其最大值，其中B为匀强磁场的磁感应强度，S为线圈所围面积，为线圈转动的角速度。此式是在矩形线圈绕其对称轴转动情况下得到的，对于转动轴不在对称轴上及线圈为其它任意形状的情况也是成立的。下面就这两种情况分别加以证明：1 转轴不在对称轴上的情况如图1所示，矩形线圈绕转轴OO以角速度在磁感应强度为B的匀强磁场中作匀速转动，在图示位置产生的感应电动势最大，因为在ab与cd中产生的感应电动势在同一闭合电路中方向是相反的，所以。同理也可以证明图2、3两种情况。图3图2图1图42 线圈形状不是矩形的情况下面以圆形线圈为例，用微元法证明。如图4所示，半径为R的圆形线圈绕转轴OO以角速度在磁感应强度为B的匀磁场中作匀速转动，在图示位置产生的感应电动势最大。将圆周等分成N等份(N，每一段小圆弧都可以看成直线段)，其中第i等份线段在图示与转轴成角位置，长度为，转动的线速度，该线段与磁场方向成角，在如图4所示位置所产生的感应电动势大小为， 。其中，。如图5所示，为图中小矩形条的面积，则就是区间上余弦函数曲线与横轴所围面积S，显然，所以。图5由于，任意形状的线圈总可看成是由许多小段的弧线组合而成的，所以证明了圆形线圈的情况，也就可以进一步推广到线圈为任意形状的情况了。再以等