肾炎的诊断与分析方法 数学建模.pdf

1 肾炎的诊断及分析方法 摘要 医学上，肾炎的患病与否可以通过化验人体内各化学元素的含量来协助判 断。本文即是以人体内的七种化学元素的含量为基础指标，分别用 logistic 回归 分析法，fisher 二类判别法和bp人工神经网络法三种方法建立判定模型，并进 行正确率检验，以比较得到肾炎的最佳诊断方法。 通过分析表 b.1 中的数据， 我们选取了 1130 号患者和 4160 号健康人的数 据作为样本，进行采样分析，建立模型。然后利用剩余的 110 号患者和 3140 号健康人的数据对三种模型进行正确率检验。 问题一：依模型我们提出了三种判别方法。综合建立的模型和最终检验的正 确率，我们绘制了如下的结果对比表格： 多因素影响二分 类变logisticlogistic 回 归分析判定模型 fisherfisher 二类判别 模型 bpbp 人工神经网络模 型 正确率 90% 95% 100% 问题二：由以上三个模型判定正确率的比较可知，bp 人工神经网络模型在 肾炎的诊断方面正确率最高。因此对第二问我们选择采用 bp 人工神经网络法的 结果来判断表 b.2 中的 30 名就诊人员情况。我们的最终结论是，在 6190 号中， 61、62、64、65、66、68、69、71、72、73、 、76、79、83、85 号等 12 人为肾 炎患者，而其余的人均健康。 问题三：为了确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素，我们采用 了因素主次的 forward conditional 判别法（剔除法） ，对 logistic 回归模型的 7 个变量进行了一一判别，并通过假设检验的 f 检查法，最后只保留了三个变量 345 ,x x x （即 fe，ca，mg 三种元素） ，简化了 logistic 回归模型，减少了判定的 指标，提高了化验效率，具有较高的可行性。 问题四： 经过问题三的剔除法， 我们得出了新的判别是否患肾炎的 logistic 回归方程，通过软件 spss 求解，重新判断了表 b.2 中的 30 名就诊人员是否患病 情况。得到的结果为 30 名就诊人员全部为健康人。 问题五： 通过对问题一的模型进行再次的分析，引入优势比（or）的概念， 并通过对 or 的值与 1 的大小比较。我们分别得到 fe，ca，mg，k 四种元素自变 量为危险因素，就诊人是否患病会比较明显的体现在这几种自变量的该变量上。 其中 mg 和 fe 体现的较为明显;而是否患有肾炎在 zn，cu，na 这三种元素的改 变量上则体现的不够明显，在条件允许的前提下，可以不作考虑。 关键词：关键词：logisticlogistic 回归分析法回归分析法 fisherfisher 判别法判别法 bpbp 神经网络法神经网络法 正确率检验正确率检验 2 1、 问题重述 1.11.1 问题背景问题背景 肾炎是一种困扰人们生活和健康的常见疾病，但其隐匿起病，病程冗长，使 患者备受痛苦。 而及时发现及治疗则一定程度上能够有效地避免和抑制病情的恶 化。医学上诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素含量，其中常 以 zn, cu, fe, ca, mg, k, na 这七种化学元素的含量为基础指标。 1.21.2 问题相关信息问题相关信息 现有 90 名就诊人员的化验结果， 里面有上述七种元素的相对含量。 附表 b.1 是确诊病例的化验结果，其中 130 号病例是已经确诊的肾炎病人；3160 号 病例是已经确诊的健康人。表 b.2 是 30 名未知情况的就诊人员的化验结果。 1.31.3 本文所需解决的本文所需解决的问题问题 问题（问题（1 1）根据表 b.1 中的数据，提出一种或多种简便的判别方法； 检验提出方法的正确性。 问题（问题（2 2）根据问题 1 中提出的方法，判断表 b.2 中的 30 名就诊人员是肾炎 病人还是健康人。 问题（问题（3 3）根据表 b.1 的数据特征，确定影响人们患肾炎的关键或主要因素， 以便减少化验的指标。 问题（问题（4 4）用问题 3 中得到的主要因素再次判断表 b.2 中的 30 名就诊人员是 肾炎病人还是健康人。 问题 （问题 （5 5） 比较减少指标前后的不同方法， 对表 b.2 的诊断结果做进一步分析。 2、 模型的假设与符号说明 2.12.1 模型的假设模型的假设 假设 1：通过人体内的 7 种元素的含量就可以判定是否患有肾炎； 假设 2：不考虑就诊人员的其它疾病因素以及身体素质的差异对各种元素含 量的影响； 假设 3：人处于健康状态时，体内各种元素的百分比含量是相对稳定的。 假设 4：各种元素的含量对肾炎的影响是独立的，不考虑功能的交互作用的 影响； 假设 5：费希尔判别的临界值可以视为两总体的重心，即样品的几何重心； 假设 6：本题所提供的确诊病例的化验结果和就诊人员的化验结果都是准确 可信的； 3 2.22.2 符号说明符号说明 符号 符号说明 i x 表示第i (1,2,3.7)i 种元素的含量 (0)p y 表示患病的概率 (1)p y 表示健康的概率 iy logistic 回归方程中的响应变量( 1,2,.40)i i 表示第 (1i i 种元素在回归方程中的系数 0 表示在回归方程中的常数项 ssr 病例号 121 和 3150 的响应变量 iy 的回归平方和 sse 病例号 121 和 3150 的响应变量 iy 的残差平方和 (i) ssr 去除一个变量后的回归平方和 odds logistic 回归方程中的自变量的优势 or logistic 回归方程中的自变量的优势比 q 两个总体内的离差平方和 i 组间离差与组内离差的比值 i c fisher 判别函数的系数（i=1，2， ，p） ( ) i y 第 i 个总体的样品的重心（i=1、2） y fisher 判别式的函数值 i x 表示各种元素 zn,cu na,（i=1,2,37） ij v 第i种元素在第 j 个节点的权值（ j =1,25） theta1 输入层到隐含层第 j 个节点的阈值 j in 隐含层第 j 个节点的输入 4 j out 隐含层第 j 个节点的输出 j w 隐含层第 j 个节点到输出层的权值 theta2 隐含层到输出层的阈值 in 输出层的输入 out 输出层的输出结果 y 最终得到的预测值 (.)f 激励函数 3. 问题分析 2.1 问题一的分析 针对问题一，题目要求根据表 b.1 中的数据，提出一种或多种简便的判别方 法，判别属于患者或健康人的方法，并检验方法的正确性。由于 130 号病例是 已经确诊为肾炎病人的化验结果；3160 号病例是已经确定为健康人的结果。 我们从健康人和肾炎患者的组中各挑出 20 组作为样本，进行分析，并建立三个 相对合理的模型。并求解模型，最后还需要通过剩下的 20 个数据对模型进行检 验，使得建立的模型具有说服性和可行性。 2.2 问题二的分析 针对问题二，题目要求按照问题 1 提出的方法，判断表 b.2 中的 30 名就诊 人员的化验结果进行判别，判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。由于问题一 我们提出了判定人员是否患病的方法，并检验了方法的正确性，因此可以运用我 们提出的三种方法中正确率最高的一种来判定他 （她） 们是肾炎病人还是健康人， 这样就显示了我们提出的方法的优越性。 2.3 问题三的分析 针对问题三，题目要求能否根据表 b.1 的数据特征，确定哪些指标是影响人 们患肾炎的关键或主要因素，以便减少化验的指标。问题一我们提出了判定肾炎 的方法，而问题二我们利用提出的方法对其他人员是否患病做出了评估，接下来 我们要解决的是如何根据表 b.1 的数据特征，忽略影响人们患肾炎的次要因素， 以减少化验的指标。因此我们必须对表 b.1 的数据作合理的分析，首先，我们分 析健康人体内各种元素含量，然后我们对回归方程进行总体的显著性检验。计算 5 出统计数据的回归平方和 ssr 和残差平方和 sse，我们运用剔除法（见问题三的 求解） ，一一对 7 种元素进行判断，通过假设检验的 f 检查法。最后，剔除次要 因素，从而达到了减少化验指标的目的，提高化验的效率。 2.4 问题四的分析 针对问题四，题目要求根据问题 3 的结果，重复 2 的工作，即根据减少化验 的指标，通过我们得出新的检验人们是否患肾炎的指标，来判断表 b.2 中的 30 名就诊人员的化验结果进行判别，判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。因此 我们可以利用问题一提出的判别属于患者或健康人的方法，对表 b.2 中的 30 名 就诊人员的化验结果进行判别，判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。 2.5 问题五的分析 针对问题五，题目要求我们对问题 2 和 4 的结果作进一步的分析，即在未减 少化验的指标和我们确认影响肾炎的关键因素后减少化验指标的两种情况下， 比 较我们对表 b.2 中的 30 名就诊人员的化验结果进行判别，求出优势比（or）, 判断出哪元素对于响应变量些是危险因素，哪些是保护因素。 4.模型的建立 5.1 数据处理 由 1 到 60 组的化验分析结果统计表： （见附录） 其中 130 号为已经确诊是肾炎病人的化验结果；3160 号病例是已经确认 为健康人的化验结果。为了判别属于健康或患病的情况，我们分别选取 1130 号肾炎病人和 4160 号健康人作为样本统计分析。 5.2 模型模型建立建立 5.2.15.2.1 模型一的建立：模型一的建立：logisticlogistic 回归分析模型回归分析模型 该题是一个关于肾炎诊断的问题， 医生通过化验就诊者体内各种微量元素的 含量,从而判定就诊者是否患有肾炎.由题目所给的确诊病例的化验结果可以看 出，zn , cu , fe , ca , mg , k, na 这 7 种微量元素的含量多少是就诊者是否确诊为 患有肾炎的主要指导依据，具有十分重要的指导作用， 七种不同的元素含量对就 诊人是否患病都有不同程度的影响， 故我们可以将此问题看做一个多多因素影响的 条件 logistic 回归模型。 我们对于就诊人员体内的七种元素zn , cu , fe , ca , mg , k, na 的含量分别用 1234567 ,x x x x x x x 表示， 将就诊人员分为两种情况， 即患病与健康，(0)p y 表 示患病的概率，(1)p y 表示健康的概率。logistic 回归模型意在对响应变量 y 取 0 或 l 两个值的概率建立模型并进行比较。由此，只需确立一定的概率判别准 6 则，然后根据预测变量 x 取不同数值来计算 y=i 的预测概率。如果所得预测概率 值相当大，就可预测 y=i 要发生了，即表示就诊人健康，也即判别相应样本为 l 组。 反之， 如果预测概率相当小， 则判别相应样本为 0 组， 即就诊人为肾炎患者。 本文中我们假设 y 取 0.95 以上时， 我们就认为是 y=1 要发生， 当 y 小于 0.05 时，我们认为 y=0 要发生。 那么，logistic 回归方程为 01 17 7 log ( )it pxx，可以记做 log ( )ln() 1 p yit p p 由此可得， 01 17 7 01 17 7 exp() 1exp() xx p xx 通过spss的计算分析得， 以上回归方程的7元素的未知变量构成的logistic 回归系数 0127 ,. 分别为： 微量元 素 zn cu fe ga mg k na 回归系 数 1 2 3 4 5 6 7 0 系数值 0.06 -1.829 -1.048 -0.046 -0.044 -0.047 0.033 107.876 求解过程见（附录 2） 由此可以得到 logistic 回归方程为： 1234567 log it p107.8760.061.8291.0480.0460.0440.0470.033xxxxxxx 5.2.25.2.2 模型二的建立：模型二的建立：fisherfisher 二类判别模型二类判别模型 fisher 判别法的基本思想： 利用选取的 20 名患者和 20 名健康人的样本数 据，借助方差分析的思想构造判定函数。 以两个总体中 7 个指标的样品数据为观测数据，借助方差分析的思想构建一 个判别函数： 1 12277 yc xc xc x 其中系数 1 c、 2 c 7 c确定的原则是使两组间的区别最大，而使每组内部的离差 最小。有了判别式后，对于一个新的样品，将它的 7 个指标代入判别式，求出 y 值，然后与判别式的临界值进行比较，就可以判别它属于哪一个总体。 fisher 判别函数的导出判别函数的导出： 假设新建立的判别式为： 7 1 12277 yc xc xc x 现将属于不同的两总体的样品观测值代入判别式中去，则得 (1)(1)(1)(1) 112277 (2)(2)(2)(2) 112277 (11,12,30) (41,42,60) iiii iiii yc xc xc xi yc xc xc xi 对上边式子左右两边分别相加，再除以相应的样品个数，则有 (1) (2) 7 (1) kk 1 7 (2) 1 k kk k yc x yc x 第一组样品的“重心” 第二组样品的“重心” 在求出两个总体的几何中心作为判别式的临界值： (1)(2) 0 2020 2020 yy y 为了使判别函数能够很好地区别来自不同总体的样品，自然希望： （1）来自不同总体的两个平均值 (1) y和 (2) y，相差越大越好； （2）来自两个总体的离差平方和 1 (1) (1)2 1 () n i i yy 以及 2 (2) (2)2 1 () n i i yy 越小越好。 综合后即要求： (1)(2) 2 3060 (1)(2) (1)2(2)2 1141 (y-y) ()() ii ii i yyyy 尽量大。 记 q=q( 1 c ,2 c , 7 c )= (1)(2) 2 (y -y )为两组间离差平方和， f=f( 1 c ,2 c , 7 c )= 3060 (1)(2) (1)2(2)2 1141 ()() ii ii yyyy 为两组内的离差平方和， 则 f q i 利用微积分求极值的必要条件求出使 i 达到最大值的 1 c， 2 c， ， 7 c。 为此将上式两边取对数，并分别对 k c取导，当导数值等于 0 时，i 可以得到最大 值， 经化简整理得：1 kk qf icc ，然后分别用含 k c 的表达式将 q 和 f 表示出来。 8 最终得到方程组： 7 1 (1,2,7) lklk l c sdk 其中 3060 (1)(1)(2)(2) (1)(1)(2)(2) 1141 ()()()() klikkillikkill ii sxxxxxxxx 即 11 112 217 71 21 122 227 72 71 172 277 77 s cs cs cd s cs cs cd s cs cs cd 写成矩阵形式为: cds 所以得到 fisher 系数矩阵: 1 c= ds 其中 127 c=(c ,c ,c ) ， (1)(2)(1)(2)(1)(2) 112277 (,)dxxxxxx 根据上面的关系式，在 matlab 中编程（见附录程序 1） ，求解出 fisher 系数： 指 标 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 系 数 -3 -0.30824 10 -2 0.42155 10 -3 -0.46238 10 -4 -0.77111 10 -3 -0.21709 10 -4 -0.11849 10 -4 0.74165 10 其中，如果满足 (1)(2) yy ，对于一个新样品 t 12p x=(x ,x , ,x ) 代入 判别函数中所得到的值记为 y，当 0 yy时，可以判断 1 xg，当 0 yy时，可以 判断 2 xg ；如果满足 (1)(2) yy ，对于一个新样品 t 12p x=(x ,x , ,x ) 代 入判别函数中所得到的值记为 y，当 0 yy时，可以判断 2 xg，当 0 yy时， 可以判断 1 xg 。 9 5.2.35.2.3 模型三的建立：模型三的建立：bpbp 人工神经网络法人工神经网络法 bp人工神经网络基于信息的正向传播和误差的反向回馈来训练整个bp神经 网络，使得输出层的误差平方和达到最小。 （基于 spss 软件得到基本结构图） 神经网络的数学模型的建立，首先我们考虑建立一个前馈网络，在不断调试 和试凑之后我们发现影响训练效果的因素最终取决于隐含层数及该隐含层的结 点个数，基于此经验，我们建立了一个有 5 个隐层 bp 神经网络，其中第 1-4 隐 层有 15 个结点，第 5 层的结点个数应等于输出信号的路数。该神经网络的建立 是基于下面最基本的数学公式。沿信息传播的方向，给出网络的状态方程， （即 输入层隐含层1隐含层2隐含层3隐含层4输出层） ， 用 ( ) i j in 和 ( ) i j out 表示第i层第 j 个神经元的输入和输出，网络的各层输入输出关系可 描述为： 第一层（输入层） ：将输入引入神经网络。 i x 即为输入的神经元。 第二层（1-4 隐含层） ： 10 7 1 (*)1 1,215 () jiji i jj invxtheta j outf in bp 神经网络的激励函数通常设置为 s 型函数（sigmoid 函数） ； 即 1 ( ) 1 x f x e 第三层（输出层） ： 15 1 (*)2 (1,215) () jj j inoutwtheta j outf in y=out= 15 1 (*)2) j j j foutwtheta ； 以上就完成了神经网络的基本网络构建。 4.问题的求解 4.14.1 问题一问题一的求解：的求解： （一）对问题一用 logistic 回归分析法求解： 针对问题一，根据表 b.1 中的数据，我们提出了一种 logistic 回归模型判别 属于患者或健康人的方法，为了检验我们提出方法的正确性，我们从被确诊的 130 号就诊者和 3160 号健康人中分别取出剩下的 10 组进行模型的检验，如下 表所示： 表一：模型检验结果 病 例 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 11 是 否 患 病 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 病 例 号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 p 1.0000 0.6698 0.1016 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 是 否 患 病 否 是 是 否 否 否 否 否 否 否 logisticlogistic 回归模型回归模型分析判断模型的正确率：分析判断模型的正确率：由上表数据可以看出，该模型对就 诊者的诊断的正确率为 90%，正确率较高。 （二）对问题一用 fisher 判别法求解： 由题目给定的数据可得： (1) x=（125.8550 12.0445 22.0175 739.7000 108.8950 239.1700 566.5500） (2) x= (182 23.1 69 2474.1 299.3 92.8 384.2 ) 则 d=（-56.1 -11.1 -47 -1734.4 -190.4 164.4 182.3 ） 利用 matlab 软件，可求 1 s， 2 s，s. 最后可以得到： c= 1 sd= 3 10 -0.31 4.22 -0.46 -0.08 -0.22 -0.01 0.07 所以判别函数为： y= 3 10（ 1 234567 0.314.220.460.080.220.010.07xxxxxxx） （1） 计算判别临界值 0 y： 由题目中的数据可得 7 (1)(1) 1 0.0397 kk k ycx ， 12 7 (2)(2) 1 0.2188 kk k ycx 。 则 ( 1 )( 2 ) 0 0.12925 2 yy y （3）判别是否患有肾炎的准则： 因为 (1)(2) yy 所以判别准则为 1 2 y0.12925xg yzxg0 i b(i)=0; count1=count1+1; else b(i)=1; end end count1 count2=0; for i=11:20 y=djdata(i,:)*c; if yzxg0 b(i)=0; i+40 count2=count2+1; else b(i)=1; end end count2 plot(b,ro); hold on sjqc=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; plot(sjqc,*); count3=0; figure(2); p=0 for i=1:30 y=g3(i,:)*c; if yzxg0 i+60 p(i)=0; count3=count3+1; 29 else p(i)=1; end end plot(p,r*) count3 xs=(meang1+meang2)/2).*c 神经网络拟合（11-30,41-60） columns 1 through 10 0.9999 0.9999 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0. 9998 0.9999 0.9999 columns 11 through 20 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9998 0.9999 0.9997 0. 9999 0.9999 0.9998 columns 21 through 30 0.0002 0.0002 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0. 0002 0.0002 0.0002 columns 31 through 40 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0. 0002 0.0002 0.0002 神经网络检验（1-10,31-40） columns 1 through 10 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9998 0. 9999 0.9999 0.9999 columns 11 through 20 0.0002 0.0003 0.0002 0.0024 0.0002 0.0002 0.0002 0. 0039 0.0003 0.0003 bp 神经网络 matlab 训练程序： clear all clc p=132 15.9 17.7 578 92.4 1314 1372 30 182 11.3 11.3 767 111 264 672 186 9.26 37.1 958 233 73 347 162 8.23 27.1 625 108 62.4 465 150 6.63 21 627 140 179 639 159 10.7 11.7 612 190 98.5 390 117 16.1 7.04 988 95.5 136 572 181 10.1 4.04 1437 184 101 542 146 20.7 23.8 1232 128 150 1092 42.3 10.3 9.7 629 93.7 439 888 28.2 12.4 53.1 370 44.1 454 852 154 13.8 53.3 621 105 160 723 179 12.2 17.9 1139 150 45.2 218 13.5 3.36 16.8 135 32.6 51.6 182 175 5.84 24.9 807 123 55.6 126 113 15.8 47.3 626 53.6 168 627 50.5 11.6 6.3 608 58.9 58.9 139 78.6 14.6 9.7 421 70.8 133 464 90 3.27 8.17 622 52.3 770 852 178 28.8 32.4 992 112 70.2 169 169 8 308 1068 99.1 53 289 247 17.3 8.65 2554 241 77.9 373 166 8.1 62.8 1233 252 134 649 209 6.43 86.9 2157 288 74 219 182 6.49 61.7 3870 432 143 367 235 15.6 23.4 1806 166 68.8 188 173 19.1 17 2497 295 65.8 287 151 19.7 64.2 2031 403 182 874 191 65.4 35 5361 392 137 688 223 24.4 86 3603 353 97.7 479 221 20.1 155 3172 368 150 739 217 25 28.2 2343 373 110 494 164 22.2 35.5 2212 281 153 549 173 8.99 36 1624 216 103 257 202 18.6 17.7 3785 225 31 67.3 182 17.3 24.8 3073 246 50.7 109 31 211 24 17 3836 428 73.5 351 246 21.5 93.2 2112 354 71.7 195 164 16.1 38 2135 152 64.3 240 179 21 35 1560 226 47.9 330; t=1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,0; net=newff(minmax(p),15,15,15,15,1,tansig,tansig,tansig, tansig,logsig,trainscg); %newff(输入，输出，隐层数量及该层的节点个数，传输函数名，训练 函数)； %训练函数 traingd-梯度下降法，有 7 个训练参数. %训练函数 traingdm-有动量的梯度下降法,附加 1 个训练参数 mc(动量因 子，缺省为 0.9) %训练函数 traingda-有自适应 lr 的梯度下降法,附加 3 个训练参 数:lr_inc(学习率增长比，缺省为 1.05; % lr_dec(学习率下降比，缺省为 0.7);max_perf_inc(表 现函数增加最大比，缺省为 1.04) %训练函数 traingdx-有动量的梯度下降法中赋以自适应 lr 的方法，附加 traingdm 和 traingda 的 4 个附加参数 %训练函数 trainrp-弹性梯度下降法,可以消除输入数值很大或很小时的 误差，附加 4 个训练参数: % delt_inc(权值变化增加量，缺省为 1.2);delt_dec(权值变 化减小量，缺省为 0.5); % delta0(初始权值变化，缺省为 0.07);deltamax(权值变化 最大值,缺省为 50.0) % 适合大型网络 %训练函数 traincgf-fletcher-reeves 共轭梯度法;训练函数 traincgp-polak-ribiere 共轭梯度法; %训练函数 traincgb-powell-beale 共轭梯度法 %共轭梯度法占用存储空间小,附加 1 训练参数 searchfcn(一维线性搜索方 法,缺省为 srchcha);缺少 1 个训练参数 lr %训练函数 trainscg-量化共轭梯度法,与其他共轭梯度法相比，节约时间. 适合大型网络 % 附加 2 个训练参数:sigma(因为二次求导对权值调整的影响 参数，缺省为 5.0e-5); 32 % lambda(hessian 阵不确定性调节参数，缺 省为 5.0e-7) % 缺少 1 个训练参数:lr %训练函数 trainbfg-bfgs 拟牛顿回退法,收敛速度快,但需要更多内存,与 共轭梯度法训练参数相同,适合小网络 %训练函数 trainoss-一步正割的