试论数学美.pdf

天津师大学报 一九九三年第三期 试论 数 李晓 学美 明 数学是研究现实世界 空间形式和数量关 系的科学 , 其基本内容是数的法则 、 变化规律 和对空 间图形的精确表达 。 从简单的加减乘 除到微积分运算 , 运用的都是高度抽象化的 理性形 式 , 这便使很多人认为数学是一门 “ 枯操无味 , 冷酷无情 ”的学 科 。 诚然 , 数学是 一门逻辑性强 、 抽象程度极高的科学 , 但是 , 数学是美的 , 如果你走入数学世界之中 , 就 会发现这是一个充满诗情画意的美妙世界 , 当你徘徊其中充分领略数学之美的时候 , 就 会从赏心悦目的审美愉快发展为悦心悦目的 知识领悟 , 进而升华为一种执着的追求 。 本文着重对数学美的产生和发展 、 实质 与内容 , 以及对美的追求对数学发展所起的 推动作用进行初步探讨 。 一数 学与美 学 人们从古代就开始了数学美的研究 , 因 为那时科学与艺术统属于哲学范畴之中 , 很 难把它们截然分开 。 尤其是古希腊时期 , 许 多学者往往是集哲学家 、 美学家和数学家于 一身的 。 大约从数学美的鼻祖毕达哥拉斯那 里开始 , 曾经有许多杰出 的科学家 、 数学家 和哲学家从不同角度探讨过数学美 。 古希腊 哲学家亚里 士多德说 :“ 虽然数学没有明显 提到善和美 , 但善和美也不能完全和数学分 离 , 因为美的主要形式就是秩序 、 匀称与确 定性 , 而这些正是数学所研究的原则 。 ” 但是 , 随着社会的进步 、 历史的发展和 各门学科的分 工越来越细 , 到 了 1 8世纪中 叶 , 不但自然学科已从哲学 中独立出来 , 而 且美学也出现了力图从哲学 中独立出来 的倾 向 , 数学和美学随之分化 , 并最终成为两个 很少联系的领域 。 德国美学家鲍姆嘉通指 出 , 人类心理 活动分为知 、 情 、 意三个 方 面 , 对它们的研 究就分别 产生 了逻辑学 、 美 学和伦理学 。 他认为 , 美学的研究对象是凭 感官认识到的完善 。 这就明显地把数学排斥 在美学大门之外了 。 后来 的绝大多数美学家 都渊源于文学家和艺术家 , 他们在潜心研究 文学与艺术的时候 , 美学成 了专门的艺术哲 学 , 因此 , 数学与美学也就此 分道扬镶 , 再 加上各门学科的专门化程度日益提高 , 致使 两者分离得越来越远 。 然而 , 近百年来 , 由于科学技术的迅猛 发展 , 特别是交叉科学的兴起 , 各个学科之 间的相互影响 、 相互渗透不断加强 , 人类正 步入一个 交叉科学 的新时代 。 在 这种背景 下 , 数学美的问题首先引起数学家的高度注 意 , 很多数学家都投身于数学美的研究 , 并 以亲身体会对数学美作过一些极为精辟的论 述 。 如法国数学家彭加勒1 908年发表的 科 学方法一书对数学美和科学美就做了精湛 分析和深刻研究 。 英国著名哲学家和数学家 罗素指出 :“数学, 如果正确地看待它 , 则 不但拥有真理 , 而且还拥有至高的美 , 这是 一种雕塑似的冷而严肃的美 , 这种美既不投 合人类之 天性的微弱的方面 , 也不具有绘画 或音乐 的那种华丽的装饰 , 而是一种纯净而 崇高的美 , 以致能够达到一种只有最伟大的 艺术才能显现 的那种完美的境地 。 ” 由此可见 , 数学美的研究经历 了一个从 肯定到否定再到肯定的过程 。 目前 , 数学与 美学 的联系越来越密切 , 数学美学也正在成 为一个引人 注 目的新的边缘领域 。 二数学美的本质和内容 从本质上讲 , 数学美在于自然的理性 美 。 从整体上讲 , 数学美既不是 虚 无 飘 渺 的 , 也不是不可捉摸的 , 而是有着明确的客 观内容和标 准 , 即 : 简洁性 、 对称性 、 统一 性和奇异性 。 1 . 简洁性 简洁性是数学美的主要内容 。 法国著名 哲学家狄德罗曾经指出 , 数学中所谓美的问 题是指一个难以解决的问题 , 所谓美的解答 则是指一个困难 、 复杂问题的简单回答 。 一 般来讲 , 简洁美是数学家们所普遍追求的 目 标 , 正如数学家阿蒂亚所指出的 : 研究数学 的 目的之 一 , 就是尽可能地用简洁而基本的 词汇去解释世界 。 数学 的简洁性表现在数学表达方法 、 技 巧和逻辑方法等方面 。 8个1 4 相乘 , 我们当然可 以写成为 : 14义14x14x1 4x14x14x14x14 但是 1 4 吕的表达方法却简洁多 了 , 而 且 _ 了下 是明白无误 的 。 或许1 5 1 0以同样的简洁 表示 了更为复杂的内容 , 如果仅限于用乘 法 、 开方等术语来叙述它的含义 , 恐怕需用 一大串话才能讲清楚 。 尤拉公式 e x=eo s x + isin x , 被人们认 为是一个非常优美的公式 , 其原因在于 , 指 数函数与三角函数在实数域内看不出任何联 系 , 而在复数域中却发现 了它们可以互相转 化 , 并且是被一个非常简洁的关系式联 系在 一起的 。 在技巧 上 , 数学家们也无不追求简洁之 美 。 比如代数基本定理 , 从 “ 数学王 子 ” 高 斯最初给出证明以来 , 其证明的技巧 (或方 法)不下十种 , 其中许多证明方法是为 了使 证明本身少而精 , 最简洁的证 明 不 过几 行 字 。 数学的简洁之美还体现在逻辑中 , 如 : 皮诺阿建立 的算术公理系统是现代数学基 础 研究的起点 。 在这个系统中 , 皮诺阿只用 了 三个原始概念 (自然数 , 后继数和 1) 以及 五个原始命题 , 这样 , 整个复杂的算术系统 就这么简单地被勾画出来 , 充分显示了数学 的简洁之美 。 由此可见 , 在数学中表面上 看起来复杂 得让人 眼花隙乱的对象 , 一旦理出了头绪 , 却 显得异常的简明 , 从而会唤起理性上的美感 。 2 . 对称性 在自然界中 , 对称处处可见 。 人体是左 右对称的 , 花瓣的分布各向均匀 , 晶莹 的雪 花也显 现出美妙的对称性 。 对称也 是数学美 的主要 内容之一 。 数学中的对称美主要体现 在数学图形 、 公式 、 结构等方面 。 在几何图形中 , 对称的例子不胜枚举 , 包括轴对称 , 中心对称 等 。 简 单的圆 、 椭 圆 , 双曲线都具有鲜明 的对称性 , 函数y = 叙 “的图象是以 y 为轴左右对称的 , 正弦函数 与余弦函数的图象也显示出一种对称之美 。 在数学公式与表达式中也存在着大量的 对称之美 。 如 : 几阶行列式由 n x n 个元素按 n 行 n 列排列成一个正方形 , 使人 深感其排列 整齐和处处对称 。 又如 : 二项式展开也显示 出一种对称美 , 杨辉兰角更组成一个美丽的 对称图案 : 33 464 510105 在数学结构中 , 也存在着对称美 。 如 : 泛 函分析中有很多漂亮的结构就是对称美的 表现 , 共扼空 间就是其中之一 。 一个线性赋 范空间上的全部有界线性泛函都又能作成一 个完备的线性赋范空间 , 后者为前者的共扼 空间 。 而且l p空间的共扼空 间就 是l “ , 其 结果或有关的发展出人预料 , 甚至令人震惊 , 从而引起 了人们的赞赏与叹服 。 数学世界的 奇异之美无所 不在 , 以各种形式表现出来 。 如数学中的 反例是奇异美的一种重要表 现形式 。 在数学中 , 反例与提供严谨的证明 同等重要 , 一个好的反例 , 可 以澄清思想上 许多模糊之处 , 把问题明朗化 , 使思 想深刻 化 。 例如 : fx ( )在某点二 。处有连续导 数 、 可 导连续 , 有极限顺着可推导 , 但反 过来却不 成立 。只要举 以下三个例子就足 以说明问题 。 x 二 0 了.诸 .气 , 一一 一 11 甲一+ 一 二 pq f( x ) , 而l “ 的共扼空间就是l p。 5in 生 二铸 。 x 一个空间经过两次共扼后又变成自己 , 充分 体现 出数学的对称美 。 3 . 统一性 在数学中 , 统一性是指部分与部分 , 部 分与整体之间的和谐一致 。 统一性也是数学 美的重要内容 。 自从自然数产生之 后 , 陆陆续 续产生 了许多新数 , 先是负整数 、零、 分数 , 后来有无 理数 、 虚数 , 但这些数都统一于复 数系中 , 实数系也不过是复数系的一部分 。 平面几何中的相交弦定理 、 割线定理 、 切割线定理 、 切线长定理都可以统一于圆幂 定理 , 解析几何中的椭圆 、 双曲线 、 抛物线 统一 于圆锥曲线 。 欧几里德和希尔伯特对几何学 的贡献堪 称数学统一美的典范 。 公元前 7世纪左右 , 欧几里德的 几何原理 问世 , 全部欧氏几 何的结论都是从少数几条公理通过演绎而得 来的 , 这是用公理建立演绎的数学系统的最 早的方法 。 到了上个世纪末和本世纪初 , 希 尔伯特弥补了 几何原理 中的种种不足 , 实现了部分与整体的完善统一 。 希尔伯特的 几何基础 也就因此被数学界誉为划时代 的巨著 。 4 。 奇异性 就数学而言 , 所谓奇异性是指所得出的 在 x 二0 处 , 不连续不可导 . x= o f( x ) = 1 xsl l l w e x x 铸o 在 x二 , 处连续但不可 导 o x= 0 xzs i。 生 x 子。 x f . l 、 一一 f( x ) 在 x = o处连续有导数 , 但导函数不连 续 。 以上反例不仅使我们对数学中的问题加 深 了认识 , 思想变得更加精细 、 严谨 , 而且 使我们从奇异中得到了数学美的享受 。 正如 培根所说 的 : “美在于独特而令人 惊奇 。 奇 异与和谐是对立 的统一 , 数学中出人意料的 反例和巧妙的解题方法都令人叫绝 , 表现出 奇异的美 , 闪耀着智慧 的光芒 。 ” 又如 : 数学中的一些不可能性命题的证 明也体现 了一种奇异之美 。 挪威数学家阿贝 尔提出 的 “五次及五次 以上 的方程不 可能有 一般形式的根式解 ” 的结论在当时的大多数 数学家看来无疑是难以置信的 , 因此尽管人 们始终未能找到这样的求解公式 , 但大部分 数学家仍然认为这样的公式是存在的 , 只要 坚持作深入的研究 , 最终总能发现这 种公 式 。 然而 , 阿 贝尔却证明了这种公式是根本 不存在的 。 但是 , 这一奇异的结论并未使代 数学的研究陷入 困境 , 恰恰相反 , 数学家们 却因此 开始了新的研究 。 例如 : 他们更集中 地研究了代数方程何时存在根式解的 问题 , 而正是通过这种研究 , 伽罗华创立了群论 , 从而使代数学进入了一个新的发展时期 。 三致学美与数学发展 “美是 真理的光芒 ” 。 纵观世 界数学 史 , 我们不难发现 , 在数学发展过程中对数 学美的追求曾给数学 的发现带来积 极的 影 响 , 并对数学的发展起了极大的推动作用 。 数学家们对于简洁美的追求 , 引起了数 学上多方面的发展 。 最简单的例子就 是代 数运算中的乘法与幂的运算 , 它们分别是加 法与乘法的简化 , 而对数运算的建立 , 也可 视为对于计算运算中追求简洁美的结果 。 二 进制的出现则是从逻辑关系的简洁性考虑中 所 引出的结果 , 它导致了计算数学的一场革 命 , 并为数学的发展开创了一个新领域 。 在数学历史的发展中 , 由对称性因素和 对称美的追求而引出的新概念和新理论更是 数不胜数 。 例如 : 对于逆运算是否封闭的考 虑 , 造成了数学的不断扩展 , 坐标 系的引 进 , 在方程与曲线之间建立了一种相应 关 系 , 极大地推动了数学的发展 。 射影几何的建立可以说是追求对称美而 发展起来的一门学科 。 在欧氏平面几何中 , 点与直线的关系 不是完全对称的 。 比如 , 过 两点总可以作一条直线 , 但两条直线却不一 定有一个交点 , 这发生在两条直 线 平 行 之 时 。 射影几何的创始人之一 , 法国数学家迪 沙格把直线视为一种封 闭图形 , 每条直线都 有一个无穷远点 , 从而在射影几何中点与直 线的地位就完全对称了 , 这样在所有涉及平 面图形的定理中 , 如把 “点” 换成 “直线”, “直线” 换成 “点” , 并把从属关系作相应 的对换 , 那么所得到的新命题仍然是射影几 何的定理 , 这就是著名的对偶定理 。 因此 , 射影几何理论 的产生与发展和点与直线间的 对称性考虑有紧密的关系 。 对统一性的追求对数学的发展也起着极 大的推动作用 。 人们一直在谋求概念的扩张 和理论的推广 , 即追求在更高层次上实现统 一 。 数的概念的扩张 , 函数概念的扩张 , 由 长度 , 面积到 “测度”概念的导出, 由欧氏空 间 、 距离空间到拓朴空间 , 都是从统一性出 发 , 促进了数学发展的典型例子 , 公理化方法 则更体现了部分与整体之间的和谐与统一 。 数学发展史充分说明 : 统一性是数学发 展的大方向 , 正如数学家希尔伯特所指出 的 :“ 在作为整体的数学中 , 使用着相同的 逻辑工具 , 存在着概念的亲缘关系 。 同时 , 在它的不同部分之间 , 也有大量相似之处 。 我们还注意到 , 数学理论越是 向前发展 , 它 的结构就变得愈加调和一致 , 并且 , 这门科 学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先 意想不到的关系 , 因此随着数学的发展 , 它 的有机特性不会丧失 , 只会更加清晰地呈现 出来 。 ” 数学世界是一个趣味无穷 , 充满着美的 气息 、 令人神往的世界 。 多少世纪 以来 , 数 学家们执着追求着