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数学史,数学趣题,校本课程,（一）春秋前中国数学的萌芽,最早的计数法,十进位值制计数法（算筹记数法）,最古老的计算工具：算筹,（二）战国至两汉中国数学框架的确立,九章算术,张仓（？前152年）耿寿昌（前1世纪）,九章算術,九章算術,衰(音崔cui),（三）魏晋至唐初中国数学理论体系的建立,早在公元263年刘徽的注九章中论证了九章的公式、解法，在圆面积公式和锥体体积公式的证明中引入了无穷小分割原理和极限思想，首创了求圆周率的正确方法，探索出求球体积的正确途径，使用了大量类比、归纳推理和演绎推理。,算筹与圆周率算筹为人类文明做出过巨大贡献，我国古代著名的数学家祖冲之，就是借助算筹计算出圆周率的值介于3.1415926和3.1415927之间；中国古代的天文学家也运用算筹，总结出了精密的天文历法。,缀术祖冲之（429500）父子撰,圆周率算法球体积推导三次方程问题球体积(祖暅),算盘,中国人发明算盘中国人发明了算盘，它结合了十进制计数法和一整套计算口诀并一直沿用至今，被许多人看作是最早的数字计算机,周髀算經,海島算經,刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算术注和海岛算经，是我国最宝贵的数学遗产,唐朝在数学教育方面有长足的发展。656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释算经十书包括周髀算经、九章算术海岛算经、孙子算经张丘建算经、夏侯阳算经缉古算经、五曹算经五经算术、缀术，作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。,李淳风(公元604-672年)唐代岐州雍人(今陕西风翔),宋元全盛时期,杨辉三角”又称为“贾宪三角”在西方，称为“帕斯卡三角形”贾宪比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年,中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家,杨辉,秦九韶（1202-1261年）,创造了大衍求1术（整数论中的一次同余式求解法）。不仅在当时处于领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到重要的作用，被称为中国剩余定理。他所论的正负开方术（数学高次方程根法），被称为秦九韶程序。现在世界各国从小学、中学、大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律、解题原则。,西学输入时期,徐光启（1562-1633），上海徐家汇（今属上海市）人，他是明末著名的科学家，第一个把欧洲先进的科学知识，特别是天文学知识介绍到中国，可谓我国近代科学的先驱者。,梅文鼎（16331721年），是清代具有世界影响的天文学家、数学家，宣城数学学派的奠基人。清宣城（今安徽宣州市）人,梅文鼎幼时注意观察天象，27岁起，始治数学、历法，终身潜心学术。后接触西方书籍。康熙年间进京，以学识为康熙帝赏识，曾系统考察古今中外历法，又介绍欧洲数学，研究中西历算。其间，为明史馆校订历志舛错10余处，撰成明史历志拟稿。近人称梅文鼎和日本的关孝和、英国的牛顿为“当时世界的三大数学家”，著有方田通法、方程论。,近现代数学发展时期,陈省身数学家，美国国籍。曾获美国国家科学奖(1975)，沃尔夫数学奖(1984)等。1994年当选为中国科学院外籍院士。陈省身是20世纪的伟大几何学家，在微分几何方面的成就尤为突出，被世人称为“微分几何之父”。,丘成桐，1949年生,广东汕头人,1969年毕业于香港中文大学数学系,22岁获博士学位,27岁因证明世界数学难题卡拉比猜想而引起轰动,华人中惟一获得被称为世界数学领域的诺贝尔奖的菲尔兹奖,美国哈佛大学讲座教授,中科院外籍院士,美国科学院院士,中科院晨兴数学研究中心、浙江大学数学研究中心主任,香港中文大学数学研究所所长。,数学界的战略科学家中科院院士吴文俊,吴文俊在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献，在国内外享有盛誉。他在拓扑学的示性类、示嵌类的研究方面取得一系列重要成果，是拓扑学中的奠基性工作，并有许多重要应用。他创立的“吴文俊方法”在国际机器证明领域产生巨大的影响，有广泛的重要的应用价值。,华罗庚（hualoo-keng，公元1910年11月12日公元1985年6月12日）是近代世界有名的中国数学家。对数学的贡献是多方面的，在数论中，他解决了高斯完整三角和的估计，对华林问题、塔里问题的结果做出了重大推进。他在圆法与三角和估计法方面的结果长期居世界领先地位。他的著作堆垒素数论、数论导引及与王元合着的数论在近似分析中的应用等都已成为经典著作。华罗庚在复分析和典型群方面也有许多工作，其中论文典型域上的多元复变量函数论被国际学术界称为华氏定理。,陈景润，中国现代数学家，世界著名解析数论学家之一。1966年，陈景润攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+1)只是一步之遥的辉煌。他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学者阿威尔(aweil)曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。”陈景润于1978年和1982年两次收到国际数学家大会请他作45分钟报告的邀请，这是中国人的自豪和骄傲,大约公元前世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为四艺，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的危机，从而产生了第一次数学危机。,无理数的发现第一次数学危机,数学史上的三次危机,到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得原本第卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！,18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表分析学家或者向一个不信正教数学家的进言，矛头指向微积分的基础-无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，dx为逝去量的灵魂。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。,无穷小是零吗？第二次数学危机,18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。,数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：理发师是否自己给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。,悖论的产生第三次数学危机,罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的算术的基本法则第卷末尾写道：一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。于是终结了近12年的刻苦钻研。承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。,毕达哥拉斯学派所倡导的是一种“唯数论”的哲学，认为宇宙的本质就是数的和谐性，即一切事物和现象都可归结为整数与整数的比。但关于正方形的对角线与其边长的不可公度线段(即其长度不能归结为整数的比)的存在和证明，使毕氏学派的基本信念遭到了致命的打击。这一不可公度性的证明在当时就被认为是悖论，人们称之为毕达哥拉斯悖论。,数学史上重要悖论,1毕达哥拉斯(pythagoras)悖论,埃利亚学派在世界本质问题上认为只有“存在”(神)是不生不灭的，它是完整、唯一和不动的。芝诺力图证明，如果承认“多”和“运动”，就会招致“更加可笑的后果”，陷入更大的矛盾。在芝诺的论证中，有四个是最著名的，即“二分法”、“阿基里斯追龟”、“飞箭”、“运动场”等，人们称之为芝诺悖论。,2芝诺(zeno)悖论,二分法,“二分法”是这样陈述的：物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，要到达全程的一半，就必须到达全程的四分之一，这样的要求可以无限下去。所以，如果物体起动了，它永远到不了终点，或者它根本动不了。,阿基里斯追龟,阿基里斯是古希腊的长跑健将，但是芝诺说他永远也追不上一只乌龟。如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点a。但当阿基里斯到达a点时，乌龟已经向前进到了b点。而当阿基里斯到达b点时，乌龟又已经到了b前面的c点.依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。,古典数学名著几何原本的第一个注释者普罗克鲁斯看到圆的直径把圆分成两个半圆，而圆的直径有无穷多，所以他认为半圆的数目应当是两倍的无穷多。按当时的无穷思想，无穷应当是相等的，于是产生了“一个无穷大等于两个无穷大”的悖论，被人称为普罗克鲁斯悖论。,3普罗克鲁斯(proclus)悖论,亚里士多德(aristotle)悖论,伽利略(galilei)悖论,亚里士多德发现，在两个同心而半径不相等的圆周上有相同的点数，被称之为亚里士多德悖论，即“大小不同的两个圆之周长相等”的悖论。伽利略注意到，固定两个半径不相等的同心圆，再将其旋转一周，并认为证明了这两个圆的周长相等的悖论，这是亚里士多德悖论的另一种证明。同时，伽利略还用今天的一一对应方法证明了“整数同其平方数相等”，于是得出“部分等于全体”的悖论，被人称为伽利略悖论。,早在1638年，意大利天文学家伽利略发现了这样一个问题，就是：正整数集合：s1=1,2,3,n,与正整数的平方数集合：s2=1,4,9,n2,这两个集合中，哪一个的元素更多一些呢？一方面，凡是s2中的元素，都是s1中的元素，亦即s2是s1的一个子集合，而且是一个真子集合，这样，s1的元素要比s2的元素多一些，但是，另一方面，s1中每一个元素都有s2中唯一的元素与之对应，这样s2的元素个数又不比s1少了。到底s2是否比s1少呢？伽利略对此困惑不解，许多数学家也回答不了这个问题。因为伽利略是最早提出来部分究竟等不等于整体的，所以这个悖论便称为是伽利略悖论,在17世纪末期产生了牛顿和莱布尼茨的微积分。这个微积分完全以实无穷小为基础。关于实无穷小，人们自然地会问：它到底是零还是非零？如果dx=0，就得出dy/dx=0/0这一毫无意义的结果；如果dx0，无论dx如何小，则dy/dx只能是马克思所说的“预备导数”，而不是真正的“导数”。这就是所谓的贝克莱悖论。,4贝克莱(berkeley)悖论,最早的语义学悖论是公元前6世纪被人发现的说谎者悖论。它的原始命题是“所有克里特人总是说谎者”。严格地说，这句话还不足以构成现代意义下的悖论。但是，如果对其作某些修改就构成悖论。比如以下句子：“在这一行里所说的这句话是假的”(“这句话”就是引号中句子的本身)如果肯定其真，就得出其假；反之，如果肯定其假，则又得出其真，于是构成悖论。语义学悖论