大学高等代数课程试卷试题与答案之二

信阳师范学院普通本、专科学生专业课期终考试试卷数学与信息科学学院 数学及信息科学专业 2003级本科20032004学年度第二学期高等代数试卷（A）班级 学号 姓名 题号一二三总分核分人满分304030100得分试卷说明：1、试卷满分100分，共五页，三个大题，120分钟完成试卷。2、钢笔或圆珠笔直接答在试题中（除题目有特殊规定外）3、答卷前将密封线内的项目填写清楚得分评卷人一. 填空题(每小题5分，共30分).1. 设能被整除,则= ,= .2. 行列式= .3. 设线性相关,则满足关系式 .4. 设均可逆,则 .5. 设方程组有解,则应满足条件 .6. 当满足 时?正定.第一页（共5页）得分评卷人二. 计算题(每小题10分,共40分).1. 求多项式的有理根,并给出分解式.2. 计算,并求时的.第二页（共5页）3. 问为何值时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解(用导出组的基础解系表示).第三页（共5页）4. 设矩阵和满足关系,其中,求矩阵.分评卷人三. 证明题(每小题10分,共30分).1. 设是一组维向量,证明: 线性无关任一维向量都可由线性表示.第四页（共5页）2. 矩阵称为下三角矩阵,如果时有.请用数学归纳法证明:可逆的下三角矩阵的逆仍是下三角矩阵.3. 设为级实对称矩阵,且.证明:存在非零维列向量,使得.第五页（共5页）2003级本科班 高等代数(上) 终考试题参考答案及评分标准一.(每小题5分, 本题30分)1., 2. 3.4. 5. 6.二.(本题40分)1. 解 设其有理根为,则,那么可能的有理根为-1,1,-3,3(3分).由如下综合除法-1 1 1 -6 -14 -11 -3-1 1 0 -6 -8 -3 ( 0-1 1 -1 -5 -3 ( 0-1 1 -2 -3 ( 0 1 -3 ( 0则知的有理根为-1(4重),3(8分).因此(10分).2. 解 将行列式按第1列展开,那么(3分)则,记,则,那么,则 .由于,且行列式中是对称的,则也有 ,两式联立,则解得(8分).当时,则 (10分).3. 解 对方程组的增广矩阵作初等行变换:(5分).当时,方程组有唯一解;当时,方程组无解;当时,方程组有无穷多组解,其通解为为任意常数(10分).4. 解 由,则(2分),所以(10分).三.(本题30分)1. 证 记向量组为组. 任给维向量,则线性相关(因为个维向量必线性相关),又线性无关,则可由线性表示(5分).由题设,则单位向量组可由线性表示,又任一维向量都可由单位向量组线性表示,则也可由线性表示, 所以与等价,那么秩=秩(因单位向量组线性无关), 因此线性无关(10分).2. 证 对方阵的阶数作归纳. 时显然成立. 假设时结论成立. 下证 时的情形, 设为下三角阵, 记(分块),则存在,且为阶可逆的下三角阵,由归纳假设,那么也为下三角阵.又,那么,所以时也成立(10分).3. 证 记,则为实二次型.由于,则秩,且负惯性指数大于0,那么存在非退化线性替换,使(5分).取对应的非零向量 (前个分量均为零),令,则(实维列向量),使(10分).信阳师范学院普通本、专科学生专业课期终考试试卷数学与信息科学学院 数学及信息科学专业 2004 级本科 2005 2006 学年度第二学期高等代数试卷（ A ）班级 学号 姓名 题号一二三总分核分人满分324028100得分试卷说明：1、试卷满分100分，共五页，三个大题，120分钟完成试卷。2、钢笔或圆珠笔直接答在试题中（除题目有特殊规定外）3、答卷前将密封线内的项目填写清楚得分评卷人一、填空题（每小题4分，共32分）1 设是线性空间的一组基,其中,则在基下的坐标为 .2 设,则的一组基是 ,维数为 .3 是平面直角坐标系,是平面上的向量对第一三象限角的平分线的垂直投影,是平面上的向量对的垂直投影,则在基下的矩阵为 .4 设为3阶矩阵,秩为2， 则的3个特征值为 .5 矩阵的最小多项式是 .6 矩阵的初等因子是 .第一页（共5页）7 设欧氏空间的一组基为,且该基的度量矩阵为,则内积 .8 与向量组都正交的单位向量 .得分评卷人二、证明题（每小题10分，共40分）1 证明:和为直和的充要条件是2 在维线性空间中,设有线性变换与向量,使得,但.证明:在某组基下的矩阵是若当块形矩阵.第二页（共5页）3 设是一维欧氏空间,是中的一个固定的向量,记子空间,证明:.4 设为阶实对称矩阵,且,证明:存在正交矩阵使得.第三页（共5页）得分评卷人三、计算题（共28分）1求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的和的维数和基.设,（8分）.2设矩阵，（12分）.1)求A的特征值和特征向量；2)求A的若当标准型.第四页（共5页）3 在欧氏空间中,子空间,求的一组标准正交基,其中,（8分）.2004级高等代数下期末试题参考答案及评分标准一.(每小题4分,共32分)1. 2. 3 3. 4. 5. 6. 7. 0 8.二.1 证，则，由于零向量分解式唯一，则必有，因此(5分).设，则，因此，所以为直和(5分).2 证3 证 取,由定理1，可将扩充为的一组标准正交基,则有,因此;但是是的非平凡子空间,所以,即,所以(10分).4 证 由于是实对称矩阵,则存在正交阵使,其中为特征值,可不妨设,则.由于,则,从而,所以(10分).三.2 解 1)矩阵的特征多项式为,那么的特征值为(3分).当时,解得基础解系,那么属于特征值的全体特征向量为不全为零(6分).2)特征矩阵，则矩阵的初等因子为，所以A的若当标准型为(12分).3 解 不难验证是线性无关向量组,所以构成的基(2分),通过施密特正交化方法,则有,.(6分)单位化即得的一组标准正交基为:,.(8分)信阳师范学院普通本、专科学生专业课期终考试试卷数学与信息科学学院 数学及信息科学专业 2005 级本科 2005 2006 学年度第二学期高等代数试卷（ A ）班级 学号 姓名 题号一二三总分核分人满分403228100得分试卷说明：1、试卷满分100分，共五页，三个大题，120分钟完成试卷。2、钢笔或圆珠笔直接答在试题中（除题目有特殊规定外）3、答卷前将密封线内的项目填写清楚得分评卷人一、填空题（每小题4分，共40分）1 当满足 时?是正定二次型.2 设二次型,则的秩和正惯性指数分别为 .3 设是线性空间的一组基,其中,则在基下的坐标为 .4 设,则的一组基是 ,维数为 .5 是平面直角坐标系,是平面上的向量对第一三象限角的平分线的垂直投影,是平面上的向量对的垂直投影,则在基下的矩阵为 .6 设为3阶矩阵,秩为2， 则的特征值分别为 .7 矩阵的最小多项式是 .第一页（共5页）8 矩阵的初等因子是 .9 设欧氏空间的一组基为,且该基的度量矩阵为,则内积 .10 设,则的标准正交基为 .得分评卷人二、证明题（每小题8分，共32分）1 设是实对称矩阵.证明:当实数充分大之后,是正定矩阵.2 证明维数公式: .第二页（共5页）3 设均为线性变换(维线性空间), 的个特征值互异. 且. 证明:的特征向量亦是的特征向量.4 证明:上三角的正交矩阵必为对角矩阵,且对角线上的元素为或.第三页（共5页）得分评卷人三、计算题（共28分）1 在中,求由向量生成的子空间的基与维数.设（8分）.2 在中,定义为其中求在基,下的矩阵（10分）.第四页（共5页）3 求正交线性替换化二次型成标准形（10分）.2005级本科专业课期终考试高等代数(下)A试卷参考答案及评分标准一.(每小题4分,共40分)1. 2. 3.4. ,(对一空2分)5. 6.(只写1,0的给3分)7. 8. 9., 10.,或也对.二.（每小题8分，共32分）1.证 显然也实对称(1分).考虑的阶顺序主子式(4分).时,.则存在,当时.取,则当时.此时正定(8分).2.证 设，取的一组基,将此基分别扩充为的基，只需要证明是的一组基即可(2分)。首先，易见中的任一向量都可以被线性表出。事实上，则，其中，而 于是可被线性表出(5分)。只要再证明向量组线性无关即可。设 ,其中则，（*）于是，于是，记为。则可被线性表示，则，带入（*），有，由于是的一组基，所以线性无关，则，带回（*），又有，于是向量组线性无关(8分)。3. 证 设的个互异特征值分别是,相应特征向量分别为,则线形无关,且构成一组基.那么(3分).设,由于,则(5分),由于上述对角阵中对角元,因此只能是对角阵,可设,则,所以亦为的特征向量(8分).4. 证 设为上三角阵,且正交,则.由于仍为上三角阵,而为下三角阵,所以必为对角阵, 即知为对角阵(4分).可设,由于,则,所以(8分).三.（共28分）1. 解 记,对下述矩阵作初等行变换:(5分),则为的一极大线性无关组,因此构成的一组基,的维数为3(8分).2. 解 由于,其中,(4分),则,那么,所以.则所求矩阵为(10分).3. 解 二次型的矩阵为,其特征多项式为,则得特征值(3分).对于特征值,解方程组,得两个正交的特征向量为;对于特征值,解方程组,得特征向量(7分).将它们单位化,则得.令,作正交变换,得标准形(10分). 班 级 学 号 姓名 ( 本、专）科密封线信阳师范学院普通本、专科学生专业课期终考试试卷数学与信息科学学院 数学类 2006级本科20062007学年度第一学期高等代数试卷（A）试卷说明：1、试卷满分100分，共六页，三个大题， 120分钟完成试卷。2、钢笔或圆珠笔直接答在试题中（除题目有特殊规定外）3、答卷前将密封线内的项目填写清楚题号一二三总分合分人复核人本题满分403030100得分得分评卷人一. 填空题(每小题4分，共40分).1. 设，则除的商式 = ，余式= . 2. 设，则与的首项系数为1的最大公因式 .3. 设,则= ,= .4. 行列式= .5. 方程组有解的充要条件为 . 第 19 页 （共 六 页）6. 向量组,，的秩是 ，其中 是它们的一个极大线性无关组.7. 设，矩阵,则8. 设矩阵,其中则9. 设矩阵,则10. 实系数二次型的规范型是 .得分评卷人二. 计算题(每小题10分,共30分).1. 求多项式的有理根，并判断根的重数.2. 用导出组的基础解系表出下列线性方程组的全部解. 班 级 学 号 姓名 ( 本、专）科密封线3. 当t满足什么条件时，下列二次型正定得分评卷人三. 证明题(每小题10分,共30分).1. 设是一组维向量,已知单位向量可被它们线性表出，证明：向量组线性无关 班 级 学 号 姓名 ( 本、专）科密封线2. 证明. 3. 设A是数域P上一矩阵，B是数域P上一矩阵，于是信阳师范学院2006-2007学年度第一学期高等代数试卷（A）参考答案及评分标准一. 填空题(每小题4分，共40分).1、，；2、；3、1，；4、；5、；6、3，（可以有其他答案，但不能是）；7、0；8、；9、10、二. 计算题(每小题10分,共30分).1. 求多项式的有理根，并判断根的重数.解：多项式的可能有理根有 2分验证知 5分又 ，可见2是多项式的单有理根 10分2. 用导出组的基础解系表出下列线性方程组的全部解. 解：对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 5分即原方程组的同解方程组为若令，代入原方程组的导出组，可解得，于是导出组的基础解系为 7分且原方程组的一个特解为 9分故原方程组的全部解为 10分其中为任意常数.3. 当t满足什么条件时，下列二次型正定解：二次型的矩阵为 2分因为的各阶顺序主子式大于零时二次型正定，即 7分或 8分解上面不等式组，可得。 10分三. 证明题(每小题10分,共30分).1. 设是一组维向量,已知单位向量可被它们线性表出，证明：向量组线性无关证 可以线性表出任何n维向量，则与可以相互线性表出，从而两向量组等价 5分又等价向量组具有相同的秩，即 秩（）= 秩（）= n 8分所以线性无关. 10分2. 证明. 证明：按第1列展开得 ， 4分即 此式对一切都成立.故递推得 6分在中的地位是一样的，故同理可得 8分所以 从而 . 10分3. 设A是数域P上一矩阵，B是数域P上一矩阵，于是证明：设，令表示B的行向量，表示AB的行向量，则， 4分其中，即AB的行向量组可以由B的行向量组线性表出，从而 6分，即 8分 同理，令表示B的列向量，表示AB的列向量，则，即AB的列向量组可以由A的列向量组线性表出，从而，即 10分综上，有 班 级 学 号 姓名 ( 本、专）科密封线信阳师范学院普通本、专科学生专业课期终考试试卷数学与信息科学学院 数学类 2006级本科20062007学年度第一学期高等代数试卷（B）试卷说明：1、试卷满分100分，共六页，三个大题， 120分钟完成试卷。2、钢笔或圆珠笔直接答在试题中（除题目有特殊规定外）3、答卷前将密封线内的项目填写清楚题号一二三总分合分人复核人本题满分403030100得分得分评卷人一. 填空题(每小题4分，共40分).1. 设，则与的首项系数为1的最大公因式 .2. 多项式的有理根有 .3. 设多项式有重根,则p、q满足 .4. 行列式= .5. 线性方程组对任何有解的充要条件为 .第 44 页 （共 六 页）6. 向量组,， 的秩是 ，其中 是它们的一个极大线性无关组.7. 设，则8. 设矩阵,其中分别为k阶和r阶可逆方阵，则9. 设矩阵,则10. 当t满足 时二次型正定.得分评卷人二. 计算题(每小题10分,共30分).1. 判断下列多项式在有理数域上是否可约. 1）2）2. 用导出组的基础解系表出下列线性方程组的全部解. 班 级 学 号 姓名 ( 本、专）科密封线3. 计算n阶行列式. 班 级 学 号 姓名 ( 本、专）科密封线得分评卷人三. 证明题(每小题10分,共30分).1. 证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.2. 设A是实对称矩阵，证明：当t充分大时，矩阵A+tE是正定的.3. 证明：对一个矩阵A做一系列的初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的初等矩阵.信阳师范学院2006-2007学年度第一学期高等代数试卷（B）参考答案一. 填空题(每小题4分，共40分).1、1；2、（2重）；3、；4、48；5、；6、3，；7、8、；9、10、二. 计算题(每小题10分,共30分).1. 判断下列多项式在有理数域上是否可约. 1）2）解：1）因为都不是它的根，所以在有理数域里不可约。2）首先证明命题：设有多项式，令或，得或则与或者同时可约，或者同时不可约。事实上，若可约，即，从而这就是说也可约，反之亦然。现在我们来证明在有理数域上不可约。令，则多项式变为利用艾森斯坦判别法，取，即证上式不可约，因而也不可约。2. 用导出组的基础解系表出下列线性方程组的全部解.解：对方程组的增广矩阵作行初等变换，有所以方程组有无穷多解，其同解方程组为若令，代入原方程组的导出组，可解得，于是导出组的基础解系为且原方程组的一个特解为故原方程组的全部解为其中为任意常数.3. 计算n阶行列式解：= =.三. 证明题(每小题10分,共30分).1. 证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.证 由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设是齐次线性方程组的一个基础解系，且与它等价，则可由线性表出，从而也是原齐次线性方程组的解.又由题设知线性无关，且可由线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解也都可以由线性表出，即证也是方程组的一个基础解系.2. 设A是实对称矩阵，证明：当t充分大时，矩阵A+tE是正定的.证它的级顺序主子式为是关于得k次多项式，由知，当充分大时， ，从而是正定的。3. 证明：对一个矩阵A做一系列的初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的初等矩阵.证：令为任意一个矩阵，为的行向量由矩阵的分块乘法，特别地，令，得，这相当于把的行与行互换令，得,这相当于把的行数乘c. 令，得,这相当于把的j行的k倍加到i行.信阳师范学院普通本、专科学生专业课期终考试试卷数学与信息科学学院 数学及信息科学专业 2006 级本科 2006 2007 学年度第二学期高等代数试卷（ A ）班级 学号 姓名 题号一二三总分核分人满分323236100得分试卷说明：1、试卷满分100分，共五页，三个大题，120分钟完成试卷。2、钢笔或圆珠笔直接答在试题中（除题目有特殊规定外）3、答卷前将密封线内的项目填写清楚得分评卷人一、填空题（每小题4分，共32分）1全体正实数定义作成的上的线性空间, 则的一组基是 , 维数为 .2 设是的一组基, 则在此基下的坐标为 ,其中.3在中，定义线性变换,则在基,下的矩阵为 .4 设为3阶矩阵, 其特征值分别为,则的行列式 ,的迹 .5 矩阵的最小多项式是 .6 设矩阵的初等因子为,则的不变因子是 ,若尔当标准形是 .第一页（共5页）7 在中, , 则长度 ,夹角 （按通常内积）.8 设,则的标准正交基为 .得分评卷人二、证明题（