泛函分析讲义－习题解答张恭庆、林源渠 北大版.pdf

1 111 证明完备度量空间的闭子集是一个完备的子空间， 而 任一度量空间的完备子空间必是闭子集 (1) 设 111 证明完备度量空间的闭子集是一个完备的子空间， 而 任一度量空间的完备子空间必是闭子集 (1) 设x是完备度量空间, 是完备度量空间, mx是闭的. 要证是闭的. 要证 m是一个完备的子空间. 证 是一个完备的子空间. 证 xm, xnm, xm xn 0 m, n xm, xnx, xm xn 0 m, n, x是完备度量空间,是完备度量空间, xx,使得使得xnx. xnm,xnx mx 是闭的 xm. xm, xnm, xm xn0, m, n xm, 使得xnx m是一个完备的子空间. (2) 设 是一个完备的子空间. (2) 设x是一度量空间, 是一度量空间, m是是x的一个完备子 空间. 要证 的一个完备子 空间. 要证m是闭子集. 即, 若是闭子集. 即, 若xnm,xnx. 要证要证xm. 证 因为收敛列是基本列, 所以证 因为收敛列是基本列, 所以 xnm,xm xn0,m, n, 又又 m是完备度量空间, 所以 是完备度量空间, 所以 xm,使得使得xnx. xnx xnx x=xm. 1.1.2 (newton法) 1.1.2 (newton法) f是定义在是定义在 a, b 上的二次连续可微的实上的二次连续可微的实 课后答案网 课后答案网 2 值函数，值函数， xa, b, 使得使得 fx =0 , , f x 0. 求 证存在 求 证存在 x的邻域的邻域 u x ， 使得， 使得 x0u x 迭代序列迭代序列 xn+1=xn fxn f x n n=0, 1, 2, 是收敛的，并且是收敛的，并且 lim n xn= x 证明证明 tx =x fx f x , d dx tx=1 f x 2 fx f x f x 2 = fx f x f x 2 , fx =0,f x 0.f x 在点在点 x 处 连续, 处 连续, lim xx fx f x f x 2 =0, x 的邻域的邻域 u x , 使得使得 fx f x f x 2 1,f x 0 xu x . |tx ty|= f f f 2 |x y|x y| x, yu x . 于是, 对于是, 对 x0u x , xn+1=txn n=0, 1, 2, 是收敛的. 设是收敛的. 设 xnxu x . . tx=xfx=0.联合联合 fx = 0 x u x fx=0 xu x f x 0 xu x x=x , 课后答案网 课后答案网 3 故有故有xnx . 1.1.3 设1.1.3 设 x, 是度量空间，映射是度量空间，映射t:xx满足满足 tx, tyx, y xy 并已知并已知t有不动点. 求 证此不动点是惟一的. 证明 用反证法. 如果 有不动点. 求 证此不动点是惟一的. 证明 用反证法. 如果t有两个不动点有两个不动点 x1x2 ,即 有, ,即 有, 一方面 tx1=x1 tx2=x2 tx1, tx2=x1, x2; 另一方面,由假设tx1, tx2x1, x2 x1, x2x1, x2 矛盾. 1.1.4 设 矛盾. 1.1.4 设t是度量空间上的压缩映射，求证是度量空间上的压缩映射，求证t是连续的 证明 只要证 是连续的 证明 只要证 xnx0txntx0. 由假设, 由假设, 0, 1 使得使得 tx, tyx, y, 故有故有 xnx0xn, x00 txn, tx0xn, x0 txn, tx00txntx0. 1.1.5 设1.1.5 设t是压缩映射，求证是压缩映射，求证tn也是压缩映射，并说明逆 命题不一定成立. (1)因为 也是压缩映射，并说明逆 命题不一定成立. (1)因为t是压缩映射,所以是压缩映射,所以 0, 1, 使得使得 tx, tyx, y, 从而从而 t2x, t2ytx, ty2x, y. 假定假定 tnx, tnynx, y 成立, 则有成立, 则有 tn+1x, tn+1ytnx, tnynx, y=n+1x, y. 课后答案网 课后答案网 4 于是根据数学归纳法原理, 于是根据数学归纳法原理, tnx, tny nx, y 对对 n成立. 又 成立. 又010n1.故有故有 tnx, tnyx, y. 即即tn是压缩映射. (2) 逆命题不一定成立. 例如 是压缩映射. (2) 逆命题不一定成立. 例如 fx= x 2 :0, 10, 1. f2x= x 2 :0, 10, 1 是压缩映射.但是是压缩映射.但是 fx= x 2 :0, 10, 1 不是压缩映射. 事实 上, 如果 不是压缩映射. 事实 上, 如果 fx:0, 10, 1 是压缩映射,即是压缩映射,即 :01,使得使得 |fx2 fx1 | |x 2 x1| |fx2fx1 | |x2x1| x1, x20, 1. 即差商即差商 |fx2fx1 | |x2x1|是有界的. 但是如果取是有界的. 但是如果取 x1= 1 n , , x2 =2x1= 2 n n2, |fx2fx1 | |x2x1| =n1 1 2 n. 即知差商即知差商 |fx2fx1 | |x2x1|是无界的, 矛盾. (3)如果存在正整数 是无界的, 矛盾. (3)如果存在正整数n,使得使得tn是压缩映射, 那么是压缩映射, 那么t 有唯一不动点.事实上, 根据不动点定理, 有唯一不动点.事实上, 根据不动点定理, x0使得使得 tnx0=x0. 则有则有 tntx0 =tx0 | tn+1x0= ttnx0 即即tx0也是也是tn的不动点. 又的不动点. 又tn是压缩映射, 那么是压缩映射, 那么tn 有唯一不动点,即得有唯一不动点,即得 tx0=x0. 这就证明了这就证明了t有不动点.有不动点. 课后答案网 课后答案网 5 下面再证下面再证t的不动点唯一. 用反证法. 如果的不动点唯一. 用反证法. 如果 x1, x2 是是t 的两个不动点的两个不动点 x1x2. 即有即有 tx1=x1 tx2=x2 , 那么那么 tnx1=tn1tx1 tx1=x1 =tn1x1=tx1=x1 tnx2=tn1tx2 tx2=x2 =tn1x2=tx2=x2 即即 x1, x2 是是tn的两个不动点,因为的两个不动点,因为tn是压缩映射,所 以 是压缩映射,所 以tn有唯一不动点,从而有唯一不动点,从而 x1=x2, 矛盾. 1.1.6 设 矛盾. 1.1.6 设m是是n中的有界闭集，映射中的有界闭集，映射 t:mm满足满足 tx, tyx, y x ,ym ,xy . 求证求证t在在m中存在唯一的不动点. 证 中存在唯一的不动点. 证 tx, tx00 . 根据假设, 我们有 . 根据假设, 我们有 tx0, t 2x0 x0, tx0=min xm x, tx. 但是但是 tx0,t 2x0 m , 这与 , 这与 x0, tx0 是最小值矛盾. 故 是最小值矛盾. 故 x0, tx0=0 , 即存在不动点 , 即存在不动点 x0 . . 课后答案网 课后答案网 6 不动点的唯一性是显然的. 事实上, 如果存在两个不动点不动点的唯一性是显然的. 事实上, 如果存在两个不动点 x1,x2 , 则从 , 则从 x1,x2=tx1,tx2x1,x2 即得矛盾. 注假如把条件 即得矛盾. 注假如把条件m是是n中的有界闭集 去掉, 只假定中的有界闭集 去掉, 只假定 tx, tyx, y x ,ym ,xy , 结论一般不对. 例如, 结论一般不对. 例如, x =1, tx= 2 + x arctan x tx, ty=|tx ty|= 2 1 +2 |x y|x y|=x, y. 由此可见, 映射由此可见, 映射t满足假定:满足假定: tx, tyx, y x ,ym ,xy , 但是但是 tx=xarctan x= 2 , 这是不可能的, 因 此映射 , 这是不可能的, 因 此映射t没有不动点. 1.1.7 对于积分方程 没有不动点. 1.1.7 对于积分方程 xt 0 1 etsxsds=yt 为一给定函数，为一给定函数，为常数，为常数， | 0,e nk fg, x i=1 1 2i ? ? ?x (m+p) i x(m) i ? ? ? 1 + ? ? ?x (m+p) i x(m) i ? ? ? nk, p n ). hi ? ?j kk lm ( 0 ,) x(1)= ? (1) 1 ,(1) 2 , ,(1) k , ? 0(k ) x(2)= ? (2) 1 ,(2) 2 , ,(2) k , ? 0(k ) x(3)= ? (3) 1 ,(3) 2 , ,(3) k , ? 0(k ) . . . . . . . . . x(n)= ? (n) 1 ,(n) 2 , ,(n) k , ? 0(k ) x= (1,2, ,k,) x(n) x lim n sup k1 ? ? ? (n) k k ? ? ? = 0 0,sup k1 ? ? ? (n) k k ? ? ? 3 (n n) 课后答案网 课后答案网 2 ? ? ? (n) k k ? ? ? 3 (k = 1,2,), ? n (n) k o ?,- ? ? ? (n) k (n) j ? ? ? 3 (k,j n1)7 lim j ? ? ? (n) j ? ? ? = 0 ? ? ? (n) j ? ? ? 3 (j n2 n1)a ? |k| ? ? ? k (n) k ? ? ? + ? ? ? (n) k (n) j ? ? ? + ? ? ? (n) j ? ? ? 0,kf + ,- p (x) ,lm(p (x) ,f (x) ) . ?no c 0, 1fl10, 1g? hi(pq r st ),uv : f (x) l10, 1 ,kfg(x) c 0, 1 lm ( g(x) , f (x) ) 2; (1) w 0, 1 + ,- ./ ?c 0, 1 ? fc 0, 1ghi ? x kfp (x) c 0, 1 lm max x0, 1 ? ? ?p (x) g(x) ? ? ? 2 = ( g(x) , p (x) ) 0,设设n是是a 的列紧的的列紧的 2网;网; n0 是是n的有限的有限 2网, 则有网, 则有 xa,n,x, 2 n,xn0, x xn, 1 n 0 ,m的 有限的 的 有限的网. 特别对网. 特别对=1 , 设 , 设 n=x1, x2, , xn , 则有 , 则有 m k=1 n bxk, 1 . 于是 . 于是 xm , 设 , 设a为空间为空间x的一个固定元. 我们有的一个固定元. 我们有 x, ax, xk +xk, a1 + max 1kn xk, a, 即即m是有界的. 下面说明 是有界的. 下面说明 ekk=1 有界但不完全有界. 首先, 对有界但不完全有界. 首先, 对 k , 2 ek,=1 , 其中 , 其中 =0, 0, , 0, . 由此可见由此可见 ekk=1 有界. 再注意到有界. 再注意到 ei ej= i 0, 0, , 1, 0, j 0, 0, , 1, 0, = j i 0, 0, , 1, 0, , 1, ji. ei, ej= k=1 ei k ej k 2 1 2 =2ji. 由此可见, 由此可见, ekk=1 与其任意子列都不收敛, 从而与其任意子列都不收敛, 从而 ekk=1 不是列紧的, 根据hausdorff定理, 也就不完全有界. 1.3.4 设 不是列紧的, 根据hausdorff定理, 也就不完全有界. 1.3.4 设 x, 是度量空间，是度量空间， f1 ， f2 是它的两个紧子是它的两个紧子 课后答案网 课后答案网 3 集，求证集，求证 x1f1, x2f2, 使得使得 f1, f2=x1, x2, 其中其中 f1, f2 def =inf xf1,yf2 x, y. 证明 记证明 记 d=f1, f2,xf1,yf2. nn,xnf1,ynf2, dxn, ynd + 1 n 设设 xnkx1f1, 相应的相应的 ynkf2, 序列序列 ynk 未必收敛, 但因为 未必收敛, 但因为 f2 紧, 存在它们的子序列紧, 存在它们的子序列 ynk j收敛,设收敛,设 ynk j x2f2, 即有即有 dxnk j, ynkj 0, = m0 , 课后答案网 课后答案网 4 |x 2 x1|fx2 fx1 | 0, = m0 , |x2 x1|fx2 fx1|0, 取取kn,使得使得 1 k , nk=2k, tk= 4k 0, t0=0, |t k 0|= 4k 0 , 取定一个 , 取定一个n充分大, 使得充分大, 使得 1 2 n , 考虑形如 , 考虑形如 hn= n 1,2, ,n, 0, 0, 的 点的集合 的 点的集合h , 其中 , 其中 1,2, ,n,n+1, a . 因 为 . 因 为 x, hn= k=n+1 1 2k |k| 1 + |k| k=n+1 1 2k = 1 2n . 所以所以h是是a的的网. 再证 网. 再证h是在是在s中列紧的. 事实上, 可以将中列紧的. 事实上, 可以将h看做 是元素为 看做 是元素为 1,2, ,n 的的n维空间中的子集, 由假设维空间中的子集, 由假设 |k|ck k=1, 2, n , 即每个坐标都是有界的, 所 以 , 即每个坐标都是有界的, 所 以h可看做是可看做是n维空间中的有界集. 从而是列紧的. 1.3.8 设 维空间中的有界集. 从而是列紧的. 1.3.8 设 x, 是距离空间, 是距离空间, m是是x中的列紧集,若映射中的列紧集,若映射 t:xm满足满足 tx, tyx, y x, yx, xy, 求证求证t在在x上存在唯一的不动点. 证记上存在唯一的不动点. 证记 d=infx, fx |xm, 课后答案网 课后答案网 6 证明 先证 存在证明 先证 存在 x0m, 使得使得 x0, fx0=d. 这从下确界的定义出发, 这从下确界的定义出发, n, xnm,使得使得 dxn, fxnd + 1 n , 又因为又因为m列紧， 故存在 列紧， 故存在 xnkx0 ,将上面不等式中的将上面不等式中的n改为改为 nk, 即即 dxnk, fxnk0, 则有则有 dfx0, ffx00, 取取 = c 1 , 当当 t1, t2 时,时, |xt1 xt2 | ct1, t2 注 . 所以所以e是等度连 续的. 注 是等度连 续的. 注 ct1, t2t1, t2 c t1, t20,定义定义 fa= 0 eax|fx|2dx 1 2 . (1)求证 . (1)求证 a 是是 bc0, 上的范数 (2)若 上的范数 (2)若a, b0, ab 课后答案网 课后答案网 5 求证求证 a, b 作为作为 bc0, 上的范数是不等价的 证明 不妨假设 上的范数是不等价的 证明 不妨假设ba0,显然有显然有 fbfa, 由 此可见,为了证明 不等价性, 只要证不存在 由 此可见,为了证明 不等价性, 只要证不存在c0,使得使得 facfbfbc0, . 只需证只需证 fnbc0, , 使得使得 f na 2 f nb 2 . gnx def = eax, 0xn eaxn + 1 x, nxn + 1 0, xn + 1 fnx def =gnx fa 2 0 n eax eaxdx=n, fb 2 0 ebx eaxdx=0 ebaxdx= 1 ba f na 2 f nb 2 n ba +. 1.4.6 设1.4.6 设 x1, x2 是两个线性赋范空间，定义是两个线性赋范空间，定义 x=x1x2=x1, x2 | x1x1, x2x2 称 为 称 为 x1 与与 x2 的 decard笛卡尔空间. 规定线性运算如下： 的 decard笛卡尔空间. 规定线性运算如下： x1, x2 +y1, y2=x1+y1,x2+y2 课后答案网 课后答案网 6 ,k,x1, y1x1,x2, y2x2 ，并赋以范数，并赋以范数 x1, x2=maxx11, x22 其中其中 1 和和 2 分别是分别是 x1 和和 x2 的范数，求证：如果的范数，求证：如果 x1, x2 是b空间，那末是b空间，那末x也是b空间. 证明 设 也是b空间. 证明 设 xn 是是x中的基本列.则中的基本列.则 xn xm 0 n, m x1 n x1 m 1 0 n, m x2 n x2 m 2 0 n, m 因为因为 x1 是是b空间,所以空间,所以 x1x1 使得使得 x1 n x1; 又因为又因为 x2 是是b空间所以空间所以 x2x2 使得使得 x2 n x2. x def =x1, x2. 下证下证xn x.事实上, 事实上, 0, n使得使得 xn xm n x1 n x1 m 1 n x2 n x2 m 2 n m x1 n x1 1 2 nn x2 n x2 2 2 nn xn x=max x1 n x1 1, x2 n x2 2 2 n. 1.4.7 设1.4.7 设x是是b 空间,求证：空间,求证：x是是b空间，必须且仅须 对 空间，必须且仅须 对 课后答案网 课后答案网 7 xnx, n=1 xnnk, 有有 xn xm nknk, 使得使得 xnk xnk+1 1 2k , 取取 yk=xnkk=1, 2, . 改写改写 yk=y1+ i=1 k yi+1 yi, 因为因为 i=1 yi+1 yi 1 1 |a|1 -2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 0.5 1.0 1.5 2.0 a min a1 x0 ae1 =1, 最佳逼近元最佳逼近元 ae1|a|1, 不唯一.不唯一. 2, 非严格凸, 如图所示, 非严格凸, 如图所示, x=y= x+y 2 =1. xy 2 xy+ + 1.4.11 设1.4.11 设x是线性赋范空间， 函数是线性赋范空间， 函数 :x1 称为 凸的，如果不等式 称为 凸的，如果不等式 x + 1 xx + 1 x 成立. 求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值 证明 用反证法. 设 成立. 求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值 证明 用反证法. 设 x0 是局部极小点, 则是局部极小点, 则 x1ux0x1x0. 如果如果 x2x 课后答案网 课后答案网 9 使得使得 x2x0, 那么那么 ( () )( () )( () )( () ) ()()()()()()()() 102 000 xx1x x1xx, + + + = 1 . 于是取于是取 = 1c 2 0, 便有便有 y,x0 1+c 2 c+c 2 =c. 矛盾矛盾 课后答案网 课后答案网 11 1.4.14 设1.4.14 设 c0 表示以表示以0为极限的函数全体，并在为极限的函数全体，并在 c0 中赋 以范数 中赋 以范数 x=max n1 |n |. 又设又设 m defdef =x=n | n=1 c0| n=1 n 2n =0 (1) 求证: (1) 求证: m是是 c0 的闭线性子空间 (2) 设 的闭线性子空间 (2) 设 x02, 0, , 0, ，求证: ，求证: inf zmx 0 z=1, 但是但是 ym, x0 y1. 证(1) 证(1) x n =1 n, 2 n, , k n, m, x=1,2, ,k, . xnxlim n sup k1 k n k=00, sup k1 k n knn. k=1 k 2k = k=1 kk n 2k + | 0 k=1 k n 2k k=1 k 2k = k=1 kk n 2k 1, 用反证法 设 用反证法 设 y=1,2, ,k, m, 使得使得 x0 y1. x0 y=2 1, 2, , k, , x0 y1 |k|1k2 2 11 . |k|1k2 k=2 k 2k k=2 |k| 2k 注 k=2 1 2k = 1 2 . 注：注： | k | k=2 因为因为 |k|0, 所以当所以当k足够大，足够大， |k|1. 又由又由m的定义，的定义， 1 2 = k=2 k 2k 1 2 = k=2 k 2k 0, n, xnm, s.t. s.t. dy0 xnd + 1 n xn y0 xn + y0 y0 + d + 1 , 即 , 即 xn 有界. 又 m 是有穷维的, 所以有界. 又 m 是有穷维的, 所以 xn 有收敛子列, 不 妨就是整个序列. 设 有收敛子列, 不 妨就是整个序列. 设 xnx0m, dy0 xn0,x x,zx0, x z = 于是 + = 于是 f0= |f 0|. , 即即 |tf|= |f 0 |. 课后答案网 课后答案网 1 1.5.1 设1.5.1 设x是-个是-个b 空间，空间，e 是以是以 为内点的真凸子集. 为内点的真凸子集. ( ( ) )p x 是由是由e产生的minkowski泛函，那 末 (1) 产生的minkowski泛函，那 末 (1) x c ? ? ( ( ) )1.p x (2) (2) .cc= = ? 证明 (1) ? 证明 (1) x ,c ? ? 使得使得 xxc + ( ( ) ) 1 1 1 1 1. x cp x + + + + 反之, 反之, ( ( ) )1,p x 使得使得 2 ( () )( () )( () )1,p xxb xxc 故有故有x .c ? ? (2) (2) .cc= = ? 一方面, ? 一方面, cc ? ? cc ? ; 另一方面, 由 ( ) ? ; 另一方面, 由 ( )|1cxp x= ? ? ( )( )( )( )|1|1cxp xxp xc= a的有穷的有穷 网网n ( () )co n 是不是是不是 ( ( ) )co a的列紧的列紧 网? 先证 网? 先证( () )co n 是列紧的. 可以是列紧的. 可以 3 证明， 只要证明， 只要f是有限集, 是有限集, ( () )co f都列紧. 事实上, 设 都列紧. 事实上, 设 12 , m fz zz= =? ()() 11 |1,0 , mm iiii co fz = 对 对0, 1 0,1r的有 穷 的有 穷 1 m i z 网网e (只要对 (只要对 0,1作足够 多等分就能得到) . 这样 作足够 多等分就能得到) . 这样 1 , m ii yfyz = = ( ( ) )( ( ) ) 1 0,1 ,. m i iiii z e 4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 11 , mm iiiii yzyyz = 再证 再证( () )co n 是是( ( ) )co a的的 网, 网, ( ( ) ) ()() ( () ), x co n co ab x 事实上, ( ) 事实上, ( ) 11 ,1, 0,. mm iii ii xco axx xa = = 对 对 i x , i yn 使得使得 ( () )1,2,. ii xyim =? 课后答案网 课后答案网 5 ( )( ) 11 mm iiiii yyco axyxy= 使得当使得当 xx 时,时, ( () ).txtxxc n,n , nn xx c 使得使得 1 , nnn xx 但是但是 0.nn txtx 因为因为c是紧集, 所以存在是紧集, 所以存在 k n 使得使得 0 . k n xxc 因为因为 11 0. kkk nknn xx 故 有 故 有 0. k n xx 又又tx连续,从而连续,从而 00 , kk nn txtx txtx 于是于是0, kk nn txtx 这与这与 7 0 kk nn txtx 矛盾. 如今设 矛盾. 如今设c的有限的有限 网为网为 1, ,. n xx? 下证: 下证: 1, , n txtx?为为( ( ) )t c的有 限 的有 限 网. 事实上,网. 事实上, ( ( ) ),yt cxc 使得使得.ytx= = 设设 ( () )1, i xxin 则则 . i txtx 1.5.4 设1.5.4 设c是是b空间空间x中的一 个有界闭凸集，映射 中的一 个有界闭凸集，映射 ( () ):1,2 i tcx i=适合 (1) 适合 (1) 12 , x yct xt yc+ (2) (2) 1 t是一个压缩映射，是一个压缩映射， 2 t是一 个紧映射 求证: 是一 个紧映射 求证: 12 tt+ +在在c上至少有上至少有 8 一个不动点. 分析： 为了 一个不动点. 分析： 为了( () ) 12 x xttx=+=+ 只要只要( () ) 12 x itxt x= 只要只要( () ) 1 12 xxitt x = 只要 = 只要( () ) 1 12 :,tittcc = 是紧映射 证：设 = 是紧映射 证：设 ( () )( () ) 12121 01 ,tyyyy (1) ( () )1, i jn 求证：存在求证：存在0 及各分量非负但 不全为零的向量 及各分量非负但 不全为零的向量r , n x 使得使得 .axx = = 证明 在证明 在rn上考察子集上考察子集 c= = def ()()() ) 1 1 ,r|1,0 1 n n nii i xxxxin = = = ? ? 12 并作映射( ) () 并作映射( ) () 1 . n j j ax ax fx = = = = def 显然显然c是紧凸集, 且是紧凸集, 且 :.fcc从而从而xc 使得使得 ( ( ) ),fxx= = 即即,axx = =其中 () 其中 () 1 . n j j ax = = = = def 显然显然0. 而而 0 = ( () )( () )( ( ) )01,2,00 j axjnaxfx=? 与与( ( ) )fxc 矛盾. 1.5.6 设 矛盾. 1.5.6 设( () ),k x y是是 0,10,1 上的正值连续函数,上的正值连续函数, ( () )( ( ) )( () ) ( ( ) ) ( () ) 1 0 ,0,1tuxk x y u y dyuc= = 课后答案网 课后答案网 13 求证：存在求证：存在0 及非负但不恒为 零的连续函数 及非负但不恒为 零的连续函数u满足满足 .tuu = = 证明 设证明 设( () )0,mk x ym 在在 0,1c上考察子集上考察子集 c = = def ( ( ) )( ( ) ) 1 0 0,1|1,0ucu x dxu x= ( )() () ( ) () ( ) ( )() () ( ) () ( ) 1 0 11 00 , , k x y u y dy x dtk t y u y dy f u = = def