《概率论与随机过程》第1章习题答案.doc

概率论与随机过程第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ，其中为小班人数。（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 解： 。（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： 。（5） 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 解： 其中，表示为正组长，为副组长，余类推。（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。解： 其中，为和棋，为甲胜，为乙胜。（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： 其中，分别表示红色、白色、蓝色。（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。解： 其中，0为次品，1为正品。（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 解： 其中，表示球放在盒子中，余者类推。（10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： 其中，分别表示第一段，第二段，第三段的长度。#2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1） A发生，B与C不发生。 解：（2） A与B都发生，而C不发生。 解： （3） A，B，C都发生。 解： （4） A，B，C中至少有一个发生。 解： （5） A，B，C都不发生。 解： （6） A，B，C中至多于一个发生。 解： （7） A，B，C中至多于二个发生。 解： （8） A，B，C中至少有二个发生。 解： . #3. 设,，具体写出下列各等式（1）。 解： ；（2）。 解： ；（3）。 解：；（4） 。 解： （5）。 解： . # 4. 设，具体写出下列各式。（1）。 解： （2）。 解： （3）。 解： （4）。 解：. #5. 设A，B，C是三事件，且，求A，B，C至少有一个发生的概率。解：由题意可知：，故。或 ，。#6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1） 求恰有90个次品的概率。（2） 至少有2个次品的概率。解：（1）； （2） 设表示有个次品的概率，故至少有2个次品的概率为： . # 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解：（1） 属“分房问题”，即有个人，每个人都以的概率被分在间房中的每一间中，某指定房间中至少有一人的概率。 设某指定房间中恰有个人的概率为，则有。故，某指定房间中至少有一人的概率为：。 所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为： （2） 属“分房问题”，即有个人，每个人都以的概率被分在间房中的每一间中，至少有二个人在同一间房中的概率。设A为“每一间房中至多有一个人”基本事件个数：。“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：。所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。 。 # 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。（1） 在第5次测试发现。（2） 在第10次测试发现。 解：（1） ；或； （2） 。 #9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知，求，及。解： ； 。 #10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1） 二只都是正品。（2） 二只都是次品。（3） 一只是正品，一只是次品。（4） 第二次取出的是次品。解： (1) ；(2) ；(3) ；或；(4) 。 #11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：(1) ; (2) 。 #12. 某工厂中，机器分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器生产的概率分别是多少？解：设为“次品”，已知：，；，。故由，可得： ；。 # 13. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设：分别表示收到信息是A 和B。由已知条件可知: ，。 。 #14. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为，且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？解: 。 #15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。解: 设：为第次射击命中飞机；：飞机击中次而被击落。：射击三次而击落飞机。 #16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率质函数。解： X3 4 5 17. (1) 设随机变量X的概率质函数为，为常数，试确定常数。（2）设随机变量X的概率质函数为，试确定常数。解： （1）， (2) ， 。 #18. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。解：由题意可知： 0.3 0.7 设：，则。（1）时，（2）时，。 #19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。解: 参数为4的泊松分布为：， 。 故，(1) ； (2) 。 #20. 设随机变量X的分布函数为 求， （2）求概率密度。解：（1）（2） (3) 。 #21. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为，的正态分布，若要求,允许最大为多少？解： 即，, 查表可得： 。 #22设随机变量X的概率质函数为 0 1 31/5 1/6 1/5 1/15 11/30求的概率质函数。解：由可知：。故有01491/57/301/511/3023. 设X的概率密度为，求的概率密度。解：，故。又， 。 # 24. 设概率变量（X，Y）的概率密度为求。解： 。 #25. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 试求随机变量Z=X+Y的概率密度。 y x+y=z1 x+y=1 0 x 1x+y1 x=z, y=0. 解：。 #26. 设概率变量（X，Y）的概率密度为。求的概率密度。解：是以原点为中心，为半径的圆域。且，故时，。令，则 。 #27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率。解： 设为取出的第只管子的寿命，故，令。因为相互独立，且同分布，所以，。 #28. 设随机变量X的概率质函数为-2 0 20.4 0.3 0.3求。解：，。 #29. 设X服从二项分布，其概率质函数为 求和。解：。 #30. 设X服从泊松分布，其概率质函数为 求和。解： ，。 #31. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为 求和。解： ， 。 #32. 设X服从正态分布，其概率密度函数为。 求和。解： ， 令，则其中，为奇函数，故；而。 （令）。 #33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求EX，DX。解：因为3球独立放入4盒的总放法有43=64种。 按题意， X=4时的放法有种，故； X=3时，放入3#盒后，余下的球必放入4#盒。其的放法有，故；X=2时，放入2#盒后，余下的球必放入3#和4#盒。其的放法有种，故；X=1时，放入1#盒后，余下的球必放入2#，3#和4#盒。其的放法有种，故；。，。 #34. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立：（1） ；（2） 。证： ； 。 #35. 设随机变量X的概率密度函数为。求（1）Y=2X，（2）的数学期望。解：；。 #36. 设随机变量（X，Y）的概率密度函数为 试确定出常数，并求。解： ， 故， 。 #37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在52009400之间的概率。解： 已知：，。 故令 。 #38. 设随机变量X的概率密度函数为，其中为常数。求和。解： ， （ ）。 #39. 设随机变量X的概率密度函数为，其中为常数。求和。解： ， （）。 #40. 设随机变量X的概率质函数为，。其中为常数，则称 X服从参数为的几何分布。试求和。解：，=。 #41. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.。求、 。解： ，。#42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解： 设X为取整误差，则,。（1） 或： （2） ， 。 # 43. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。解： 设