为数字谱曲.ppt

2010北京交通大学数学建模竞赛 成员 刘丽琴连莲杨鹏浩 为自然数e谱曲 摘要 本文首先分析了音乐的基本组成要素 根据音乐要素的量化需要 对e的特性及数字串规律进行挖掘 最后通过e的规律和特性 量化了音乐要素 进一步谱出e的乐谱 汇报内容 1问题的提出2基本假设3问题分析4模型的建立与求解5乐谱的生成6模型评价 1问题的提出 问题关键 根据自然数e 2 71828 的数字串特点及数本身的含义 同样可以谱出有规律的乐曲 数学建模就是从定量的角度分析和研究一个实际问题 而音乐通常更多的是感性上的表达 数学建模则需要严格的定量分析 如何通过数学建模的方法 将e的规律特性通过乐谱表达出来 2 基本假设 音的频率只与弦长有关 其他变量固定 设定曲谱不存在无效的音符 即所有乐谱都能唱出 通过级数对e的计算在允许的误差范围内 3 问题分析 基本思路 自然数e的数据分析运用统计知识进行 根据乐谱的要素确定所需要的统计量 从e中提取e的本质通过对e的定义 来源以及e的一些重要性质进行探究等 音乐 音高 节奏等要素可以量化 对应关系 3 问题分析 具体分析 将音乐的要素转化成乐谱的要素 明确e的定义 探究e表现出的特殊性质 计算出e的值 保留10001位 从中找出e取值的规律 将音乐的要素进一步量化 与e的特性和取值规律建立对应关系 根据所确定的音乐要素 写出对应的曲谱 对形成的曲谱进一步分析完善 使得e的特性得到充分的体现 4模型的建立与求解 4 1音乐要素的分析4 2e的定义及特征分析4 3e数字串特征分析4 4乐谱要素的量化 4 1音乐要素的分析 音乐的要素 音的高低由物体在一定时间内的振动次数 频率 决定音的长短是由于振动的延续时间决定的振幅大音就强 振幅小音就弱音色是由发音物体所产生的谐波决定的简谱中的要素 主音 即乐谱中的基准音 相当于其他调号的参考系节拍 每一下就是一拍音符 记录音的高低和长短的符号 4 2e的定义及特性分析 e的极限取值分析自然数e的值是由极限来明确的 无论在x趋向正无穷大的时还是负无穷大时 极限等于e 2 71828 e的 自然律 分析自然数e也是 自然律 的一种量的表达 由e经过一定变换和复合的形式 自然律 的形象表达是螺线 收缩的螺线永远向着极绕 越绕越靠近极 但又永远不能到达极 e的微分与积分性质自然数e表现出的另一个重要性质就是微分与积分不变性质 即有 费马螺线 对数螺线 双曲螺线 4 3e数字串特征分析 利用matlab计算出e的10001位数值 10001位 1001位e值所表现出的规律如下图 4 4乐谱要素的量化 主音频率之间关系其中 l是弦的长度 t是弦的张力 只要不旋转调弦器旋钮 t就不会变化 是弦单位长度的质量 音乐上 正是依据这个原理 定义了各个音符之间的相对频率 并且定义 频率为原来的2倍的音与原来频率的音之间的音程为八度 其中 最常用的西方的十二平均律 作为音乐的基础音阶 4 4 1主音的确定 主音频率之间关系其中 l是弦的长度 t是弦的张力 只要不旋转调弦器旋钮 t就不会变化 是弦单位长度的质量 音乐上 正是依据这个原理 定义了各个音符之间的相对频率 并且定义 频率为原来的2倍的音与原来频率的音之间的音程为八度 其中 最常用的西方的十二平均律 作为音乐的基础音阶 4 4 1主音的确定 确定主音的函数确定主音可以从主音的主音的频率入手 通过频率 确定主音 而频率 又可以从弦长l进行控制 在e的值中 能与弦长l进行匹配的 则是两个相邻数之间差的绝对值 用di表示 设ai为e第i i 1 2 3 位取值 主音 g1 f g2 l g3 d 其中 f表示频率 l表示弦长 d表示e相邻位取值差的绝对值 由于主音与频率f是一一对应的关系 而f与l成反比 l与d成正比 因此主音与d成反比关系 4 4 1主音的确定 4 4 1主音的确定 对d序列进行单位根检验 得d序列没有单位根 d序列稳定 因此 这里取10000个di的平均值作为总体特征d 即 根据g3函数的对应关系 得到主音应该定为b 特征d的确定 一一 4 4 2节拍的确定 音乐中 根据平均十二音律法 相邻音的频率比值是一定的 为1 059倍 由此 可以联想到对这10000个距离d的比值进行探究 这里距离的比值用qi表示 即 4 4 2节拍的确定 可以较好得出以710 6300 280 2300 1 8音符为一拍 从图上看一节基本为9拍 即乐谱的整个节拍可以表示为9 8 由于在比值中除数等于0时设定了比值最高值10 因此 出现10的点可以看成一个周期 9999个比值中 一共出现了1020个10 从图15可以看出 周期依然很不稳定 进一步计算 得到10出现的间隔为 4 4 3音符的确定 根据找到的e位相邻距离比值的最合适的周期 对一个周期内的qi按一定函数进行转化 得到最后的音符 转换函数的确定 首先 利用单位根检验 分析9999个qi的稳定性 判断qi稳定 在qi稳定的基础上 得到qi的平均值为q 9 810 在qi平均值接近10的情况下 如表2所示 定比值10的音为高c 频率为1040 其他音根据与c音频率的倍数 确定频率 由频率再转化成对应音符 其中 转化后频率范围在260 3900hz 5乐谱的生成 以上对乐谱要素的分析 包括 主音定位b调 节拍为9 8 即以1 8分音符为一拍 一节9拍 音符来源于螺旋演进周期的一段 改演进周期为e数字串中相邻数的比值qi 10出现的时间间隔所形成的 同时 考虑到e的其他一些特性 包括微分和积分不变 正负无穷极限相同等因素 根据以上的初步分析和转化 得到e的乐谱 5乐谱的生成 6模型的评价 优势 巧妙地利用了声音频率与弦长的关系 有效地结合了e的数字串和音乐要素 充分应用了统计分析技术 对e数字串进行了大量的分析 变换 处理 得到了可以反映音乐要素的规