信用社评估工作与抽样统计知识.ppt

参数估计在统计方法中的地位 统计方法 描述统计 推断统计 假设检验 统计推断的过程 第一部分抽样推断 第一节抽样推断概述第二节抽样误差和抽样估计第三节抽样的组织方式第四节样本容量的确定和总量指标的推算 第一节抽样推断概述一 抽样推断的意义抽样推断是在抽样调查的基础上 运用数理统计方法 根据样本的实际资料对总体作出具有一定可靠程度推断的一种统计方法 特点 1 由样本的已知资料去估计未知的总体数量特征 2 选取样本必须遵循随机原则 3 抽样推断中产生的误差可以事先控制 二 抽样推断的作用对不可能进行全面调查的现象总体进行推断 对于某些不必要进行全面调查的总体进行推断 可以对全面调查的数据进行补充或修正 可以用于大批量生产过程中产品的质量检验和控制 可以对于某种总体的假设进行检验 来判断这种假设的真伪 以决定取舍 三 抽样推断中的几个基本概念 一 全及总体和抽样总体1 全及总体是指所要研究对象的全部单位构成的整体 简称总体 单位数通常用n表示 2 抽样总体是指从全及总体中按照随机原则抽取的那部分单位组成的整体 简称样本 样本单位数也叫样本容量 用n表示 全及总体是唯一确定的 而抽样总体是随机的 从一个全及总体中可以抽取一个样本 也可以抽取多个样本 二 全及指标和抽样指标1 全及指标 全及指标是根据全及总体各单位标志值计算的综合指标 又称总体指标 常用的全及指标 1 全及平均数 全及总体各单位标志值的平均数 2 全及成数 全及总体中具有某一相同标志表现的单位数占全及总体单位数的比重 用p或者q表示 若以n1代表具有某种相同标志表现的单位数 n0代表不具有某种相同标志表现的单位数 n n1 n0 则总体成数为 成数是是非标志的平均数 所谓是非标志就是指只能取两种标志表现的标志 假定具有某种相同标志表现的变量值记为1 不具备该种标志表现的变量值记为0 那么成数可以看作是这两个变量的加权算术平均数 即是是非标志的平均数 3 总体数量标志标准差 总体数量标志标准差是指全及总体中根据各单位标志值计算的标准差 总体标准差的平方叫做总体方差 记作 4 总体是非标志标准差 总体是非标志标准差是指全及总体中根据是非标志计算的标准差 总体是非标志的标准差为 方差为 2 抽样指标 抽样指标是根据抽样总体各单位标志值计算的综合指标 也称样本指标 抽样指标是一个随机变量 常用的抽样指标 1 抽样平均数 抽样平均数是抽样总体各单位标志值的平均数 2 抽样成数 抽样成数是样本中具有某一相同标志表现的单位数占样本单位数的比重 用p表示或者q表示 若以n1代表具有某种相同标志表现的单位数 n0代表不具有某种相同标志表现的单位数 n n1 n0 则抽样成数为 同理可知 p是样本是非标志的平均数 3 样本数量标志标准差 样本数量标志标准差是指样本中根据各单位标志值计算的标准差 记作s 样本标准差的平方叫做样本方差 记作s2 4 样本是非标志标准差 样本是非标志标准差是指样本中根据是非标志计算的标准差 样本是非标志的标准差为 方差为 在抽样估计中 样本指标又称为统计量 总体指标又称为参数 三 抽样框与抽样方法1 抽样框抽样之前 必须根据预定的要求将总体划分成一个个抽样单位 这些单位互不重叠 原来的总体单位只能属于某一个抽样单位 抽样单位可以是原来的总体单位 也可以不是原来的总体单位 全部抽样单位所构成的名单称为抽样框 抽样框的作用是 1 易于贯彻随机原则和进行抽选工作 提高抽样效率 2 确定了调查对象即全及总体的范围 2 抽样方法重复抽样 也称重置抽样或有放回抽样 是指从总体中随机抽选第一个样本单位后 将它的标志记录下来后放回总体再次参加抽选 重复这个步骤 直到抽满n个样本单位为止 不重复抽样 也称不重置抽样或无放回抽样 是指从总体单位数为n的总体中随机抽选第一个样本单位后 将它的标志记录下来后不放回总体 再从n 1个单位中抽选第二个样本单位 将它的标志记录下来后也不放回总体 重复这个步骤 直到抽满n个样本单位为止 第二节抽样误差和抽样估计一 抽样误差的概念登记性误差是指在登记汇总过程中由于测量 记录 转抄 计算等错误而产生的误差 代表性误差是指排除登记性误差后 用样本指标推断总体指标时所产生的误差 由于没有遵循随机原则而产生的误差 称为偏差 在没有登记性误差的前提下 又遵循了随机原则 纯粹是由样本指标推断总体指标时产生的误差 称为抽样误差 抽样实际误差是指样本指标与总体实际指标的差数 抽样平均误差是所有样本指标的标准差 统计误差 抽样平均误差 抽样实际误差 抽样误差 偏差 代表性误差 登记性误差 二 抽样平均误差的计算 一 重复抽样的抽样平均误差1 抽样平均数的抽样平均误差表示总体的标准差 n为样本容量 2 抽样成数的抽样平均误差p 1 p 表示总体是非标志的方差 n为样本容量 二 不重复抽样的抽样平均误差1 抽样平均数的抽样平均误差表示总体的标准差 n为样本容量 n为总体单位数 2 抽样成数的抽样平均误差p 1 p 表示总体是非标志的方差 n为样本容量 n为总体单位数 三 抽样平均误差的影响因素 1 样本容量 样本容量越小 抽样平均误差越大 样本容量越大 抽样平均误差越小 2 总体标志变异指标 总体标志变异指标越大 抽样平均误差越大 总体标志变异指标越小 抽样平均误差也越小 当总体标志变异程度为零时 说明总体各单位之间无差异 此时 抽样平均误差为零 3 抽样的方式方法 在其他条件相同的条件下 重复抽样的抽样平均误差大于不重复抽样的抽样平均误差 四 抽样估计抽样估计就是利用所取得的样本资料 采用一定的估计方法 对总体进行估计和推断 一 抽样估计的优良标准1 无偏性 用样本指标估计总体指标时 所有可能样本指标的平均数等于被估计的总体指标 2 一致性 用样本指标估计总体指标时 若样本容量充分的大 则样本指标充分靠近总体指标 即随着样本容量的无限增大 3 有效性 有效性要求样本指标估计总体指标时 作为无偏估计量的方差比其他估计量的方差小 二 抽样估计的方法1 点估计 点估计就是用实际样本指标数值代替总体指标数值的一种估计方法 2 区间估计 区间估计就是根据样本指标和抽样平均误差估计总体指标的可能范围 并同时给出总体指标落在该范围的可靠程度 由于未知的全及指标是一个确定的量 而抽样指标则是围绕着全及指标出现的随机变量 它与全及指标可能产生正负离差 这种变动范围的最大绝对值就是抽样极限误差 也称为允许误差 用和分别表示平均数和成数的抽样极限误差 则有 变换后 得 抽样极限误差要用抽样平均误差为标准来衡量 把抽样极限误差除以抽样平均误差 表示抽样极限误差是抽样平均误差的倍数 它是测量抽样估计可靠程度的一个参数 称为概率度 通常用t表示 上述公式表明 在一定抽样平均误差的条件下 概率度越大 则抽样极限误差越大 总体指标落在误差范围内的概率越大 从而抽样估计的可靠程度也就越高 反之 概率度越小 则抽样极限误差越小 总体指标落在误差范围内的概率也越小 从而抽样估计的可靠程度也就越低 那么如何衡量总体指标落在误差范围内的概率大小哪 数理统计证明 概率度和概率之间存在一定的函数关系 若用p表示概率 即表示抽样估计的可靠程度或者概率保证程度 则其函数关系可表示为 p与t的值是一一对应的 常用的p与t的对应值如表8 1 其他概率与概率度的对应关系可查 正态分布概率表 例 某企业对某批电子元件寿命进行检验 随机抽取100只 测得平均耐用时间为1000小时 标准差为50小时 合格率为94 试计算 以耐用时间的允许误差范围小时 估计该批产品平均耐用时间的区间及其概率保证程度 解 下限 上限 由 查概率表得答 估计该批产品的平均耐用时间在990 1010小时之间 有95 45 的概率保证程度 第三节抽样的组织方式一 简单随机抽样1 概念 简单随机抽样也叫纯随机抽样 它是指在进行抽样时 对全及总体不经过任何形式的处理 不进行排队或分类 按照随机原则从总体中抽取样本单位的抽样方式 2 取样方法a直接抽选法b抽签法c随机数表法d计算取随机数法3 抽样平均误差的计算估计总体平均数时估计总体成数时重复抽样不重复抽样 二 类型抽样1 概念 类型抽样也叫分层抽样 它是运用统计分组法 把全及总体按主要标志划分为几个类型组 然后在各组中再按随机原则抽取样本单位的组织形式 2 分类a等比例类型抽样b不等比例类型抽样3 抽样平均误差的计算重复抽样估计总体平均数时估计总体成数时不重复抽样估计总体平均数时估计总体成数时 例 某乡种小麦6000亩 其中平原3600亩 丘陵2400亩 现采用等比例类型抽样抽查了100亩 资料如表 试在95 45 的概率保证程度下估计该乡粮食亩产量的范围 解 概率保证程度为95 45 时 对应的概率度t 1 64 则抽样极限误差为 总平均亩产的估计值为 即小麦亩产量的估计值在259 39公斤 276 61公斤之间 三 等距抽样1 概念 等距抽样又称机械抽样 它先将总体单位按一定标志排列起来 而后按固定顺序和一定距离来抽取样本单位的抽样方式 2 分类a根据排队依据的标志不同 分为无关标志排队和有关标志排队 b按样本单位抽选的方法不同 分为随机起点等距抽样 半距起点等距抽样和对称等距抽样 3 抽样平均误差计算如果总体是按无关标志排队 抽样平均误差可采用简单随机不重复抽样公式去近似计算 如果总体是按有关标志排队 则可用等比例类型抽样的公式去近似计算 四 整群抽样1 概念 整群抽样是将总体划分成由总体单位所组成的若干群 然后以群作为抽样单位 从中随机抽取一些群 对中选群内的所有单位进行全面调查的抽样方式 2 特点 组织工作比较方便 但抽样误差较大 代表性较低 3 抽样平均误差的计算整群抽样均采用不重复抽样抽样平均数的抽样误差 抽样成数的抽样误差 第四节样本容量的确定一 影响样本容量的因素1 总体标志的变异程度2 允许误差3 概率保证程度4 抽样的方法和方式二 简单随机抽样的样本公式估计总体平均数时估计总体成数时重复抽样不重复抽样 三 确定必要样本容量时应注意的问题1 在实际的抽样调查时 可先进行小规模的试验调查求得样本的方差和成数来代替总体的方差和成数 也可用历史的资料来代替2 利用公式计算的样本容量不一定是整数 如果带有小数 则用 只入不舍 的原则 3 如果进行抽样调查时 同时要对总体平均数和总体成数进行样本容量估计 选择较大者为样本容量 4 在对总体成数进行推断前 如果计算样本容量时缺少成数的资料 则可以直接假定成数p为0 5 这样p 1 p 等于0 25为是非标志方差的最大值 这样可以保证抽样估计的精确度 5 公式中的样本容量是最低的 也是最必要的样本容量 四 总量指标的推算目的 用抽样指标去推断全及指标 一 直接推算法直接换算法是用样本指标值或者总体指标 总体平均数或者总体成数 的区间估计值乘以总体单位数来推算总量指标的方法 例 某地在10万户居民中随机抽选500户居民 经调查有90 的居民家中拥有两台以上的彩电 试以95 45 的概率保证程度推断 该地区有多少户居民拥有两台以上的彩电 解 已知 则由 可得该地有两台以上彩电的用户数在87320户到92680户之间 二 修正系数法修正系数法是先将抽样调查资料与全面调查资料对比计算差错比率 即修正系数 然后用差错比率修正全面调查结果 步骤 1 计算差所比率2 用差错比率修正全面调查结果 例8 10 某市人口普查结束后 过了一个月后又对某区进行抽样复测 已知 该市普查时的人口数为2005600人 所抽中的地区其普查时的人口数为120253人 一个月后抽样复测时 其人口数为120290人 如果在这一个月中 该区出生人数为68人 死亡人数为56人 试计算该市普查的人数 解 先把某区的人口数还原到普查时点的人数 120290 68 56 120278 人 修正后的该市人口数 2005600 1 0 02 2006001 人 所以 该市的普查人数为2006001人 第二部分抽样与参数估计 第一节抽样与抽样分布第二节参数估计基本方法第三节总体均值和总体比例的区间估计第四节两个总体均值及两个总体比例之差的估计第五节正态总体方差及两正态总体方差比的区间估计 学习目标 了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布与总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值 总体比例和总体方差的区间估计 抽样与抽样分布 一 总体 个体和样本二 关于抽样方法样本均值的分布与中心极限定理样本方差的分布两个样本方差比的分布六 t统计量的分布 总体 个体和样本 概念要点 总体 population 调查研究的事物或现象的全体 个体 itemunit 组成总体的每个元素 样本 sample 从总体中所抽取的部分个体 样本容量 samplesize 样本中所含个体的数量 抽样方法 概念要点 概率抽样 根据已知的概率选取样本 简单随机抽样 完全随机地抽选样本 分层抽样 总体分成不同的 层 然后在每一层内进行抽样 整群抽样 将一组被调查者 群 作为一个抽样单位 等距抽样 在样本框中每隔一定距离抽选一个被调查者非概率抽样 不是完全按随机原则选取样本 非随机抽样 由调查人员自由选取被调查者 判断抽样 通过某些条件过滤来选择被调查者配额抽样 选择一群特定数目 满足特定条件的被调查者 样本均值的抽样分布 所有样本指标 如均值 比例 方差等 所形成的分布称为抽样分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值 样本比例等结果来自容量相同的所有可能样本 抽样分布 概念要点 样本均值的抽样分布 一个例子 例 设一个总体 含有4个元素 个体 即总体单位数n 4 4个个体分别为x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 总体的均值 方差及分布如下 均值和方差 样本均值的抽样分布 一个例子 现从总体中抽取n 2的简单随机样本 在重复抽样条件下 共有42 16个样本 所有样本的结果如下表 样本均值的抽样分布 一个例子 计算出各样本的均值 如下表 并给出样本均值的抽样分布 所有样本均值的均值和方差 式中 m为样本数目比较及结论 1 样本均值的均值 数学期望 等于总体均值2 样本均值的方差等于总体方差的1 n 样本均值的分布与总体分布的比较 抽样分布 2 5 2 1 25 总体分布 样本均值的抽样分布与中心极限定理 当总体服从正态分布n 2 时 来自该总体的所有容量为n的样本的均值 x也服从正态分布 x的数学期望为 方差为 2 n 即 x n 2 n 中心极限定理 图示 中心极限定理 设从均值为 方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本 当n充分大时 样本均值的抽样分布近似服从均值为 方差为 2 n的正态分布 样本方差的抽样分布 样本方差的分布 设总体服从正态分布n 2 x1 x2 xn为来自该正态总体的样本 则样本方差s2的分布为 将 2 n 1 称为自由度为 n 1 的卡方分布 卡方 c2 分布 均值的标准误 所有可能的样本均值的标准差 测度所有样本均值的离散程度小于总体标准差计算公式为 两个样本方差比的抽样分布 两个样本方差比的抽样分布 设x1 x2 xn1是来自正态总体n 1 12 的一个样本 y1 y2 yn2是来自正态总体n 2 22 的一个样本 且xi i 1 2 n1 yi i 1 2 n2 相互独立 则 将f n1 1 n2 1 称为第一自由度为 n1 1 第二自由度为 n2 1 的f分布 两个样本方差比的抽样分布 不同样本容量的抽样分布 t统计量的分布 t统计量的分布 设x1 x2 xn1是来自正态总体n 1 12 的一个样本 称 为统计量 它服从自由度为 n 1 的t分布 第二节参数估计基本方法 一 点估计二 点估计的优良性准则区间估计 参数估计的方法 被估计的总体参数 点估计 点估计 概念要点 从总体中抽取一个样本 根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计例如 用样本均值作为总体未知均值的估计值就是一个点估计2 点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息点估计的方法有矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法等 1 用于估计总体某一参数的随机变量如样本均值 样本比例 样本中位数等例如 样本均值就是总体均值 的一个估计量如果样本均值 x 3 则3就是 的估计值理论基础是抽样分布 估计量 概念要点 二战中的点估计 估计量的优良性准则 无偏性 无偏性 估计量的数学期望等于被估计的总体参数 估计量的优良性准则 有效性 有效性 一个方差较小的无偏估计量称为一个更有效的估计量 如 与其他估计量相比 样本均值是一个更有效的估计量 估计量的优良性准则 一致性 一致性 随着样本容量的增大 估计量越来越接近被估计的总体参数 区间估计 区间估计 概念要点 1 根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范围给出总体参数落在这一区间的概率例如 总体均值落在50 70之间 置信度为95 置信区间估计 内容 落在总体均值某一区间内的样本 总体未知参数落在区间内的概率表示为 1 为显著性水平 是总体参数未在区间内的概率 常用的显著性水平值有99 95 90 相应的 为0 01 0 05 0 10 置信水平 区间与置信水平 均值的抽样分布 1 区间包含了 的区间未包含 影响区间宽度的因素 1 数据的离散程度 用 来测度样本容量 3 置信水平 1 影响z的大小 第三节总体均值和总体比例的区间估计 一 总体均值的区间估计二 总体比例的区间估计样本容量的确定 总体均值的区间估计 已知 总体均值的置信区间 已知 1 假定条件总体服从正态分布 且总体方差 已知如果不是正态分布 可以由正态分布来近似 n 30 使用正态分布统计量 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 总体均值的区间估计 正态总体 实例 解 已知 n 0 152 x 2 14 n 9 1 0 95 2 1 96总体均值 的置信区间为 我们可以95 的概率保证该种零件的平均长度在21 302 21 498mm之间 例 某种零件长度服从正态分布 从该批产品中随机抽取 件 测得其平均长度为21 4mm 已知总体标准差 0 15mm 试建立该种零件平均长度的置信区间 给定置信水平为0 95 总体均值的区间估计 非正态总体 实例 解 已知 x 26 6 n 100 1 0 95 2 1 96 我们可以95 的概率保证平均每天参加锻炼的时间在24 824 27 176分钟之间 例 某大学从该校学生中随机抽取100人 调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟 试以95 的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间 已知总体方差为36小时 总体均值的区间估计 未知 总体均值的置信区间 未知 1 假定条件总体方差 未知总体必须服从正态分布使用t分布统计量 3 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 总体均值的区间估计 实例 解 已知 n 2 x 50 s 8 n 25 1 0 95 t 2 2 0639 我们可以95 的概率保证总体均值在46 69 53 30之间 例 从一个正态总体中抽取一个随机样本 n 25 其均值 x 50 标准差s 8 建立总体均值m的95 的置信区间 总体比例的区间估计 总体比例的置信区间 1 假定条件两类结果总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量 3 总体比例 的置信区间为 总体比例的置信区间 实例 我们可以95 的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在63 6 76 4 之间 例 某企业在一项关于职工流动原因的研究中 从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本 在对其进行访问时 有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处 试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造95 的置信区间 样本容量的确定 根据均值区间估计公式可得样本容量n为 估计总体均值时样本容量的确定 样本容量n与总体方差 2 允许误差 可靠性系数z之间的关系为与总体方差成正比与允许误差成反比与可靠性系数成正比 其中 样本容量的确定 实例 解 已知 2 1800000 0 05 z 2 1 96 500 应抽取的样本容量为 例 一家广告公想估计某类商店去年所花的平均广告费用有多少 经验表明 总体方差约为1800000元 如置信度取95 并要使估计处在总体平均值附近500元的范围内 这家广告公司应抽多大的样本 根据比例区间估计公式可得样本容量n为 估计总体比例时样本容量的确定 其中 样本容量的确定 实例 例 一家市场调研公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例 该公司希望对比例p的估计误差不超过0 05 要求的可靠程度为95 应抽多大容量的样本 没有可利用的p估计值 应抽取的样本容量为 第四节两个总体均值及两个总体比例之差估计 一 两个总体均值之差估计二 两个总体比例之差估计 两个总体均值之差的估计 两个样本均值之差的抽样分布 两个总体均值之差的估计 12 22已知 1 假定条件两个样本是独立的随机样本两个总体都服从正态分布若不是正态分布 可以用正态分布来近似 n1 30和n2 30 两个独立样本均值之差的抽样分布服从正态分布 其期望值为 其标准误差为 两个总体均值之差的估计 12 22已知 两个总体均值之差 1 2在1 置信水平下的置信区间为 使用正态分布统计量z 两个总体均值之差的估计 实例 例 一个银行负责人想知道储户存入两家银行的钱数 他从两家银行各抽取了一个由25个储户组成的随机样本 样本均值如下 银行a 4500元 银行b 3250元 设已知两个总体服从方差分别为 a2 2500和 b2 3600的正态分布 试求 a b的区间估计 1 置信度为95 2 置信度为99 b a 两个总体均值之差的估计 计算结果 解 已知xa n a 2500 xb n b 3600 xa 4500 xb 3250 a2 2500 b2 3600na nb 25 1 a b置信度为95 的置信区间为 2 a b置信度为99 的置信区间为 两个总体均值之差的估计 12 22未知 但相等 假定条件两个总体都服从正态分布 12 12未知 但 12 12总体方差 2的联合估计量为 估计量 x1 x2的标准差为 两个总体均值之差的估计 12 22未知 但相等 使用t分布统计量 两个总体均值之差 1 2在1 置信水平下的置信区间为 两个总体均值之差的估计 实例 例 为比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度 分别给两位职员随机安排了10位顾客 并记录下为每位顾客办理账单所需的时间 单位 分钟 相应的样本均值和方差分别为 x1 22 2 s12 16 63 x2 28 5 s22 18 92 假定每位职员办理账单所需时间均服从正态分布 且方差相等 试求两位职员办理账单的服务时间之差的95 的区间估计 两个总体均值之差的估计 计算结果 解 已知x1 n 1 2 x2 n 2 2 x1 22 2 x2 28 5 s12 16 63s22 18 92n1 n2 10 12 12 1 2置信度为95 的置信区间为 两个总体均值之差的估计 12 22未知 且不相等 假定条件两个总体都服从正态分布 12 12未知 且 12 12使用的统计量为 两个总体均值之差的估计 12 22未知 且不相等 两个总体均值之差 1 2在1 置信水平下的置信区间为 两个总体均值之差的估计 续前例 例 为比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度 分别给两位职员随机安排了10位顾客 并记录下了为每位顾客办理账单所需的时间 单位 分钟 相应的样本均值和方差分别为 x1 22 2 s12 16 63 x2 28 5 s22 18 92 假定每位职员办理账单所需时间均服从正态分布 但方差不相等 试求两位职员办理账单的服务时间之差的95 的区间估计 两个总体均值之差的估计 计算结果 自由度f为 1 2置信度为95 的置信区间为 解 已知x1 n 1 2 x2 n 2 2 x1 22 2 x2 28 5 s12 1