勾股定理题型总结与练习(打印).docx

勾股定理题型总结与练习1、 基础知识点：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为 所以方法三：，化简得证. 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形. 勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形： 10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、经典例题精讲考点一：勾股定理1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）结论：有一个角是30的直角三角形，30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。题型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的长已知，求的长分析：直接应用勾股定理解：题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理ac2+bc2=ab2, 即ac2+92=152,所以ac2=144,所以ac=12.例题2 如图（8），水池中离岸边d点1.5米的c处，直立长着一根芦苇，出水部分bc的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端b恰好落到d点，并求水池的深度ac.解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知acd中,acd=90,在rtacd中，只知道cd=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，ac2+cd2=ad2 设水深ac= x米，那么ad=ab=ac+cb=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2. 故水深为2米.题型三：利用勾股定理求线段长度例题：如图4，已知长方形abcd中ab=8cm,bc=10cm,在边cd上取一点e，将ade折叠使点d恰好落在bc边上的点f，求ce的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下：解：根据题意得rtadertaefafe=90, af=10cm, ef=de设ce=xcm，则de=ef=cdce=8x 在rtabf中由勾股定理得：ab2+bf2=af2，即82+bf2=102，bf=6cmcf=bcbf=106=4(cm)在rtecf中由勾股定理可得：ef2=ce2+cf2，即(8x) 2=x2+426416x+x2=2+16x=3(cm),即ce=3 cm注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型四：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_。（2）已知rtabc中，c=90，若a+b=14cm，c=10cm，则rtabc的面积是（） a、24b、36 c、48d、60（3）已知x、y为正数，且x2-4+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）a、5b、25 c、7d、15 考点二：勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角三角形。（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n).（n为正整数）（3）直角三角形的判定方法：如果三角形的三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。题型一：勾股数的应用（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）a. 4，5，6 b. 2，3，4c. 11，12，13 d. 8，15，17（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（） a、234 b、346 c、51213 d、467题型二：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中：abc中，c=ab；abc中，a：b：c=1：2：3；abc中，a：b：c=3：4：5；abc中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有（ ）a1个 b2个 c3个 d4个（2）若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（ ）a.等腰三角形 b.直角三角形 c.等腰直角三角形 d.不等边三角形（3）已知a，b，c为abc三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（）a.直角三角形b.等腰三角形 c.等腰直角三角形d.等腰三角形或直角三角形（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )a 钝角三角形 b. 锐角三角形 c. 直角三角形 d. 等腰三角形（5）若abc的三边长a,b,c满足试判断abc的形状。（6）abc的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。题型三：求最大、最小角的问题（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。（2）已知三角形三边的比为1：2，则其最小角为 。题型四：利用勾股定理逆定理判断垂直例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面ad边是否垂直与ab边和cd边，他测得ad=80cm，ab=60cm，bd=100cm，ad边与ab边垂直吗？怎样去验证ad边与cd边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形abcd表示桌面形状，在ab上截取am=12cm,在ad上截取an=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结mn，测量mn的长度。如果mn=15,则am2+an2=mn2,所以ad边与ab边垂直；如果mn=a15,则92+122=81+144=225, a2225,即92+122 a2，所以a不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，a点表示控制灯，bm表示人的高度，bcmn,bcan当头（b点）距离a有5米时，求bc的长度。已知an=4.5米,所以ac=3米，由勾股定理，可计算bc=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型五：勾股定理和逆定理并用例题3 如图3，正方形abcd中，e是bc边上的中点，f是ab上一点，且那么def是直角三角形吗？为什么？解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设ab=4a，那么be=ce=2 a,af=3 a,bf= a,那么在rtafd 、rtbef和 rtcde中，分别利用勾股定理求出df,ef和de的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断def是否是直角三角形。 详细解题步骤如下：解：设正方形abcd的边长为4a,则be=ce=2 a,af=3 a,bf= a在rtcde中，de2=cd2+ce2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理ef2=5a2, df2=25a2在def中，ef2+ de2=5a2+ 20a2=25a2=df2def是直角三角形，且def=90.注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。考点三：勾股定理的应用题型一：面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形a、b、c、d的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形e的面积是（ ）a. 13 b. 26 c. 47 d. 94 （图1） （图2） （图3）（3）如图，abc为直角三角形，分别以ab，bc，ac为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（ ）a. s1+ s2 s3 b. s1+ s2= s3 c. s2+s3 s1 d. 以上都不是（2）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是s1、s2、s3，则它们之间的关系是（ ）a. s1- s2= s3 b. s1+ s2= s3 c. s2+s3n），则，是勾股数。（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a、b、c为边长的abc是直角三角形。（2）请根据方法1和方法2按规律填定下列表格：（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图8所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成。要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树_棵。图8解：（1）选方法1：因为所以所以故根据勾股定理的逆定理得到以a、b、c为边长的abc是直角三角形。（2）根据方法1可填：勾7、股24、弦25和勾9、股40、弦41。根据方法2，当m=5，n=2时，a、b、c分别可填；21、20、29。当时，a、b、c分别可填：24、10、26。（3）因为相邻两树间的距离均为1米，每个三角形最短边上都植6棵，这6棵中包括两端的2棵，去掉1棵，最短边应为5棵，其余两边分别为12棵、13棵。该图案由四个全等的直角三角形组成，共需植树棵。题型八、类比猜想型例8abc中，bc=a，ac=b，ab=c，若c=90，如图9（1），根据勾股定理，则。若abc不是直角三角形，如图9（2）和9（3），请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。图9解：若abc是锐角三角形，则有若abc是钝角三角形，c为钝角，则有当abc是锐角三角形时图10证明：过点a作adbc，垂足为d，设cd为x，则有根据勾股定理，得即所以因为a0，x0，所以所以当abc是钝角三角形时图11证明：过b作bdac，交ac的延长线于d。设cd为x，则有根据勾股定理，得即因为b0，x0所以2bx0所以课后自学类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2202 化简得x216； 直角三角形的面积3x4x6x296总结：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 提示：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） a、8，15，17 b、4，5，6 c、5，8，10 d、8，39，40 【变式5】四边形abcd中，b=90，ab=3，bc=4，cd=12，ad=13，求四边形abcd的面积。 类型二：勾股定理的应用例2、如图，公路mn和公路pq在点p处交汇，且qpn30，点a处有一所中学，ap160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路mn上沿pn方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校a，实质上是看a到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段ab并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校a的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作abmn，垂足为b。 在 rtabp中，abp90，apb30， ap160， abap80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 a到直线mn的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路mn上沿pn方向行驶到点c处学校开始受到影响，那么ac100(m)， 由勾股定理得： bc21002-8023600, bc60。 同理，拖拉机行驶到点d处学校开始脱离影响，那么，ad100(m)，bd60(m), cd120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 mn上沿pn方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 总结:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形abcd含有多少个单位正三角形？平行四边形abcd的面积是多少？ （3）求出图中线段ac的长（可作辅助线）。 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决例3、如图所示，abc是等腰直角三角形，ab=ac，d是斜边bc的中点，e、f分别是ab、ac边上的点，且dedf，若be=12，cf=5求线段ef的长。 思路点拨：现已知be、cf，要求ef，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接ad 解：连接ad 因为bac=90，ab=ac 又因为ad为abc的中线， 所以ad=dc=dbadbc 且bad=c=45 因为eda+adf=90 又因为cdf+adf=90 所以eda=cdf 所以aedcfd（asa） 所以ae=fc=5 同理：af=be=12 在rtaef中，根据勾股定理得： ，所以ef=13。 总结：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的思想方法例4、如图所示，已知abc中，c=90，a=60，求、的值。 思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。 解：在rtabc中，a=60，b=90-a=30， 则，由勾股定理，得。 因为，所以， ，。 总结：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。【变式】如图所示，折叠矩形的一边ad，使点d落在bc边的点f处，已知ab=8cm，bc=10cm，求ef的长。 课后训练：一、填空题coabdef第3题图dbca第4题图1如图(1)，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米图(1)2种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸管要做 。3已知：如图，abc中，c = 90，点o为abc的三条角平分线的交点，odbc，oeac，ofab，点d、e、f分别是垂足，且bc = 8cm，ca = 6cm，则点o到三边ab，ac和bc的距离分别等于 cm4在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的a处。另一只爬到树顶d后直接跃到a处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，a和b是这个台阶两个相对的端点，a点有一只蚂蚁，想到b点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到b点最短路程是_.二、选择题1已知一个rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） a、25b、14c、7d、7或252rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则rt的周长为（） a、121b、120c、132d、不能确定3如果rt两直角边的比为512，则斜边上的高与斜边的比为（） a、6013b、512c、1213d、601694已知rtabc中，c=90，若a+b=14cm，c=10cm，则rtabc的面积是（） a、24cm2b、36cm2c、48cm2d、60cm25等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） a、56b、48c、40d、32abefdc第7题图6某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） a、450a元b、225a 元c、150a元 d、300a元15020m30m第6题图7已知，如图长方形abcd中，ab=3cm，ad=9cm，将此长方形折叠，使点b与点d重合