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地球物理反演理论 武汉大学测绘学院 地球物理反演理论 课程组 地球物理反演理论概述 一 本课程的性质和任务 性质 地球物理反演理论 是固体地球物理学专业的通开课程 也是大地测量学与测量工程专业的选修课 通过本课程的学习加深学生对地球物理专业理论实质的理解和认识 促进学生认识和理解固体地球物理学专业和相关专业的结合 从而拓宽学生的专业知识面 并对地球物理学专业的发展和现状有新的认识 任务 掌握地球物理反演理论的基本原理与方法 什么是反演问题 正演问题 线性反演方法原理 广义反演方法 b g反演理论 非线性反演问题 能够应用地球物理反演理论的基本原理与方法解决科研中的实际问题 二 本课程的内容 1 绪论2 线性反演理论与方法3 广义反演法4 backus gilbert反演理论5 非线性反演方法6 地球物理大地测量 联合 反演理论与应用 三 本课程的教学模式 研究型教学模式 课堂讲座与讨论相结合参考教材与参考文献相结合课程网站 参考教材 1 王家映 地球物理反演理论 武汉 中国地质大学出版社 20022 傅淑芳朱仁益 地球物理反演问题 北京 地震出版社 19983 杨文采 地球物理反演的理论与方法 北京 地质出版社 19974 姚姚 地球物理反演基本理论与应用方法 武汉 中国地质大学出版社 2002参考文献 英文 18篇 1 s m tanandcolinfox theuniversityofauckland chapter3 regularizationmethodsforlinearinverseproblems2 s m tanandcolinfox theuniversityofauckland chapter5 bayesianstatisticalinferenceandparameterestimation3 s m tanandcolinfox theuniversityofauckland chapter6 therecursivelinearinverseproblem4 s m tanandcolinfox theuniversityofauckland chapter8 sampledsolutionstoinverseproblems5 alberttarantolaandbernardvalette generalizednonlinearinverseproblemssolvedusingtheleastsquarescriterion reviewsofgeophysicsandspacephysics vol 20 no 2 pages219 232 may19826 klausmosegaard alberttarantola montecarlosamplingofsolutionstoinverseproblems journalofgeophysicalresearch vol 100 no b7 p12 431 12 447 1995 7 johna scalesandluistenorioz priorinformationanduncertaintyininverseproblems geophysics vol 66 no 2 2001 p 389 3978 jessicamurrayandjohnlangbein sliponthesanandreasfaultatparkfield california overtwoearthquakecycles andtheimplicationsforseismichazard bsaa 96 4b s283 s303 20069 christeltiberi cynthiaebinger val erieballu grahamstuartandbefekaduoluma inversemodelsofgravitydatafromtheredsea aden eastafricanriftstriplejunctionzone gji 2005 163 775 78710 jun ichifukudaandkajm johnson mixedlinear non linearinversionofcrustaldeformationdata bayesianinferenceofmodel weightingandregularizationparameters gji 2010 181 1441 145811 shen tu b w e holt anda j haines thecontemporarykinematicsofthewesternunitedstatesdeterminedfromearthquakesmomenttensors vlbiandgpsobservations jgr 103 18 087 18 118 1998 12 lauram wallace 1johnbeavan balancingtheplatemotionbudgetinthesouthisland newzealandusinggps geologicalandseismologicaldata gji 2006 doi 10 1111 j 1365 246x 2006 03183 x 13 svenfriedel resolution stabilityandefficiencyofresistivitytomographyestimatedfromageneralizedinverseapproach gji 2003 153 305 31614 jacquesangelier inversionofearthquakefocalmechanismstoobtaintheseismotectonicstressiv anewmethodfreeofchoiceamongnodalplanes geophys j int 2002 150 588 60915 nishimura t t sagiya andr s stein 2007 crustalblockkinematicsandseismicpotentialofthenorthernmostphilippineseaplateandizumicroplate centraljapan inferredfromgpsandlevelingdata j geophys res 112 b05414 doi 10 1029 2005jb00410216 peiliangxu ahybridglobaloptimizationmethod theone dimensionalcase journalofcomputationalandappliedmathematics147 2002 301 31417 tomparsons montecarlomethodfordeterminingearthquakerecurrenceparametersfromshortpaleoseismiccatalogs examplecalculationsforcalifornia jgr vol 113 b03302 doi 10 1029 2007jb004998 2008 18 caijunxu yangliu yangmaowen androngjiangwang coseismicslipdistributionofthe2008mw7 9wenchuanearthquakefromjointinversionofgpsandinsardata bssa 100 5b 2736 2749 2010 绪论 1 地球物理反演的研究对象2 地球物理反演的发展简史3 地球物理反演的研究内容和方法 地球物理学研究的一般流程 数据获得 地球物理数据分析 地质解释 地球物理学研究的一般流程 地球物理反演的研究对象 地球物理反演是在地球物理学中利用地球表面观测到的物理现象推测地球内部介质物理状态的空间变化及物性结构的一个分支 地球物理学可分为固体地球物理学和勘探地球物理学两大方面 其理论上有一个共同的核心问题 如何根据地面上的观测信号推测地球内部与信号有关部位的物理状态 如物理性质 受力状态或热流密度分布等 这些问题就构成了地球物理反演的独特研究对象 具体地说 地球物理反演研究的是各种地球物理方法中反演问题共同的数学物理性质和解估计的构成和评价方法 它是从各个地球物理分支中抽象出来的边缘学科 地球物理反演又可分为单一地球物理现象的反演和多种地球物理现象的联合反演 地球物理反演的发展简史 如果把天然地震的震源参数的推测归入地球物理反演范围 那么我国东汉的科学家张衡应该是从事地球物理反演的先驱 牛顿根据万有引力定律推测地球密度 开尔文研究地球的弹性和热传导 都是早期地球物理反演的范例 地球物理学中反演问题的研究 在早期主要来自科学家对地球内部构造的好奇心 并受到物理学与地质学发展的推动 1880年美国学者j a ewing等人发明了近代地震仪 地震记录的分析便提到日程上来 上世纪初 地震 地磁和重力的数据都有了一定程度的积累 地球物理数据的分析问题逐渐受到了重视 而定量的分析地球物理数据便导致了地球物理反演问题的研究 地球物理反演的发展简史 1907年hergloz提出的地震走时数据反演 1909年a mohorovicic发现莫霍面 1912年benogutenbeg发现古登堡面 1947年第一台电子数字计算机的诞生标志着科学技术的一场革命 对地球物理数据分析产生了巨大的推动作用 1950 年代地球物理中的正演问题广泛使用了电子计算机 而与正演计算关系紧密的试错法和拟合法也随之用计算机来实现 1967年 70年 美国地球物理学家backus和应用数学家gilbert创建bg理论 bg理论在70年代后期逐渐普及 90年代非线性理论在自然科学的各个领域都成为研究前沿 目前联合反演理论及其应用 地球物理反演的研究内容和方法 地球物理反演的出发点是描述地球内部发生的物理现象满足的数学物理方程 或者偏微分方程 运动方程或场方程 典型的物理学研究方法示意图 地球物理反演的研究内容和方法 对于地球物理学家来说 他们习惯用的研究方法和物理学的方法只有一点不同 全盘接受运动方程 而只修改介质函数和边界条件 地球模型 或初始条件 激发源特性 典型的地震学研究方法示意图 地球物理反演的研究内容和方法 反演过程的示意图 1 运动方程2 地球物理数据3 介质模型和激发模型4 上述3方面的总体配合 反演失败的原因 地球物理反演研究的方法是对地球数据 模型和约束条件作准确的数学描述的基础上 根据数学物理方程导出在计算机上快速实现的准确稳定算法 以进行某种物理不可实现过程的计算机 仿真 地球物理反演研究的内容不仅涉及到地球物理学 应用数学 还与信息科学 计算机科学发展有关 地球物理反演的研究内容和方法 地球物理学中的反演问题就是研究利用地球物理的观测数据去反推描述地球物理模型特征的理论与方法 反演问题 具体来说 就是有结果及某些一般原理 或模型 出发去确定表征问题特性的参数 或称模型参数 反演问题是相对于正演问题而存在 正演问题 就是按事物的一般原理 或模型 以及相关的条件 初条件 边条件 来预测事物的结果 反演问题和正演问题 反演问题的概念及公式反演问题的主要内容有三方面 1 解的适定问题 包括解的存在性 唯一性和稳定性2 反演问题的求解方法3 反演问题的解的评价解的存在性 唯一性与反演问题的数学确定性有关 解的稳定性与反演问题的物理确定性 求解方法有关 解的适定问题论证解的存在性有时也是提供解法的过程 对于选定的模型和已知条件 若解存在 那么它是否是唯一解 若不是唯一解 为解决其唯一性 通常应加上附加的约束条件 或增加观测数据 或二者兼而有之 解的稳定性就是研究当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会发生大的变化 若数据的微小变化所引起的解在定义域中的变化也是微小的 则认为解的值连续依赖于数据 问题的解是稳定 若此时解在定义域中的变化很大且不规则 则称问题的解是不稳定的 即为病态 反演问题的求解方法在处理反演问题中 通常我们更关心的是求解方法 由于实际问题的复杂性 有时尽管作过解的存在性与唯一性的验证 但并不等于就有了求解的方法 且在实际应用时 也不强求要先解决适定性才能求解 许多问题都是通过反复的实践与演变 才能建立起比较完整的理论 反演问题的解的评价研究解的评价的一系列准则及折衷原则是反演问题的一个重要内容 没有给出解的评价的反演理论是不完全的 且它不同于一般正演问题的误差分析 而是在反演理论中提取真实解信息的重要工具 模型构制问题 在模型的构制时 如何处理观测数据和模型参数 有三种不同的观点和方法 1 把观测数据和模型参数都看成是随机变量 通过研究它们所遵循的概率分布对观测资料进行反演 2 把观测数据作为随机变量 把模型看成是由一些确定参数所决定的 反演的任务就是估算这些待定的参数和误差 3 视观测数据为随机变量 模型是连续函数 形成一套连续介质的反演理论与方法 这就是著名的b g反演法 适定问题 反演问题中 对于允许的数据d的每一个集合 问题的解m存在且唯一 且连续依赖于d 这时线性偏微分方程问题称为适定问题 或说其解是适定的 wellorproperlyposedproblem 不适定问题 部分不满足或全不满足上述条件的问题便称作不适定问题 illorimproperlyposedproblems 条件适定问题 实际的反演问题中 观测数据存在误差 诸多原因的每一方面 都造成问题的实际物理内容的确定存在性与相应数学问题的不适定性之间的明显矛盾 只有对问题的解加上适当的附加条件 使问题成为适定的 在数学上面临的问题是在 条件适定 conditionallywellposed 概念下求解不适定问题 反演问题的数学适定性讨论 对反演问题求解 不能强求反演问题的精确解 而应当去寻求那种满足方程但近似满足定解条件 或近似满足方程但精确满足定解条件 或两者都近似满足的解 对于反演问题的解 人们往往习惯于希望象解正演问题一样得到解的确切数值 但由于反演问题的不适定性 能按这样的方式得到的反问题的精确解甚少 实际得到的是 根据模型设计所期望得到的解的类型与根据已知资料 数据 实际能得到的信息之间的各种各样的折衷解 不同的折衷方案给出反问题的不同形式的解 常用的解的形式 1 模型参数的估算值2 模型参数的约束值3 模型参数的加权平均值 反演问题的解及其评价 正演是反演的前提和条件 只有解决了正演计算 不管是解析方法还是数值方法 才能实现反演映射 但是 在自然界并不是所有的物理问题都已弄清它们的机理而能提出明确的数学模型 如地球起源问题 对这类问题 目前反演还是无能为力的 这就是反演理论的局限性 一般来讲 正演问题比较完善 且从认识论方面来看 其因果关系较为明确 而反演问题在实质上是比较困难的 它的多解性一直困扰着人们 致使某些解有时很难解释 反演理论正在发展中 所以用 反演问题 与 反演理论 两术语 意义相同 反演理论的局限性 反演理论的任务可以归纳为解决5大问题1 解的存在性 即给定一组观测数据后 是否一定存在一个能拟合观测数据的解或模型 2 模型构制 如果存在性是肯定的 如何求得或构制能拟合观测数据的模型 3 非唯一性 能拟合观测数据的模型是唯一 还是非唯一的 4 解的稳定性 当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会发生大的变化 5 结果的评价 如果解是非唯一的 如何才能从构制的模型中提取关于真实模型的地球物理信息 二 线性反演理论与方法 1 反演问题的线性化常用的两种方法a 参数代换法 通过参数代换将非线性方程线性化的方法 近震直达波走时表的编制问题 经均匀介质传播的近震直达波 其走时t为震中距 的函数 走时方程为 其中 为波的传播速度 为震源深度 令 则有 b taylor级数展开法 对问题给定一个初始模型m 它与真实模型差异不大 则将模型函数在m处按taylor级数展开 取一阶项 使方程变换为线性方程 一般模型 2 长度法原理求解线性反演问题的最简单方法是以长度的度量为基础 测量长度可以用不同的度量 若用矢量的模 引入矢量的范数 范数 范数 范数 对应线性规划 最小二乘法 p范分析 线性反演理论 参数化模型的最小长度解给定一组观测数据 假定观测数据和核函数作如下假设 是没有误差的精确数据 是线性无关的 则 1 解是存在的 取决于观测数据 与观测数据无关 3 反演问题的解是非唯一的 在特殊解上加以任何零化子向量所得到的模型 都可以拟合观测数据 2 4 在所有能拟合观测数据的模型中 范数为最小的模型 必然是 的模型 即 最小模型 最小模型是能拟合观测数据 而又无零化空间 由零化子组成的空间 影响的那个模型 3 线性反问题的范数极小解与第一类先验假设 紧约束 a 超定问题的最小二乘解 观测资料提供了充分的确定模型参数的信息 b 纯欠定问题的最小长度解 观测资料没有提供足以确定模型参数的信息 c 混定问题的阻尼最小二乘解 虽有足够多的观测数据 但没能提供足以确定模型参数的独立信息 d 另一类紧约束条件 等式约束与不等式约束fm h 线性不等式约束 这一类约束用于必须使或需要某些边界条件的情况 0 4 长度的加权度量 宽约束 在实际反演中 有时要求长度接近于均值意义下的极小解 此时长度定义为 阻尼最小二乘解属于长度的加权度量法 5 模型参数解估值的协方差 观测数据有误差给模型参数的估值带来误差 三 广义反演法基于广义逆矩阵建立起来的线性反演法叫广义反演法 所谓广义逆 是矩阵在常规意义下的逆的推广 用表示 是唯一的 它是满足penros四个条件的广义逆 数据分辨率矩阵用广义反演法解反演问题 不但可以求得一个拟合观测数据的模型m 而且可以获得一些与观测数据d和模型参数m有关的辅助信息 数据分辨矩阵f dataresolutionmatrix 或信息密度矩阵 informationdensitymatrix 它是模型拟合观测数据好坏程度的标志 参数分辨率矩阵参数分辨率矩阵r parameterresolutionmatrix 或称模型分辨率矩阵 modelresolutionmatrix 也是广义反演法获得的另一重要的辅助信息 它是用广义反演法构制的模型与真正地球物理模型接近程度的一种重要标志 实验设计分辨率矩阵f不是观测数据d的函数 而仅仅是数据核g和解反演问题时所附加先验信息的函数 因此 在进行实际观测之前就可以把f计算出来 从而可以根据f的性态选择一组最佳的观测方式 获得一组分辨率最高的观测数据 这就是所谓的实验设计 参数分辨率矩阵r也不是观测数据d的函数 而仅仅是数据核g和解反演问题时所附加先验信息的函数 它也是实验设计的重要依据 四 b g反演理论讨论连续介质的反演理论 由g backus和f gilbert在20世纪60年代 70年代建立的 backus和gilbert认为 所有可能的地球模型构成了一个无穷维的抽象空间 故描述它的函数将是空间坐标的连续函数 b g反演理论包括两大部分 1 在连续介质情况下 如何处理数量有限而有误差的观测数据 即在一定的限制条件下 寻找一个解释人员可以接受的最优解 这是模型构制问题 平常讲的 反演方法 问题 2 在连续介质情况下 如何处理解的非唯一性 如何从众多的非唯一的解中提取观测所给予模型的真实信息 它包括模型信息的平均值 平均值函数以及分辨率 b g反演理论中的两个部分在反演理论中是两个独立的问题 它们的任务和作用是完全不同的 模型构制的任务是需求最优解 用于目标函数 限制条件以及模型构制方法的不同 最优解是不相同的 这就是反演的非唯一性 而线性评价则是在承认解的非唯一性的条件下 欲从任何一个与真实地球物理模型线性接近的 能拟合观测数据的模型中 提取它与真实地球物理模型之间存在的共同的信息 b g反演理论 1 b g线性评价的信息包括在三个量中 即平均值 平均函数和分辨率 只有综合分析以上三种信息才可能取得关于处地球物理模型的真正信息 2 折中准则在观测数据有误差的情况下 对反演问题提出既要分辨率高 又要方差小的要求是不现实的 有时也是不可能的 故此时就应该采用折中准则 考虑目标函数 为折中参数 分别表示分辨率和方差的加权因子计算时 必须根据观测数据方差的大小 选择最佳的 使方差和分辨率符合要求 b g线性反演理论中的模型构制和评价 是反演过程中的两个不同阶段 前者是后者的基础和前提 后者是前者的继续和深化 前者是在一定的限制条件下 寻找一个可以接受的最优解