地震反应时程分析方法.doc

地震反应时程分析方法信春雷(西南交通大学 土木工程学院 ,四川 成都 610031)摘 要 :分析地震工程中动力方程求解逐步积分方法中的线性加速度法 、new mar k - 法 、wil so n - 法和中心差分法 ,明确指出这 4 种分析方法的优点和缺点以及它们各自的适用范围 ,并在此基础上合理选用数值逐步积分方法问 题给出建议 ,为求解地震反应和结构抗震设计提供非常重要的参考依据 。关键词 :时程分析法 ;线性加速度法 ; new ma r k - 法 ; wil so n - 法 ;中心差分法中图分类号 : p631 . 4 + 1文献标志码 : a文章编号 :100825696 (2010) 0320050204analysis method of time2history earthqua ke responsexin chun2lei( civil engineering school , so ut hwe st j iao to ng u niver sit y ,chengdu 610031 , china)abstract :it si mp l y i nt ro duce d t he st ep2by2st ep i nt e gratio n met ho d s fo r solvi ng dyna mic equatio n s i n ea r t h2qua ke e ngi nee ri ng , i ncl udi ng li nea r accelerat e d met ho d , new ma r k2met ho d , wil so n2met ho d a nd ce nt ral diff e re nce met ho d ,it poi nt s o ut t he merit s a nd sho r t co mi ngs a nd t he app licatio n fiel d of t he se fo ur met ho ds a nd give s a ref ere nce to sol ve t he ea r t hquack re spo n se a nd sei smic de si gn .key words :ti me2hi sto r y a nal ysi s met ho d ; li nea r accelerat ed met ho d ; new ma r k2 met ho d ; wil so n2met ho d ;ce nt ral diff ere nce met ho d结构抗震计算的主要方法是对多遇地震地区采用振型分解反应谱方法进行分析 ,这种方法是一种 静力分析法 ,它将地震剪力等效为水平力作用在结 构上 ,然后按照静力学的方法进行分析计算 。这种 计算方法同实际地震反应尚有一定的差距 ,计算精 度不够 ,不一定能够 保证 地 震作 用下 的 结构 安全 。 时程分析法是一种动力分析法 ,它是将结构物视为 一个弹性振动体 ,将地震时地面运动产生的位移 、速 度 、加速度作用在结构物上 ,然后用动力学的方法研 究其振动情况 。显然 ,时程分析法比振型分解反应谱法能更准确地反映地震是结构物的反应 2 。多自由度体系地震反应方程为 m u + c u m i x g .+ k u= -( 1)在式 ( 1) 中 , 地面振动加速度是复杂的随机函 数 。同时 , 在弹塑性反应中刚度矩阵与阻尼矩阵亦 随时间变化 。因此 , 不可能求出解析解 , 只能采取数 值分析方法求解 。常用的地震反应计算数值方法有 线性加速度法 、new ma r k - 法 、wil so n - 法和中 心差分法 1 24 , 将式 ( 1) 转化为增量方程为 m u + c u + k x = - m u g .( 2) 再逐步积分求解 , 即将时间转化分成一系列微小时 间段 , 在时间内可采 取 一些 假设 , 从 而 能对 增量 式 ( 2) 直接积分 , 得出地震反应增量 , 以该步的终态值 , 作为下一时间段的初始值 。这样逐步积分 , 即可得 出结构在地震作用下振动反应的全过程 。下面简单介绍这几种方法 。概述1结构动力理论是直接通过动力方程求解地震反应 , 起源于 20 世纪 60 年代 。由于地震波为复杂的 随机振动 , 对于多自由度体系振动不可能直接得出 解析解 , 只可采用逐步积分法 , 而这种方法计算工作量大 , 只有在计算机 应用 发 展的 前提 下 才能 实现 。线性加速度法2收稿日期 :2009211220作者简介 :信春雷 ( 1986 - ) , 男 ,硕士研究生 ,研究方向 : 地下结构抗震.2 . 1基本思想1) 假 定在 时 间 t , t + t 内 , 加 速 度按 线 性 变化 。2) 结构体系的特征在时间 t , t +t 内保持为 常量 。2 . 2公式推导将式 ( 1) 在时刻 t j 和 t j + 1 应满足的方程相减可 得到如下增量方程性动力分析中有重要的意义 。同时 , 拟静力荷载向量 p 不仅取决于地震地面运动加速度的增量 , 而 且取决于前一时刻的计算反应值 。这使得动力反应计算的误差逐渐积 累 , 严重 时甚 至 导致 结果 发散 。为了尽可能减少这种误差 , 提出了加速度平衡校正算法 , 即根据增量动力平衡方程式求得- 1 ( m u j + c u j + k u ju j= - ix g , j - m c u j k u j ) .+= m ix g , j .( 3)( 12)-式中 :u j = u j + 1 - u j , 其余以此类推 。由于线性加速度法假定 , 在时段 t 内 , 结构的 加速度反应是关于时间的线性函数 。基于这一假 定 , 可以将式 ( 3) 化为关于位移增量 u 的线性代数 方程 。为此 , 首先将 u 按 taylo r 级数在 t j 附近展开上述推导过程是以增量方程为目的 , 这样推导出来的结果不仅能用于结构的弹性地震反应分析 , 而且也能够用于结 构的 弹塑 性地 震 反应 分析 。当 然 , 也可以全量方程为目的来推导相应于方程式的代数方程 。事实上 , 式 ( 6) 和式 ( 8) 可以改写为66- 6 u j - 2 u j , u j +1= u j +1- u jt2t2t u j u j2 u ( t j +) = u j + + +( 13)1 !2 != 3 u j +1 - 3 u j2 u j - 1 ut. u j3 u j +1j-+ .( 4)tt23 !对时间求导 , 可得 u ( t j +) = u j + u j + 1 u j( 14)将式 ( 13) 和式 ( 14) 代入动力平衡方程可得 k u j +1 = p j +1 .其中2+ .2( 15)( 5)当=t 时 , 由于 u ( t j +) = u j + 1 和 u ( t j +) = u j + 1 , 并结合线性函数的假定 , 在求解过程 中取为增量形式 , 则式 ( 4) 和式 ( 5) 可变为= m + 3 c + k ,6 k= k j2tt( 16) 6 666 u ju j(u) j u j + 2 u j3 u j ,( 6) p j +1= m 2 u j+=-ttt2t 3 1u j = u jt + 1 u jt. c u j + 2 u j u jt -+( 7) m i x g , j +1 .t22( 17)将式 ( 6) 代入式 ( 7) 可得称式 ( 15) 为拟静力全量方程 。对线性加速度算法而言 , 用增量方程与全量方 程求解得到的结果 , 其计算精度是一样的 。2 . 3特点及评价线性加速度法在选取时间步长时 , 应满足t 1 。与线性加速度法的区别在于 , 线性加速度法在时刻t +t 使用动力平衡方程 , 而 wil so n - 法则将动力t 。平衡方程应用于更后一点的时刻 t +u j =u j - u j - 1 u j , ( 20)11t2t1 u j214 . 2公式推导 u ( t +t) = u ( t) +t u ( t) +(t) 2 u ( t) / 3 + (t) 2 u ( t +t) / 6 , ( 28) u ( t +t) = u ( t) +t u ( t) / 2 +1u ju jt u j .1 -=-+42t2( 21)将上述两式代入增量方程 , 可得t u ( t +t) / 2 .在 t +t 时刻的运动方程为 m u ( t +t) + c u ( t +t) + k u ( t +t) = - m i x g ( t +t) .( 29) k u j= p j ,( 22)其中11 k = m + c + k ,( 23)t22t u j + 1 u j( 30)由式 ( 28) 和 式 ( 29 ) 导 出 的 u ( t + t) 和 u ( t +t) 代入式 ( 30) 可得1 p j= m +t21 c 1 u j -1 -t u j - m ix g , j .24 k u ( t +t) = p ( t +t) .( 31)( 24)其中同样 , 也可以推导出全量方程的递推格式63 k = m + c + k ,( 32)(t) 2t k( 25)= u j +1= p j +1 .其中 p ( t +t) = m i x g ( t +t) +1166 k = k = m + c + k , u ( t) + u ( t) + 2 u ( t) m +t22t(t) 2t( 26) 3 1 u ( t) + 2 u ( t) +t u ( t) c .t2 p j +1 = - m i x g , j +1 +( 33)将 u ( t +t) 代入式 ( 29) 求得 u ( t +t) ,则 t +t 时刻的加速度可按下式内插求得111 u j1 - u j m u j+-+2t2t1111 - u j1 -t u j c u j -.2t2411 u ( t +t) u ( t +t) .1 - u ( t) + =( 27)3 . 3特点及评价new ma r k - 法是线性加速度法的推广 。当 0 . 5 ,( 0 . 5 +) 2 / 4 , new ma r k - 法就无条件( 34)4 . 3特点及评价wil so n - 法的实质是线性加速度法推广 。当1 . 37 时 , 此 法 是 无 条 件 稳 定 的 , 但 随 着 的 增大 , 计算误差也增大 , 所以通常取 = 1 . 4 。在地震 作用下 , 对于一般阻尼比 5 %的钢筋混凝土结构 , 时 间步长t 0 . 04 t ( t 为地震波的卓越周期) 可以取得较好的结果 5 。由度方程的求解过程 。5 . 3特点及评价由于不需要计算总体的刚度矩阵和质量矩阵 , 采 用中心差分法基本上可以在单元一级进行求解 。如 果所有相继单元的刚度矩阵和质量矩阵相同 , 只需计算或从辅助存储器连续读出对应于第一个单元的矩中心差分法5阵即可求解 。此法可以有效地解出阶数很高的系统 。5 . 1基本思想中心差分法的基本思想是 : 在计算函数的中心 点差分 , 并与初始点函数值进行比较 , 若两者之差足 够小则结束 , 则以中 心点 差 分函 数值 作 为结 果 ; 否 则 , 步长减半 , 并将中心点差分函数值送给初始点函 数值 , 继续迭代 , 直到满足误差要求为止 。5 . 2公式推导将位移增量函数按 taylo r 级数展开得同时 ,该方法的效率取决于能否采用对角线质量矩阵和能否忽略通常与速度有关的阻尼力 。若只包含一 个对角线阻尼矩阵 ,则仍可保持在单元一级求解 。实 际上可以通过采用足够细密的有限元离散化来提高 解的精度 ,从而滤掉对角线质量矩阵的缺点 4 。6结束语1) 选择适当的地震波 。应根据设防烈度 、震中距及场地类别选取适当的地震记录或人工模拟地震波 。对于复杂结构 , 应采用不少于 4 条能反映当地 特征的地震波 , 其中应包括一条本地区历史上发生 地震时的实测记录波 。2) 合理简化结构的力学模型 。由于时程分析法需要逐步积分 , 对于复杂的结构 , 计算量巨大 。由于1 u ( t)t2u ( t +t)= u ( t) + u ( t)t +21u ( t)t3+ ,( 35)6u ( t - t) = un - 1 , u ( t) = un , u ( t +t) = un + 1 .速度和加速度也有同样的关系 , 由式 ( 35) 得前差分 式为计算条件的限制 , 目 前 在实 际工 程 中还 比较 少用 。un+1 = un + unt + 1 unt21u t3.+迄今在国内采用较多的是简化的层模型 。3) 正确选择构件的恢复力模型与破坏准则 。根据 所选择的计算模型来确定恢复力模型与破坏准则 。采 用三维杆系模型时 , 梁恢复力模型的骨架曲线可采用 双折线形式 。而采用层模型时 , 可采用静力弹塑性方法计算层恢复力模型的骨架曲线等 。n26( 36)同样可得后差分公式为un- 1 = un - unt + 1 unt21u t3.-+n26( 37)把以上两式分别相减或相加可得参考文献unt = 1 ( un+1- un- 1 ) + o (t3 ) ,( 38)2 1 陈国兴 ,陈忠汉 . 工程结构抗震设计原理 m . 北京 :中国水利水电出版社 ,2002 . 2 孙钧 . 地下结构有限元法解析 m . 上海 : 同济大学出版 社 ,1988 . 3 薛禹群 ,谢春红 . 水文地质学的数值法 m . 北京 :煤炭工 业出版社 ,1980 . 4 k. j . 巴斯 . 工程分析中的有限元法 m . 北京 : 机械工业 出