对数效用函数的组合投资研究.docx

文章编号 : 1009 - 315X ( 2009 ) 03 - 0232 - 033对数效用函数的组合投资研究周庆健1 ,周铁 1 ,刘强1 ,张博 2( 1. 大连民族学院 理学院 ,辽宁 大连 116605; 2. 哈尔滨工业大学 理学院 ,黑龙江 哈尔滨 150001 )摘 要 :研究了在证券组合投资中占重要地位的对数效用函数的组合投资问题 。对数效用函数是一类非常典型且被投资者常用的风险厌恶型效用函数 。应用无差异曲线法较好地解决了其最优组合投资比 例的选择问题 ,并给出具体实例对文中所得结果加以验证 。关键词 :对数效用函数 ;最优组合 ;无差异曲线法中图分类号 : O212. 8文献标志码 : ARe sea rch on Por tfo l io In ve stm en t of loga r ithm U t il ity Fun c t ionZHO U Q in g - j ian1 , ZHO U T ie1 , L I U Q ian g1 , HAO X ia o - yan g2 , ZHA NG Bo3( 1. Co llege of Sc ience, D a lian N a tiona litie s U n ive rsity, D a lian L iaon ing 116605, Ch ina; 2. Co llege of Sc ience,H a rb in In stitu te of Techno logy, H a rb in H e ilongjiang 150001, Ch ina)A b stra c t: In th is p ap e r, we stud ied the po rtfo lio inve stm en t of loga rithm u tility func tion s wh ichwa s impo rtan t in secu rity po rtfo lio inve stm en t. Loga rithm u tility func tion is a typ e of ve ry typ ica l risk - ave rse u tility func tion u sed by inve sto rs. W e u sed IDCM to ca lcu la te the op tim a l po rtfo lio inve stm en t p ropo rtion and gave examp le s to ve rify the re su lts in the p ap e r.Key word s: loga rithm u tility func tion; po rtfo lio inve stm en t; ind iffe rence cu rve资者以提高证券收益同时减少投资风险为目标来确定证券的最优组合。H. M a rkow itz以此建立了 著名的均值 - 方差模型 2 - 5 。设有 n 种证券 , 当前时刻 ( t = 0 ) 的价格分别1 组合投资在证券的组合投资中 ,每个投资者都有自己 对收益与风险的偏好程度 ,即投资活动要遵循的 一个关于收益与风险的效用函数 ,也就是投资者 对获得投资收益满足程度的函数 。因此 ,每个投 资者都有其自身的效用函数 ,并利用期望效用最 大化原则选择最优组合 ,且大部分投资者是理性 的风险厌恶型。对数效用函数 U = lnR ( R 表示投 资收益 )是一类重要而且典型的风险厌恶型效用 函数 ,所以这类效用函数在投资决策分析中具有 特殊的重要地位。20 世纪 50 年代初 ,美国经济和金融学家 H. M a rkow itz提出的投资组合理论可以看成是这类 金融数学 1 问题的奠基石 。该理论认为 ,这是投是 S10 , S20 , Sn0 , 将来某时 ( t = T ) 的价格分别是, Sn 。记S1 , S2 ,xi = ln ( S i / S i0 ) i = 1, 2, , n, Xn 1 = ( x1 , x2 , xn ) ,式中 , xi 是第 i种证券从时间 t = 0 到 t = T 这段时 间的对数收益率 , X 是 n 种证券的对数收益率向量 。这里 S10 , S20 , Sn0 , 是已知常数 , 而 S1 , S2 , Sn 都是随机变量 , 所以 x1 , x2 , xn 是随机变量 , 而 X 是一随机向量 , 用符号表示它的期望和协方差矩阵为, Exn ) =, V a r ( X ) = E ( XEX = ( Ex1 , Ex2 ,3收稿日期 : 2008 - 12 - 18基金项目 :国家自然科学基金资助项目 ( 10872045 ) 。作者简介 :周庆健 ( 1978 - ) ,男 ,山东邹城人 ,讲师 ,大连理工大学管理学院博士研究生 ,主要从事金融数学研究 。第 3期周庆健 ,等 :对数效用函数的组合投资研究233- EX ) ( X - EX ) =。设在第 i种证券上的投资比例为 i , i = 1, 2,w wln (w )-。m ax2 (w )2w e = 1, n。记 n 1 = (1 ,n ) , en 1 = ( 1, 1 ) ,s. t.由于该效用函数为风险厌恶型 , 所以应用无差异曲线法进行求解。按照西方经济学中关于无 差异曲线的理论 , 对数效用函数的期望效用 E要求投资比例满足约束条件 e = 1。投资者相对于投资比例 的投资收益为 R =X, 它也是 一个随机变量。R 的期望收益和方差分别是r = ER =,2 = V a r ( R ) =。H. M a rkow itz的均值 - 方差模型 1 就是考虑 如下条件的极值问题 :在指定收益即 = a 下 , 求 使风险达到最小 , 即 V a r (X ) =最小。归结为数学问题即是 :在 满足 = 1 和 = a 的条件下 , 求 达到最小值的解。 可求得其解为2(U ) = ln ( r) -2是一无差异曲线族 , 最优组合为2 r该无差异曲线与有效前沿 2 = 1 (A r2 - 2B r + C )的切点 , 由下列模型确定 :2-EU = ln ( r)2 r2,2 = 12(A r - 2B r + C )C - aB - 1aA - B - 13 ,=e +( 1 ) 1 12则 3 X 相应的方差为EU = ln ( r) -(A r - 2B r + C ) = ln ( r)2 r2 = = 1 (A a2 - 2B a + C ) ,2 ( )1 ( A-+ C ) 。B333- 22 r2r( 2 ) 而且称其为投资组合的有效前沿 , 式中 , A = e- 1 e, B = e- 1=- 1 e, C =- 1, = AC - B 2 。 由于 ln ( R )是凸函数 , 且其二阶导数 ln( R )r2 - B r + C对r求导数并令它等于零 , 得=r32r = B B- 4C。由函数的0, 进一步求解得2= - 1 0, 则具有对数效用函数的投资者是风险B - 4C2R2厌恶者。在许多情况下 , 如果采用对数效用函数 模型 , 当投资者面临一个无穷投资序列时 , 投资者 常采用对数效用函数通过最大化每一期的期望效 用来使其长期回报率最大化 6 - 7 。r = B -性质可知 , 当时 , 期望效用 EU2的一阶导数在 r的较小左邻域内大于零 , 较小右邻域内小于零。由极值的第一充分条件知 , 在 r2B- 4CB -时 EU 取得极大值 , 此时期望效=22 对数效用函数最优组合的求解金融数学理论中已证明并约定投资收益 服从正态分布 N ( r,2 ) , 且 r,2 同前 。用EU 最大 。r = B - B - 4C, 再根据2R确定了期望收益2均值 - 方差模型中推出的式 ( 1 ) 就可求出最优组合的投资比例为前面已验证对数效用函数为风险厌恶型 。这里可以用在点 U = E ( R ) = r处的泰勒展开式的前 三项来近似 U ( R ) 。U ( R ) U ( r) + U ( r) ( R - r) + U ( r) ( R - r) 2 / 2。两边取期望得B - 4C2C - B -B2- 1=e +B -B 2 - 4CE U ( R ) U ( r)E ( R - r) 2 / 2U ( r)且 E R - r = E R -+ U ( r) E ( R -+ U ( r)2 / 2, r = r - r = 0。r) + U ( r)A - B- 1=22B - 4C( C - B -所以期望效用可以由使 U ( E R ) + U ( E R ) V a r ( r) / 2 最大化的组合得到 , 也就是使得- 1B ) e +222 2 (B -B - 4C B - 1。E (U ) = ln ( r) -最大 , 转化为投资组合问题为A -( 3 )2 r222 234 大连民族学院学报第 11 卷是卖空的 ,可以把所有的资金购入这 5 种证券 ,即能使投资者的资金得到有效的利用 ,并且使投资 者的收益与风险达到较均衡的状态。3 应用实例这里将给出一个具体实例来对本文的结论加 以验证。设有 5 种证券 , 收益期望值是= ( 0. 168, 0. 265, 0. 543, 0. 335, 0. 252 ) ,收益率的协方差矩阵为参考文献 : 1 MAR KOW ITZ H. Po rtfo lio se lec tion J . Jou rna l of F i2nanace, 1952 ( 7) : 77 - 91. 2 张尧庭. 金融市场的统计分析 M . 桂林 : 广西师范 大学出版社 , 1998. 3 叶中行 ,林建忠. 数理金融 - 资产定价与金融决策理 论 M . 北京 :科学出版社 , 1998. 4 威廉 F 夏普 ,戈登 J 亚历山大 ,杰弗里 V 贝利. 投资学 :上 M . 5 版. 北京 :中国人民大学出版 社 , 1998. 5 周庆健 ,吴建民. 负指数效用函数最优组合的两种解2. 102. 13 =1. 961. 87- 2. 482. 132. 58- 2. 691. 68- 2. 531. 96- 2. 692. 75- 1. 812. 521. 871. 68- 1. 811. 78- 1. 79- 2. 48- 2. 532. 52 。- 1. 792. 85应用无差异曲线法 , 首先求出使期望效用最大的期望收益为B - 4C,2r = B -2法及其一致性 J . 大连民族学院学报 , 2004 4 : 7( )根据数据可求得 , A = 15. 475 4, B- 10. 6 张鸿雁 , 岳妍. 典型效用函数下最优投资消费问题 J . 统计与决策 , 2007 ( 20 ) : 18 - 20. 7 贺学会 ,陈洋. 效用函数与行为人 : 一个金融经济学 视角的诠释 J . 财经理论与实践 , 2008 ( 155) : 1 - 7.= 4. 173 9, C =1. 113 9, = - 0. 183 3, 进而可求得期望收益 r =0. 263 8。然后根据 ( 3 )式得最优组合的投资比例为 = ( 0. 078 1, 0. 335 1, 0. 012 7, 0. 123 0,0. 451 1 ) 。从最优组合的投资比例可以看出 ,没有证券(责任编辑邹永红 )(上接第 231页 )参考文献 : 1 L EMAR ECHAL C, OU STR Y F, SA GA ST IZABAL C.The U - L angrangian of a convex func tion J . Tran s. Am e r. M a th. Soc. , 2000 , 352: 711 - 729. 2 王炜 ,陆媛. 正常凸函数的 U - L angrange 函数 J . 辽宁师范大学学报 : 自然科学版 , 2006, 29 ( 4 ) : 385 -387. 3 AUB IN J P, EKELAND I. App lied Non linea r A na lysis J . W iley M a th, 1984 , 3: 214 - 220. 4 AU SL END ER A. N um e rica l m e thod s fo r nond iff